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人教版高中数学必修第二册8.6.1 直线与直线垂直 同步精练
【考点梳理】
考点一　两直线的位置关系
1.异面直线
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.
(2)画法：
2.两条直线的位置关系
3.两个定理
(1)基本事实4
①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行.
②符号语言：直线a，b，c，a∥b，c∥b a∥c.
③作用：证明空间两条直线平行.
(2)等角定理
①内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
②作用：证明两个角相等或互补.
4.平面内两直线的夹角
(1)定义：平面内两条直线相交成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°.
(2)范围：两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°.
考点二　异面直线所成的角
1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角).
2.范围：0°<θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
【题型归纳】
题型一：异面直线所成的角的概念理解
1．（2021·山西太原·高一期中）下列命题正确的是（ ）
A．若a与b是两条相交直线，且a与平面平行，则b与平面相交
B．若直线a不平行于平面，且，则平面内不存在与a平行的直线
C．若a，b是两条直线，是两个平面，且，则a，b是异面直线
D．若a，b分别是长方体的两个相邻平面的对角线所在的直线，则a，b是异面直线
2．（2021·安徽合肥·高一期末）如图，点G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是（　　）
A．①④ B．②④ C．③④ D．②③
3．（2021·内蒙古·包头市第六中学高一期中）如图是某正方体的展开图，其中A，B，C，D，E，F分别是原正方体对应棱的中点，则在原正方体中与异面且所成角为的直线是（ ）
A． B． C． D．
题型二：证明异面直线垂直
4．（2021·浙江·台州市路桥区东方理想学校高一阶段练习）如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（ ）
A．与是异面直线 B．平面
C．AE，为异面直线，且 D．平面
5．（2019·江苏淮安·高一期中）在正三棱锥中，分别是的中点，下列结论：①；②平面；③平面；④，其中错误的结论个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2017·河南·郑州一中高一开学考试）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，考查下列命题，其中正确的命题是
A． B．
C． D．
题型三：求异面直线所成的角
7．（2022·全国·高一）如图所示，在正三棱柱中，是的中点，.则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．（2021·全国·高一课时练习）如图，在正方体ABCD EFGH中，O为侧面ADHE的中心．求：
(1)BE与CG所成的角； (2)FO与BD所成的角．
9．（2021·安徽·舒城育才学校高一阶段练习（理））如图，在长方体中，，，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求异面直线和所成角的余弦值.
题型四：和异面直线所成的角有关的综合性问题
10．（2020·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高一期中）在三棱锥中，分别是边的中点，且，，若异于直线、所角，则线段等于（ ）
A． B． C．或 D．或2
11．（2021·天津·高一期末）四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，异面直线与所成的角的余弦值为，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．（2019·湖北·高一期中）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，若异面直线与所成角的余弦值为，则的值为（　　）
A．3 B． C．2 D．
【双基达标】
一、单选题
13．（2021·全国·高一课时练习）若空间中四条不同的直线，，，满足，，，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C．，既不垂直也不平行 D．，的位置关系不确定
14．（2021·四川·成都七中高一阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，是等腰三角形，，在平面内作交于点，点是的中点，则和平面所成的角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·全国·高一课时练习）如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
16．（2021·全国·高一课时练习）在三棱锥A BCD中，E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，若AD与BC所成的角为60°，则∠FEG为（ ）
A．30° B．60°
C．120° D．60°或120°
17．（2021·全国·高一课时练习）如图，在矩形中，，为边的中点，现将绕直线翻转至处，若为线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A． B．2 C． D．4
18．（2021·全国·高一课时练习）如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则EF和AC所成的角等于
A．30° B．45° C．60° D．90°
19．（2021·广东·仲元中学高一期末）如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
20．（2021·全国·高一课时练习）一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中　　
A． B．与相交 C． D．与所成的角为
【高分突破】
一：单选题
21．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为(　　)
A． B． C． D．
22．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（ ）
A．90° B．45° C．60° D．30°
23．（2019·四川·眉山外国语学校高二期中（理））如图所示，在正方形中，点，分别为边，的中点，将沿所在直线进行翻折，将沿所在直线进行翻折，在翻折的过程中，
①点与点在某一位置可能重合；②点与点的最大距离为；
③直线与直线可能垂直； ④直线与直线可能垂直.
以上说法正确的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
24．（2021·全国·高一课前预习）已知正三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
25．（2021·全国·高一课时练习）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，正确的是（ ）
A．AB⊥EF
B．AB与CM所成的角为60°
C．EF与MN是异面直线
D．MNCD
26．（2021·全国·高一课时练习）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（ ）
A．CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面
C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60°
27．（2022·全国·高一）（多选）如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的是（ ）
A． B．截面PQMN
C． D．异面直线与所成的角为
28．（2022·全国·高三专题练习）由四个三角形围成的多面体称为四面体，对棱相等的四面体称为等腰四面体.已知如图等腰四面体中，，，，，，，分别是棱，，，的中点.下面结论中，正确的有（ ）
A．直线，有可能是异面直线
B．
C．过直线的平面截四面体外接球所得截面面积为定值
D．共顶点的三个侧面面角和等于
三、填空题
29．（2021·全国·高一课时练习）若∠AOB=120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为_____.
30．（2021·全国·高一课时练习）已知正四棱锥P-ABCD，PA＝2，AB＝，M是侧棱PC的中点，且BM＝，则异面直线PA与BM所成角为________．
31．（2021·全国·高一课时练习）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC．若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为____．
32．（2021·全国·高一课时练习）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线； ④直线AM与DD1是异面直线.
其中正确的结论为________（填序号）.
33．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E，F分别是BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小为_______．
四、解答题
34．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角.
35．（2021·宁夏·银川一中高一期中）如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中（底面为等边三角形，），D是AC的中点，AB=1，A1A=
(1)证明：直线平面；
(2)求异面直线AB1与BD所成的角.
36．（2021·浙江省桐乡市高级中学高一阶段练习）如图，在正三棱柱中，，、分别是、的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与直线所成角的余弦值．
37．（2021·广东白云·高一期末）如图，直三棱柱中，是的中点.
（1）求证：直线平面；
（2）若，求异面直线与所成角的大小.
38．（2021·重庆第二外国语学校高一阶段练习）如图，正三棱柱中，，的边长为，分别为棱的中点.
（1）平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
【答案详解】
1．B
【解析】
【分析】
根据空间直线与平面的位置关系的定义、性质及判定逐个分析判断即可
【详解】
解：对于A，当a与b是两条相交直线，且a与平面平行，则b与平面可能相交，也可能平行，所以A错误，
对于B，由线面平行的判定定理可知，若平面内存在与a平行的直线，则直线a平行于平面，这与已知矛盾，所以B正确，
对于C，当a，b是两条直线，是两个平面，且，则a，b可能异面，可能相交，可能平行，所以C错误，
对于D，a，b分别是长方体的两个相邻平面的对角线所在的直线，则a，b可能是异面直线，也可能是相交直线，所以D错误，
故选：B
2．B
【解析】
【分析】
根据平行直线、异面直线、相交直线的判定方法，即得解.
【详解】
①中HG∥MN，
②中易知既不平行也不相交，因此是异面直线；
③中GM∥HN且GM≠HN，故HG，NM必相交，
④中，三点共面，但平面，因此是异面直线；
②④正确．
故选：B．
3．C
【解析】
【分析】
将平面展开图还原成正方体，标注各点的空间位置，结合正方体性质、异面直线的定义及其所成角，即可判断正确选项.
【详解】
由题设展开图，可还原成如下正方体及各点的空间位置，
∴由正方体的性质知：与异面的直线有，且只有与所成角为.
故选：C.
4．C
【解析】
【分析】
根据异面直线定义可判断A；由线面垂直的性质即可判断B；由异面直线的位置关系并得可判断C；根据线面平行的判定定理可判断D.
【详解】
对于A项，与在同一个侧面中，故不是异面直线，所以A错；
对于B项，由题意知，上底面是一个正三角形，故平面不可能，所以B错；
对于C项，因为，为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，由底面是正三角形，E是BC中点，根据等腰三角形三线合一可知，结合棱柱性质可知，则，所以C正确；
对于D项，因为所在的平面与平面相交，且与交线有公共点，故平面不正确，所以D项不正确.
故选C.
【点睛】
该题考查的是有关立体几何中空间关系的问题，在解题的过程中，需要对其相关的判定定理和性质定理的条件和结论熟练掌握，注意理清其关系，属于中档题
5．B
【解析】
【分析】
①利用正三棱锥的性质即可判定，对于②利用线面平行的判定定理进行判定，对于③利用反证法进行判定，④运用正三棱锥的性质和线线垂直的性质可判断．
【详解】
①根据正三棱锥的性质可知对棱互相垂直，故①正确．
②∵，面，面，∴平面，
故②正确．
③若平面，则，因为，故
但 矛盾，故③不正确．
由①可得，，可得，即④正确．
故选B．
【点睛】
本题考查了直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定，属于基础题．
6．A
【解析】
【详解】
如下图所示，可排除选项.
如下图所示，可排除选项.
如下图所示，可排除选项.
综上，选.
7．B
【解析】
【分析】
先构造辅助线，找到直线与所成角为，再利用题干中条件得到三角形BDE为等边三角形，得到，求出正弦值.
【详解】
取中点，连接DE，BE，因为是的中点，所以DE是△的中位线，所以∥，所以直线与所成角为，由于正三棱柱，，不妨设（），则，，由勾股定理得：，所以，所以，从而三角形BDE为等边三角形，所以，.
故选：B
8．(1)45°
(2)30°
【解析】
【分析】
（1）判断出与所成角，并求得其大小.
（2）作出与所成角，并求得其大小.
(1)
因为CG∥BF，所以∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CG所成的角，
又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°．
(2)
连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．
所以HF∥BD，所以∠HFO（或其补角）为异面直线FO与BD所成的角．
连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，
所以△AFH为等边三角形，
又知O为AH的中点，
所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°．
9．（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接交于点，连接，结合三角形中位线定理，及线面平行的判定定理，可得平面；
（2）连接，，知为异面直线和所成的角或补角，再由余弦定理求解即可.
【详解】
（1）如图，连接交于点，连接，
∵分别是和的中点，
∴
又平面，平面，
∴平面；
（2）连接，
易知，故为异面直线和所成的角或者补角，
，，则，，
在中，
所以异面直线和所成角的余弦值为
10．C
【解析】
【分析】
利用余弦定理即可求解.
【详解】
因为分别是边的中点，
所以，，
由异于直线、所角，
则或，
在中，，，
由余弦定理可得
，
当时，，
当时，，
所以线段等于或，
故选：C
【点睛】
本题考查了余弦定理解三角形，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
11．D
【解析】
【分析】
如图，将其补成长方体.设，连接，利用余弦定理求出x=1,再求出几何体外接球的半径，即得解.
【详解】
如图，将其补成长方体.设，连接，
则异面直线与所成的角就是或其补角.
则，
所以，
所以外接球的半径为，
所以棱锥外接球的表面积为.
故选：D
【点睛】
本题主要考查余弦定理和几何体外接球的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．A
【解析】
【分析】
连结，，可得异面直线与所成角为．利用余弦定理可求出，最后可求出的值．
【详解】
连结，，
∵，
∴异面直线与所成角为．
令，则，．
，
∴，．即．
∴.故选A．
【点睛】
本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题．求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.
13．D
【解析】
【分析】
在长方体中举例说明，可能的位置关系，由排除法可得正确选项.
【详解】
如图：在长方体中，记为，为，为，满足题中条件，，
若为，满足，此时；
若为，满足，此时与相交；
若为，满足，此时与异面垂直；
若为，满足，此时与相交垂直；
因此，的位置关系不确定，所以选项ABC都不正确，
故选：D.
14．C
【解析】
【分析】
利用线面垂直的判定定理证明平面，再由，进而证明
平面，进而可证明为和平面所成的角，在中求解即可.
【详解】
因为平面，则，
又因为，且，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，且,
所以平面，
所以，
因为是等腰三角形，点是的中点，
所以，
由，所以平面，
所以为和平面所成的角，
所以，，，
，，
解得，所以，
所以.
故选：C
15．C
【解析】
【分析】
先平移线段，再解三角形即可.
【详解】
取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，
∴∠MPN或其补角即异面直线AC与BD所成的角，
∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，
∴MN＝5．
故选：C.
16．D
【解析】
【分析】
根据异面直线的定义找到AD与BC所成的角与∠FEG的关系，从而得到∠FEG的大小.
【详解】
如图：
因为E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，
所以,
由于AD与BC是异面直线，
根据异面直线所成角的定义可知，
∠FEG为异面直线AD与BC所成角或其补角，
因为AD与BC所成的角为60°，
所以∠FEG为60°或120°.
故选：D.
【点睛】
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
17．A
【解析】
取的中点，利用中位线可证且，利用矩形，可知且，从而证得，则异面直线与所成角可转化为直线与所成角 (或其补角)，在直角可求得所成角的正切值.
【详解】
如图，取的中点，连接
为线段的中点，，且.
又矩形中，为边的中点，，且.
，且，四边形为平行四边形，，
(或其补角)是异面直线与所成角．
在直角中，，异面直线与所成角的正切值为.
故选：A.
【点睛】
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
18．B
【解析】
【分析】
取BC的中点G，连接FG、EG，则为EF与AC所成的角．解．
【详解】
如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG．
，F分别是CD，AB的中点，
，，
且，．
为EF与AC所成的角．
又，．
又，，，
为等腰直角三角形，
，即EF与AC所成的角为45°．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角，找角证角求角，主要是通过平移将空间角转化为平面角，再解三角形，属于基础题．
19．C
【解析】
【详解】
连接，由三角形中位线定理及平行四边形性质可得 ，所以是与所成角，由正方体的性质可知是等边三角形，所以，与所成角是,故选C.
20．D
【解析】
【分析】
还原成正方体，可推导出在原来的正方体中与所成的角为．
【详解】
解：一个正方体的展开图如图所示，
为原正方体的顶点，
还原成正方体如下图，
，是与所成角，
，，
在原来的正方体中与所成的角为．
故选．
【点睛】
本题考查了学生的空间想象力及作图能力、异面直线所成角的求法，属于基础题．
21．A
【解析】
【分析】
由题意设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2，构造直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A2M，从而求解．
【详解】
设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2（如图）．
平移AB1至A2B，连接A2M，∠MBA2即为AB1与BM所成的角，
在△A2BM中，
．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．
22．D
【解析】
【分析】
设G为AD的中点，连接GF，GE，由三角形中位线定理可得，，则∠GFE即为EF与CD所成的角，结合AB=2，CD=4，EF⊥AB，在△GEF中，利用三角函数即可得到答案.
【详解】
解：设G为AD的中点，连接GF，GE
则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中线.
∴ ，且，，且，则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数
又EF⊥ AB，
∴ EF⊥ GF
则△GEF为直角三角形，GF=1，GE=2，∠GFE=90°
∴ 在直角△GEF中，
∴ ∠GEF=30°.
故选：D.
23．C
【解析】
将沿所在直线进行翻折，将沿所在直线进行翻折，在翻折的过程中，A,C的运动轨迹分别是圆；AB,AF是以BF为旋转轴的圆锥型侧面；CE,CD是以DE为旋转轴的圆锥型侧面.
【详解】
由题意，在翻折的过程中，A,C的运动轨迹分别是两个平行的圆，所以不能重合，
故①不正确；
点与点的最大距离为正方形的对角线,
故②正确；
由于△ABF和△CDE全等，把△CDE平移使得DC和AB重合，
如图，
△ABF绕BF旋转形成两个公用底面的圆锥，AB,CD是稍大的圆锥的母线，由于∠ABF小于45°，所以AB,CD的最大夹角为锐角，所以不可能垂直，
故③不正确；
同理可知，由于∠AFB大于45°，所以AF,BE的最大夹角为钝角，所以可能垂直，
故④正确.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查空间位置关系的判断，侧重考查直观想象的核心素养.
24．A
【解析】
【分析】
取的中点，连接，把异面直线与所成角转化为直线与所成角，设，在中，利用余弦定理，即可求解.
【详解】
如图所示，取的中点，连接，
因为点为的中点，可得，
所以异面直线与所成角即为直线与所成角，设，
在正中，由，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在中，
由余弦定理可得.
故选：A.
25．AC
【解析】
【分析】
由题可先画出正方体,再利用空间中判断线线夹角的一般方法逐个选项判断即可.
【详解】
还原正方体,以正方形为底面有
对选项A,因为∥,且有,故A正确.
对选项B,因为∥,所以B错误.
对选项C,由图可得显然正确.
对选项D,,故D错误.
故选：AC
26．ABD
【解析】
【分析】
根据异面直线的定义及异面直线的夹角问题可一一判断.
【详解】
由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E共面，A错误；
由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；
同理AE与B1C1是异面直线，C正确；
AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，而E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成为90°，D错误.
故选：ABD.
27．ABD
【解析】
【分析】
根据线线、线面平行判定和性质逐一判断即可.
【详解】
解：因为截面是正方形 ，所以，
又平面，平面
所以平面
又平面,平面平面
所以
因为截面，截面，
所以截面，故B正确
同理可证
因为，所以，故A正确
又
所以异面直线与所成的角为，故D正确
和 不一定相等，故C错误
故选：ABD
28．BCD
【解析】
【分析】
选项A：只需证明，，，四点共面；
选项B：根据三角形全等证明即可；
选项C：把四面体补形为长方体，只需证明为外接球的直径即可；
选项D：根据等腰四面体的四个面全等，可得，， ，从而可判断选项D.
【详解】
对于：由于，，，为各边的中点，所以，
所以，，，四点共面，故错误；
对于：由于，，，所以，
所以，故，
所以，又因为点为的中点，所以，故正确；
对于：把四面体补形为长方体，则四面体与长方体外接球为同一个球，球心为的中点，所以截面为球的大圆，故其面积为定值，故正确；
对于：根据选项B可知，等腰四面体的四个面全等，
因为，所以；
同理，，所以；，所以，
所以，故正确.
故选：.
29．60°##
【解析】
【分析】
由题意可得的补角为a与OB所成角，结合补角的概念即可.
【详解】
∵a∥OA，根据等角定理，又异面直线所成的角为锐角或直角，
所以的补角为a与OB所成角，
又,
所以a与OB所成角的大小为.
∴a与OB所成的角为60°.
故答案为：60°
30．45°
【解析】
【分析】
通过平移后，再解三角形即可.
【详解】
如图，连接AC，BD交于点O，连接OM，则∠OMB为异面直线PA与BM所成角．由O，M分别为AC，PC中点，得OM＝PA＝1．在RtAOB中，易得OB＝AB·tan·45°＝1．又BM＝，即OB2＋OM2＝BM2，所以OMB为直角三角形，且∠OMB＝45°．
故答案为：45°.
31．60°
【解析】
【分析】
通过平移后再解三角形即可.
【详解】
依题意，得BC∥B1C1，故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角．连接A1B，在A1BC中，BC＝A1C＝A1B＝，故∠A1CB＝60°，即异面直线A1C与B1C1所成的角为60°．
故答案为：60°.
32．③④
【解析】
【分析】
本题直接判断直线AM与CC1是异面直线，直线与MB1是异面直线，直线AM与DD1是异面直线，用反证法证明直线AM与BN不平行，即可得到答案.
【详解】
根据平面外一点与平面内一点的连线与平面内不过该点的直线成异面直线，
因为平面，平面，平面，
直线不过点，所以直线AM与CC1是异面直线，
同理直线与MB1是异面直线，直线AM与DD1是异面直线，
故①错误，③④正确；
若AM与BN是平行直线，取中点，连，
则，所以四边形是平行四边形，
则有，，这与相交矛盾，
所以不平行，故②错误.
故答案为：③④.
【点睛】
本题考查异面直线，是基础题.
33．或
【解析】
【详解】
分析：取的中点，连接与，则与（异面直线）所成的角为，从而或，由此能求出与所成的角的大小．
详解：取的中点，连接与，则与（异面直线）所成的角为，
因为，所以或，
而，则，
所以或，即异面直线与所成的角或．
点睛：本题主要考查了异面直线所成的求解，解答中认真审题，通常通过平移把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，从而求解异面直线所成的角，着重考查了空间想象能力和推理、运算能力．
34．45°.
【解析】
【分析】
根据中位线的性质知BC∥DE，得出∠ABC是异面直线DE与AB所成的角，结合圆的性质即可得出结果.
【详解】
解：因为D、E分别是VB、VC的中点，
所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角，
又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，
所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，
于是∠ABC＝45°，
故异面直线DE与AB所成的角为45°.
35．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）作辅助线，利用中位线证明线线平行，进而证明出线面平行；（2）作出辅助线，找到异面直线AB1与BD所成的角，结合题干中的边长条件，得到所成角的余弦，进而求出结果.
(1)
连接交于点O，连接OD，
因为四边形是矩形，所以对角线互相平分，故O是的中点，因为D为AC中点，所以是三角形的中位线，所以，因平面，平面，所以
(2)
取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，因为D是AC的中点，故∥ED，且，所以四边形是平行四边形，所以∥BD，所以为异面直线与所成的角，又三角形是等边三角形，由三线合一得：，且因为，，，故平面，因为平面，所以，因为，故平面，因为平面，所以，因为，，E是A1C1的中点，由勾股定理得：，且，在中，，又因为，故.
36．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）取的中点，利用线线平行证明面面平行；
（2）利用几何法或向量法可得角的余弦值.
(1)
证明：如图，取的中点，连接，，
因为，分别是，的中点，所以，，
又平面，平面，平面，同理平面.
又，，所以平面平面，
又平面，所以平面；
(2)
法一：（几何法）取中点，因连结，因为为中点，所以，（或其补角）为直线与直线所成角.
，，分别是，的中点
在中，，，，
设直线与直线所成角
根据余弦定理得
所以直线与直线所成角的余弦值为．
法二：（向量法）如图所示，在平面内过作直线.以为原点，分别以的方向为轴，轴，，轴的正方向，建立空间直角坐标系.
则，，，，
所以，，设直线与直线所成角，
所以.
所以直线与直线所成角的余弦值为．
37．（1）证明见解析；（2）90°.
【解析】
【分析】
（1）连接，交于点，连接，证明后得线面平行；
（2）证明平面，可得线线垂直，从而得异面直线所成的角．
【详解】
解：（1）证明：连接，交于点，连接，
∵直三棱柱中，是矩形，∴是中点，
∵是的中点，∴，
∵平面，平面，
∴直线平面；
（2）∵，是的中点，∴，
∵直三棱柱中，平面，
∴平面，∴，
∵，∴平面，
∵平面，∴，
∴异面直线与所成角的大小为90°.
38．（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接与交于点O，连接DO，根据D分别为棱AC的中点，得到，再利用线面平行的判定定理证明；
（2）由（1）知：，得到是异面直线与所成的角，连接OE，分别求得的三边长，再利用余弦定理求解.
【详解】
（1）如图所示：
连接与交于点O，连接DO，
因为D分别为棱AC的中点.
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）由（1）知：，
所以是异面直线与所成的角，
连接OE，
在中，，
在中，，
因为三棱柱是正三棱柱，
所以平面，则，
在中，，
又，
所以由余弦定理得：
，
，
所以异面直线与所成角的余弦值是.
试卷第1页，共3页

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