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第二十一章 一元二次方程
考点1 一元二次方程的概念
1．一元二次方程的概念： 等号两边都是 式，只含有 未知数，并且未知数的最高次数式 的方程 ；
2．一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的 ；
3．一般形式：， 为二次项系数， 为一次项系数， 为常数项
考点2 一元二次方程的解法
1．基本思想
一元二次方程一元一次方程
2．基本解法
（1）直接开平方法
解法依据：平方根的定义．如果．．，那么，叫做的平方根，记作 ；
适用方程：，；
解法步骤：
步骤名称 操作过程 示例
移项 把二次项移到等号的左边，常数项移到等号的右边
化二次项系数为1 两边同时除以二次项系数
直接开平方 求平方根 当时，
写出方程的根 化简二次根式，写出方程的两个根 ，
（2）配方法
解法依据：完全平方式．．．；
适用方程：全部一元二次方程；
解法步骤：
步骤名称 操作过程 示例
移项 把含有未知数的项移到等号的左边，常数项移到等号的右边
化二次项系数为1 两边同时除以二次项系数
配方 两边同时加上一次项系数一半的平方
化成的形式 等号左边分解因式，等号右边计算
用直接开平方法解方程 求平方根 当时，
写出方程的根 化简二次根式，把常数项移到等号右边，并计算
（3）公式法
解法依据：求根公式．的根为；
适用方程：全部一元二次方程；
解法步骤：
步骤名称 操作过程 示例
整理为一般形式 等号一边为零，另一边按未知数的降幂排开
确定的值 即找出二次项系数、一次项系数和常数项
计算的值 把的值代入中并求值
代入求根公式 当时，把和的值代入求根公式计算
写出方程的根 化简二次根式，能约分的要约分；
（4）因式分解法．
解法依据：有理数乘法法则．若，则或；
适用方程：等号一边为零，另一边能够分解因式的一元二次方程；
解法步骤：
步骤名称 操作过程 示例
整理 等号右边为零
分解因式 等号左边分解因式
转化为一元一次方程 两个因式分别为零 或
写出方程的根 解两个一元一次方程
考点3 一元二次方程根的判别式
1．一元二次方程 根的判别式：；
2．判别式的值与根的情况
方程有 的实根；
方程有 的实根；
方程 实根；
考点4 一元二次方程根与系数的关系
1．如果一元二次方程的两个实数根是，
那么， ， ．
2． 以两个数、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
考点5 一元二次方程的应用
增长率问题、“每每型”问题、几何面积问题、传播问题、循环问题等
一元二次方程的概念
（1）三个要点：
要点 要点阐述
一元 只含有一个未知数
二次 未知数的最高次数是2
方程 整式方程
（2）一般形式中系数的特点
系数名称 系数符号 系数范围
二次项系数 是非零实数，即
一次项系数 是全体实数
常数项 是全体实数
（3）一元二次方程的一些特殊解与系数的关系
特殊解 系数的特征
一个根为1
一个根为
一个根为0
【例题】
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若是关于x的一元二次方程，则a的值是（ ）
A．0 B．2 C． D．
3．已知关于x的一元二次方程，若，则此方程必有一个根为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．±1
4．若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【练经典】
5．下列方程中，一元二次方程共有（　　）
① ② ③④ ⑤⑥
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．若是关x的方程的解，则的值为 ．
7．若关于x的一元二次方程的常数项是6，则一次项是（ ）
A． B． C．x D．1
8．要使方程是关于的一元二次方程，则（ ）
A． B．
C．且 D．且且
【练易错】
易错点：忽略导致错误
9．关于x的方程是一元二次方程，则（ ）
A． B． C． D．
10．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
一元二次方程的解法
（1）基本解法的选用
一元二次方程的特征 选取的解法 示例
一次项系数为0 直接开平方法
常数项为0 因式分解法
二次项系数为1，一次项系数是绝对值较小的偶数，常数项是绝对值较大的数 配方法
等号两边能分解因式，且有公因式 因式分解法
等号一边为0，另一边能分解因式 因式分解法
含未知数的整式是平方式 直接开平方法
未知数的系数是二次根式 公式法
（2）换元法
解一些复杂的一元二次方程，常用到换元法，即对结构比较复杂的一元二次方程，若把其中含未知数的某些部分看成一个整体，用新未知数代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，明朗化．
【例题】
11．按要求解方程
(1)（直接开平方法）；
(2)（配方法）；
(3)（公式法）
(4)（因式分解法）
(5)（换元法）
12．请用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
【练经典】
13．用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·上海·统考中考真题）
14．在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（ ）
A． B． C． D．
15．我们规定一种新运算“★”，其意义为，已知，则x的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
16．解方程
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
一元二次方程根的判别式
（1） 一元二次方程判别式的值与根的情况；
一元二次方程根的情况 判别式的值的特征
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
有两个的实数根
没有实数根
（2） 一元二次方程根的判别式的应用
应用类型 解题方法
不解方程，判断根的情况 计算的值，根据判别式的值与0的大小来判断
已知根的情况，求方程中参数的值或取值范围 根据根的情况确定判别式的值与0的大小关系，利用建立参数的方程或不等式求解
实际应用 在实际问题中列出一元二次方程，利用根的判别式判定方程的解的情况，再判断实际问题中的事件是否能够发生
【例题】
（2023·四川·统考中考真题）
17．关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
18．已知关于x的方程，则①无论k取何值，方程一定无实数根；②时，方程只有一个实数根；③且时，方程有两个实数根；④无论k取何值，方程一定有两个实数根．上述说法正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个根小于0，求k的取值范围．
（2023·山东东营·统考中考真题）
20．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．

(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【练经典】
21．关于x的方程根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等实数根
C．有两个相等实数根 D．只有一个实数根
22．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值可能是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
（2023·江苏徐州·统考中考真题）
23．关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是 ．
24．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为任意实数，方程总有实数根．
(2)若这个方程的根的判别式的值等于1，求的值．
【练易错】
易错点：忽略导致错误
25．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是
一元二次方程根与系数的关系
（1） 两类方程中根与系数的关系
一元二次方程 根与系数的关系
，
，
（2） 以为根的一元二次方程为：；
（3） 根与系数的关系的应用
应用类型 解题方法
已知一元二次方程，求根的代数式的值 根据根与系数的关系计算两根的和与两根的积，把代数式变形后再代入求值，有时也需要把两根代入方程得到两个等式来求解
已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数 根据根与系数的关系建立另一根和参数的方程组，解方程组
已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程 计算两根的和与两根的积，再根据写出方程
实际应用 根据根与系数的关系计算两根的和与两根的积，结合实际问题计算
【例题】
26．设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
27．已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值．
28．已知关于的方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若方程的一个根为，求方程的另一根和的值．
(3)当时，若另一个一元二次方程的两个根分别是这个方程两个根的3倍，求另一个方程．
【练经典】
（2023·山东·统考中考真题）
29．一元二次方程的两根为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
30．关于x的一元二次方程两个实数根的倒数和为1，则（ ）
A．或0 B．2或0 C．2 D．0
31．以方程的两根的倒数为根的一元二次方程是 ．
32．已知关于x的方程有两实数根，，
(1)若，求k的值．
(2)是否存在实数k满足，若存在请求出k的值，若不存在请说明理由．
【练易错】
易错点：忽略导致错误
33．已知关于的一元二次方程的两个实数根为、，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
一元二次方程的应用
（1） 主要类型中的等量关系
类型 基本等量关系
增长率（下降率）问题 ，分别为变化前、后的量，为增长率（或下降率）
每每问题 ，为关联量，每降1，增加，每降后，的积为
传播问题 ，每轮1人传人，2轮后共人
（2）一元二次方程的根有两个，需要检验根的合理性．
【例题】
（2023·广西·统考中考真题）
34．据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
35．如图，在一张长宽分别为和的长方形纸板上剪去四个边长为的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为，求x的值，根据题意，可列得的方程为（ ）

A． B．
C． D．
36．广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共25人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
37．一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
(1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加________件，每件服装盈利________元（用含x的代数式表示）；
(2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
【练经典】
（2023·湖南永州·统考中考真题）
38．某县年人均可支配收入为万元，年达到万元，若年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
39．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度共生产零件196万个．设该厂八，九月份平均每月的增长率为x，则可以得到关于x的方程是（　　）
A． B．
C． D．
40．某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去90张贺卡，则该学习小组成员的人数是 ．
41．某家电超市销售一款智能水壶，平均每天可售出件，每件赢利元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，超市决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件水壶每降价元，超市平均每天可多售出件，若超市销售水壶平均每天要赢利元，每件水壶应降价多少元？
新考法
【新定义小练】
42．对于实数a，b定义运算“※”为，例如．若关于x的方程没有实数根，则m的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
43．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解为 ．
44．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此，所以有；我们记“”即时，方程为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：
(1)若是倍根方程，求的值；
(2)关于x的一元二次方程是倍根方程，且点在一次函数的图像上，求此倍根方程的表达式．
45．我们给出定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两个实数根为，（），分别以，为横坐标和纵坐标得到点M（，），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
(1)若方程为，该方程的衍生点M为 ．
(2)若关于x的一元二次方程的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
(3)是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线y＝kx+2（k+3）的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由．
【阅读探究类小练】
46．综合与探究：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程：是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断以下方程是否是“邻根方程”：．
(2)已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
(3)若关于x的一元二次方程（a、b是常数，且）是“邻根方程”，令，求t的最大值．
47．阅读理解以下内容，解决问题：
解方程：．
解：，
方程即为：，
设，原方程转化为：
解得，，，
当时，即，，；
当时，即，不成立．
综上所述，原方程的解是，．
以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；
(2)仿照上述方法，解方程：．
48．阅读材料：选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如
①选取二次项和一次项配方：；
②选取二次项和常数项配方：，或
③选取一次项和常数项配方：
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；
(2)已知，求的值
(3)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
49．阅读下列材料：
材料1：若关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，则，.
材料2：已知实数，满足，，且，求的值.
解：根据题意可知，实数，是方程的两个不相等的实数根
根据材料1，得，
∴，.
∴
根据上述材料，解答下列问题：
(1)若一元二次方程的两个根分别为，，则___________，___________；
(2)已知实数，满足，，且，求的值；
(3)已知实数，分别满足，，且，求的值.
参考答案：
1．D
【分析】根据一元二次方程的定义，逐一判断四个选项，即可得出结论．
【详解】解：A、该方程为分式方程，故本选项不符合题意；
B、当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、整理后为，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、整理后为，是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的概念，熟练掌握化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2．C
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；即可进行解答．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程，
∴，解得：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，注意将二次项系数不能为0．
3．B
【分析】将代入方程中的左边，得到，由得到方程左右两边相等，即是方程的解．
【详解】将代入方程中的左边得：，
∵，
∴是方程的根．
即方程的一个根为．
故选：B
【点睛】题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．掌握方程的解的定义是解题的关键．
4．A
【分析】先把代入原方程得到，再解关于的方程得到，然后根据一元二次方程的定义确定的值．
【详解】解：把代入一元二次方程得，
解得，
，
，
的值为．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
5．B
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判定，注意不是最简形式的方程，要化成最简形式．一元二次方程的定义是，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．
【详解】解：①符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
②含有x、y两个未知数，故本选项错误；
③分母中含有未知数，故本选项错误；
④符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
⑤符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
⑥原方程化简后为，含未知数的项的次数是1，故本选项错误．
∴一元二次方程有①④⑤，共3个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程，解决问题的关键是熟练掌握化简后的方程符合一元二次方程的定义．
6．2019
【分析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可．
【详解】解：∵是关x的方程的解，
∴，即：，
∴
；
故答案为：2019．
【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．
7．A
【分析】根据一元二次方程定义可得，，可得的值，再代入原方程，由此即可得结果．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项是6，
∴，，
解得：，
把代入原方程可得，
∴一次项是，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是一次项，是常数项．
8．B
【分析】利用一元二次方程定义可得，再解不等式即可．
【详解】解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，，
解得．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
9．A
【分析】根据一元二次方程的定义得出，，求出即可．
【详解】解：关于的方程是一元二次方程，
且，
即且，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2．
10．C
【分析】将代入方程，得到，再利用一元二次方程根的定义得到，确定出m的值即可．
【详解】解：将代入，
得：，
解得：，
∵，
∴，
∴
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
11．(1)，
(2)，
(3)，
(4)或
(5)，
【分析】（1）先移项，变成，然后直接开平方；
（2）把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解；
（3）找出方程中二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，由根的判别式大于0，得到方程有解，将，及的值代入求根公式即可求出原方程的解；
（4）将方程整理为，然后通过提取公因式进行因式分解，再求解即可；
（5）先令，则原方程变形为，运用因式分解法解得，，再把和3分别代入得到关于的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
∴，；
（2），
，
，
，
，
∴，；
（3），
，，，
，
∴，
∴，；
（4），
，
，
，
，
∴或，
∴或；
（5），
令，则原方程变形为，
即：，
解得：，，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
∴原方程的解为：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法、公式法、因式分解法、配方法、换元法是解题的关键．
12．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）用配方法求解即可；
（3）先化为一般式，再用因式分解法求解即可；
（4）用公式法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
∴；
（2）解： ，
，
，
或，
；
（3）解：，
，
，
或，
；
（4）解：，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．解一元二次方程的方法有：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法．
13．A
【分析】先移项，再配方，即可得出选项；
【详解】解：，，
配方得：，
，
故选A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能正确的配方是解答该题的关键．
14．D
【分析】设，则原方程可变形为，再化为整式方程即可得出答案.
【详解】解：设，则原方程可变形为，
即；
故选：D.
【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.
15．D
【分析】根据新运算的法则，列出一元二次方程，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
整理，得：，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查定义新运算，因式分解法解一元二次方程．解题的关键是理解新运算的定义，正确的列出一元二次方程．
16．(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
(5)，
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）先将方程整理，再利用因式分解法求解即可；
（3）利用配方法求解即可；
（4）先将方程整理为，再利用公式法求解即可；
（5）将看做一个整体，进行因式分解可得，进而求解即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
∴，；
（2），
，
或，
∴，；
（3），
，
，
，
∴，；
（4），
，
，，，
，
，
∴，；
（5），
，
，
或，
∴，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．C
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．
【详解】解：，
其中，，，
∴，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
18．B
【分析】利用根的判别式，可得出，进而根据各选项的情况得出结论．
【详解】解：关于x的方程，
，
当时，关于x的方程为，则，
方程只有一个实数根，故②说法正确；
当，解得，则且时，方程有两个实数根，故③说法正确，①④说法错误；
综上，上述说法正确的是②③，共2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出的值，结合方程有一个根小于0，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
【详解】（1）解：证明：，
方程总有两个实数根；
（2），即，
，．
方程有一个根小于0，
．
【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法求出一元二次方程的根．
20．(1)当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；
(2)不能，理由见解析．
【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．
【详解】（1）解：设矩形的边，则边．
根据题意，得．
化简，得．
解得，．
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．
（2）解：不能，理由如下：
由题意，得．
化简，得．
∵，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．
21．B
【分析】利用判别式和一元二次方程的根的关系进行判断即可．
【详解】解：根据题意得，，
则关于x的方程有两个不相等实数根，
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有一个实数根；，一元二次方程无实数根是解题的关键．
22．B
【分析】根据关于的方程有两个不相等的实数根，可知该方程是一元二次方程，即，，求出的取值范围选择符合的选项即可．
【详解】关于的方程有两个不相等的实数根，
该方程是一元二次方程，即，
，
，
，
，且，
只有B选项符合，
故选：B
【点睛】本题考查了一元二次方程实数根的情况与判别式的关系，掌握有两个不相等的实数根时，是解题的关键．
23．
【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系可得，，求解即可．
【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根，
则，解得，
故答案为：
【点睛】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系进行判断即可；
（2）由判别式解方程即可，注意．
【详解】（1）解：
，
∴无论为任意实数，方程总有实数根．
（2）解：∵这个方程的根的判别式的值等于1，
∴，
解得，，
∵即，
∴．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．本题还考查了一元二次方程的定义和解一元二次方程，容易忽视二次项系数不为0这一隐含条件．
25．且
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
26．(1)
(2)
(3)
(4)2
(5)4
【分析】（1）根据韦达定理，可得，，再根据即可计算；
（2）即可计算；
（3）即可计算；
（4）即可计算；
（5）即可计算．
【详解】（1）根据韦达定理，可得，，
∴；
；
；
（2）；
；
；
（3）；
；
；
（4）；
；
；
（5）；
；
；
．
【点睛】本题考查韦达定理的应用，将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子是解题的关键．
27．(1)
(2)
【分析】（1）运用根的判别式即可求解；
（2）运用根与系数的关系，韦达定理即可求解．
【详解】（1）解∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得，，
∴的取值范围为．
（2）解：∵方程的两个实数根为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得，或，
∵由（1）可知，，
∴．
【点睛】本题主要考查一元二次方程中根据与系数的关系，韦达定理求未知量，掌握一元二次方程中根与系数的关系，即根的判别式，韦达定理的解参数的方法是解题的关键．
28．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据该方程有两个不相等的实数根，可得，列出不等式求解即可；
（2）先根据根于系数关系，求出两根之和，即可求出另一个根；
（3）根据题意，得出原方程为，求出两根之和于两根之积，进而得出另一个方程两根之和与两根之积，即可求解．
【详解】（1）解：∵该方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，
解得：；
（2）解：根据题意可得：，
∵方程的一个根为，
∴另一个根为；
∴，
∴；
（3）解：当时，原方程为：，
∴，
令该方程两根分别为，
∴，，
∵另一个一元二次方程的两个根分别是这个方程两个根的3倍，
∴另一个方程两根之和为，
另一个方程两根之积为，
∴ 另一个方程为：，即．
【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围和根与系数关系，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．以及一元二次方程根与系数关系：．
29．C
【分析】先求得，，再将变形，代入与的值求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，
∴
．
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记，是解决本题的关键．
30．C
【分析】先利用根与系数的关系得到，再建立关于m的方程，解方程后代入检验即可．
【详解】解：设该方程的两个实数根分别为a和b，
∴，
∵，
∴，
∴，
检验：均为该方程的解；
∵，
∴不成立，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，涉及到了根与系数的关系和解分式方程，解题关键是要记得检验．
31．
【分析】设方程的两根分别为、，则根据根与系数的关系得，，则可计算出，，然后写出以和为根的一元二次方程即可．
【详解】解：设方程的两根分别为、，
根据根与系数的关系得，，
，
，
以和为根的一元二次方程可为，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
32．(1)
(2)
【分析】（1）利用根与系数的关系得到，再由得到，解方程求出，再根据方程有解，利用根的判别式求出k的范围即可得到答案；
（2）由题意可得，当，方程有两个相等的实数根，利用根的判别式求解即可；当时，则，利用根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：∵关于x的方程有两实数根，，
∴，
又∵，
∴，
解得；
∵方程要有实数根，
∴，
∴，
解得，
∴；
（2）解：∵，
∴，
当是，则，
∴，
解得；
当时，则，
又∵，
∴（舍去）；
综上所述，存在实数满足．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键．
33．C
【分析】根据根的判别式以及根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：，
，
，，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根的判别式以及根与系数的关系，本题属于基础题型．
34．B
【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，
根据题意得，．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
35．B
【分析】先分别表示出底面长方形的长和宽，然后根据长方形面积公式列出方程即可．
【详解】解：由题意得，底面长方形的长为，宽为，
∵要使长方体盒子的底面积为，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意表示出底面长方形的长和宽是解题的关键．
36．C
【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，依题意得，
即，
故选：C．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．
37．(1)2x，；
(2)每件服装降价20元时，能让利于顾客并且平均每天能赢利1200元．
【分析】（1）每件服装降价x元，结合题意列出代数式即可；
（2）由每件服装的利润乘以销售数量列方程即可．
【详解】（1）解：每件服装降价x元，则每天销售量增加件，每件服装盈利元；
（2）依题意得：，
解得：，．
又∵需要让利于顾客，
∴．
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且平均每天能赢利1200元．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
38．B
【分析】设年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】解：设年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，根据题意得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
39．D
【分析】用分别表示八、九月份的产量，然后根据题意第三季度共生产零件196万个可得出方程．
【详解】解：依题意得八、九月份的产量为、，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，解题的关键是掌握一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．
40．10
【分析】设该学习小组有x名成员，则小组内每名成员需送出张贺卡，由该小组互赠新年贺卡共90张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设该学习小组有x名成员，则小组内每名成员需送出张贺卡，
根据题意得：，
解得：（不合题意，舍去），
即该学习小组有10名成员．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
41．元
【分析】设每件水壶应降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，利用商场每天销售该款水壶获得的总利润每件水壶的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要尽快减少库存，即可得出每件水壶应降价元．
【详解】解：设每件水壶应降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要尽快减少库存，
符合题意．
答：每件水壶应降价元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．
42．A
【分析】根据新的运算法则列出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式即可解答．
【详解】解：由题意可得：可化为：
∵关于x的方程没有实数根，
∴，解得：，
观察发现仅有D选项符合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查了整式运算、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握当一元二次根的判别式小于零，该方程无实数根是解答本题的关键．
43．或或
【分析】】根据，可得，分种情况讨论：①时，解得；②时，解得或 舍；③时，解得或舍；④时，方程无解．
【详解】解：，
，
①时，，解得；
②时，，解得或舍；
③时，，解得或舍；
④时，方程无解；
综上所述：方程的解为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，理解取整的定义是解题的关键．
44．(1)0
(2)
【分析】（1）根据是倍根方程，且，得到或，从而得到，，进而得到；
（2）设其中一根为t，则另一个根为2t，可以得出，从而得倍根方程满足，据此求解即可．
【详解】（1）整理得：，
∵是倍根方程，
∴，
∴．
（2）∵是倍根方程，
∴，
整理得：．
∵在一次函数的图像上，
∴，
∴，，
∴此方程的表达式为
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
45．(1)（1，2）
(2)或
(3)存在，，
【分析】（1）解方程后，根据定义即可求M点坐标；
（2）求出方程的解为x = 1或x = 5m，再分情况讨论：当5m≥1时，此时M (1，5m)；当0≤5m≤1时，此时M (5m，1)，当5m < 0时，M (5m，1)；再由题意分别求出m的值即可；
（3）由直线经过定点(2，6)，则方程+bx +c = 0的衍生点M为(2，6)，即可求出b= 4，c=12．
【详解】（1）∵的解为x=1或2，
∴，
∴M (1，2)，
该方程的衍生点M的坐标(1，2)，
故答案为：（1，2）；
（2）∵的解为x=1或x=5m，
当时，，此时M (1，5m)，
由题意可得1 = 5m，
解得m =，
当时，，此时M (5m，1)，
∴5m=1，
∴m=；
当5m < 0时，M (5m，1)，此时，
解得m =；
综上，m的值为或；
（3）存在b，c满足条件，理由如下：
∵，
∴直线经过定点，
∴方程 + bx + c = 0的衍生点M为，
∴将和代入可得,
解得，．
【点睛】本题属于一元二次方程与一次函数综合题，考查一元二次方程的解法，一次函数的图象及性质，点M为该一元二次方程的衍生点的定义，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的图象及性质，学会用分类讨论的思想解决问题．
46．(1)不是“邻根方程”
(2)或
(3)2
【分析】（1）先根据因式分解法解一元二次方程，根据定义进行判断即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程得到，根据定义即可求解；
（3）公式法解一元二次方程，根据定义得出，进而令，根据配方法得出，继而即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或
解得，
∵，
∴不是“邻根方程”；
（2）解：∵，
∴，
解得，
∵方程 (是常数)是“邻根方程”，
∴或，
∴或；
（3）解：解方程得：，，
∵关于的方程（是常数，）是“邻根方程”，
∴，
∴，
等号两边平方得：，
∴，
∴或，
∵，
∴，
∴当时，有最大值．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的根以及解一元二次方程，配方法的应用，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
47．(1)
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式由，得，再变形原方程便可；
（2）设，则，得，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便可．
【详解】（1）设，
则，
可化为：，
即，
故答案为：；
（2）设，则，
原方程可化为：，
整理得，
，
或，
或，
当时，，
解得，
当时，无解，
检验，当时，左边右边，
是原方程的解，
故原方程的解为：．
【点睛】本题主要考查了换元法，无理方程，关键掌握换元法的思想方法．
48．(1)见解析
(2)
(3)当，时，取得最小值，最小值为
【分析】（1）根据配方的定义，分别选取二次项、一次项、常数项中的两项，进行配方即可得出三种形式；
（2）首先根据配方法把变形为，再根据偶次方的非负性，得出，，解出、的值，然后将、的值代入代数式，计算即可得出结果；
（3）首先根据配方法把代数式变形为，再根据偶次方的非负性，得出，进而得出当，时，取得最小值，再进行计算即可得出结果．
【详解】（1）解：第一种形式：选取二次项和一次项配方，
；
第二种形式：选取二次项和常数项配方，
；
或
；
第三种形式：选取一次项和常数项配方，
；
（2）解：，
配方，得：，
即，
∵，，
∴，，
解得：，，
∴；
（3）解：
，
∵，
∴，
当，时，取得最小值，
即当，时，取得最小值，最小值为．
【点睛】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式进行配方是解本题的关键．
49．(1)；；
(2)
(3)
【分析】（1）直接根据根与系数的关系可得答案；
（2）由题意得出、可看作方程，据此知，，将其代入计算可得；
（2）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得．
【详解】（1），；
故答案为；；
（2），，且，
、可看作方程，
，，
；
（3）把变形为，
∴实数和可看作方程的两根，，
∴，，
【点睛】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则．

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