资源简介

人教版高中数学必修第二册10.1.1-10.1.2
有限样本空间与随机事件、事件的关系和运算 同步精练
【考点梳理】
考点一　随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.
我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：
(1)试验可以在相同条件下重复进行；
(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
考点二　样本空间
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点，如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.
考点三　随机事件、必然事件与不可能事件
1.一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
2.Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件.
3.空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为 为不可能事件.
考点四　事件的关系
定义 符号 图示
包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A且A B，则称事件A与事件B相等 A＝B
考点五　交事件与并事件
定义 符号 图示
并事件 (或和事件) 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B)
交事件 (或积事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB)
考点六　互斥事件和对立事件
定义 符号 图示
互斥事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝ ，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B＝
对立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝ ，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 A∪B＝Ω A∩B＝
【题型归纳】
题型一：随机事件的概念
1．（2022·陕西咸阳·高一期中）下列事件中，随机事件的个数是（ ）
①2022年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4℃时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④，则的值不小于0．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021·福建莆田·高一期末）一个不透明的袋子中装有8个红球，2个白球，除颜色外，球的大小、质地完全相同，采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件的是（ ）
A．3个都是白球 B．3个都是红球 C．至少1个红球 D．至多2个白球
3．（2022·全国·高一）下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（ ）
A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④
题型二：互斥事件
4．（2022·河南驻马店·高一期末）抛掷两枚均匀的骰子，记录正面朝上的点数，则下列选项的两个事件中，互斥但不对立的是（ ）
A．事件“点数之和为奇数”与事件“点数之和为9”
B．事件“点数之和为偶数”与事件“点数之和为奇数”
C．事件“点数之和为6”与事件“点数之和为9”
D．事件“点数之和不小于9”与事件“点数之和小于等于8”
5．（2022·河南焦作·高一期末）鞋柜里有两双相同的运动鞋和一双皮鞋，从中随机取两只鞋，那么与事件“两只鞋可配成双”互斥的事件为（ ）
A．两只鞋都是运动鞋 B．两只鞋都是皮鞋
C．两只鞋都是右脚 D．一只鞋是左脚，另一只鞋是右脚
6．（2022·辽宁·大连二十四中高一期末）从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．恰好有一个白球与都是红球 B．至多有一个白球与都是红球
C．至多有一个白球与都是白球 D．至多有一个白球与至多一个红球
题型三：对立事件
7．（2022·河南南阳·高一期末）在试验“甲射击三次，观察中靶的情况”中，事件A表示随机事件“至少中靶1次”，事件B表示随机事件“正好中靶2次”，事件C表示随机事件“至多中靶2次”，事件D表示随机事件“全部脱靶”，则（　　）
A．A与C是互斥事件 B．B与C是互斥事件
C．A与D是对立事件 D．B与D是对立事件
8．（2022·全国·高一专题练习）从装有5个红球、5个白球的袋中任意取出3个球，有如下几对事件：①“取出3个球，2红1白”与“取出3个球，1红2白”；②“取出3个球，2红1白”与“取出3个球，全红”；③“取出3个球，全红”与“取出3个球，至少有1个白球”；④“取出3个球，全红”与“取出3个球，全白”．其中是对立事件的有（ ）．
A．①④ B．②③ C．③④ D．③
9．（2022·全国·高一）从一批产品中取出三件产品，设“三件产品全不是次品”，“三件产品全是次品”，“三件产品不全是次品”，则下列结论不正确的是（ ）
A．A与B互斥且为对立事件 B．B与C互斥且为对立事件
C．A与C存在有包含关系 D．A与C不是对立事件
题型四：事件的运算
10．（2021·天津市蓟州区擂鼓台中学高一阶段练习）下列说法是正确的有（ ）个.
（1）若事件A，B满足P(A)+P(B)=1，则A与B是对立事件
（2）A、B是两个概率大于0的随机事件 P(A)+P(B)≤1
（3）事件A与事件B中至少有一个发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率大;
（4）事件A与事件B同时发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率小.
（5）若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1
A．0 B．1 C．2 D．3
11．（2021·河南郑州·高一期末）下列说法中正确的是（ ）
A．若事件与事件是互斥事件，则
B．若事件与事件满足条件：，则事件与事件是对立事件
C．一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
D．把红 橙 黄 绿4张纸牌随机分给甲 乙 丙 丁4人，每人分得1张，则事件“甲分得黄牌”与事件“乙分得黄牌”是互斥事件
12．（2021·吉林·长春市第二实验中学高一期末）设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（ ）
A．事件A B，则P（A）＜P（B）
B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立
C．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥
D． P（A）+P（B）≤1
【双基达标】
一、单选题
13．（2022·全国·高一）下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①三角形内角和为；②三角形中大边对大角，大角对大边；③三角形中两个内角和小于90°；④三角形中任意两边的和大于第三边
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．（2021·全国·高一课时练习）为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．9
15．（2021·全国·高一课时练习）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（ ）
A．事件“都是红色卡片”是随机事件
B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件
D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件
16．（2022·广东·深圳市龙岗区龙城高级中学高一期中）一个射手进行射击，记事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．以上都不对
17．（2022·全国·高一专题练习）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（ ）
A．全是红球 B．至少有1个红球
C．至多有1个红球 D．1个红球，1个白球
18．（2021·全国·高一课前预习）从，，，这个数中，任取个数求和，那么“这个数的和大于”为事件，“这个数的和为偶数” 为事件，则和包含的样本点数分别为（ ）
A．; B．;
C．; D．;
19．（2021·全国·高一课前预习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“向上的点数为”，其中，“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C．与互斥 D．与对立
20．（2022·全国·高一课时练习）某小组有3名男生和2名女生，从中选取2名学生参加演讲比赛，下列事件中互斥而不对立的事件为（ ）
A．至少有1名男生和至少有1名女生 B．恰有1名男生和恰有2名女生
C．至少有1名男生和全是男生 D．至少有1名男生和全是女生
21．（2022·全国·高一课时练习）从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
上述事件中，是对立事件的是（ ）
A．① B．②④ C．③ D．①③
22．（2021·全国·高一课时练习）从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A={三件产品全不是次品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是（ ）
A．A与C互斥 B．B与C互斥
C．任何两个都互斥 D．任何两个都不互斥
23．（2022·全国·高一课时练习）从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中的两个事件是互斥事件的为（ ）
A．“都是红球”与“至少1个红球”
B．“恰有2个红球”与“至少1个白球”
C．“至少1个白球”与“至多1个红球”
D．“2个红球，1个白球”与“2个白球，1个红球”
【高分突破】
一：单选题
24．（2021·全国·高一）如果事件A，B互斥，那么（ ）
A．A∪B是必然事件
B．A的对立事件与B的对立事件的和事件是必然事件
C．A的对立事件与B的对立事件是互斥事件
D．A的对立事件与B的对立事件不是互斥事件
25．（2022·全国·高一专题练习）某人打靶时，连续射击两次，事件A＝“至少有一次中靶”，B＝“两次都不中靶”，则（ ）
A．A B B．B A
C．A∩B＝ D．∩B＝
26．（2021·吉林·长春外国语学校高一期末）如果从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，那么下列各组中的两个事件是“互斥而不对立”是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是红球”
B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
27．（2020·全国·高一课时练习）若抛掷三颗骰子，落地后均有一面朝上，且面朝上点数之和为，则“”表示的随机试验结果是（ ）
A．一颗面朝上的点数是，另两颗面朝上的点数均是
B．一颗面朝上的点数为
C．三颗面朝上的点数都是
D．一颗面朝上的点数为，另两颗面朝上的点数分别为、
28．（2021·全国·高一课时练习）某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有（ ）
①恰有一名男生和全是男生；②至少有一名男生和至少有一名女生；③至少有一名男生和全是男生；④至少有一名男生和全是女生.
A．①③④ B．②③④ C．②③ D．①④
29．（2022·全国·高一单元测试）从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（ ）
A．所取的3个球中至少有一个白球 B．所取的3个球中恰有2个白球1个黑球
C．所取的3个球都是黑球 D．所取的3个球中恰有1个白球2个黑球
30．（2021·全国·高一课时练习）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：
①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；
②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
其中，为互斥事件的是（ ）
A．① B．②④ C．③ D．①③
31．（2022·全国·高一专题练习）从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个白球与都是红球 B．恰好有一个白球与都是红球
C．至少有一个白球与都是白球 D．至少有一个白球与至少一个红球
32．（2022·全国·高一专题练习）在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是（ ）
A．A+B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B+C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A+C与B+D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B+C+D是互斥事件，也是对立事件
33．（2021·江苏·高一单元测试）在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率为的事件是（ ）
A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡
34．（2021·全国·高一）抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的基本事件是(　　)
A．一颗是3点，一颗是1点
B．两颗都是2点
C．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点
D．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点
35．（2021·全国·高一课时练习）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正确的关系式的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
36．（2021·山西省长治市第二中学校高一期末）已知有6个电器元件，其中有2个次品和4个正品，每次随机抽取1个测试，不放回，直到2个次品都找到为止，设随机试验“直到2个次品都找到为止需要测试的次数”的样本空间为，设事件“测试次刚好找到所有的次品”，以下结论正确的是（ ）
A．
B．事件和事件互为互斥事件
C．事件“前3次测试中有1次测试到次品，2次测试到正品，且第4次测试到次品”
D．事件“前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品”
37．（2020·全国·高一课时练习）已知非空集合，且集合是集合的真子集，则下列命题为真命题的是（ ）
A．“若，则”是必然事件 B．“若，则”是不可能事件
C．“若，则”是随机事件 D．“若，则”是必然事件
38．（2022·辽宁大连·高一期末）下列说法不正确的是（ ）
A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件
B．若A，B为两个事件，则
C．若事件A，B，C两两互斥，则
D．若事件A，B满足，则A与B相互对立
39．（2021·全国·高一专题练习）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球．设事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，则（ ）
A． B．
C． D．
40．（2022·全国·高一课时练习）一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（ ）
A．2个小球不全为红球
B．2个小球恰有1个红球
C．2个小球至少有1个红球
D．2个小球都为绿球
41．（2021·全国·高一课时练习）设A，B是两个任意事件，下面关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
42．（2022·全国·高一单元测试）从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为___________.
43．（2022·全国·高一专题练习）给出下列事件：
①函数在定义域内为增函数；
②小学生和张怡宁打乒乓球，张怡宁胜利；
③一所学校共有998名学生，至少有3名学生的生日相同；
④若集合，，满足，，则；
⑤在标准大气压下，河流在20℃时结冰；
⑥从1，3，9中任选两数相加，其和为偶数．
其中属于随机事件的是______，属于必然事件的是______，属于不可能事件的是______（填序号）．
44．（2021·全国·高一课时练习）袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则：①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球.在上述事件中，是对立事件的为________.
45．（2018·广西贺州·高一期末）某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则淋雨的概率是______.
46．（2022·湖南·高一课时练习）电路如图所示.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝____________.(用B，C，D间的运算关系式表示)
47．（2021·全国·高一专题练习）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件:事件A:恰有一件次品.事件B:至少有两件次品.事件C:至少有一件次品.事件D:至多有一件次品.并给出以下结论:①A∪B=C;②D∪B是必然事件;③A∩B=C;④A∩D=C.其中正确结论的序号是__________.
四、解答题
48．（2022·湖南·高一课时练习）将红、白两个球任意放入Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个盒中（一个盒中只能容纳一个球）.用，，分别表示事件“红球在Ⅰ盒中”“红球在Ⅱ盒中”“红球在Ⅲ盒中”；用，，分别表示事件“白球在Ⅰ盒中”“白球在Ⅱ盒中”“白球在Ⅲ盒中”.用语言叙述下列事件：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
49．（2022·湖南·高一课时练习）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与恰有2名男生；
(2)至少有1名男生与全是男生；
(3)至少有1名男生与全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
50．（2021·全国·高一课时练习）如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生．
(1)从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件；
(2)用A，B，C表示下列事件：
①至少订阅一种学习资料；
②恰好订阅一种学习资料；
③没有订阅任何学习资料.
51．（2021·全国·高一课时练习）1.抛掷相同硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为事件E.
(1)试判断事件A与事件B，C，E的关系；
(2)试求AD，B+C所包含的样本点，并判断AD与B+C的关系.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据各项的描述，判断随机事件、必然事件、不可能事件，进而确定随机事件的个数.
【详解】
①2022年8月18日，北京市不下雨，随机事件；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰，不可能事件；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签，是随机事件；
④，则的值不小于0，必然事件；
∴随机事件有①、③.
故选：B
2．A
【解析】
【分析】
根据已知条件，由不可能事件的定义即可得正确选项.
【详解】
对于A：袋子中装有8个红球，2个白球，摸出的3个球都是白球是不可能发生的，故3个都是白球为不可能事件，故选项A正确；
对于B：摸出的3个都是红球为随机事件，故选项B不正确；
对于C：袋子中只有2个白球，摸出3个球至少1个红球为必然事件，故选项C不正确；
对于D：摸出的球至多2个白球是必然事件，故选项D不正确；
故选：A.
3．A
【解析】
【分析】
利用随机事件的定义逐一分析给定的各个事件即可判断作答.
【详解】
抛掷一枚硬币，是正面朝上，还是反面朝上，落下前不可确定，即①是随机事件；
因三角形三条高线一定交于一点，则②是必然事件；
因实数a，b都不为0，则，于是得③是不可能事件；
某地区明年7月的降雨量是一种预测，不能确定它比今年7月的降雨量高还是低，④是随机事件，
所以在给定的4个事件中，①④是随机事件.
故选：A
4．C
【解析】
【分析】
利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．
【详解】
对于，二者能同时发生，不是互斥事件，故错误；
对于，二者不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故错误；
对于，二者不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不对立事件，故正确；
对于，二者不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故错误．
故选：．
5．C
【解析】
【分析】
根据互斥事件的定义，即可直接判断
【详解】
对选项A， 事件“两只鞋都是运动鞋”与事件“两只鞋可配成双”可以同时发生，故不是互斥事件；
对选项B，事件“两只鞋都是皮鞋”与事件“两只鞋可配成双”可以同时发生，故不是互斥事件；
对选项C， 事件“两只鞋都是右脚”与事件“两只鞋可配成双”不能同时发生，故是互斥事件；
对选项D， 事件“一只鞋是左脚，另一只鞋是右脚”与事件“两只鞋可配成双”可以同时发生，故不是互斥事件
故选：C
6．A
【解析】
【分析】
由题意可得总事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，根据互斥事件以及对立事件的定义再对应各个选项逐个分析即可求解．
【详解】
从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，
表示的事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，
故选项A中事件互斥不对立，A正确，
选项B：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），与都是红球不互斥，故B错误，
选项C：由选项B的分析可知互斥且对立，故C错误，
选项D：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），至多有一个红球表示的是（红，白），（白，白），所以两个事件不互斥，故D错误，
故选：A．
7．C
【解析】
【分析】
根据互斥事件、对立事件的定义即可求解.
【详解】
解：因为A与C，B与C可能同时发生，故选项A、B不正确；B与D不可能同时发生，但B与D不是事件的所有结果，故选项D不正确；A与D不可能同时发生，且A与D为事件的所有结果，故选项C正确．
故选：C.
8．D
【解析】
【分析】
根据互斥事件、对立事件的定义，对①②③④逐个分析判断，即可得出答案．
【详解】
解：从装有5个红球、5个白球的袋中任意取出3个球：
对①：“取出2个红球和1个白球”与“取出1个红球和2个白球”，由于它们不能同时发生，所以是互斥事件，但它们的并事件不是必然事件，故它们不是对立事件；
对②：“取出2个红球和1个白球”与“取出3个红球”，由于它们不能同时发生，所以是互斥事件，但它们的并事件不是必然事件，故它们不是对立事件；
对③：“取出3个红球”与“取出的3个球中至少有1个白球”，它们不可能同时发生，并且它们的并事件是必然事件，故它们是对立事件；
对④：“取出3个红球”与“取出3个白球”，它们不能同时发生，所以是互斥事件，但它们的并事件不是必然事件，故它们不是对立事件．
故选：D．
9．A
【解析】
【分析】
将取出的三件产品分类为M= “三件产品全是正品”，N= “两件正品，一件次品”，P= “一件正品，两件次品”，Q= “三件产品全是次品”，进而根据题意得到答案.
【详解】
取出的三件产品分类为M= “三件产品全是正品”，N= “两件正品，一件次品”，P= “一件正品，两件次品”，Q= “三件产品全是次品”，它们之间两两互斥.
于是A=M，B=Q，，
所以A与B互斥但不对立，A错误；B,C,D正确.
故选：A.
10．A
【解析】
【分析】
根据对立事件、互斥事件以及概率的性质进行逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
（1）是错误的，如是相互独立事件，且，满足，但不是对立事件.
（2）是错误的，如是相互独立事件根据随机事件的知识可知，（2）错误..
（3）是错误的，如是互斥事件，则事件A与事件B中至少有一个发生的概率等于A与B中恰有一个发生的概率.
（4）是错误的，若，则事件A与事件B同时发生的概率大于A与B中恰有一个发生的概率.
（5）是错误的，若事件彼此互斥，但时，不满足.
所以正确的个数为0个.
故选：A
11．D
【解析】
【分析】
根据互斥事件、对立事件以及事件的关系与运算逐一判断即可.
【详解】
互斥事件其含义是事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生，即；
A，若事件与事件是互斥事件，满足，
但不一定等于；
B，对立事件的含义是事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，
为不可能事件，且为必然事件，即且，
若事件与事件满足条件：，
则事件与事件不一定是对立事件，
比如，掷骰子试验，事件“出现的点数为偶数”，
事件“出现的点数小于等于 ”，故B错误；
C，事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”，
都包含一次中靶，另一次不中，故C错误；
D，黄牌只能有一人得到，所以“甲分得黄牌”与事件“乙分得黄牌”是互斥事件，故D正确；
故选：D．
12．C
【解析】
【分析】
根据事件的包含关系，对立事件与相互独立事件的概率与性质进行判断．
【详解】
若事件B包含事件A，则P（A）≤P（B），故A错误；
若事件A、B互斥，则P（AB）＝0，
若事件A、B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）＞0，故B错误，C正确；
若事件A，B相互独立，且P（A），P（B），则P（A）+P（B）＞1，故D错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查概率的性质，属于基础题.
13．A
【解析】
【分析】
根据随机事件和必然事件的定义判断即可求解.
【详解】
①三角形内角和为是必然事件，
②三角形中大边对大角，大角对大边是必然事件，
③三角形中两个内角和可能小于，可能等于，可能大于，是随机事件，
④三角形中任意两边的和大于第三边是必然事件，
所以随机事件的个数为，
故选：A.
14．C
【解析】
【分析】
用列举法一一表示出该试验中样本点，从而求出该试验中样本点的个数
【详解】
由题意，得样本点为（数学，计算机），（数学，航空模型），（数学，绘画），（计算机，航空模型），（计算机，绘画），（航空模型，绘画），共6个，
故选：C．
15．C
【解析】
【分析】
根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义判断.
【详解】
袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，
在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；
在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；
在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误；
在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确．
故选：C．
16．B
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的意义逐项分析判断作答.
【详解】
射手进行射击时，事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，
事件与不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件与是互斥且对立，A不是；
事件与不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件与是互斥不对立，B是；
事件与可以同时发生，即事件与不互斥不对立，C不是，显然D不正确.
故选：B
17．C
【解析】
【分析】
根据题意，写出事件“至少有1个白球”所包含的基本事件，根据选项即可判断和选择.
【详解】
从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，若至少有1个白球，
则其包含的基本事件是：个白球个红球，个白球；
又至多有1个红球包含的基本事件也是：个白球个红球，个白球.
故选：.
18．C
【解析】
【分析】
运用列举法进行列举样本点可得选项.
【详解】
解：从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4) }．
其中事件A包含的样本点有：(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4个．
事件B包含的样本点有：(1，3)，(2，4)，共2个．
所以事件A＋B包含的样本点有：(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共5个；
事件AB包含的样本点有： (2，4)，共1个．
故选：C.
19．C
【解析】
【分析】
对于选项中的事件，分别写出对应的基本事件构成的集合，依次分析，即可
【详解】
对于A，，，∴，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，与不能同时发生，是互斥事件，故C正确；
对于D，，，与是互斥但不对立事件，故D错误；
故选：C
20．B
【解析】
【分析】
利用互斥事件和对立事件的意义对四个选项逐一判断作答.
【详解】
对于A， “至少有1名男生”和“至少有1名女生”的事件有共同的事件“一个男生、一个女生”，即选项A中两个事件不互斥，A不正确；
对于B，“恰有1名男生”和“恰有2名女生”的事件不同时发生，即它们是互斥的，
而“恰有1名男生”的对立事件是“恰有2名男生或者恰有2名女生”，即选项B中两个事件不对立，B正确；
对于C，“至少有1名男生”的事件包含“全是男生”的事件，即选项C中两个事件不互斥，C不正确；
对于D，“至少有1名男生”和“全是女生”的事件不同时发生，即它们互斥，而它们又必有一个发生，即它们是对立的，D不正确.
故选：B
21．C
【解析】
【分析】
列举出从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可共有三件事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，再由对立事件的定义即可得出选项.
【详解】
解析：③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，
而从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三件事件：
“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，
故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，其余都不是对立事件.
故选：C
22．D
【解析】
【分析】
根据互斥事件的定义进行判断即可
【详解】
由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥.
故答案选：D
23．D
【解析】
【分析】
分析每个选项中的两个事件是否有共同的基本事件判断并作答.
【详解】
对于A选项：“至少1个红球”的事件中含有“都是红球”这一事件，即两个事件可以同时发生，A中的两个事件不互斥；
对于B选项：“恰有2个红球”和“至少1个白球”的事件中都含有“两红球，一白球”的事件，B中的两个事件不互斥；
对于C选项：“至少1个白球”与“至多1个红球”的事件中都含有“三白球”与“一红球，两白球”的两个事件，C中的两个事件不互斥；
对于D选项，3个球中“2个红球，1个白球”的事件与“2个白球，1个红球”的事件不可能同时发生，是互斥事件，
所以两个事件是互斥事件的为D.
故选：D
24．B
【解析】
【分析】
根据互斥事件和对立事件的含义判断.
【详解】
A. 因为事件A，B互斥，若对立，则A∪B是必然事件，若不对立，则A∪B不是必然事件，故错误；
B. A的对立事件与B的对立事件的和事件是必然事件，故正确；
C. 若事件A，B互斥，不对立，则 A的对立事件与B的对立事件不是互斥事件，故错误；
D. 若事件A，B互斥，且对立，则A的对立事件与B的对立事件是对立事件，故错误；
故选：B
25．C
【解析】
【分析】
列举射击2次的基本事件，分析A、B的关系.
【详解】
连续射击两次，用，（ x、y取0,1，取0表示射中，取1表示未射中）表示基本事件，包括：
其中
故A∩B＝ ，其他都不对.
故选：C
【点睛】
判断两个事件是否互斥（对立）：
①定义法；②直接法：利用生活常识直接判断；③集合法：把事件A、B对应的基本事件用集合表示，根据两个集合的交集为空集，可判断A、B互斥；若两个集合的交集为空集，同时二者的并集为全集，则A、B为对立事件.
26．D
【解析】
【分析】
写出各选项中两个事件所包含的基本情况，进而判断可得出合适的选项.
【详解】
对于A选项，“至少有一个黑球”包含：黑红、黑，
所以，“至少有一个黑球”与“都是红球”为对立事件，A选项不满足条件；
对于B选项，“至少有一个黑球”包含：黑红、黑，
所以，“至少有一个黑球”包含“都是黑球”，B选项错误；
对于C选项，“至少有一个黑球” 包含：黑红、黑，“至少有一个红球”包含：黑红、红，
所以，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”有交事件，C选项不满足条件；
对于D选项，“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”互斥且不对立，D选项满足条件.
故选：D.
27．A
【解析】
根据可得出结论.
【详解】
任意抛掷一颗骰子，朝上的点数可以为、、、、、，
现抛掷三颗骰子，落地后均有一面朝上，且面朝上点数之和为，
，所以，“”表示随机试验结果是一颗面朝上的点数为，
另两颗面朝上的点数均是.
故选：A.
【点睛】
本题考随机试验结果的理解，属于基础题.
28．D
【解析】
【分析】
按互斥事件的概念逐个判断即可.
【详解】
由互斥事件的概念可知，①④中的两个事件是互斥事件，②③两个事件不是互斥事件.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查利用互斥事件的概念判断两个事件是否互斥，属基础题.
29．B
【解析】
根据互斥事件的定义即可判断．
【详解】
将事件的结果分为三类：白，白，黑；白，黑，黑；黑，黑，黑.
事件包含：白，黑，黑；黑，黑，黑.根据互斥事件的定义可知，
只有事件“所取的3个球中恰有2个白球1个黑球”与事件互斥．
故选：B．
30．C
【解析】
根据互斥事件的定义，逐一分析四个答案中的两个事件的关系，可得答案.
【详解】
①恰有一个偶数和恰有一个奇数是相同的事件，故①不是互斥事件；
②至少有一个是奇数包含两个数都是奇数的情况，故②不是互斥事件；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数不能同时发生，故③是互斥事件；
④至少有一个是奇数和至少有一-个是偶数可以同时发生，故④不是互斥事件.
故选：.
【点睛】
本题考查互斥事件的判断，解题时要认真审题，是基础题.
31．B
【解析】
【分析】
列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.
【详解】
解：对于A，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但是对立，故A错误；
对于B，事件：“恰好有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球，
所以两个事件互斥而不对立，故B正确；
对于C，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件不是互斥的，故C错误；
对于D，事件：“至少有一个白球”与事件：“至少一个红球”可以同时发生，即“一个白球，一个红球” ，所以这两个事件不是互斥的，故D错误.
故选：B.
32．D
【解析】
由题可得是一个必然事件,则任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件,任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件,即可得到结果
【详解】
由于A,B,C,D彼此互斥,因为,则是一个必然事件,故任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件,任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件,
故选：D
【点睛】
本题考查互斥事件和对立事件的定义,属于基础题
33．A
【解析】
概率的事件可以认为是概率为的对立事件．
【详解】
事件“2张全是移动卡”的概率是，由对立事件的概率和为1，可知它的对立事件的概率是，事件为“2张不全是移动卡”，也即为“2张至多有一张是移动卡”．
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：本题考查对立事件，解题关键是掌握对立事件的概率性质：即对立事件的概率和为1，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.
34．D
【解析】
根据点数之和为选出正确选项.
【详解】
包括：“甲是3点，乙是1点”，“甲是1点，乙是3点”，“两颗都是2点”等种基本事件.
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查事件与基本事件的理解，属于基础题.
35．B
【解析】
【分析】
根据事件关系，靶为被击中即甲乙均未击中；靶被击中即至少一人击中，分为恰有一人击中或两人都击中，依次判定即可.
【详解】
由题可得：①，正确；②事件“靶被击中”，表示甲乙同时击中，，所以②错误；
③，正确，④表示靶被击中，所以④错误；⑤，正确；⑥互为对立事件，，正确；⑦，所以⑦不正确．
正确的是①③⑤⑥．
故选：B
【点睛】
此题考查事件关系和概率关系的辨析，需要熟练掌握事件的关系及其运算，弄清事件特征及其概率特征准确辨析.
36．BD
【解析】
【分析】
根据题意逐项分析即可判断出结果.
【详解】
A：由题意可知，直到2个次品都找到为止需要测试的次数，最少是测试2次，即前2次均测试出次品，最多测试5次，即前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品，所以，故A错误；
B：事件为前两次均测试出次品，事件为前2次有1次测试出次品，第3次测试出次品，符合对立事件的条件，故B正确；
C：事件“前3次测试中有1次测试到次品，2次测试到正品，且第4次测试到次品”或“前4次测试到全是正品”，故C错误；
D：事件“前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品”，故D正确.
故选：BD.
37．ACD
【解析】
利用集合间的基本关系，将问题转化为元素与集合的关系，即可得答案.
【详解】
对A，符合真子集的定义，故A正确；
对B， “若，则”也可能成立，故B错误；
对C，“若，则成立，也可能，故C正确；
对D， “若，则”，由文氏图可以理解，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】
本题考查利用集合间的关系，判断事件的类型，考查对概念的理解.
38．BCD
【解析】
【分析】
A. “A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确；
B. ,所以该选项错误；
C. 举反例说明不一定成立，所以该选项错误；
D. 举反例说明A与B不对立，所以该选项错误.
【详解】
解：A. 若A，B为两个事件，“A与B互斥”则“A与B不一定相互对立”； “A与B相互对立”则“A与B互斥”，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确；
B. 若A，B为两个事件，则,所以该选项错误；
C. 若事件A，B，C两两互斥，则不一定成立，如：掷骰子一次，记向上的点数为1，向上的点数为2，向上的点数为3，事件A，B，C两两互斥，则.所以该选项错误；
D. 抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是A与B不对立，所以该选项错误.
故选：BCD
39．BCD
【解析】
【分析】
列出基本事件，然后根据集合间的包含关系以及基本运算即可求出结果.
【详解】
基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（3，1），（4，1），（3，2），（4，2），（4，3），
，
，
，
,
由集合的包含关系可知BCD正确；
故选：BCD
40．BD
【解析】
【分析】
根据互斥事件与对立事件的定义可得答案.
【详解】
从口袋内装有红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，这两个球可能为
2个红色球、2个绿色球、2个蓝色球、1个红色1个蓝色、1个红色1个绿色、1个蓝色1个绿色共6种情况，
则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有
B，2个小球恰有1个红球； C，2个小球都为绿球，
而2个小球不全为红球与事件2个小球都为红色是对立事件；
2个小球至少有1个红球包括2个红色球、1个红色1个蓝色、1个红色1个绿色.
故选：BD .
41．BD
【解析】
根据事件的运算法则逐个分析即可.
【详解】
若,则,故A错误；
由题知,,B正确；
∵当事件A、B都不发生时,发生,但A不发生,不是A的子集,C错误；
,,D正确.
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查了事件的基本运算,属于基础题型.
42．4
【解析】
【分析】
直接列举基本事件即可.
【详解】
从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种情况，其中（1，2，4），（1，3，5），（2，3，4），（2，4，5）中三个数字之和为奇数，共有4种.
故答案为：4.
43． ② ③④⑥ ①⑤
【解析】
【分析】
根据必然事件，随机事件和不可能事件的概念逐项判定可得出结果.
【详解】
①中函数应为单调减函数，说法不正确，故为不可能事件；
②中可能张怡宁胜利也可能小学生胜利，故为随机事件；
③中998大于365的两倍，说法正确，故为必然事件；
根据集合的包含关系，④中说法正确，故为必然事件；
⑤中的说法不正确，故为不可能事件；
⑥中任意两奇数和均为偶数，说法正确，故为必然事件.
故答案为：②；③④⑥；①⑤.
44．②
【解析】
【分析】
根据所给条件，结合互斥事件和对立事件的性质，直接判断即可得解.
【详解】
①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件.
故答案为：②
45．
【解析】
【详解】
分析：独立事件概率，根据乘法原理即可求解．
详解：下雨概率为 ，不下雨概率为 ，收到帐篷概率为 ，收不到帐篷概率为
当下雨且收不到帐篷时会淋雨，所以淋雨的概率为
点睛：本题考查了独立事件概率问题，主要是理解题意，分析各概率间关系，属于基础题．
46．(BC)∪(BD)或B∩(C∪D)
【解析】
【分析】
灯亮必须形状开关I闭合，开关II和III中至少有一个闭合，由此可得．
【详解】
灯亮必须形状开关I闭合，开关II和III中至少有一个闭合，
因此．
故答案为：．也可写成：．
47．①②
【解析】
【分析】
由并事件与交事件的概念逐个分析判断即可
【详解】
事件A∪B:至少有一件次品，即事件C，
所以①正确;事件A∩B= ，③不正确;
事件D∪B:至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以②正确;
事件A∩D:恰有一件次品，即事件A，所以④不正确.
故答案为：①②
48．(1)“红球或白球在Ⅰ盒中”；
(2)“红球和白球都在Ⅱ盒中”；
(3)“红球在Ⅲ盒中且白球不在Ⅲ盒中”；
(4)“白球不在Ⅱ盒中”；
(5)“红球在Ⅰ盒中且白球不在Ⅱ盒中”
【解析】
【分析】
根据题设基本事件的描述，结合事件运算的含义写出各事件的实际含义.
(1)
由、分别表示“红球在Ⅰ盒中”、 “白球在Ⅰ盒中”，则表示“红球或白球在Ⅰ盒中”.
(2)
由、分别表示“红球在Ⅱ盒中”、 “白球在Ⅱ盒中”，则表示“红球和白球都在Ⅱ盒中”.
(3)
由、分别表示“红球在Ⅲ盒中”、 “白球在Ⅲ盒中”，则表示“红球在Ⅲ盒中且白球不在Ⅲ盒中”.
(4)
由表示“白球在Ⅱ盒中”，则表示“白球不在Ⅱ盒中”.
(5)
由、分别表示“红球在Ⅰ盒中”、 “白球在Ⅱ盒中”，则表示“红球在Ⅰ盒中且白球不在Ⅱ盒中”.
49．(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【解析】
【分析】
判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．
(1)
因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)
因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)
因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)
由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
50．(1)答案见详解；
(2)①A+B+C；②；③.
【解析】
(1)
由给定图形可知，区域1表示该生语文、数学、英语三种学习资料都订阅；
区域4表示该生只订阅语文、数学两种学习资料；
区域5表示该生只订阅语文学习资料；
区域8表示该生语文、数学、英语三种学习资料都没有订阅.
(2)
①至少订阅一种学习资料的事件即是事件A发生，或者事件B发生，或者事件C发生，
所以至少订阅一种学习资料的事件为：A+B+C；
②恰好订阅一种学习资料的事件包含只订阅数学资料的事件，只订阅语文资料的
事件，只订阅英语资料的事件，它们互斥，
所以恰好订阅一种学习资料的事件为：；
③没有订阅任何学习资料的事件是事件、、同时发生，所以这个事件表示为：.
51．(1)B A，C A，E A，A=B+C+E
(2)AD={有正面向上，也有反面向上}，B+C={一次正面向上或两次正面向上}，AD=B+C
【解析】
【分析】
（1）写出事件A所包含的基本事件，可以看出是事件B，事件C和事件E的和，故可以得到答案；（2）写出事件D所包含的基本事件，与事件A进行比较，得到AD所包含的样本点，再写出B+C所包含的样本点，可得到AD与B+C的关系.
(1)
事件A为“至少有一次正面向上”，包含“一次正面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”和“3次都正面向上”三个基本事件，所以B A，C A，E A，A=B+C+E
(2)
“至少一次反面向上”为事件D，包含“一次正面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”和“3次都反面向上”三个基本事件，可以看出事件A与事件D有相同的两个基本事件，即“一次正面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”，故AD={一次正面向上或两次正面向上}，B+C={一次正面向上或两次正面向上}，所以AD=B+C

展开更多......

收起↑