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人教版高中数学必修第二册8.2 立体图形的直观图 同步精练
【考点梳理】
考点一　水平放置的平面图形的直观图的画法
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
考点二　空间几何体直观图的画法
立体图形直观图的画法步骤
(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴.
(2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图.
(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.
【题型归纳】
题型一：斜二测画法辨析
1．（2021·广东·仲元中学高一期中）如图所示，是的直观图，其中，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
2．（2021·安徽合肥·高一期末）以下说法正确的有个（ ）
①三角形的直观图是三角形 ②平行四边形的直观图是平行四边形
③正方形的直观图是正方形 ④菱形的直观图是菱形
A． B． C． D．
3．（2021·山西临汾·高一期末）利用斜二测画法得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是菱形；④水平放置的菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．②④
题型二：平面图形的直观图的画法
4．（2022·内蒙古·呼和浩特市教学研究室高一期末）如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形的直观图，则正确的图形是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·浙江·高一单元测试）下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是（ ）
A．B．
C． D．
6．（2022·全国·高一）如图，已知点，，,用斜二测画法作出该水平放置的四边形的直观图，并求出面积.
题型三：空间几何体的直观图
7．（2021·全国·高一课时练习）用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCD A′B′C′D′的直观图．
8．（2022·湖南·高一课时练习）画出下列图形的直观图：
(1)棱长为4cm的正方体；
(2)底面半径为2cm，高为4cm的圆锥．
9．（2022·湖南·高一课时练习）画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm）．
题型四：直观图的还原与计算
10．（2021·全国·高一课时练习）如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，那么（ ）
A．的长度大于的长度 B．的长度等于的长度
C．的面积为1 D．的面积为
11．（2020·全国·高一课时练习）如图，菱形的一边长为2，，且它是一个水平放置的四边形利用斜二测画法得到的直观图，请画出这个四边形的原图形，并求出原图形的面积.
12．（2020·全国·高一课时练习）如图所示,梯形是平面图形ABCD的直观图.若,,,.如何利用斜二测画法的规则画出原四边形
【双基达标】
一、单选题
13．（2021·全国·高一课时练习）长方形的直观图可能为下图中的哪一个( )
A．①② B．①②③
C．②⑤ D．③④⑤
14．（2021·陕西师大附中高一阶段练习）对于用斜二侧画法画水平放置的图形的直观图来说，下面说法错误的是（　　）
A．原来平行的边仍然平行
B．原来垂直的边仍然垂直
C．原来是三角形仍然是三角形
D．原来是平行四边形的可能是矩形
15．（2021·全国·高一课时练习）如图所示是水平放置的三角形的直观图，是中边的中点，且平行于轴，那么三条线段对应原图形中的线段中（ ）
A．最长的是，最短的是 B．最长的是，最短的是
C．最长的是，最短的是 D．最长的是，最短的是
16．（2021·全国·高一课时练习）已知一个△ABC利用斜二测画法画出直观图如图所示，其中B′O′=2，O′C′=5，O′A′=3，则原△ABC的面积为（ ）
A．21 B． C． D．
17．（2021·全国·高一课时练习）若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，，则原四边形的面积为（ ）
A．12 B．6 C． D．
18．（2021·全国·高一课时练习）一个菱形的边长为，一个内角为，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，则此菱形的直观图的面积为（ ）.
A． B． C． D．
【高分突破】
一：单选题
19．（2021·北京顺义·高一期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，有下列结论：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形.
其中，正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
20．（2021·湖南长沙·高一期末）水平放置的ABC的直观图如图，其中B'O'=C'O'=1，A'O'=，那么原△ ABC 是一个（ ）三角形．
A．等边 B．三边互不相等的
C．三边中只有两边相等的等腰 D．直角
21．（2021·安徽省涡阳第一中学高一阶段练习）如图，是水平放置的的直观图，其中，所在直线分别与轴，轴平行，且，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
22．（2021·浙江温州·高一期中）如图所示，正方形的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A．16cm B．cm
C．8cm D．cm
23．（2021·湖南·武冈市第二中学高一阶段练习）如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积是（ ）
A．4 B． C． D．6
24．（2022·内蒙古·呼和浩特市第十四中学高一期末）如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD的面积为（ ）
A． B．2 C． D．3
25．（2021·广东东莞·高一期末）如图是水平放置的△的斜二测直观图△，是的中点，则△中长度最长的线段为（ ）
A． B． C． D．
26．（2021·山东聊城·高一期末）如图，是用斜二测画法画出的直观图，则的周长为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
27．（2021·江苏·扬州大学附属中学东部分校高一期中）利用斜二测画法得到的下列结论中正确的是（ ）
A．三角形的直观图是三角形 B．正方形的直观图是正方形
C．菱形的直观图是菱形 D．平行四边形的直观图是平行四边形
28．（2021·浙江丽水·高一期中）如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的边上的高为2 B．的边上的高为4
C． D．
29．（2021·全国·高一课时练习）如图为一平面图形的直观图，则此平面图形不可能是选项中的（ ）
A． B． C． D．
30．（2021·浙江·高一期末）如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
31．（2022·湖南·高一课时练习）如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为______.
32．（2022·陕西西安·高一阶段练习）如图，矩形是平面图形斜二测画法的直观图，且该直观图的面积为8，则平面图形的面积为___________.
33．（2021·全国·高一课时练习）如图，△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图，B'在x'轴上，A'O'和x'轴垂直，且A'O'=2，则△AOB的边OB上的高为____
34．（2021·全国·高一）如图，四边形是一水平放置的平面图形的斜二测直观图，，，且与轴平行，若，，，则原平面图形的实际面积是________.
35．（2021·浙江温州·高一期末）如图，已知梯形是水平放置的四边形斜二测画法的直观图，梯形的面积为，，则原四边形的面积为__________.
四、解答题
36．（2022·湖南·高一课时练习）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图：
(1)边长为的正三角形；
(2)边长为的正方形；
(3)边长为的正八边形．
37．（2022·全国·高一）用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图.
38．（2021·全国·高一课时练习）如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中轴，求原平面图形的面积．
39．（2022·全国·高一）如图所示，梯形是一平面图形的直观图．若，，，．试画出原四边形．
40．（2021·全国·高一课时练习）如图，四边形是一个梯形， ，三角形为等腰直角三角形， 为的中点
（1）画出梯形水平放置的直观图
（2）求这个直观图的面积.
试卷第1页，共3页
【答案详解】
1．B
【详解】
根据题意，，所以是直角三角形.
故选：B.
2．B
【详解】
由斜二测画法可得：
①三角形的直观图是三角形，
②平行四边形的直观图是平行四边形，
③正方形的直观图是平行四边形，
④菱形的直观图是平行四边形，
综上可得，说法正确的是①②.
故选：B.
3．A
【详解】
对于①，由斜二测画法规则知，水平放置的三角形的直观图还是三角形，①正确；
对于②，根据平行性不变知，平行四边形的直观图是平行四边形，②正确；
对于③，由平行于一轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度减半知，
正方形的直观图不是菱形，③错误；
对于④，因为，所得直观图的对角线不垂直，所以直观图不可能为菱形，
④错误.
故选：A
4．A
【解析】
【分析】
由斜二侧画法的规则分析判断即可
【详解】
先作出一个正三角形，
然后以所在直线为轴，以边上的高所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
画对应的轴，使夹角为，
画直观图时与轴平行的直线的线段长度保持不变，与轴平行的线段长度变为原来的一半，得到的图形如图，
然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图如图，
故选：A
5．C
【解析】
【分析】
根据两个三角形在斜二测画法下所得的直观图，底边与底边上的高是否改变，判断即可．
【详解】
对于A、B、D选项，两个三角形在斜二测画法下所得的直观图中，底边AB不变，底边上的高变为原来的，
如图：
选项A：
选项B：
选项D：
所以两个图形的直观图全等；
对于C中，第一个三角形在斜二测画法下所得的直观图中，底边AB不变，底边上的高变为原来的，第二个三角形在斜二测画法下所得的直观图中，底边AB变为原来的，底边上的高OC不变，
如图：
所以这两个图形的直观图不全等．
故选：C．
6．图见解析，
【解析】
【分析】
首先根据斜二测画法的规则，画出四边形的直观图，再结合面积公式，即可计算.
【详解】
由斜二测画法可知，在直观图中，，，，，，，，，，
所以
.
7．见解析
【解析】
【分析】
分三步进行：一、建立坐标系；二、利用斜二测画法作出下底面的直观图；三、从下底面各顶点处作长度与棱长相等且平行于的线段，连接各顶点即可.
【详解】
画法：（1）画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°．
（2）画底面．以点O为中心，在x轴上取线段MN，使OM＝ON＝1 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1 cm．分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是正方体的底面ABCD．
（3）画侧棱．过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′．
（4）成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到正方体的直观图（如图②）．
【点睛】
利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与轴平行的线段仍然与与轴平行且 相等；二是与轴平行的线段仍然与轴平行且长度减半.
8．(1)画法见解析，
；
(2)画法见解析，
【解析】
【分析】
根据要求用斜二测法画出符合要求的直观图
(1)
如下图所示，按如下步骤完成：
第一步：作水平放置的正方形ABCD的直观图，使得AB=4cm，BC=2cm，且∠DAB=45°，取平行四边形ABCD的中心O，作x轴∥AB，y轴∥BD，
第二步：过点O作∠xOz=90°，过点A、B、C、D分别作等于4cm，顺次连接，
第三步：去掉图中的辅助线，就得到棱长为4的正方体的直观图.
(2)
如下图所示，按如下步骤完成：
第一步：作水平放置的圆的直观图，使cm，cm.
第二步：过作轴，使，在上取点，使=4cm，连接，.
第三步：去掉图中的辅助线，就得到所求圆锥的直观图.
9．详见解析
【解析】
【分析】
利用斜二测画法求解.
【详解】
如图所示：
10．D
【解析】
【分析】
把斜二测画出的三角形的直观图还原原图形，即可判断.
【详解】
把斜二测画出的三角形的直观图还原原图形如图，
据此分析选项：
对于A，，则有，A错误；
对于B，，，B错误；
对于C，的面积，C错误；
对于D，的面积，D正确.
故选：D．
11．图形见解析，8
【解析】
在菱形中，分别以，所在的直线为轴 轴建立坐标系，根据斜二测画法的性质得到原图形，再计算面积得到答案.
【详解】
①画轴.在菱形中，分别以，所在的直线为轴 轴建立坐标系(与重合)，如图1，另建立平面直角坐标系，如图2.
②取点.在坐标系中，分别在轴轴上取点，，使（与重合），.过点作轴，且.
③成图.连接，得到的矩形即为这个四边形的原图形.
原图形的面积.
【点睛】
本题考查了斜二测画法，意在考查学生对于斜二测画法的理解和掌握.
12．见解析
【解析】
【分析】
根据斜二测画法前后的边与角的关系画图即可.
【详解】
如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上截取,.
在过点D的y轴的平行线上截取.在过点A的x轴的平行线上截取.连接BC,即得到了原图形.
【点睛】
本题主要考查了根据直观图画原图像的方法,属于基础题型.
13．C
【解析】
【分析】
根据斜二测画法的定义即可求解.
【详解】
由斜二测画法知，长方形的直观图应为平行四边形，且锐角为45°，
故②⑤正确.
故选：C.
14．B
【解析】
【分析】
根据斜二测画法的特点对四个选项逐一分析，即可得解
【详解】
由斜二侧画法可知，平行的线段仍然平行，三角形的直观图仍然是一个三角形，平行四边形的可能是矩形，原来垂直的直线不一定垂直．
故选：B
15．C
【解析】
【分析】
利用斜二测画法还原图形，得到△ABC为等腰三角形，即可判断出的大小.
【详解】
由题中的直观图可知，轴，轴，根据斜二测画法的规则可知，在原图形中AD∥y轴，BC∥x轴.
又因为D为BC的中点，所以△ABC为等腰三角形，且AD为底边BC上的高，则有AB=AC>AD成立.
故选：C
16．A
【解析】
【分析】
根据直观图的做法确定原△ABC的顶点位置，由此求其面积.
【详解】
由已知B′O′=2，O′C′=5，O′A′=3，
∴ ，,,且B，C在x轴上，A在y轴上，O为坐标原点，
∴△ABC的面积,
故选：A.
17．B
【解析】
【分析】
通过“斜二测画法”将直观图还原，即可求解
【详解】
解：由斜二测画法的直观图知，，，，，；
所以原图形中，，，，，，
所以梯形的面积为．
故选：B．
18．C
【解析】
【分析】
根据斜二测画法的规则，求出对角线的长度，根据图形，求直观图的面积.
【详解】
由条件可知，较长的对角线的长度是，
较短的对角线的长度是，
根据斜二测画法的规则可知，，，菱形直观图的面积
故选：C
19．A
【解析】
【分析】
本题可根据斜二测画法的规则得出结果.
【详解】
由斜二测画法规则可知，相交关系不变，①正确；
平行关系不变，②正确；
正方形的直观图是平行四边形，③错误；
平行于轴的线段长减半，平行于轴的线段长不变，④错误，
故选：A.
20．A
【解析】
【分析】
根据直观图还原原图，再计算．
【详解】
解：由图形知，在原中，，
，
为正三角形．
故选：．
21．D
【解析】
【分析】
根据斜二测画法的原则，可得原图中，且即可判断的形状.
【详解】
因为中，，所在直线分别与轴，轴平行，
所以中，所在直线分别与分别与轴，轴平行，所以
因为，所以，即，
所以是直角三角形，
故选：D.
22．A
【解析】
【分析】
由直观图确定原图形中平行四边形中线段的长度与关系，然后计算可得．
【详解】
由斜二测画法，原图形是平行四边形，，
又，，，
所以，
周长为．
故选：A．
23．C
【解析】
【分析】
先求出平行四边形面积，再根据斜二测画法的原图形面积与直观图面积比为计算即可.
【详解】
在平行四边形中，作.
在中，.
所以平行四边形面积为.
所以原图形面积为.
故选:C
24．D
【解析】
【分析】
根据斜二测画法的规则确定原图形形状，结构得出面积．
【详解】
由三视图知原几何图形是直角梯形，如图，
，
面积为．
故选：D．
25．D
【解析】
【分析】
根据斜二测法，判断△的形状，进而确定其最长线段.
【详解】
由斜二测直观图△知：△是直角三角形且，
∴斜边是△中长度最长的线段.
故选：D
26．C
【解析】
【分析】
作出的直观图，计算出该三角形三边边长，即可得解.
【详解】
作出的直观图如下图所示：
由图可得，，
因此，的周长为.
故选：C.
27．AD
【解析】
【分析】
根据平面图形的直观图的画法规则，逐项判定，即可求解.
【详解】
根据斜二测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度减半.
对于A中，三角形的直观图中，三角形的高于底边的夹角为或，长度减少为原来的一半，依然是三角形，所以A正确；
对于B中，正方形的直角，在直观图中变为或，不是正方形，所以B错误；
对于C中，菱形的对角线互相垂直平分，在直观图中对角线的夹角变为，所以菱形的直观图不是菱形，所以C错误；
对于D中，根据平行线不变，可知平行四边形的直观图还是平行四边形，所以D正确.
故选：AD.
28．BD
【解析】
【分析】
过作‖轴，交于，即可求出相关量，画出原图，即可判断
【详解】
解：如图，作‖轴，交于，则可得，
因为轴，且，
所以，
则在原图中，，且，即边上的高为4，
因为点在上，所以，
故选：BD
29．ABD
【解析】
【分析】
根据直观图，画出原图形，即可得出答案.
【详解】
根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于轴的边与底边垂直，原图形如图所示：
即可判断不可能的为A，B，D.
故选：ABD.
30．BD
【解析】
【分析】
将直观图还原为原平面图形即可求解.
【详解】
解：在直观图中，过作于
，
，
又，所以，，，
所以利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，如图
，故选项B正确；
又，故选项A、C错误；
，故选项D正确；
故选：BD.
31．
【解析】
【分析】
作出直观图，结合斜二测画法概率计算
【详解】
如图，，到轴的距离为．
故答案为：．
32．
【解析】
【分析】
根据直观图形和原图形面积之间的比例关系求解即可．
【详解】
根据直观图与原图的面积比值为定值，可得平面图形的面积为.
故答案为：.
33．
【解析】
【分析】
利用直观图与原图的面积之比为定值求解即可.
【详解】
不妨设直观图和原图面积分别为，，△AOB的边OB上的高为，
由直观图与原图形中边长度相同，且，A'O'和x'轴垂直，A'O'=2，
故，
从而.
故答案为：.
34．
【解析】
【分析】
根据实际图形与斜二测直观图的关系得原平面图形是直角梯形，再根据几何关系求解面积即可得答案.
【详解】
解：由斜二测直观图的作图规则知，原平面图形是直角梯形，且，的长度不变，仍为6和4，高，
故所求面积.
故答案为：
35．
【解析】
【分析】
根据题意和斜二侧画法可知四边形为直角梯形，且，从而可求出原图形的面积
【详解】
解：设梯形的高为，
因为水平放置的平面图形的直观图的面积为，
所以，
因为梯形中，，
所以四边形为直角梯形，且，，，
，
所以原四边形的面积为
故答案为：
36．(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【解析】
【分析】
（1）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图；
（2）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图；
（3）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图.
(1)
解：如图①所示，以边所在的直线为轴，以边的高线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
画对应的轴、轴，使，
在轴上截取，在轴上截取，
连接、、，则即为等边的直观图，如图③所示.
(2)
解：如图④所示，以、边所在的直线分别为轴、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
画对应的轴、轴，使，
在轴上截取，在轴上截取，
作轴，且，连接，
则平行四边形即为正方形的直观图，如图⑥所示.
(3)
解：如图⑦所示，画正八边形，以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，
设点、在轴上的射影点分别为、，
画对应的轴、轴，使，
在轴上截取，，，
在轴上截取，作轴且，
作轴，且，作轴，且，
作轴，且，作轴，且，
连接、、、、、、、，
则八边形为正八边形的直观图，如图⑨所示.
37．详见解析
【解析】
【分析】
利用斜二测画法即得.
【详解】
（1）如图所示，
画出坐标系，使，在轴作线段，
过作轴，且，连接，则即为的直观图；
（2）如图所示，
画出坐标系，使，
在轴作线段，在轴作线段，
再作出点，连接，即可得出该平面图形的直观图.
38．．
【解析】
【分析】
计算平面直观图的面积，根据原图形与它的直观图面积比为，计算即可．
【详解】
解：平面直观图是矩形，且，，
所以矩形的面积为，
所以原平面图形的面积为．
故答案为：．
39．图见解析.
【解析】
【分析】
根据斜二测画法可得在原图形中，，轴，的位置不变，，的位置不变，，画出图形即可.
【详解】
解：如图，建立直角坐标系，在轴上截取，， ，在轴上截取，再过点与轴平行的直线上截取，连接，，便得到了原图形（如图）．
40．（1）答案见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用斜二测画法，画出梯形的直观图；
（2）过点作于点，利用梯形的面积公式求解.
【详解】
（1）在梯形中， ，画出梯形的直观图，如图中梯形所示，
（2）过点作于点.易得，
所以梯形的高，
所以梯形的面积为，
即梯形水平放置的直观图的面积为.

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