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专题01 《一元二次方程》重难点题型分类
专题简介：本份资料专攻《一元二次方程》中“判断一元二次方程的个数”、“利用一元二次方程的概念求字母的值”、“一元二次方程的一般形式”、“利用一元二次方程的解求字母的值”、“利用一元二次方程的解求代数式的值”、“赋值法求一元二次方程的定根”、“根据面积问题列一元二次方程”、“根据实际问题列一元二次方程”重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：判断一元二次方程的个数
方法点拨：一元二次方程需满足三个条件：一是整式方程，二是只含一个未知数，三是含未知数项的最高指数是2。
1．（2021·全国·八年级课时练习）下列方程中一元二次方程的个数为（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义直接判断即可．
【详解】解：是一元二次方程；
含有两个未知数，不是一元二次方程；
未知数在根号内，不是一元二次方程；
未知数在分母中，不是一元二次方程；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，明确只含有一个未知数，未知数的最高次为2次的整式方程是一元二次方程是解题关键．
2．（2021·全国·九年级课时练习）下面关于的方程中：①；②；③；④（为任意实数）；⑤．一元二次方程的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：①，时不是一元二次方程；
②是一元二次方程；
③是分式方程；
④为任意实数）是一元二次方程；
⑤，是根式方程，是无理方程，不是一元二次方程；
综上所述，一元二次方程的个数是2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．3.（2021春 仓山区校级月考）下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x24＝0；③2x2﹣3x+1＝0；④x2﹣2+x3＝0．其中是一元二次方程的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义进行解答即可．
【解答】解：①ax2+bx+c＝0，当a＝0时，该方程不是一元二次方程；
②x24＝0属于分式方程；
③2x2﹣3x+1＝0符合一元二次方程的定义；
④x2﹣2+x3＝0的最高次数是3，属于一元三次方程；
综上所述，其中一元二次方程的个数是1个．
故选：A．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
4．（2021·全国·九年级专题练习）判断下列各式是一元二次方程的是________．
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
【答案】②③⑥
【分析】直接根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：①不是方程；
②是一元二次方程；
③是一元二次方程；
④ 不是整式方程，故不是一元二次方程；
⑤ 含有2个未知数，不是一元方程；
⑥；是一元二次方程；
⑦ 化简后没有二次项，不是2次方程.
∴②③⑥符合一元二次方程的定义．
故答案为：②③⑥．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的辨别，熟练掌握一元二次方程的定义是解答此题的关键．
考点2：利用一元二次方程的概念求字母的值
方法点拨：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.时刻记住一元二次方程中二次项系数不能等于0。
1．（2021·广西·八年级阶段练习）已知关于x的方程（m﹣1）x2+3x﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m≠0 C．m＞1 D．m≠1
【答案】D
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：∵关于x的方程（m﹣1）x2+3x﹣1＝0是一元二次方程，
∴m﹣1≠0，
∴m≠1，
故选：D
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．（2022·江苏江苏·九年级期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．
【详解】解：由得到．
根据题意，得m-2≠0．
解得m≠2．
故选：C．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
3．（2021·北京密云·八年级期末）已知（m+1）x2+5x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 _____．
【答案】m≠﹣1
【分析】根据一元二次方程的一般形式，由二次项的系数a≠0即可解答．
【详解】解：∵（m+1）x2+5x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，
∴m+1≠0，解得：m≠﹣1，
故答案为：m≠﹣1．
【点睛】本题考查一元二次方程的有关概念，熟知一元二次方程成立的条件是解答的关键．
4．（2022·江苏·苏州草桥中学八年级期中）若关于x的方程是一元二次方程，则______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程）即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键．
5．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是__________．
【答案】##
【分析】根据一元二次方程存在的条件，求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴m－3≠0，
即m≠3，
故答案为：m≠3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程需满足：整式方程、化简后只含一个未知数且未知数最高次数为2、二次项系数不为0．
6．（2022·山东烟台·八年级期中）若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为__________．
【答案】
【分析】由题可知，该一元二次方程的二次项系数，且常数项，由此可解得的值．
【详解】解：关于的一元二次方程的常数项为，
，解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，充分理解一元二次方程各项系数，，的位置与要求是解决本题的关键．
7．（2022·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）若方程ax2+2x-1=2x2是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是 _____．
【答案】a≠2
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的定义得出a-2≠0，求出即可．
【详解】解：ax2+2x-1=2x2，
（a-2）x2+2x-1=0，
∵关于x的方程ax2+2x-1=2x2是一元二次方程，
∴a-2≠0，
即a≠2，
故答案为：a≠2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键．
8．（2021·山东·汶上县南站中学九年级阶段练习）若（m＋1）xm（m－2） －1＋2mx－1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是________．
【答案】3
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程，
∴，即，
解得m＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，解题的关键在于熟知一元二次方程的定义．
考点3：一元二次方程的一般形式
方法点拨：一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax +bx+c=0（a≠0）。其中ax 叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项 。
1．（2022·江苏·苏州草桥中学八年级期中）将方程化成的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．3，5，1 B．3，5，-1 C．3，-5，-1 D．3，-5，1
【答案】D
【分析】将一元二次方程化成一般式即可得出结论．
【详解】解：可化为，
∴a=3，b=-5，c=1．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，熟练掌握其形式是解决问题的关键．
2．（2022·河北承德·九年级期末）一元二次方程的常数项是（ ）
A．－1 B．1 C．－6 D．6
【答案】A
【分析】化成一元二次方程的一般形式，就可以解决本题．
【详解】解：原方程可化为：
．
是二次项，系数为2；-6x是一次项，-6是一次项系数；-1是常数项．
故选：A．
【点睛】考查了一元二次方程的一般形式：++=0．是二次项，a是二次项系数；是一次项，b是一次项系数；c是常数项．把握一元二次函数的一般形式和各项系数的符号是解决本题的关键．
3．（2022·山东济宁·九年级期末）一元二次方程的二次项系数是（ ）
A．1 B．3 C． D．4
【答案】A
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再得出答案即可．
【详解】解∶∵，
∴，
∴一元二次方程的二次项系数是1．
故选∶A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的特点是解此题的关键，注意：项的系数带着前面的符号．
4．（2022·天津滨海新·九年级期末）一元二次方程化成一般形式后，它的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先将原方程化为一般形式，进而作答即可．
【详解】一元二次方程化成一般形式为：
它的二次项系数和一次项系数分别是5，-4
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，即一元二次方程的一般形式是： (a，b，c是常数且a ≠ 0)特别要注意a≠ 0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点，在一般形式中 叫二次项， 叫一次项，c是常数项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
5．（2022·全国·九年级单元测试）将方程（3x－1）（2x＋4）＝2化为一般形式为____________，其中二次项系数为________，一次项系数为________．
【答案】 3x2＋5x－3＝0 3 5
【分析】将方程展开，化简后即可求解．
【详解】将，开展为一般形式为：；
则可知一次项系数为5，二次项系数为3，
故答案为：，3，5．
【点睛】本题主要考查了将一元二次方程化为最简式以及判断方程各项系数的知识，熟记相关考点概念是解答本题的关键．
6．（2021·全国·九年级课时练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）二次项系数为5，一次项系数为－4，常数项为－1；（2），二次项系数为4，常数项为－81；（3）二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为－25；（4），二次项系数为3，一次项系数为－7，常数项为1
【分析】（1）移项即可；
（2）移项即可；
（3）去括号，移项即可；
（4）去括号，移项，合并同类项即可．
【详解】解：（1），
移项得：，
∴二次项系数为5，一次项系数为－4，常数项为－1；
（2），
移项得： ，
∴二次项系数为4，常数项为－81；
（3），
去括号得：，
移项得：，
∴二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为－25；
（4），
去括号得：，
移项合并得：，
∴二次项系数为3，一次项系数为－7，常数项为1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，能够准确将方程整理为一元二次方程的一般式是解题的关键．
考点4：利用一元二次方程的解求字母的值
方法点拨：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．一元二次方程的解也称为一元二次方程的根。从方程的根入手，将其代入，进而构造出一个新的等式或方程来求解字母的值。
1．（2022·云南文山·九年级期末）如果3是关于x的方程的一个根，那么c的值为（ ）
A． B． C．9 D．
【答案】C
【分析】把x=3代入原方程即可求得c的值．
【详解】∵x=3是关于x的方程x2-c=0的一个根，
∴32-c=0，
解得c=9．
故选：C．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
2．（2022·全国·九年级单元测试）已知-2是关于x的一元二次方程x2-mx+2＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．2 B．-2 C．- D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝﹣2代入已知方程列出关于m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．
【详解】解：根据题意，得
（﹣2）2﹣（﹣2）m+2＝0，即4+2m＝0，
解得，m＝﹣2；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了方程的解的定义，方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值．
3．（2022·山东淄博·八年级期中）若一元二次方程有一个解为，则k为（ ）
A． B．1 C． D．0
【答案】C
【分析】把x=0代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0得方程k2-1=0，解关于k的方程，然后利用一元二次方程的定义确定k的值．
【详解】把x=0代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0得方程：k2-1=0，
解得k1=1，k2=-1，
而k-1≠0，
所以k=-1．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4．（2022·四川资阳·九年级期末）若是关于的一元二次方程的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的解的定义、一元二次方程的定义求解，把x＝0代入一元二次方程即可得出m的值．
【详解】解：把x＝0代入方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0，
得m2﹣1＝0，
解得：m＝±1，
∵m﹣1≠0，
∴m≠1，m＝﹣1，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义、一元二次方程的定义，解题的关键是运用一元二次方程解的定义易得出m的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件m﹣1≠0．
5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）关于x的一元二次方程的实数根中有一个是4，则_________．
【答案】8
【分析】根据方程解的定义把x=4代入方程，求出m，问题得解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的实数根中有一个是4，
∴，
∴m=8．
故答案为：8
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解又叫根，理解方程解的定义是解题关键．
6．（2022·四川成都·九年级期末）已知x＝2是关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一个根，则实数k的值为_____．
【答案】
【分析】将x=2代入方程得关于k的方程，解之可得．
【详解】解：将x=2代入方程得：22+2k-2=0，
解得：k=-1，
故答案为：-1．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义和解方程的能力，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
7．（2022·江苏镇江·一模）若关于x的一元二次方程的一个根是2，则________．
【答案】-2
【分析】把x=2代入方程，即可求得．
【详解】解：把x=2代入方程，得
4-2a-8=0，解得a=-2
故答案为：-2
【点睛】本题考查了利用方程的解求参数问题，熟练掌握和运用利用方程的解求参数的方法是解决本题的关键．
8．（2022·天津北辰·九年级期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则__________．
【答案】-2
【分析】将一元二次方程的根代入该一元二次方程，再求解即可．
【详解】解：将代入，
得：，
解得：．
故答案为：-2．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解．掌握方程的解就是使其成立的未知数的值是解题关键．
9．（2022·广东·汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）已知=2是关于的一元二次方程2（2m+3）+m2+3m+2=0的一个根，求m的值．
【答案】0或1
【分析】将x=2代入方程，直接求解m的值即可．
【详解】解：∵x=2是方程的一个根
∴
∴
∴m=0或m=1
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键．
考点5：利用一元二次方程的根求代数式的值
方法点拨：利用一元二次方程的根进行代数式的化简求值的解题思路：把方程的根代入方程，得到有固定值的代数式；把需要求解的代数式进行化简，里面必须含有固定值的代数式；把有固定值的代数式的值代入化简后的代数式，直接求解或继续进行化简，直到得到题目需要求解的值。
1．（2022·湖北恩施·二模）已知x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的解，则－4b+2c=（ ）
A．8 B．－8 C．4 D．－4
【答案】A
【分析】由x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一个解，将x=2代入原方程，即可求得2b-c的值，从而得解．
【详解】解：∵x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一个根，
∴4+2b-c =0，
∴2b-c =-4．
∴－4b+2c=-2(2b-c)=-2×(-4)=8．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义．解题的关键是将x=2代入原方程，利用整体思想求解．
2．（2022·重庆·西南大学附中八年级期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程得4a-b=2，再把变形为2+2（4a-b），最后整体代入求值即可．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴4a-2-b=0，
∴4a-b=2，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，将代数式进行适当变形是解答本题的关键．
3．（2022·重庆市松树桥中学校模拟预测）已知是关于的一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【详解】解：∵x=m是x2-x-1=0的一个根，
∴m2-m-1=0，即m2-m=1，
∴3m2-3m-4=3(m2-m)-4=3×1-4=-1，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，解题的关键是熟练运用整体的思想，本题属于基础题型．
4．（2022·湖南娄底·二模）若a是的一个根，则的值是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】D
【分析】由是方程的一个根，得，由此可求得的值．
【详解】解：是方程的一个根，
，
即，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解与一元二次方程的关系是解题的关键．
5．（2022·甘肃平凉·二模）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】C
【分析】根据方程的根求得，再将代数式变形为即可解答；
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴代数式==，
故选： C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值；结合方程的形式将代数式变形是解题关键．
6．（2022·江苏·苏州草桥中学八年级期中）已知是方程的一个根，则______．
【答案】2020
【分析】把x=1代入方程得到1+a-b=0，易得a-b=-1，然后整体代入求值即可．
【详解】根据题意，把x=1代入方程得到1+a-b=0，
则a-b=-1，
∴a-b+2021=-1+2021=2020，
故答案为：2020．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
7．（2022·江西萍乡·二模）设，是方程的两个实数根，则的值为________．
【答案】-1
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，则原式可化简为，然后根据根与系数的关系得到，，再利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：，是方程的两个实数根，
则，，
且，则，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程（≠0）的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．
8．（2022·贵州毕节·模拟预测）已知实数a是一元二次方程x2 2022x+1=0的一实数根，则代数式a2 2021a 的值为______________．
【答案】-1
【分析】利用方程解的定义得到a2=2022a-1，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【详解】解：∵a是方程x2 2022x+1=0的一实数根，
∴a2-2022a+1=0，
∴a2=2022a-1，
∴a2 2021a =2022a-1-2021a-
=a-1-a
=-1．
故答案是：-1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
9．（2022·广东·佛山市华英学校九年级期中）设a为一元二次方程的一个实数根，___________．
【答案】4046
【分析】根据一元二次方程的解得到等式，再进行等价变形后代入所求代数式即可．
【详解】解：∵a为一元二次方程的一个实数根，
∴．
∴．
∴．
故答案为：4046．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握这些知识点是解题关键．
10．（2022·山东烟台·八年级期中）m是方程的根，则代数式的值是__________．
【答案】-2018
【分析】先根据一元二次方程的根的定义可得，再作为整体代入即可得．
【详解】根据m是的根，可得：，
则有，
则原式，
故答案为：-2018．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根、代数式求值，掌握理解一元二次方程的根的定义是解题关键．
考点6：赋值法求一元二次方程的定根
方法点拨：通过分析题干中各数据的关系，针对性地对其中一个或多个数据进行赋值，从而简化计算的步骤和难度。
1．（2022·山东聊城·二模）关于x的一元二次方程，如果有一个根为0，那么另一个根为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】把x=0代入方程中，求得a的值，现a的值代入方程中并解方程即可求得另一个根．
【详解】∵x=0是关于x的一元二次方程的一个根，
∴a=1，
则原方程为，
即，
解得：，，
∴方程的另一个根为，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的概念及解一元二次方程，根据解的概念求得a的值是问题的关键；当然本题也可以用一元二次方程根与系数的关系来解．
2．（2021·广西·河池市宜州区教育局教学研究室九年级期中）若关于的方程满足，称此方程为“月亮”方程．已知方程是“月亮”方程，则的值为（ ）
A．－1 B．2 C．1 D．－2
【答案】D
【分析】利用新定义得到“月亮”方程的一个解为x= 1，则a2+1999a= 1，a2+1= 1999a，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得“月亮”方程的一个解为x= 1，
∵方程a2x2 1999ax+1=0(a≠0)是“月亮”方程，
∴a2+1999a+1=0，
∴a2+1999a= 1，a2+1= 1999a，
∴
故选D.
【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法可简化计算．
3.（2021春 余杭区月考）若a﹣b+c＝0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一根是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．无法确定
【分析】由a﹣b+c＝0可知把x换成1成立，则可求得答案．
【解答】解：∵a﹣b+c＝0，
∴a×12﹣b×1+c＝0，
∴方程ax2﹣bx+c＝0必有一根为1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，掌握方程的解使方程左右两边相等是解题的关键．
4.（2021春 唐山月考）关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2020＝0满足a+b＝2020，则方程必有一根为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．无法确定
【分析】由于x＝﹣1时有a+b＝2020，于是可判断此方程必有一根为﹣1．
【解答】解：当x＝﹣1时，a+b﹣2020＝0，则a+b＝2020，
所以若a+b＝2020，则此方程必有一根为﹣1．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5.（2021春 萧山区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，设t＝x﹣1得到at2+bt+2＝0，利用at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021得到x﹣1＝2021，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2022．
【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2即a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，
设t＝x﹣1，
所以at2+bt+2＝0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，
所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021，
则x﹣1＝2021，
解得x＝2022，
所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为x＝2022．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
6.（2021春 瑶海区期中）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），满足3a﹣bc＝0，则方程必有一根为　 　．
【分析】把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得9a﹣3b+c＝0，即可得出答案．
【解答】解：当把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得出9a﹣3b+c＝0，即3a﹣bc＝0，
即方程一定有一个根为x＝﹣3，
故答案是：x＝﹣3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的应用．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
考点7：根据面积问题列一元二次方程
方法点拨：几何图形的面积问题常见的有两个类型，一个是已知周长求矩形面积，这类问题设长或者宽为未知数，把另外一边用含未知数的式子表示出来，再根据矩形的面积公式建立方程；另一类就是在矩形花园内修路，这类题常常通过平移构造新矩形，表示出新矩形的长和宽，再根据面积公式列方程。
1．（2022·河南·九年级期中）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是：一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为x步，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设它的宽为x步，则长为(60-x)步，根据面积列出方程即可得出结果．
【详解】解：设它的宽为x步，则长为(60-x)步，
∴x(60-x)=864，
故选：D．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．
2．（2022·山东烟台·八年级期中）如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域修建绿地，小明的设计方案如图所示，若设绿地的宽度为m，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据空白区域的面积=矩形空地的面积可得．
【详解】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为=×24×30，
故选：D ．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系．
3．（2022·河南洛阳·一模）春意复苏，郑州绿化工程正在如火如茶地进行着，某工程队计划将一块长64m，宽40m的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽，设小路的宽为x m，则可列方程（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设小路的宽为x 米，根据矩形的面积公式（将绿化区域合成矩形），进而即可列出关于x的一元二次方程．
【详解】设小路的宽为x 米，则绿化区域的长为米，宽为米，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是正确理解题意，利用数形结合的思想，将不规则图形变成规则图形，从而找出等量关系，正确列出方程．
4．（2021·广东佛山·九年级期中）如图，已知矩形纸张长比宽长2cm，小明将其折成飞机，假设纸张的宽为xcm，在第一步结束后，纸张面积为20cm2，则下列方程正确的是（ ）
A．+2x=20 B．x2+=20 C．+2x=20 D．x2 +2x=20
【答案】A
【分析】根据折叠的性质可得三角形的高为，进而根据长方形的面积+三角形的面积等于20 cm 列出一元二次方程，化简方程即可
【详解】设宽为cm，则长为cm
如图所示，折叠后面积为cm
，
，
整理得：，
故选A
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出折叠后的图形的面积是解题的关键．
5．（2021·贵州黔南·九年级期中）十一期间，学校组织了“我爱祖国”作品展．九年级一班小丽同学作了一幅画，画纸是长方形，长50cm，宽30cm，她又给画纸镶了一个四边宽度相等的镜框，镶完镜框后，整幅作品的总面积是2400cm2（镜框与画纸重合部分不计），求镜框的宽．设镜框的宽为xcm．根据题意，可列方程为（　　）
A．（50+2x）（30+2x）＝2400 B．（50+x）（30+x）＝2400
C．（50+x）（30+2x）＝2400 D．（50+2x）（30+x）＝2400
【答案】A
【分析】设镜框的宽为xcm，则整幅作品的长为（50+2x）cm，宽为（30+2x）cm，根据整幅作品的总面积是2400cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设镜框的宽为xcm，则整幅作品的长为（50+2x）cm，宽为（30+2x）cm，
依题意得：（50+2x）（30+2x）＝2400．
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解答的关键．
6．（2021·江西景德镇·九年级期末）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则可列方程______．
【答案】x（x+12）=864
【分析】利用长乘以宽=864，列出方程即可得出答案．
【详解】解：设阔（宽）为x步，则所列方程为：x（x+12）=864．
故答案为：x（x+12）=864．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出矩形的长是解题关键．
7．（2022·山西太原·九年级期中）如图，要设计一幅宽25cm，长40cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比是2∶3，如果要使彩条所占面积是图案面积的，设每个横彩条的宽度是2xcm．则根据题意可列方程为__________________．
【答案】(25－4x)(40－6x)＝25×40×(1－)
【分析】设每个横彩条的宽度是2xcm，则每个竖彩条的宽度是3xcm，根据彩条所占面积是图案面积的，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设每个横彩条的宽度是2xcm，则每个竖彩条的宽度是3xcm，
依题意得：（25-2×2x）（40-2×3x）=25×40×（1-），
即（25-4x）（40-6x）=25×40×（1-），
故答案为：（25-4x）（40-6x）=25×40×（1-）．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2022·湖北湖北·九年级期末）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆围成一个面积的矩形场地，平行于墙的篱笆应设计为多长？设平行于墙的篱笆长为，列方程，并化成一般形式为____________．
【答案】
【分析】由篱笆的总长及平行于墙的篱笆长度，可得出垂直于墙的篱笆长为，根据矩形场地的面积为50m2，即可得出关于x的一元二次方程，再将其化成一般形式，此题得解．
【详解】∵篱笆的总长20m，平行于墙的篱笆长为xm，
∴垂直于墙的篱笆长为，
根据题意可得：，
化为一般形式为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（2021·山西实验中学九年级期中）一张长为，宽为的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图2所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为，设正方形的边长为，依据题意可列方程为______．
【答案】
【分析】设剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为（30 2x）cm，宽为（20 2x）cm，然后根据底面积是即可列出方程求出即可．
【详解】解：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm．
由题意，得 ．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程．
考点8：根据实际问题列一元二次方程
方法点拨：(1) “审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系.
(2) “设”是指设未知数，在一道应用题中，往往含有几个未知量，应恰当地选择其中的一个未知量用字母x表示，然后根据各量之间的数量关系，将其他几个未知量用含x的代数式表示出来.
(3) “列”就是指列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程.
1．（2022·湖北恩施·二模）截至2022年3月31日，电影《长津湖之水门桥》票房已突破37亿元．第一天票房约6亿元，三天后票房累计总收入达24亿元，如果第二天，第三天票房收入按相同的增长率增长，增长率设为x．则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设增长率为x，根据第一天的票房收入及前三天的票房收入，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意知，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2022·湖南益阳·九年级期末）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品.若每件商品的售价定为元，则可卖出件，若商店计划从这批商品中获取400元的利润（不计其他成本），求售价．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由销售问题的数量关系总利润＝单件利润×数量建立方程求出其解即可．
【详解】解：根据题意，得 （x﹣21）（350﹣10x）＝400，
故选：B.
【点睛】本题考查了销售问题的数量关系：总利润＝单件利润×数量的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解答时由销售问题的数量关系建立方程是关键．
3．（2022·广西南宁·二模）《九章算术》中“勾股”章有一个问题：今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈（1丈＝10尺，1尺＝10寸），问户高、广各几何？意思是：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门的宽为x尺，下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设门的宽为x尺，则门的高为尺，门的对角线长10尺，利用勾股定理即可得到关于x的方程．
【详解】解：设门的宽为x尺，则门的高为尺，
门的对角线长1丈＝10尺，
由题意得：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程、勾股定理，审清题意找准等量关系列方程是解题的关键．
4．（2022·辽宁·沈阳市虹桥中学溪湖分校一模）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，则可列方程为（ ）
A．1+x+x(1+x)＝144 B．x(1+x)＝144
C．1+x+x＝144 D．x+x(1+x)＝144
【答案】A
【分析】若每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，则第一轮传染了x人，第二轮传染了x（1+x）人，根据经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】若每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，第一轮传染了x人，
∴第一轮传染后共有患者：人
∴第二轮传染了x(1+x)人，
∴两轮传染后共有患者：人
∵经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒
∴1+x+x(1+x)＝144
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（2022·广东·平洲一中九年级阶段练习）2020-2021赛季中国男子篮球职业联赛（CBA），继续采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），总比赛场数为552场．求有多少支队伍参加比赛？设参赛队伍有心支，可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝552 B．x（x﹣1）＝552
C．x（x+1）＝552 D．x（x+1）＝552
【答案】A
【分析】设参赛队伍有x支，根据每两队之间都进行两场比赛，共要比赛552场，可列出方程．
【详解】解：设参赛队伍有x支，
由题意得：x（x 1）＝552．
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．
6．（2022·山东济宁·一模）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2020年某款新能源汽车销售量为15万辆，销售量逐年增加，2022年预估当年销售量为21.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率是多少？可设年平均增长率为x，根据题意可列方程_______．
【答案】15（1+x）2=21.6或15（x+1）2=21.6
【分析】利用2022年某款新能源汽车的销售量＝2020年某款新能源汽车的销售量×（1＋年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：由题意得：15（1+x）2=21.6．
故答案为：15（1+x）2=21.6．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2022·辽宁朝阳·九年级期末）为增强学生身体素质，某校开展篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排36场比赛，应安排多少个球队参赛？设安排个球队参赛，根据题意，可列方程为 __．
【答案】
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），即可列方程．
【详解】解：依题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．
8．（2022·山东菏泽·一模）据统计，上海学生人数每年以较快的幅度增长，2019年的学生人数是15万人，2021年的学生人数达到23万人，设平均年增长率为x，则根据题意，可列方程______．
【答案】15（1+x）2=23
【分析】根据2019年是15万人，如果每年增长率相等且设年增长率为x，则2020年人数为15（1+x），2021年人数为15（1+x）2万人，据此列出方程．
【详解】解：设每年增长率相等且设年增长率为x， 则2020年人数为15（1+x）， 2021年人数为15（1+x）2万人，
∴方程为：15（1+x）2=23．
故答案为：15（1+x）2=23．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识点，掌握增长率的计算方法，注意每次增长的时候，基数是多少． /专题01 《一元二次方程》重难点题型分类
专题简介：本份资料专攻《一元二次方程》中“判断一元二次方程的个数”、“利用一元二次方程的概念求字母的值”、“一元二次方程的一般形式”、“利用一元二次方程的解求字母的值”、“利用一元二次方程的解求代数式的值”、“赋值法求一元二次方程的定根”、“根据面积问题列一元二次方程”、“根据实际问题列一元二次方程”重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：判断一元二次方程的个数
方法点拨：一元二次方程需满足三个条件：一是整式方程，二是只含一个未知数，三是含未知数项的最高指数是2。
1．（2021·全国·八年级课时练习）下列方程中一元二次方程的个数为（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021·全国·九年级课时练习）下面关于的方程中：①；②；③；④（为任意实数）；⑤．一元二次方程的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
3.（2021春 仓山区校级月考）下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x24＝0；③2x2﹣3x+1＝0；④x2﹣2+x3＝0．其中是一元二次方程的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021·全国·九年级专题练习）判断下列各式是一元二次方程的是________．
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
考点2：利用一元二次方程的概念求字母的值
方法点拨：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.时刻记住一元二次方程中二次项系数不能等于0。
1．（2021·广西·八年级阶段练习）已知关于x的方程（m﹣1）x2+3x﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m≠0 C．m＞1 D．m≠1
2．（2022·江苏江苏·九年级期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·北京密云·八年级期末）已知（m+1）x2+5x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 _____．
4．（2022·江苏·苏州草桥中学八年级期中）若关于x的方程是一元二次方程，则______．
5．（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是__________．
6．（2022·山东烟台·八年级期中）若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为__________．
7．（2022·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）若方程ax2+2x-1=2x2是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是 _____．
8．（2021·山东·汶上县南站中学九年级阶段练习）若（m＋1）xm（m－2） －1＋2mx－1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是________．
考点3：一元二次方程的一般形式
方法点拨：一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax +bx+c=0（a≠0）。其中ax 叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项 。
1．（2022·江苏·苏州草桥中学八年级期中）将方程化成的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．3，5，1 B．3，5，-1 C．3，-5，-1 D．3，-5，1
2．（2022·河北承德·九年级期末）一元二次方程的常数项是（ ）
A．－1 B．1 C．－6 D．6
3．（2022·山东济宁·九年级期末）一元二次方程的二次项系数是（ ）
A．1 B．3 C． D．4
4．（2022·天津滨海新·九年级期末）一元二次方程化成一般形式后，它的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·九年级单元测试）将方程（3x－1）（2x＋4）＝2化为一般形式为____________，其中二次项系数为________，一次项系数为________．
6．（2021·全国·九年级课时练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
考点4：利用一元二次方程的解求字母的值
方法点拨：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．一元二次方程的解也称为一元二次方程的根。从方程的根入手，将其代入，进而构造出一个新的等式或方程来求解字母的值。
1．（2022·云南文山·九年级期末）如果3是关于x的方程的一个根，那么c的值为（ ）
A． B． C．9 D．
2．（2022·全国·九年级单元测试）已知-2是关于x的一元二次方程x2-mx+2＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．2 B．-2 C．- D．
3．（2022·山东淄博·八年级期中）若一元二次方程有一个解为，则k为（ ）
A． B．1 C． D．0
4．（2022·四川资阳·九年级期末）若是关于的一元二次方程的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）关于x的一元二次方程的实数根中有一个是4，则_________．
6．（2022·四川成都·九年级期末）已知x＝2是关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一个根，则实数k的值为_____．
7．（2022·江苏镇江·一模）若关于x的一元二次方程的一个根是2，则________．
8．（2022·天津北辰·九年级期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则__________．
9．（2022·广东·汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）已知=2是关于的一元二次方程2（2m+3）+m2+3m+2=0的一个根，求m的值．
考点5：利用一元二次方程的根求代数式的值
方法点拨：利用一元二次方程的根进行代数式的化简求值的解题思路：把方程的根代入方程，得到有固定值的代数式；把需要求解的代数式进行化简，里面必须含有固定值的代数式；把有固定值的代数式的值代入化简后的代数式，直接求解或继续进行化简，直到得到题目需要求解的值。
1．（2022·湖北恩施·二模）已知x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的解，则－4b+2c=（ ）
A．8 B．－8 C．4 D．－4
2．（2022·重庆·西南大学附中八年级期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
3．（2022·重庆市松树桥中学校模拟预测）已知是关于的一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
4．（2022·湖南娄底·二模）若a是的一个根，则的值是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
5．（2022·甘肃平凉·二模）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
6．（2022·江苏·苏州草桥中学八年级期中）已知是方程的一个根，则______．
7．（2022·江西萍乡·二模）设，是方程的两个实数根，则的值为________．
8．（2022·贵州毕节·模拟预测）已知实数a是一元二次方程x2 2022x+1=0的一实数根，则代数式a2 2021a 的值为______________．
9．（2022·广东·佛山市华英学校九年级期中）设a为一元二次方程的一个实数根，___________．
10．（2022·山东烟台·八年级期中）m是方程的根，则代数式的值是__________．
考点6：赋值法求一元二次方程的定根
方法点拨：通过分析题干中各数据的关系，针对性地对其中一个或多个数据进行赋值，从而简化计算的步骤和难度。
1．（2022·山东聊城·二模）关于x的一元二次方程，如果有一个根为0，那么另一个根为（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2021·广西·河池市宜州区教育局教学研究室九年级期中）若关于的方程满足，称此方程为“月亮”方程．已知方程是“月亮”方程，则的值为（ ）
A．－1 B．2 C．1 D．－2
3.（2021春 余杭区月考）若a﹣b+c＝0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一根是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．无法确定
4.（2021春 唐山月考）关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2020＝0满足a+b＝2020，则方程必有一根为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．无法确定
5.（2021春 萧山区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
6.（2021春 瑶海区期中）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），满足3a﹣bc＝0，则方程必有一根为　 　．
考点7：根据面积问题列一元二次方程
方法点拨：几何图形的面积问题常见的有两个类型，一个是已知周长求矩形面积，这类问题设长或者宽为未知数，把另外一边用含未知数的式子表示出来，再根据矩形的面积公式建立方程；另一类就是在矩形花园内修路，这类题常常通过平移构造新矩形，表示出新矩形的长和宽，再根据面积公式列方程。
1．（2022·河南·九年级期中）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是：一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为x步，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·山东烟台·八年级期中）如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域修建绿地，小明的设计方案如图所示，若设绿地的宽度为m，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·河南洛阳·一模）春意复苏，郑州绿化工程正在如火如茶地进行着，某工程队计划将一块长64m，宽40m的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽，设小路的宽为x m，则可列方程（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2021·广东佛山·九年级期中）如图，已知矩形纸张长比宽长2cm，小明将其折成飞机，假设纸张的宽为xcm，在第一步结束后，纸张面积为20cm2，则下列方程正确的是（ ）
A．+2x=20 B．x2+=20 C．+2x=20 D．x2 +2x=20
5．（2021·贵州黔南·九年级期中）十一期间，学校组织了“我爱祖国”作品展．九年级一班小丽同学作了一幅画，画纸是长方形，长50cm，宽30cm，她又给画纸镶了一个四边宽度相等的镜框，镶完镜框后，整幅作品的总面积是2400cm2（镜框与画纸重合部分不计），求镜框的宽．设镜框的宽为xcm．根据题意，可列方程为（　　）
A．（50+2x）（30+2x）＝2400 B．（50+x）（30+x）＝2400
C．（50+x）（30+2x）＝2400 D．（50+2x）（30+x）＝2400
6．（2021·江西景德镇·九年级期末）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则可列方程______．
7．（2022·山西太原·九年级期中）如图，要设计一幅宽25cm，长40cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比是2∶3，如果要使彩条所占面积是图案面积的，设每个横彩条的宽度是2xcm．则根据题意可列方程为__________________．
8．（2022·湖北湖北·九年级期末）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆围成一个面积的矩形场地，平行于墙的篱笆应设计为多长？设平行于墙的篱笆长为，列方程，并化成一般形式为____________．
9．（2021·山西实验中学九年级期中）一张长为，宽为的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图2所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为，设正方形的边长为，依据题意可列方程为______．
考点8：根据实际问题列一元二次方程
方法点拨：(1) “审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系.
(2) “设”是指设未知数，在一道应用题中，往往含有几个未知量，应恰当地选择其中的一个未知量用字母x表示，然后根据各量之间的数量关系，将其他几个未知量用含x的代数式表示出来.
(3) “列”就是指列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程.
1．（2022·湖北恩施·二模）截至2022年3月31日，电影《长津湖之水门桥》票房已突破37亿元．第一天票房约6亿元，三天后票房累计总收入达24亿元，如果第二天，第三天票房收入按相同的增长率增长，增长率设为x．则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·湖南益阳·九年级期末）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品.若每件商品的售价定为元，则可卖出件，若商店计划从这批商品中获取400元的利润（不计其他成本），求售价．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·广西南宁·二模）《九章算术》中“勾股”章有一个问题：今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈（1丈＝10尺，1尺＝10寸），问户高、广各几何？意思是：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门的宽为x尺，下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·辽宁·沈阳市虹桥中学溪湖分校一模）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，则可列方程为（ ）
A．1+x+x(1+x)＝144 B．x(1+x)＝144
C．1+x+x＝144 D．x+x(1+x)＝144
5．（2022·广东·平洲一中九年级阶段练习）2020-2021赛季中国男子篮球职业联赛（CBA），继续采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），总比赛场数为552场．求有多少支队伍参加比赛？设参赛队伍有心支，可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝552 B．x（x﹣1）＝552
C．x（x+1）＝552 D．x（x+1）＝552
6．（2022·山东济宁·一模）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2020年某款新能源汽车销售量为15万辆，销售量逐年增加，2022年预估当年销售量为21.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率是多少？可设年平均增长率为x，根据题意可列方程_______．
7．（2022·辽宁朝阳·九年级期末）为增强学生身体素质，某校开展篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排36场比赛，应安排多少个球队参赛？设安排个球队参赛，根据题意，可列方程为 __．
8．（2022·山东菏泽·一模）据统计，上海学生人数每年以较快的幅度增长，2019年的学生人数是15万人，2021年的学生人数达到23万人，设平均年增长率为x，则根据题意，可列方程______． /

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