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(共44张PPT)
第二节　函数的单调性和最值
必备知识·夯实双基
关键能力·题型突破
【课标标准】　
借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．
必备知识·夯实双基
知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调性的定义
增函数 减函数
定义 设函数f(x)的定义域为I，区间D I：如果 x1，x2∈D 当x1图象描述 自左向右看图象是______的
自左向右看图象是______的
f(x1)f(x1)>f(x2)
上升
下降
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上________或________，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
单调递增
单调递减
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M(m) 条件 (1)对于任意x∈I，都有________；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有________；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝m
结论 M为最大值 m为最小值
f(x)≤M
f(x)≥m
[常用结论]
1． x1，x2∈D且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0) f(x)在区间D上单调递增(减)．
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
4．复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减．
夯实双基
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0).(　　)
(2)对于函数y＝f(x)，若f(1)＜f(3)，则f(x)为增函数．(　　)
(3)已知函数y＝f(x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在R上是减函数．(　　)
(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　)
×
×
√
×
2．(教材改编)下列四个函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|
答案：C
解析：对于A.一次函数f(x)＝3－x在R上单调递减，故该选项不符合题意；
对于B.二次函数f(x)＝x2－3x的图象的对称轴是x＝，函数在上单调递减，故该选项不符合题意；
对于C.f(x)＝－是由反比例函数y＝－向左平移1个单位得到的，因为反比例函数在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝－在(－1，＋∞)上单调递增，故该选项符合题意；
对于D.f(x)＝－|x|，当x＞0时，f(x)＝－x为减函数，故该选项不符合题意．
故选C.
3．(教材改编)已知函数f(x)＝，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．
2
解析：易知函数f(x)＝在x∈[2，6]上单调递减，
故f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.
4．(易错)函数f(x)＝的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，－1)　　　　　
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)，(－1，＋∞)
D．(－∞，－1)
答案：C
解析：f(x)＝＝＝－1＋，又f(x)＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，由函数的图象平移可知，f(x)＝的单调递减区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞).
故选C.
5．(易错)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的值是________．
－3
解析：因为函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，且函数f(x)的图象对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.
关键能力·题型突破
题型一　求函数的单调区间
例 1 (1)函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递减区间是(　　)
A． B．和[2，＋∞)
C.(－∞，1]和 D．和[2，＋∞)
答案：C
解析：(1)y＝|x2－3x＋2|＝
如图所示，
函数的单调递减区间是(－∞，1]和.
故选C.
(2)[2023·河北英才国际学校月考]若函数f(x)＝6ln x－x2＋x，则f(x)的单调递减区间为(　　)
A．
B．(2，＋∞)
C．(0，2)
D．
答案：B
解析：f(x)定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝－2x＋1＝，
令f′(x)<0，∵x＞0，∴－2x2＋x＋6<0，
由2x2－x－6>0解得x<－(舍去)或x>2，
则x>2，即f(x)的单调减区间为(2，＋∞)．
故选B.
(3)[2023·江苏南通月考]设函数f(x)＝－x2＋2x＋8，g(x)＝logax(0A．(－∞，1) B．(－2，1)
C．(1，＋∞) D．(1，4)
答案：B
解析：依题意，g(f(x))＝loga(－x2＋2x＋8)，则－x2＋2x＋8>0得－2显然函数f(x)在(－2，1)上单调递增，在(1，4)上单调递减，而g(x)＝logax(0因此函数y＝g(f(x))在(－2，1)上单调递减，在(1，4)上单调递增，
所以函数y＝g(f(x))的减区间为(－2，1)．
故选B.
题后师说
求函数单调区间的常用方法
巩固训练1
(1)函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
答案：D　
解析：由x2－2x－8>0，得f(x)的定义域为{x|x>4或x<－2}．
设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．
要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间(定义域内)．
∵函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，
∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．
故选D.
(2)函数y＝的单调递增区间为__________，单调递减区间为
______________．
解析：函数y＝的定义域是(－∞，＋∞)，
设u＝x2＋x＋2，则函数u＝x2＋x＋2在上是单调递减的，在上单调递增，
因为函数y＝在u>0时单调递减，于是得函数y＝在上是单调递增的，在[－，＋∞)上单调递减，
所以函数y＝的单调递增区间为，单调递减区间为.
题型二　单调性的判断与证明
例 2 [2023·河南安阳月考]已知函数f(x)＝2x－，且f(2)＝.
(1)求实数a的值；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并证明．
解析：(1)∵f(x)＝2x－，且f(2)＝，
∴4－＝，∴a＝－1.
(2)函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
任取x1，x2∈(1，＋∞)，不妨设x1则f(x2)－f(x1)＝2x2＋＝2(x2－x1)＋，
＝2(x2－x1)＋＝(x2－x1)(2－)＝，
∵x1，x2∈(1，＋∞)且x1∴x2－x1>0，2x1x2－1>0，x1x2>0，
∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
∴f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
题后师说
1.判断函数单调性的方法
(1)图象法
(2)利用已知函数的单调性
(3)定义法
2．证明函数单调性的方法
(1)定义法
(2)导数法
巩固训练2
(多选)下列函数中，在(2，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．f(x)＝|x－3|　　B．f(x)＝x＋
C．f(x)＝x3＋2x D．f(x)＝
答案：BC
解析：对于A选项，f(x)＝|x－3|＝，
所以函数f(x)＝|x－3|在(2，3)上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，故A错误；对于B选项，由双勾函数的单调性可知，函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上单调递增，故B正确；
对于C选项，因为函数y＝x3、y＝2x在(2，＋∞)上均为增函数，
故函数f(x)＝x3＋2x在(2，＋∞)上单调递增，故C正确；
对于D选项，对于函数f(x)＝，f＝＋3＝，f(3)＝5，则f>f(3)，故函数f(x)＝在(2，＋∞)上不是增函数，故D错误．
故选BC.
题型三　函数单调性的应用
角度一 利用单调性比较大小
例 3 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c＞a＞b　　 B．c＞b＞a
C．a＞c＞b　 D．b＞a＞c
答案：D
解析：根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递减．
所以a＝f＝f，f(2)>f>f(3)，
所以b＞a＞c.
故选D.
题后师说
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质，转化到同一个单调区间内进行比较．
巩固训练3
已知函数f(x)＝＋ln x，则下列选项中正确的是(　　)
A. f(e)C．f(e)答案：D
解析：f(x)的定义域是(0，＋∞)，
∵f′(x)＝>0，∴f(x)在(0，＋∞)单调递增，
∵2.7故选D.
角度二 利用单调性求最值
例 4 函数f(x)＝x＋在区间上的最大值为(　　)
A．　　　B．　　　C．3　　　D．4
答案：B
解析：设t＝x＋1，则问题转化为求函数g(t)＝t＋－1在区间上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数g(t)在区间上单调递减，在区间[2，3]上单调递增，所以g(t)max＝max＝max＝.
题后师说
利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性法几乎成为首选方法．

巩固训练4
函数f(x)＝在x∈[1，4]上最大值为M，最小值为m，则M－m的值是(　　)
A． B．2 C． D．
答案：A
解析：因为y＝在[1，4]上是增函数，所以M＝＝f(4)＝2－＝，m＝f(1)＝0.因此M－m＝.
故选A.
角度三 利用单调性解不等式
例 5 [2023·山东聊城模拟]已知函数f(x)＝若f(a2－4)>f(3a)，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－1，4) 　　 B．(－∞，－1)
C．(－4，1) 　 　D．(－∞，－4)

答案：B
解析：因为f(x)＝，即f(x)＝，当x>m时，f(x)＝x－m函数单调递增且f(m)＝0，当x≤m时，f(x)＝－x2＋2mx－m2函数单调递增且f(m)＝0，所以f(x)在定义域上单调递增，所以f(a2－4)>f(3a)等价于a2－4>3a，即(a＋1)(a－4)>0，解得a>4或a<－1，即a∈(－∞，－1)
故选B.
题后师说
在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时，应特别注意函数的定义域．
巩固训练5
已知函数y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)(0，1)
解析：由题意可得－1即，解得0故a的取值范围是(0，1)．
角度四 利用单调性求参数范围
例 6 (1)[2023·辽宁沈阳二中模拟]若函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围为(　　)
A． B．
C．(－1，2] D．(－1，2)
答案：B
解析：由题意，解得－1(2)[2023·山东济南历城二中模拟]函数f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________.
(－2，4]
解析：函数f(x)＝，定义域为x∈(－∞，a－3)
又f(x)＝＝1＋，
因为函数f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数，所以只需y＝在(1，＋∞)上是减函数，
因此，解得－2题后师说
利用单调性求参数的范围(或值)的策略
巩固训练6
若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[2，4]上都是减函数，则a的取值范围是________.
(1，2]
解析：f(x)＝－x2＋2ax的对称轴为x＝a，函数在区间[2，4]上都是减函数，故a≤2；
g(x)＝＝2＋，函数在区间[2，4]上都是减函数，故a>1，
故a∈(1，2].课时作业(七)　函数的单调性和最值
一、单项选择题
1．下列函数中是减函数的为(　　)
A．f(x)＝log2x　　　B．f(x)＝1－3x
C．f(x)＝－D．f(x)＝－x2＋1
2．关于函数f(x)＝log2的单调性的说法正确的是(　　)
A．在R上是增函数
B．在R上是减函数
C．在区间上是增函数
D．在区间上是减函数
3．函数f(x)＝(k>0)在[4，6]上的最大值为1，则k的值为(　　)
A．1B．2
C．3D．4
4．若函数y＝f(x)在R上单调递增，且f(2m－3)>f(－m)，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
5．函数y＝的单调递减区间为(　　)
A．B．
C．[0，＋∞) D．(－∞，－3]
6．若函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1在(－∞，2]上是单调递减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．B．
C．D．
7．(能力题)[2023·黑龙江大庆模拟]已知函数f(x)对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，并且对任意x1，x2∈(－∞，2)，都有<0，则下列说法正确的是(　　)
A．f(0)C．f(2)8．(能力题)若函数f(x)＝是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，1]∪{2}B．{1}∪[2，＋∞)
C．(－∞，1] D．[2，＋∞)
9．(能力题)若3x－3y>5－x－5－y，则(　　)
A．>
B．x3>y3
C．>
D．ln (x2＋1)>ln (y2＋1)
二、多项选择题
10．[2023·河北保定模拟]关于函数f(x)＝，下列判断正确的是(　　)
A．f(x)在(－1，＋∞)上单调递减
B．f(x)在(－1，＋∞)上单调递增
C．f(x)在(－∞，－1)上单调递减
D．f(x)在(－∞，－1)上单调递增
11．设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论不一定正确的是(　　)
A．y＝在R上为减函数
B．y＝|f(x)|在R上为增函数
C．y＝－在R上为增函数
D．y＝－f(x)在R上为减函数
12．(能力题)已知函数f(x)＝3x＋x3，若0A．f(1－m)B．f(2)C．f(logmn)D．f(mn)三、填空题
13．若函数f(x)＝在区间(0，＋∞)是严格增函数，则实数a的取值范围是________.
14．(能力题)[2023·河南开封模拟]已知函数f(x)＝x＋1，g(x)＝(x－1)2，对 x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，则M(x)的最小值为________.
四、解答题
15．已知f(x)＝x＋.
(1)证明：f(x)在[2，＋∞)单调递增；
(2)解不等式：f(x2－2x＋4)≤f(7).
?优生选做题?
16．[2023·山东济宁模拟]已知函数f(x)＝x＋具有以下性质：如果常数k>0，那么函数f(x)在区间(0，)上单调递减，在区间[，＋∞)上单调递增，若函数y＝x＋(x≥1)的值域为[a，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
17．[2023·河北张家口模拟]已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切m>0，n>0，都有f＝f(m)－f(n)＋2，当x>1时，总有f(x)<2.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)是定义域上的减函数；
(3)若f(4)＝1，解不等式f(x－2)－f(8－2x)<－1.
课时作业（七）　函数的单调性和最值
1．解析：选项A：由2>1，可得f（x）＝log2x为增函数．判断错误；
选项B：由3>1，可得y＝3x为增函数，则f（x）＝1－3x是减函数．判断正确；
选项C：由－<0，可得y＝x－是减函数，则f（x）＝－为增函数．判断错误；
选项D：f（x）＝－x2＋1在（－∞，0）上单调递增．判断错误．
故选B.
答案：B
2．解析：由函数f（x）的解析式知定义域为，
设t＝2x－（t>0），
显然t＝2x－（t>0）在上是增函数，y＝log2t在（0，＋∞）上是增函数，
由复合函数的单调性可知f（x）在上是增函数．
故选C.
答案：C
3．解析：由题意，k>0时，函数y＝在[4，6]上单调递减，
∴f（x）max＝f（4）＝＝1，∴k＝3.
故选C.
答案：C
4．解析：∵f（x）在R上单调递增，f（2m－3）>f（－m），
∴2m－3>－m，解得m>1，
∴实数m的取值范围为（1，＋∞）.
故选C.
答案：C
5．解析：由x2＋3x≥0得x≤－3或x≥0，即函数y＝的定义域为（－∞，－3]∪[0，＋∞），
又二次函数t＝x2＋3x的图象的对称轴为x＝－，
所以函数t＝x2＋3x（x∈（－∞，－3]∪[0，＋∞））在区间（－∞，－3]上单调递减，
在区间[0，＋∞）上单调递增，又函数y＝（t≥0）为增函数，
所以y＝的单调递减区间为（－∞，－3].
故选D.
答案：D
6．解析：函数f（x）＝x2＋（2a－1）x＋1的单调递减区间是，
依题意得（－∞，2] ，于是得－≥2，解得a≤－，
所以实数a的取值范围是.
故选B.
答案：B
7．解析：由函数f（x）对任意实数x都有f（2＋x）＝f（2－x），可得函数f（x）关于x＝2对称，
又由对任意x1，x2∈（－∞，2），都有<0，
可得函数f（x）在区间（－∞，2）上为单调递减函数，则在区间（2，＋∞）上为单调递增函数，
由f（0）＝f（4）>f（3），所以A不正确；
由f（2）由f（2）由|－1－2|>|＋1－2|，所以f（－1）>f（＋1），所以D不正确．
故选C.
答案：C
8．解析：y＝x－2在R上单调递增，y＝x2－2x＝（x－1）2－1在（1，＋∞）上单调递增．
要使函数f（x）＝是定义在R上的增函数，
只需，解得m＝1或m≥2.
所以实数m的取值范围是{1}∪[2，＋∞）.
故选B.
答案：B
9．解析：由3x－3y>5－x－5－y得3x－5－x>3y－5－y，
设f（x）＝3x－5－x，易知f（x）是增函数，所以由3x－5－x>3y－5－y得x>y，
当x<0时，C不存在，A错误，
0>x>y，则0由不等式性质可知，B正确．
故选B.
答案：B
10．解析：因为f（x）＝＝－1＋，
所以f（x）在（－∞，－1）和（－1，＋∞）上单调递减，则A、C正确，B、D错误．
故选AC.
答案：AC
11．解析：对于A，若f（x）＝x，则y＝＝，在R上不是减函数，A错误；
对于B，若f（x）＝x，则y＝|f（x）|＝|x|，在R上不是增函数，B错误；
对于C，若f（x）＝x，则y＝－＝－，在R上不是增函数，C错误；
对于D，函数f（x）在R上为增函数，则对于任意的x1，x2∈R，设x1对于y＝－f（x），则有y1－y2＝[－f（x1）]－[－f（x2）]＝f（x2）－f（x1）>0，
则y＝－f（x）在R上为减函数，D正确．
故选ABC.
答案：ABC
12．解析：易知f（x）＝3x＋x3是R上的增函数，
02成立，mn<11－m与n－1的大小关系不确定，A不一定成立；
同样logmn与lognm的大小关系也不确定，如m＝时，logmn＝lognm＝－1，C也不一定成立．
故选BD.
答案：BD
13．解析：设x1>x2>0，
则f（x1）－f（x2）＝－＝>0，
∵x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，
∴a>0.
答案：（0，＋∞）
14．解析：如图，在同一直角坐标系中分别作出函数f（x）＝x＋1和g（x）＝（x－1）2的图象，
因为对 x∈R，M（x）＝max，故函数M（x）的图象如图所示：
由图可知，当x＝0时，函数M（x）取得最小值1.
答案：1
15．解析：（1）证明： x1，x2∈[2，＋∞），且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝x1＋－x2－＝，
∵x1，x2∈[2，＋∞），则x1x2－4＞0，x1x2＞0，且x1－x2＜0，
∴<0，即f（x1）∴f（x）在[2，＋∞）单调递增．
（2）由x2－2x＋4＝（x－1）2＋3≥3，即x2－2x＋4∈[2，＋∞），
∵f（x）在[2，＋∞）单调递增，要使f（x2－2x＋4）≤f（7），
∴x2－2x＋4≤7，即x2－2x－3≤0，解得－1≤x≤3，
∴不等式f（x2－2x＋4）≤f（7）的解集为[－1，3].
16．解析：当a－1≤0时，y＝x＋在[1，＋∞）上递增，故y|x＝1＝a，满足题设；
当a－1>0时，即a>1，
若≥1，即a≥2时，函数在[1，）上递减，在（，＋∞）上递增，故y|x＝＝2＝a，可得a＝2，满足题设；
若<1，即1综上，a∈（－∞，2].
答案：（－∞，2]
17．解析：（1）令m＝n＝1，则f（1）＝f（1）－f（1）＋2，解得：f（1）＝2.
（2）证明：设0∵>1，∴f<2，f（x2）－f（x1）<0，∴f（x）是定义域上的减函数．
（3）由f（x－2）－f（8－2x）<－1得f－2<－1，即f<1，
又f（4）＝1，∴f∵f（x）是定义域上的减函数，∴>4，解得x>；
又，∴2∴f（x－2）－f（8－2x）<－1的解集为.第二节　函数的单调性和最值
【课标标准】　借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．
　　
必备知识·夯实双基
知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调性的定义
增函数 减函数
定义 设函数f(x)的定义域为I，区间D I：如果 x1，x2∈D
当x1图象描述 自左向右看图象是________的 自左向右看图象是________的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上________或________，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M(m)
条件 (1)对于任意x∈I，都有________；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有________；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝m
结论 M为最大值 m为最小值
[常用结论]
1． x1，x2∈D且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0) f(x)在区间D上单调递增(减)．
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
4．复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减．
夯实双基
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0).(　　)
(2)对于函数y＝f(x)，若f(1)＜f(3)，则f(x)为增函数．(　　)
(3)已知函数y＝f(x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在R上是减函数．(　　)
(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　)
2．(教材改编)下列四个函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．f(x)＝3－xB．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|
3．(教材改编)已知函数f(x)＝，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．
4．(易错)函数f(x)＝的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，－1)　　　　　
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)，(－1，＋∞)
D．(－∞，－1)
5．(易错)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的值是________．
关键能力·题型突破
题型一　求函数的单调区间
例 1 (1)函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递减区间是(　　)
A． B．和[2，＋∞)
C.(－∞，1]和 D．和[2，＋∞)
(2)[2023·河北英才国际学校月考]若函数f(x)＝6ln x－x2＋x，则f(x)的单调递减区间为(　　)
A．
B．(2，＋∞)
C．(0，2)
D．
(3)[2023·江苏南通月考]设函数f(x)＝－x2＋2x＋8，g(x)＝logax(0A．(－∞，1) B．(－2，1)
C．(1，＋∞) D．(1，4)
题后师说
求函数单调区间的常用方法
巩固训练1
(1)函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
(2)函数y＝的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
题型二　单调性的判断与证明
例 2[2023·河南安阳月考]已知函数f(x)＝2x－，且f(2)＝.
(1)求实数a的值；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并证明．
题后师说
1.判断函数单调性的方法
(1)图象法
(2)利用已知函数的单调性
(3)定义法
2．证明函数单调性的方法
(1)定义法
(2)导数法
巩固训练2
(多选)下列函数中，在(2，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．f(x)＝|x－3|　　B．f(x)＝x＋
C．f(x)＝x3＋2x D．f(x)＝
题型三　函数单调性的应用
角度一利用单调性比较大小
例 3 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c＞a＞b　　 B．c＞b＞a
C．a＞c＞b　 D．b＞a＞c
题后师说
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质，转化到同一个单调区间内进行比较．
巩固训练3
已知函数f(x)＝＋ln x，则下列选项中正确的是(　　)
A.f(e)C．f(e)角度二利用单调性求最值
例 4 函数f(x)＝x＋在区间上的最大值为(　　)
A．　　　B．　　　C．3　　　D．4
题后师说
利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性法几乎成为首选方法．
巩固训练4
函数f(x)＝在x∈[1，4]上最大值为M，最小值为m，则M－m的值是(　　)
A． B．2 C． D．
角度三利用单调性解不等式
例 5[2023·山东聊城模拟]已知函数f(x)＝若f(a2－4)>f(3a)，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－1，4) 　　B．(－∞，－1)
C．(－4，1) 　　D．(－∞，－4)
题后师说
在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时，应特别注意函数的定义域．
巩固训练5
已知函数y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)角度四利用单调性求参数范围
例 6 (1)[2023·辽宁沈阳二中模拟]若函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围为(　　)
A． B．
C．(－1，2] D．(－1，2)
(2)[2023·山东济南历城二中模拟]函数f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________.
题后师说
利用单调性求参数的范围(或值)的策略
巩固训练6
若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[2，4]上都是减函数，则a的取值范围是________.
第二节　函数的单调性和最值
必备知识·夯实双基
知识梳理
1．(1)f(x1)f(x2)　上升　下降　(2)单调递增　单调递减
2．f(x)≤M　f(x)≥m
夯实双基
1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：对于A.一次函数f(x)＝3－x在R上单调递减，故该选项不符合题意；
对于B.二次函数f(x)＝x2－3x的图象的对称轴是x＝，函数在上单调递减，故该选项不符合题意；
对于C.f(x)＝－是由反比例函数y＝－向左平移1个单位得到的，因为反比例函数在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝－在(－1，＋∞)上单调递增，故该选项符合题意；
对于D.f(x)＝－|x|，当x＞0时，f(x)＝－x为减函数，故该选项不符合题意．
故选C.
答案：C
3．解析：易知函数f(x)＝在x∈[2，6]上单调递减，
故f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.
答案：2　
4．解析：f(x)＝＝＝－1＋，
又f(x)＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，
由函数的图象平移可知，
f(x)＝的单调递减区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞).
故选C.
答案：C
5．解析：因为函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，且函数f(x)的图象对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.
答案：－3
关键能力·题型突破
例1　解析：(1)y＝|x2－3x＋2|
＝
如图所示，
函数的单调递减区间是(－∞，1]和.
故选C.
(2)f(x)定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝－2x＋1＝，
令f′(x)<0，∵x＞0，∴－2x2＋x＋6<0，
由2x2－x－6>0解得x<－(舍去)或x>2，
则x>2，即f(x)的单调减区间为(2，＋∞)．
故选B.
(3)依题意，g(f(x))＝loga(－x2＋2x＋8)，则－x2＋2x＋8>0得－2显然函数f(x)在(－2，1)上单调递增，在(1，4)上单调递减，而g(x)＝logax(0因此函数y＝g(f(x))在(－2，1)上单调递减，在(1，4)上单调递增，
所以函数y＝g(f(x))的减区间为(－2，1)．
故选B.
答案：(1)C　(2)B　(3)B
巩固训练1　解析：(1)由x2－2x－8>0，得f(x)的定义域为{x|x>4或x<－2}．
设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．
要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间(定义域内)．
∵函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，
∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．
故选D.
(2)函数y＝的定义域是(－∞，＋∞)，
设u＝x2＋x＋2，则函数u＝x2＋x＋2在上是单调递减的，在上单调递增，
因为函数y＝在u>0时单调递减，于是得函数y＝在上是单调递增的，在[－，＋∞)上单调递减，
所以函数y＝的单调递增区间为，单调递减区间为.
答案：(1)D　(2)
例2　解析：(1)∵f(x)＝2x－，且f(2)＝，
∴4－＝，
∴a＝－1.
(2)函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
任取x1，x2∈(1，＋∞)，不妨设x1则f(x2)－f(x1)＝2x2＋＝2(x2－x1)＋，
＝2(x2－x1)＋＝(x2－x1)(2－)＝，
∵x1，x2∈(1，＋∞)且x1∴x2－x1>0，2x1x2－1>0，x1x2>0，
∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
∴f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
巩固训练2　解析：对于A选项，f(x)＝|x－3|＝，
所以函数f(x)＝|x－3|在(2，3)上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，故A错误；
对于B选项，由双勾函数的单调性可知，函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上单调递增，故B正确；
对于C选项，因为函数y＝x3、y＝2x在(2，＋∞)上均为增函数，
故函数f(x)＝x3＋2x在(2，＋∞)上单调递增，故C正确；
对于D选项，对于函数f(x)＝，f＝＋3＝，f(3)＝5，
则f>f(3)，故函数f(x)＝在(2，＋∞)上不是增函数，故D错误．
故选BC.
答案：BC
例3　解析：根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递减．
所以a＝f＝f，f(2)>f>f(3)，
所以b＞a＞c.
故选D.
答案：D
巩固训练3　解析：f(x)的定义域是(0，＋∞)，
∵f′(x)＝>0，
∴f(x)在(0，＋∞)单调递增，
∵2.7∴f(2.7)故选D.
答案：D
例4　解析：设t＝x＋1，则问题转化为求函数g(t)＝t＋－1在区间上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数g(t)在区间上单调递减，在区间[2，3]上单调递增，所以g(t)max＝max＝max＝.
故选B.
答案：B
巩固训练4　解析：因为y＝在[1，4]上是增函数，所以M＝＝f(4)＝2－＝，m＝f(1)＝0.因此M－m＝.
故选A.
答案：A
例5　解析：因为f(x)＝，即f(x)＝，当x>m时，f(x)＝x－m函数单调递增且f(m)＝0，当x≤m时，f(x)＝－x2＋2mx－m2函数单调递增且f(m)＝0，所以f(x)在定义域上单调递增，所以f(a2－4)>f(3a)等价于a2－4>3a，即(a＋1)(a－4)>0，解得a>4或a<－1，即a∈(－∞，－1)
故选B.
答案：B
巩固训练5　解析：由题意可得－1即，解得0故a的取值范围是(0，1)．
答案：(0，1)
例6　解析：(1)由题意，解得－1故选B.
(2)函数f(x)＝，定义域为x∈(－∞，a－3)
又f(x)＝＝1＋，
因为函数f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数，所以只需y＝在(1，＋∞)上是减函数，
因此，解得－2答案：(1)B　(2)(－2，4]
巩固训练6　解析：f(x)＝－x2＋2ax的对称轴为x＝a，函数在区间[2，4]上都是减函数，故a≤2；
g(x)＝＝2＋，函数在区间[2，4]上都是减函数，故a>1，
故a∈(1，2].
答案：(1，2]

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