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第二节　常用逻辑用语
必备知识·夯实双基
关键能力·题型突破
【课标标准】　
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；
2.理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.
3.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．
必备知识·夯实双基
知识梳理
充分条件、必要条件与充要条件的概念
充分
必要
充分不必要
必要不充分
充要
既不充分也不必要
2.全称量词与存在量词
(1)短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫作________，用符号“________”表示．
(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作________，用符号“________”表示．
3．含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
x∈M，p(x) ________________
x∈M，q(x) ________________
全称量词

存在量词

x∈M， p(x)
x∈M， q(x)
[常用结论]
1．集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B，
(1)p是q的充分不必要条件 A B；
(2)p是q的必要不充分条件 A B；
(3)p是q的充要条件 A＝B.
2．若p是q的充分不必要条件，则 q是 p的充分不必要条件．
夯实双基
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“长方形的对角线相等”是存在量词命题．(　　)
(2)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．(　　)
(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)
(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(　　)
×
×
√
√
2．(教材改编)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.
故选B.
3．(教材改编)(多选)下列命题为真命题的是(　　)
A．任意实数的平方大于或等于0
B．对任意实数a，二次函数y＝x2＋a的图象关于y轴对称
C．存在整数x，y，使得2x＋4y＝3
D．存在一个无理数，它的立方是有理数
答案：ABD
解析：A、B为真命题；C为假命题，因为2x＋4y＝2(x＋2y)必为偶数；D为真命题，如x＝，x3＝2∈Q.故选ABD.
4．(易错)下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要的条件是(　　)
A．a>b＋1　　　B．a>b－1
C．a2>b2 D．a3>b3
答案：A
解析：选项A中，a>b＋1>b，所以充分性成立，但必要性不成立，所以“a＞b＋1”为“a＞b”成立的充分不必要条件．
故选A.
5．(易错)命题“ x<1，<1”的否定是____________．
x<1，0≤x≤1
解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，否定时，既改量词，又否结论，“<1”的否定是“0≤x≤1”．
关键能力·题型突破
题型一　充分条件、必要条件的判定
例 1 (1)已知a，b∈R，则“3a>3b”是“a2>b2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
答案：C
解析：(1)当a＝1，b＝－2时，满足3a>3b，而a2＝1所以当3a>3b时，a2>b2不一定成立，
当a＝－2，b＝1时，满足a2>b2，而3a＝<3b＝3，
所以当a2>b2时，3a>3b不一定成立，
所以“3a>3b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．
故选C.
(2)[2023·山东淄博模拟]若向量a＝(m，－3)，b＝(3，1)，则“m<1”是“向量a，b夹角为钝角”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若向量a，b夹角为钝角，则a·b<0且a，b不共线，
所以，解得m<1且m≠－9，
所以“m<1”是“向量a，b夹角为钝角”的必要不充分条件．
故选B.
答案：B
题后师说
充分、必要条件的两种常用判断方法
巩固训练1
(1)设x，y∈R，则“x<1且y<1”是“x＋y<2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：由x<1且y<1，可得x＋y<2.
当x＝2，y＝－1时，满足x＋y<2，但不满足x<1且y<1，
则“x<1且y<1”是“x＋y<2”的充分不必要条件．
故选A.
(2)[2023·辽宁大连模拟]设等差数列{an}的公差为d，a1>0，则“a5>0”是“d>0”的(　　)
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：必要性成立，由等差数列{an}的d>0可知，a5＝a1＋4d>0；
充分性不成立，例如：a1＝5，a5＝1得d＝－1.
所以“a5>0”是“d>0”的必要不充分条件．
故选B.
题型二　充分、必要条件的应用
例 2 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．
[0，3]
解析：由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10.
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S P.
又∵S≠ ，如图所示：
则，∴0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3].
变式探究　本例中，若把“x∈P是x∈S的必要条件”改为“x∈P是x∈S的充分不必要条件”，求m的取值范围．
解析：∵x∈P是x∈S的充分不必要条件，∴P S，
则或
解得m≥9，
故m的取值范围是[9，＋∞)．
题后师说
本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．

巩固训练2
已知p：关于x的方程x2－2ax＋a2＋a－2＝0有实数根，q：m－1≤a≤m＋3.
若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解析：由题意Δ＝4a2－4(a2＋a－2)＝－4a＋8≥0，解得a≤2.
所以{a|m－1≤a≤m＋3} {a|a≤2}，则m＋3≤2，解得m≤－1，
所以实数m的取值范围是{m|m≤－1}．
题型三　全称量词与存在量词
角度一 含有量词的否定
例 3 [2023·湖北襄阳模拟]已知命题p： x≥0，ex≥1或sin x<1，则 p为(　　)
A． x<0，ex<1且sin x≥1
B． x≥0，ex<1且sin x≥1
C． x≥0，ex<1或sin x≥1
D． x<0，ex≥1或sin x≤1
答案：B
解析：因为命题p： x≥0，ex≥1或sin x<1，是全称量词命题．
所以 p： x≥0，ex<1且sin x≥1. 故选B.
题后师说
(1)全称(存在)量词命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全称(存在)量词命题的否定是将全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而命题的否定则是直接否定结论即可．
(2)常见词语的否定形式有：
原语句 是 都是 > 至少有一个 至多有一个 对任意x∈A使p(x)真
否定形式 不是 不都是 ≤ 一个也没有 至少有两个 存在x∈A使p(x)假
巩固训练3
命题“ x≥0，2x＋x－a≤0”的否定是(　　)
A． x≤0，2x＋x－a≤0
B． x≥0，2x＋x－a>0
C． x≤0，2x＋x－a>0
D． x≥0，2x＋x－a>0
答案：B
解析：由存在量词命题的否定为全称量词命题可得，命题“ x≥0，2x＋x－a≤0”的否定是“ x≥0，2x＋x－a>0”．
故选B.
角度二 含有量词命题的应用
例 4 (1)[2023·山东青岛模拟]若命题“ x∈R，ax2＋1≥0”为真命题，则实数a的取值范围为(　　)
A．a>0 B．a≥0
C．a≤0 D．a≤1
答案：B
解析：依题意命题“ x∈R，ax2＋1≥0”为真命题，
当a＝0时，1≥0成立，当a>0时，ax2＋1≥0成立，
当a<0时，函数y＝ax2＋1开口向下，ax2＋1≥0不恒成立．
综上所述，a≥0.
故选B.
(2)若命题“ x∈[1，2]，2x＋x－a≤0”为真命题，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，5] B．[6，＋∞)
C．(－∞，3] D．[3，＋∞)
答案：D
解析：因为 x∈[1，2]，2x＋x－a≤0，所以a≥(2x＋x)min，x∈[1，2]，
显然y＝2x＋x在x∈[1，2]上单调递增，
所以a≥21＋1＝3，即实数a的取值范围为[3，＋∞)．
故选D.
题后师说
与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．
巩固训练4
[2023·湖北宜都二中模拟]已知命题p：＋(a－1)x0＋1<0，若命题p是假命题，则a的取值范围为(　　)
A．1≤a≤3 B．－1C．－1≤a≤3 D．0≤a≤2

答案：C
解析：命题p是假命题，
命题p的否定是 x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0，且为真命题，
所以Δ＝(a－1)2－4＝(a＋1)(a－3)≤0，
解得－1≤a≤3.
故选C.课时作业(二)　常用逻辑用语
一、单项选择题
1．[2023·山东烟台模拟]命题“ x∈R，2x>0”的否定为(　　)
A． x∈R，2x≤0B． x∈R，2x<0
C． x∈R，2x≤0D． x∈R，2x<0
2．已知命题p： x∈N，ex≤sinx＋1，则命题p的否定是(　　)
A． x N，ex>sinx＋1
B． x∈N，ex≤sinx＋1
C． x N，ex≤sinx＋1
D． x∈N，ex>sinx＋1
3．若p：所有实数的平方都是正数，则 p为(　　)
A．所有实数的平方都不是正数
B．至少有一个实数的平方不是正数
C．至少有一个实数的平方是正数
D．有的实数的平方是正数
4．已知命题q： x∈R，x2＋x－1>0，则(　　)
A．命题 q： x∈R，x2＋x－1≤0为假命题
B．命题 q： x∈R，x2＋x－1≤0为真命题
C．命题 q： x∈R，x2＋x－1≤0为假命题
D．命题 q： x∈R，x2＋x－1≤0为真命题
5．[2023·安徽蚌埠模拟]若a，b∈R且ab≠0，则“<1”是“aA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．[2023·广东广州模拟]已知命题p：log2x>1，命题q：x2－2x>0，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．“p<2”是“关于x的实系数方程x2＋px＋1＝0没有实数根”的(　　)
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“|a|＝|b|”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．(能力题)[2023·福建泉州模拟]在等比数列{an}中，公比为q.已知a1＝1，则0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10．(能力题)[2023·山东昌乐二中模拟]已知条件p：|x＋1|>2，条件q：x>a，且 p是 q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]
二、多项选择题
11．下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是(　　)
A． x∈R，x2－x＋<0
B．所有的正方形都是矩形
C． x∈R，x2＋2x＋2＝0
D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0
12．(能力题)[2023·湖南长沙一中模拟]下列命题中，真命题有(　　)
A．“x≠1”是“|x|≠1”的必要不充分条件
B．“若x＋y≥6，则x，y中至少有一个大于3”的否命题
C． x∈R，2xD．命题“ x<0，x2－x－2<0”的否定是“ x≥0，x2－x－2≥0”
三、填空题
13．已知a∈R，且“x>a”是“x2>2x”的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
14．(能力题)若“ x∈R，ex≤m”为假命题，则实数m的取值范围是________．
四、解答题
15．(能力题)若命题“存在x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，求实数a的取值范围．
?优生选做题?
16．[2023·辽宁葫芦岛模拟]写出一个使命题“ x∈(2，3)，mx2－mx－3>0”成立的充分不必要条件________(用m的值或范围作答).
17．已知a<3，设A＝{x|x2－(3＋a)x＋3a<0}，B＝{x|log3(x2＋4x＋4)>2}．
(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
(2)若“x∈A”是“x∈ RB”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
课时作业（二）　常用逻辑用语
1．解析：命题“ x∈R，2x>0”为全称量词命题，该命题的否定为“ x∈R，2x≤0”．
故选A.
答案：A
2．解析：命题p： x∈N，ex≤sinx＋1为存在量词命题，
其否定为 x∈N，ex>sinx＋1.
故选D.
答案：D
3．解析：由全称量词命题的否定是存在量词命题可知，
“所有实数的平方都是正数”的否定为“至少有一个实数的平方不是正数”．
故选B.
答案：B
4．解析：显然当x＝0时不满足x2＋x－1>0，故命题q： x∈R，x2＋x－1>0为假命题，
所以 q： x∈R，x2＋x－1≤0为真命题，
故选D.
答案：D
5．解析：若a＝1，b＝－1，满足<1，此时a>b，排除充分性，
若a＝－2，b＝－1，满足a1，排除必要性．
故选D.
答案：D
6．解析：由log2x>1解得x>2，由x2－2x>0解得x<0或x>2，显然p q，q /p，故p是q的充分不必要条件．
故选A.
答案：A
7．解析：因为关于x的实系数方程x2＋px＋1＝0没有实数根时，Δ＝p2－4<0，得－2所以当p<2时，方程x2＋px＋1＝0不一定没有实根，而当x2＋px＋1＝0没有实根时，p<2成立，
所以“p<2”是“关于x的实系数方程x2＋px＋1＝0没有实数根”的必要不充分条件．
故选A.
答案：A
8．解析：对于非零向量a，b，a＋b＝0，可得a＝－b，所以|a|＝|b|，充分性成立，
但|a|＝|b|时，a，b的方向不定，不能推出a＋b＝0，必要性不成立．
故选A.
答案：A
9．解析：an＝qn－1，
当0所以数列{an}单调递减，故充分性成立，
若数列{an}单调递减，则0<<1，即0所以0故选C.
答案：C
10．解析： p：|x＋1|≤2，解得－3≤x≤1， q：x≤a，
因为 p是 q的充分不必要条件，
所以[－3，1]?（－∞，a]，即a≥1.
故选A.
答案：A
11．解析：A.原命题的否定为 x∈R，x2－x＋≥0，是全称量词命题；因为x2－x＋＝≥0，所以原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；
B．原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题．所以该选项不符合题意；
C．原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程x2＋2x＋2＝0，Δ＝22－8＝－4<0，所以x2＋2x＋2>0，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，所以该选项符合题意；
D．原命题的否定为对于任意实数x，都有x3＋1≠0，如x＝－1时，x3＋1＝0，所以原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意．
故选AC.
答案：AC
12．解析：对于A选项，x＝－1 |x|＝1，所以不是充分条件；又|x|≠1 x≠±1 x≠1，所以是必要不充分条件，A选项正确；对于B选项，“若x＋y≥6，则x，y中至少有一个大于3”的否命题为“若x＋y<6，则x，y都不大于3”．取x＝4，y＝1，显然为假命题，故B选项错误；对于C选项，取x0＝－1可知C选项正确；命题“ x<0，x2－x－2<0”的否定是“ x<0，x2－x－2≥0”，故D不正确．
故选AC.
答案：AC
13．解析：x2>2x等价于x<0或x>2，
而且“x>a”是“x2>2x”的充分不必要条件，则a≥2.
答案：[2，＋∞）
14．解析：若原命题为假命题，则其否定“ x∈R，ex>m”为真命题，
显然，x∈R时，ex>0，所以m的取值范围为（－∞，0].
答案：（－∞，0]
15．解析：因为存在x∈R，使得x2＋（a－1）x＋1<0”是真命题，
所以方程x2＋（a－1）x＋1＝0有两个不等实根，
所以Δ＝（a－1）2－4>0，解得a>3或a<－1，
所以a的取值范围为（－∞，－1）∪（3，＋∞）.
16．解析：当x∈（2，3）时，易知x2－x＝－∈[2，6]，又 x∈（2，3），mx2－mx－3>0 x∈（2，3），m> m>，x∈（2，3） m>，
显然m＝1 m>，m>D /m＝1，故m＝1是命题“ x∈（2，3），mx2－mx－3>0”成立的充分不必要条件．
答案：m＝1（答案不唯一）
17．解析：（1）因为x2－（3＋a）x＋3a<0，a<3，解得a又因为log3（x2＋4x＋4）>2，即x2＋4x－5>0，所以x<－5或x>1，
即B＝（－∞，－5）∪（1，＋∞），
因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则有A?B，
所以有（a，3）?（－∞，－5）∪（1，＋∞），即a≥1且a<3，
所以实数a的取值范围是a∈[1，3）.
（2）因为B＝（－∞，－5）∪（1，＋∞），所以 RB＝[－5，1]，
又“x∈A”是“x∈ RB”的必要不充分条件，则 RB?A，
即[－5，1]?（a，3），
所以实数a的取值范围是（－∞，－5）.第二节　常用逻辑用语
【课标标准】　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；2.理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.3.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．
必备知识·夯实双基
知识梳理
充分条件、必要条件与充要条件的概念
2.全称量词与存在量词
(1)短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫作________，用符号“________”表示．
(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作________，用符号“________”表示．
3．含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
x∈M，p(x) ________________
x∈M，q(x) ________________
[常用结论]
1．集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B，
(1)p是q的充分不必要条件 A?B；
(2)p是q的必要不充分条件 AB；
(3)p是q的充要条件 A＝B.
2．若p是q的充分不必要条件，则 q是 p的充分不必要条件．
夯实双基
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“长方形的对角线相等”是存在量词命题．(　　)
(2)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．(　　)
(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)
(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(　　)
2．(教材改编)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．(教材改编)(多选)下列命题为真命题的是(　　)
A．任意实数的平方大于或等于0
B．对任意实数a，二次函数y＝x2＋a的图象关于y轴对称
C．存在整数x，y，使得2x＋4y＝3
D．存在一个无理数，它的立方是有理数
4．(易错)下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要的条件是(　　)
A．a>b＋1　　　　　　B．a>b－1
C．a2>b2D．a3>b3
5．(易错)命题“ x<1，<1”的否定是________．
关键能力·题型突破
题型一　充分条件、必要条件的判定
例 1 (1)已知a，b∈R，则“3a>3b”是“a2>b2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
(2)[2023·山东淄博模拟]若向量a＝(m，－3)，b＝(3，1)，则“m<1”是“向量a，b夹角为钝角”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题后师说
充分、必要条件的两种常用判断方法
巩固训练1
(1)设x，y∈R，则“x<1且y<1”是“x＋y<2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)[2023·辽宁大连模拟]设等差数列{an}的公差为d，a1>0，则“a5>0”是“d>0”的(　　)
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
题型二　充分、必要条件的应用
例 2 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．
变式探究　本例中，若把“x∈P是x∈S的必要条件”改为“x∈P是x∈S的充分不必要条件”，求m的取值范围．
题后师说
本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．
巩固训练2
已知p：关于x的方程x2－2ax＋a2＋a－2＝0有实数根，q：m－1≤a≤m＋3.
若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
题型三　全称量词与存在量词
角度一含有量词的否定
例 3[2023·湖北襄阳模拟]已知命题p： x≥0，ex≥1或sin x<1，则 p为(　　)
A． x<0，ex<1且sin x≥1
B． x≥0，ex<1且sin x≥1
C． x≥0，ex<1或sin x≥1
D． x<0，ex≥1或sin x≤1
题后师说
(1)全称(存在)量词命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全称(存在)量词命题的否定是将全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而命题的否定则是直接否定结论即可．
(2)常见词语的否定形式有：
原语句 是 都是 > 至少有一个 至多有一个 对任意x∈A使p(x)真
否定形式 不是 不都是 ≤ 一个也没有 至少有两个 存在x∈A使p(x)假
巩固训练3
命题“ x≥0，2x＋x－a≤0”的否定是(　　)
A． x≤0，2x＋x－a≤0
B． x≥0，2x＋x－a>0
C． x≤0，2x＋x－a>0
D． x≥0，2x＋x－a>0
角度二含有量词命题的应用
例 4 (1)[2023·山东青岛模拟]若命题“ x∈R，ax2＋1≥0”为真命题，则实数a的取值范围为(　　)
A．a>0 B．a≥0
C．a≤0 D．a≤1
(2)若命题“ x∈[1，2]，2x＋x－a≤0”为真命题，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，5] B．[6，＋∞)
C．(－∞，3] D．[3，＋∞)
题后师说
与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．
巩固训练4
[2023·湖北宜都二中模拟]已知命题p：＋(a－1)x0＋1<0，若命题p是假命题，则a的取值范围为(　　)
A．1≤a≤3 B．－1C．－1≤a≤3 D．0≤a≤2
第二节　常用逻辑用语
必备知识·夯实双基
知识梳理
1．充分　必要　充分不必要　必要不充分　充要　既不充分也不必要
2．全称量词　 　存在量词　
3． x∈M， p(x)　 x∈M， q(x)
夯实双基
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.
故选B.
答案：B
3．解析：A、B为真命题；C为假命题，因为2x＋4y＝2(x＋2y)必为偶数；D为真命题，如x＝，x3＝2∈Q.故选ABD.
答案：ABD
4．解析：选项A中，a>b＋1>b，所以充分性成立，但必要性不成立，所以“a＞b＋1”为“a＞b”成立的充分不必要条件．
故选A.
答案：A
5．解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，否定时，既改量词，又否结论，“<1”的否定是“0≤x≤1”．
答案： x<1，0≤x≤1
关键能力·题型突破
例1　解析：(1)当a＝1，b＝－2时，满足3a>3b，而a2＝1所以当3a>3b时，a2>b2不一定成立，
当a＝－2，b＝1时，满足a2>b2，而3a＝<3b＝3，
所以当a2>b2时，3a>3b不一定成立，
所以“3a>3b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．
故选C.
(2)若向量a，b夹角为钝角，则a·b<0且a，b不共线，
所以，解得m<1且m≠－9，
所以“m<1”是“向量a，b夹角为钝角”的必要不充分条件．
故选B.
答案：(1)C　(2)B
巩固训练1　解析：(1)由x<1且y<1，可得x＋y<2.
当x＝2，y＝－1时，满足x＋y<2，但不满足x<1且y<1，
则“x<1且y<1”是“x＋y<2”的充分不必要条件．
故选A.
(2)必要性成立，由等差数列{an}的d>0可知，a5＝a1＋4d>0；
充分性不成立，例如：a1＝5，a5＝1得d＝－1.
所以“a5>0”是“d>0”的必要不充分条件．
故选B.
答案：(1)A　(2)B
例2　解析：由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10.
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S P.
又∵S≠ ，如图所示：
则，∴0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3].
答案：[0，3]
变式探究　解析：∵x∈P是x∈S的充分不必要条件，
∴P?S，
则或
解得m≥9，
故m的取值范围是[9，＋∞)．
巩固训练2　解析：由题意Δ＝4a2－4(a2＋a－2)＝－4a＋8≥0，解得a≤2.
所以{a|m－1≤a≤m＋3}?{a|a≤2}，则m＋3≤2，解得m≤－1，
所以实数m的取值范围是{m|m≤－1}．
例3　解析：因为命题p： x≥0，ex≥1或sin x<1，是全称量词命题．
所以 p： x≥0，ex<1且sin x≥1.
故选B.
答案：B
巩固训练3　解析：由存在量词命题的否定为全称量词命题可得，命题“ x≥0，2x＋x－a≤0”的否定是“ x≥0，2x＋x－a>0”．
故选B.
答案：B
例4　解析：(1)依题意命题“ x∈R，ax2＋1≥0”为真命题，
当a＝0时，1≥0成立，
当a>0时，ax2＋1≥0成立，
当a<0时，函数y＝ax2＋1开口向下，ax2＋1≥0不恒成立．
综上所述，a≥0.
故选B.
(2)因为 x∈[1，2]，2x＋x－a≤0，
所以a≥(2x＋x)min，x∈[1，2]，
显然y＝2x＋x在x∈[1，2]上单调递增，
所以a≥21＋1＝3，即实数a的取值范围为[3，＋∞)．
故选D.
答案：(1)B　(2)D
巩固训练4　解析：命题p是假命题，
命题p的否定是 x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0，且为真命题，
所以Δ＝(a－1)2－4＝(a＋1)(a－3)≤0，
解得－1≤a≤3.
故选C.
答案：C

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