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人教版高中数学必修第二册 期中素养测评卷
　　本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷60分,第Ⅱ卷90分,共150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷　(选择题　共60分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.复数z=-3+2i在复平面内对应的点位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量a=(4,m),b=(m,3),若(a+b)∥b,则|a|= (　　)
A.2 B.3
C.2 D.3
3.已知=1-i(a∈R),则a= (　　)
A.1 B.0
C.-1 D.-2
4.一个正方体内接于一个球,过球心作一个截面,如图Z-1所示,则截面的可能图形是 (　　)
图Z-1
A.①③④ B.②④
C.②③④ D.①②③
5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-,则= (　　)
A.6 B.5
C.4 D.3
6.如图Z-2,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于A,B),且PA=AC,则二面角P-BC-A的大小为 (　　)
图Z-2
A.60° B.30°
C.45° D.15°
7.在平面直角坐标系中,已知A(-3,0),B(0,2),O为坐标原点,点C在∠AOB内,||=2,且∠AOC=,设= λ+(λ∈R),则λ的值为 (　　)
A.1 B.
C. D.
8.在长方体ABCD - A1B1C1D1中,P为BD上任意一点,则一定有 (　　)
A.PC1与AA1异面
B.PC1与A1C垂直
C.PC1与平面AB1D1相交
D.PC1与平面AB1D1平行
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两项是符合题目要求的)
9.下列说法中错误的是 (　　)
A.若a=b,则3a>2b
B.若a∥b,则a与b的方向相同或相反
C.若a∥b,b∥c,则a∥c不一定成立
D.对任一向量a,是一个单位向量
10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.根据下列条件解三角形,其中有两解的是 (　　)
A.b=10,A=45°,C=70°
B.b=45,c=48,B=60°
C.a=14,b=16,A=45°
D.a=7,b=5,A=80°
11.已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不重合的平面,则下列说法错误的是 (　　)
A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
B.若m α,n α,m∥β,n∥β,则α∥β
C.若α∥β,γ∥β,则γ∥α
D.若α⊥β,m⊥β,则m∥α
12.如图Z-3,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,M为AD的中点,则下列说法正确的是 (　　)
图Z-3
A.AD⊥平面PMB
B.异面直线AD与PB所成的角为90°
C.二面角P-BC-A的大小为45°
D.BD⊥平面PBC
请将选择题答案填入下表:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 总分
答案
题号 9 10 11 12
答案
第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.若复数z=(a-2)+(a+1)i(a∈R)是纯虚数(其中i是虚数单位),则=　　　　.
14.已知向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=3,则|a-2b|=　　　　.
15.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,若PA=AB=AD=1,BC=CD=BD=,则四棱锥的外接球的表面积为　　　　.
16.如图Z-4,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在北偏西60°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在北偏西15°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=　　　　m.
图Z-4
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知复数z=.
(1)求|z|;
(2)若z(z+a)=b+i,求实数a,b的值.
18.(12分)已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c.
(1)求b和c;
(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m与向量n夹角的大小.
19.(12分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且b=,c=1,cos B=.
(1)求sin C的值;
(2)求△ABC的面积.
20.(12分)如图Z-5,在正方体ABCD - A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点.求证:
(1)EG∥平面BDD1B1;
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
图Z-5
21.(12分)台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动,也叫桌球、撞球.一次台球技术表演节目中,在台球桌上,画出如图Z-6所示的正方形ABCD,在点E,F处各放一个目标球,表演者先将母球放在点A处,通过击打母球,使其依次撞击点E,F处的目标球,最后停在点C处,若AE=50 cm,EF=40 cm,FC=30 cm,∠AEF=∠CFE=60°,求该正方形的边长.
图Z-6
22.(12分)如图Z-7,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为的菱形,∠BAD的余弦值为,AC与BD相交于点O,OP⊥底面ABCD,M为PC的中点,OP=4.
(1)求证:AM⊥BD;
(2)求直线PA与平面ABM所成角的正弦值.
图Z-7
参考答案与解析
1.B　[解析] 复数z=-3+2i在复平面内对应的点为(-3,2),位于第二象限.故选B.
2.A　[解析] a+b=(4+m,m+3),∵(a+b)∥b,∴m(m+3)-3(m+4)=0,解得m2=12,∴|a|==2.
3.A　[解析] ∵=1-i,∴1+ai===1+i,因此a=1.故选A.
4.A　[解析] 由题意,当截面平行于正方体的一个面时得③;当截面过正方体两条相交的体对角线时得④;当截面既不过正方体体对角线也不平行于正方体任一面时得①;无论如何都不能得②.故选A.
5.A　[解析] 因为asin A-bsin B=4csin C,所以由正弦定理得a2-b2=4c2,即a2=b2+4c2,又cos A===-,所以=6.故选A.
6.C　[解析] 由题知,PA⊥BC,AC⊥BC,∵PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中,由PA=AC得∠PCA=45°,故选C.
7.D　[解析] 如图,过C作CE⊥x轴于点E,则由||=2,且∠AOC=,得|OE|=|CE|=2,所以=+=λ+,即=λ,所以(-2,0)=λ(-3,0),解得λ=.
8.D　[解析] 对于A选项,连接A1C1,AC,当点P为BD的中点时,PC1 平面AA1C1C,则PC1与AA1相交,A选项错误;对于B选项,连接AC1,当点P为BD的中点时,∠AC1P为锐角,PC1与A1C不垂直,B选项错误;对于C选项,当点P为BD的中点时,点P也为AC的中点,设A1C1与B1D1的交点为O,则O为A1C1的中点,连接AO,在长方体ABCD - A1B1C1D1中,AA1∥CC1且AA1=CC1,则四边形AA1C1C为平行四边形,∴AC∥A1C1且AC=A1C1,∵O,P分别为A1C1,AC的中点,∴AP∥OC1且AP=OC1,∴四边形OAPC1为平行四边形,∴PC1∥AO,∵AO 平面AB1D1,PC1 平面AB1D1,∴PC1∥平面AB1D1,C选项错误;对于D选项,连接BC1,C1D,在长方体ABCD - A1B1C1D1中,BB1∥DD1且BB1=DD1,则四边形BB1D1D为平行四边形,∴BD∥B1D1,∵BD 平面AB1D1,B1D1 平面AB1D1,∴BD∥平面AB1D1,同理BC1∥平面AB1D1,又BD∩BC1=B,∴平面BC1D∥平面AB1D1,∵PC1 平面BC1D,∴PC1∥平面AB1D1,D选项正确.故选D.
9.ABD　[解析] 对于A,向量不能比较大小,故A中说法错误;对于B,零向量与任意向量共线,且零向量的方向是任意的,故B中说法错误;对于C,若b不是零向量,则a∥c,若b是零向量,则a与c可能不是共线向量,故C中说法正确;对于D,当a=0时,无意义,故D中说法错误.故选ABD.
10.BC　[解析] 对于选项A,由A=45°,C=70°,得B=180-A-C=65°,即三角形的三个内角是确定的值,故只有一解;对于选项B,因为sin C==<1,且c>b,所以角C有两解;对于选项C,因为sin B==<1,且b>a,所以角B有两解;对于选项D,因为sin B=<1,且b11.ABD　[解析] 若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β或α与β相交,故A中说法错误;若m α,n α,m∥β,n∥β,则当m,n相交时,可得α∥β,当m,n平行时,可得α和β相交或平行,故B中说法错误;若α∥β,γ∥β,则γ∥α,故C中说法正确;若α⊥β,m⊥β,则m∥α或m α,故D中说法错误.故选ABD.
12.ABC　[解析] ∵侧面PAD为正三角形,M为AD的中点,∴PM⊥AD,又底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,∴△ABD是等边三角形,∴AD⊥BM,∵PM∩BM=M,∴AD⊥平面PBM,故A正确.对于B,∵AD⊥平面PBM,∴AD⊥PB,即异面直线AD与PB所成的角为90°,故B正确.对于C,∵BC∥AD,∴BC⊥平面PBM,∴BC⊥PB,BC⊥BM,∴∠PBM是二面角P-BC-A的平面角,设AB=1,则BM=,PM=,∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PM⊥AD,PM 平面PAD,∴PM⊥平面ABCD,∴PM⊥BM,则∠PBM=45°,故二面角P-BC-A的大小为45°,故C正确.对于D,∵BD与BC不垂直,∴BD与平面PBC不垂直,故D错误.故选ABC.
13.-i　[解析] 因为z=(a-2)+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,所以解得a=2.此时===-i.
14.2　[解析] 因为向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=3,所以|a-2b|===2.
15.5π　[解析] 连接AC,∵AB=AD=1,BD=,∴cos∠ABD==,∴∠ABD=30°.∵BC=CD=BD=,∴∠CBD=60°,∴∠ABC=90°.同理可知∠ADC=90°,∴四边形ABCD外接圆的半径r==1.∵PA⊥平面ABCD,∴该四棱锥的外接球半径R==,∴四棱锥的外接球的表面积为4πR2=5π.
16.100　[解析] 由题可知,在△ABC中,∠CAB=30°,∠ABC=105°,AB=600 m,则∠ACB=45°,由正弦定理可得=,解得CB=300 m.在△BCD中,因为∠CBD=30°,所以CD=CBtan 30°=100(m).
17.解:(1)z====3-i,则|z|=.
(2)由题得,(3-i)(3-i+a)=(3-i)2+(3-i)a=8+3a-(a+6)i=b+i,
∴解得
18.解:(1)∵a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c,
∴解得∴b=(9,12),c=(4,-3).
(2)m=2a-b=2×(3,4)-(9,12)=(-3,-4),n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1),
则m·n=-3×7-4×1=-25,==5,==5.
设m与n的夹角为θ,则cos θ===-,
∵0≤θ≤π,∴θ=.
故向量m与向量n的夹角为.
19.解:(1)∵cos B=,∴sin B==,
又b=,c=1,∵由正弦定理得,sin C===.
(2)∵c∴sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=×+×=,
∴S△ABC=bcsin A=××1×=.
20.证明:(1)连接SB,∵E,G分别是BC,SC的中点,∴EG∥SB,
又SB 平面BDD1B1,EG 平面BDD1B1,∴EG∥平面BDD1B1.
(2)连接SD,∵F,G分别是DC,SC的中点,∴FG∥SD,
又SD 平面BDD1B1,FG 平面BDD1B1,∴FG∥平面BDD1B1.
由(1)知EG∥平面BDD1B1,∵EG∩FG=G,∴平面EFG∥平面BDD1B1.
21.解:连接AF,AC,如图所示.
在△AEF中,由余弦定理得AF2=502+402-2×50×40×cos 60°=2100,解得AF=10 cm,
故由正弦定理得=,
解得sin∠AFE==,所以cos∠AFE=,
所以cos(∠AFE+60°)=×-×=-.
在△AFC中,由余弦定理得AC2=2100+900+2×10×30×=4800,解得AC=40 cm,所以该正方形的边长为==20(cm).
22.解:(1)证明:∵底面ABCD为菱形,∴AC⊥BD.
∵OP⊥底面ABCD,BD 底面ABCD,∴OP⊥BD,
又OP∩AC=O,∴BD⊥平面PAC.
∵AM 平面PAC,∴AM⊥BD.
(2)设直线PA与平面ABM所成的角为θ,点P到平面ABM的距离为h.
在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=5+5-2×××=4,则BD=2,∴BO=DO=1,AO=CO=2,
∴S△PAM=S△PAC=××4×4=4,
∴V三棱锥B-PAM=S△PAM·BO=×4×1=.
易得AM=,BM=,AP=2,AB=,
∴在△ABM中,cos∠BAM==,∴sin∠BAM=,
则S△ABM=×××=,由V三棱锥P-ABM=V三棱锥B-PAM,得××h=,解得h=,∴sin θ===.
故直线PA与平面ABM所成角的正弦值为.

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