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第六节　对数与对数函数
必备知识·夯实双基
关键能力·题型突破
【课标标准】　
1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.了解对数函数的概念，会画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.
3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a>0，a≠1)互为反函数．
必备知识·夯实双基
知识梳理
1.对数
(1)对数的概念：
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
(2)对数恒等式
①＝________(a>0，且a≠1，N>0)．
②logaab＝________(a>0，且a≠1，b∈R)．
x＝logaN
N
b
(3)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1.M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝________________；
②loga＝________________；
③logaMn＝________(n∈R)．
(4)换底公式
logbN＝(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，N>0)
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
2．对数函数
(1)一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
(2)对数函数的图象与性质
01
图象
定义域 ________ 值域 ________ 性质 过定点________，即x＝1时，y＝0 当x>1时，________；当01时，________；当0在(0，＋∞)上是________ 在(0，＋∞)上是________
(0，＋∞)
R
(1，0)
y<0
y>0
y>0
y<0
减函数
增函数
(3)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称．
y＝x
[常用结论]
1．换底公式的三个重要结论
(1)logab＝.
＝logab.
(3)logab·logbc·logcd＝logad.
其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，c>0，且c≠1，m，n∈R.
2．对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
夯实双基
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝log2x及y＝都是对数函数．(　　)
(2)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　)
(3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　)
(4)函数y＝logax2与函数y＝2logax是相等函数.(　　)
×
×
×
×
2．(教材改编)(log29)·(log34)＝(　　)
A． B．
C．2 D．4
答案：D
解析：(log29)·(log34)＝2log23×(2log32)＝4.
故选D.
3．(教材改编)函数y＝loga(x－2)＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点________．
(3，1)
解析：当x－2＝1，即x＝3时，loga(x－2)＝loga1＝0，此时y＝1，
∴函数y＝loga(x－2)＋1的图象恒过定点(3，1)．
4.(易错)使式子log(2x－1)(2－x)有意义的x的取值范围是(　　)
A．x>2 B．x<2
C．答案：D
解析：要使log(2x－1)(2－x)有意义，则，
解得故选D.
5．若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是______________．
解析：∵loga<1＝logaa，
当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，不等式成立；
当0∴0综上所述，a的取值范围是
关键能力·题型突破
题型一　对数式的运算
例 1 (1)[2023·山东青岛模拟](log23－log83)(log32＋log92)＝________.(用数字作答)
1
解析：(log23－log83)(log32＋log92)＝(log23－)(log32＋)
＝(log23－log23)(log32＋log32)＝log23×log32＝1.
(2)[2023·河北廊坊模拟]已知3a＝5b＝A，则＝2，则A＝________．
解析：∵3a＝5b＝A，∴a＝log3A，b＝log5A，A>0.
∴＝logA3，＝logA5.
又∵＝2，
∴logA3＋2logA5＝2 logA3＋logA25＝2，
即logA75＝2，∴A2＝75，∵A>0，∴A＝5.
5
(3)计算：log23·log34＋(lg 5)2＋lg 5·lg 20＋lg 16－.
解析：log23·log34＋(lg 5)2＋lg 5·lg 20＋lg 16－2log23
＝·＋lg 5(lg 5＋lg 20)＋lg 24－3
＝＋lg 5·lg (5×20)＋2lg 2－3
＝2＋2lg 5＋2lg 2－3
＝2lg 10－1
＝1.
题后师说
对数运算的策略
巩固训练1
(1)已知log212＝m，则log312＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：B
解析：因为log212＝m，所以＝＝＝m，即lg 3＝(m－2)lg 2，所以log312＝＝＝＝，
故选B.
(2)[2023·河北沧州模拟]生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象．若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型K(n)＝λln n(λ为常数)来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K(单位：天)之间的对应关系，且Q＝＋1，在物种入侵初期，基于现有数据得出Q＝6，T＝50.据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加11倍所需要的时间为(ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)________天．
24.8
解析：∵Q＝＋1，Q＝6，T＝50，∴6＝＋1，解得λ＝10.
设初始时间为K1，初始累计繁殖数量为n，累计繁殖数量增加11倍后的时间为K2，
则K2－K1＝λln (12n)－λln n＝λln 12＝10(2ln 2＋ln 3)≈24.8(天)．
题型二　对数函数的图象及应用
例 2 (1)[2023·广东汕头模拟]函数y＝|lg (x＋1)|的图象是(　　)
答案：A
解析：由于函数y＝lg (x＋1)的图象可由函数y＝lg x的图象向左平移一个单位而得到，函数y＝lg x的图象与x轴的交点是(1，0)，
故函数y＝lg (x＋1)的图象与x轴的交点是(0，0)，即函数y＝|lg (x＋1)|的图象与x轴的公共点是(0，0)，显然四个选项只有A选项满足．
故选A.
(2)已知函数f(x)＝|ln x|，若0(3，＋∞)
解析：f(x)＝|ln x|的图象如图，
因为f(a)＝f(b)，所以|ln a|＝|ln b|，
因为00，
所以01，
所以|ln a|＝－ln a，|ln b|＝ln b，
所以－ln a＝ln b，所以ln a＋ln b＝ln (ab)＝0，
所以ab＝1，则b＝，所以a＋2b＝a＋，
令g(x)＝x＋(0当0所以g(x)在(0，1)上递减，
所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b>3，
所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)．
题后师说
与对数函数图象有关的问题的解题策略
巩固训练2
(1)[2023·山东潍坊模拟]若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是(　　)
答案：A
解析：(1)由于f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝k－1－1＝0，k＝2，
所以f(x)＝ax－为减函数，所以0所以g(x)＝loga(x＋2)，x>－2，g(x)为(－2，＋∞)上的减函数，g(－1)＝0，
所以BCD选项错误，A选项正确．
故选A.
(2)已知函数f(x)＝，且方程f(x)＝a有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为________．
1解析：作出函数f(x)的图象，再作出直线y＝a，方程f(x)＝a有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为1题型三　对数函数的性质及应用
角度一 比较大小
例 3 (1)[2023·辽宁大连模拟]已知a＝，b＝log32，c＝log2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．a答案：D
解析：∵a＝>30＝1，b＝log32∈(log31，log33)＝(0，1)，c＝log2∴c故选D.
(2)已知a＝log32，b＝，c＝log97，则(　　)
A．aC．b答案：D
解析：由a＝log32＝＝log3>c＝log97＝log3>0>b＝，所以b故选D.
题后师说
比较对数值大小的方法
巩固训练3
(1)下列选项正确的是(　　)
A．log25.3B．log0.27C．log3π>logπ3
D．loga3.10且a≠1)
答案：C
解析：对于A，因为y＝log2x在(0，＋∞)是单调递增函数，所以log25.3>log24.7，故A错误；
对于B，因为y＝log0.2x在(0，＋∞)是单调递减函数，所以log0.27>log0.29，故B错误；
对于C，因为log3π>log33＝1，logπ3logπ3，故C正确；
对于D，当01时，y＝logax在(0，＋∞)是单调递增函数，
所以当0loga5.2，当a>1时，loga3.1故选C.
(2)[2023·河北保定模拟]已知a＝0.91.5，b＝log20.9，c＝log0.30.2，则(　　)
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．c>b>a
答案：C
解析：因为0<0.9<1，所以函数y＝0.9x在(0，＋∞)单调递减，所以0<0.91.5<0.90＝1，
即0因为2>1，所以函数y＝log2x在(0，＋∞)单调递增，所以log20.9即b<0；
因为0<0.3<1，所以函数y＝log0.3x在(0，＋∞)单调递减，所以log0.30.2>log0.30.3＝1，
即c>1.所以c>a>b，故A、B、D错误．
故选C.
角度二 解简单的对数不等式
例 4 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，若f(1)＝0，则不等式f(log2x)>0的解集为(　　)
A．
C. (0，2)
答案：A
解析：由题意知函数f(x)的大致图象如图所示，
则不等式f(log2x)>0 log2x<－1或log2x>1，
解得02.
故选A.
题后师说
与对数函数有关的不等式的求解策略
巩固训练4
若loga(a＋1)0，且a≠1)，则实数a的取值范围是
________．
解析：由题意，a>0，a≠1，∴(－1)2＝a－2＋1>0，
∴a＋1>2，∴要使loga(a＋1)则令函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，∴0∴loga(a＋1)解得∴实数a的取值范围是.
角度三 对数函数性质的综合应用
例 5 [2023·河北石家庄一中月考]已知函数y＝在区间(－∞，)上是增函数，求实数a的取值范围______________.

[2，2＋2]
解析：令u＝x2－ax＋a，因为外层函数y＝在(0，＋∞)为减函数，则内层函数u＝x2－ax＋a在区间(－∞，)上是减函数，
所以，解得2≤a≤2＋2.
题后师说
求与对数函数有关的复合函数的值域、最值和单调性问题时，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．
巩固训练5
若函数f(x)＝的最大值为0，则实数a的值为
________．
解析：因为f(x)的最大值为0，所以h(x)＝ax2＋x＋2应有最小值1，因此应有解得a＝.
1.[2021·新高考Ⅱ卷]已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　)
A．cC．a答案：C
解析：a＝log52故选C.
2．[2022·天津卷]化简(2log43＋log83)(log32＋log92)的值为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．6
答案：B
解析：原式＝＝log23×log32＝2.
故选B.
3．[2020·新高考Ⅱ卷]已知函数f(x)＝lg (x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(5，＋∞) D．[5，＋∞)
答案：D
解析：由x2－4x－5>0得x>5或x<－1，所以f(x)的定义域为(－∞，－1)因为y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上单调递增，
所以f(x)＝lg (x2－4x－5)在(5，＋∞)上单调递增，所以a≥5.
故选D.课时作业(十一)　对数与对数函数
一、单项选择题
1．[2023·黑龙江哈尔滨模拟]求值lg4＋2lg5＋log28＋8＝(　　)
A．8B．9
C．10D．1
2．若函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝log3x，则f＝(　　)
A．1B．－1
C．2D．－2
3．已知a＝log70.2，b＝log0.70.2，c＝0.72，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．bb>c
4．函数y＝的定义域是(　　)
A．B．
C．D．[1，2]
5．[2023·河南安阳模拟]香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C＝Blog2来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的带宽(Hz)，S是平均信号功率(W)，N是平均噪声功率(W).已知平均信号功率为1000W，平均噪声功率为10W，在不改变平均噪声功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增加到原来的2倍，则平均信号功率需要增加到原来的(　　)
A．1.2倍B．12倍
C．102倍D．1002倍
6．设a＝log0.30.2，b＝log32，c＝log3020，则(　　)
A．cC．a7．[2023·辽宁锦州模拟]若4x＝5y＝3，z＝logxy，则x，y，z的大小关系为(　　)
A．yC．x8．已知函数f(x)＝logax＋2(a>0，且a≠1)在上的值域为，则实数a的值是(　　)
A．B．
C．2D．
9．(能力题)[2023·山东潍坊模拟]已知函数f(x)＝loga(x－b)(a>0且a≠1)的图象如图所示，则以下说法正确的是(　　)
A．a＋b<0B．ab<－1
C．00
10．(能力题)[2023·河南南阳模拟]函数f(x)＝loga(x3－2ax)(a>0且a≠1)在(4，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．1C．1二、多项选择题
11．已知函数f(x)＝logax＋b(a>0，且a≠1，b∈R)的图象过点A(1，2)，B，则下列函数图象(部分)正确的是(　　)
12．(能力题)关于函数y＝lg说法正确的是(　　)
A．定义域为(－1，1)
B．图象关于y轴对称
C．图象关于原点对称
D．在(0，1)内单调递增
三、填空题
13．(1)若loga(x＋1)>loga(x－1)，则a∈________，x∈________.
(2)若loga3(3)若log3a14．(能力题)[2023·山东枣庄模拟]已知函数f(x)＝ln (eax＋1)－x是偶函数，则实数a的值为________.
四、解答题
15．已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(a>0，且a≠1).
(1)判断函数f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)讨论函数f(x)－g(x)的单调性．
?优生选做题?
16．[2023·山东淄博模拟](多选)已知2a＝3b＝6，则a，b满足(　　)
A．aC．ab>4D．a＋b>4
17．[2023·河南信阳模拟]已知函数f(x)＝loga(2＋x)－loga(2－x)(a>0且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域，并判断f(x)的奇偶性；
(2)是否存在实数m，使得不等式f(log2m)课时作业（十一）　对数与对数函数
1．解析：因为lg4＋2lg5＝lg4＋lg52＝lg4＋lg25＝lg100＝2，
log28＝log223＝3，8＝（23）＝22＝4，
所以lg4＋2lg5＋log28＋8＝2＋3＋4＝9，
故选B.
答案：B
2．解析：因为f（x）为奇函数，所以f＝－f，
当x>0时，f（x）＝log3x，所以f＝log3＝log33－1＝－1，
所以f＝－f＝1.
故选A.
答案：A
3．解析：因为a＝log70.2log0.70.7＝1，c＝0.72＝0.49∈（0，1），
故a故选B.
答案：B
4．解析：依题意可得1＋log2x≥0，即log2x≥－1＝log2，所以x≥，
即函数的定义域为.
故选C.
答案：C
5．解析：由题意可得S＝1000W，N＝10W，则在信道容量未增加时，信道容量为C1＝Blog2＝Blog2101，当信道容量增加到原来的2倍时，C2＝Blog2＝2C1，则log21012＝log2，即1＋＝1012，解得S′＝102000，则平均信号功率需要增加到原来的102倍．
故选C.
答案：C
6．解析：a＝log0.30.2>log0.30.3＝1，b＝log32b－c＝log32－log3020＝－＝<0，b故选B.
答案：B
7．解析：4x＝3，∴x＝log43，5y＝3，∴y＝log53，
0∴0即y根据函数的单调性可知，logxy>logxx＝1，即z>1，
∴y故选A.
答案：A
8．解析：若0若a>1，则f（x）＝logax＋2在[1，3]上单调递增，则2≤f（x）≤loga3＋2，
又因为f（x）的值域为[2，4]，所以loga3＋2＝4，解得a＝.
故选A.
答案：A
9．解析：由图象可知f（x）在定义域内单调递增，所以a>1，
令f（x）＝loga（x－b）＝0，即x＝b＋1，所以函数f（x）的零点为b＋1，结合函数图象可知0因此a＋b>0，故A错误；
－a1，所以－a<－1，因此ab<－1不一定成立，故B错误；
因为a－1因为0<|b|<1，所以loga|b|故选C.
答案：C
10．解析：函数f（x）＝loga（x3－2ax）（a>0且a≠1）在（4，＋∞）上单调递增，
故外层函数是增函数，由此得a>1，
又内层函数在区间（4，＋∞）上单调递增，
令t＝x3－2ax，
则t′＝3x2－2a≥0在（4，＋∞）上恒成立，
即3x2≥2a在（4，＋∞）上恒成立，
故2a≤48，即a≤24，
又由真数大于0，故64－8a≥0，故a≤8，
由上得a的取值范围是1故选B.
答案：B
11．解析：由函数f（x）的图象过点A，B，
则有，解得a＝2，b＝2，
对于A，函数y＝－log2x＋2的图象过点（1，2），（4，0），A正确；
对于B，函数y＝log2（x＋2）的图象过点（0，1），（2，2），B正确；
对于C，函数y＝2x＋2的图象不过点（2，2），C不正确；
对于D，函数y＝2－x－2的图象过点（－1，0），（0，－1），D正确．
故选ABD.
答案：ABD
12．解析：因为f（x）＝lg＝lg，
所以>0 <0 －1所以定义域为（－1，1），故A正确；
因为f（－x）＝lg＝－f（x），
所以f（x）图象关于原点对称，故B错误，C正确；
又y＝1－x>0在（0，1）上单调递减，
所以y＝－1>0在（0，1）上单调递增，
又y＝lgx在（0，＋∞）上单调递增，
所以y＝lg在（0，1）上单调递增，故D正确．
故选ACD.
答案：ACD
13．解析：（1）由，得x>1，
∵x＋1>x－1，loga（x＋1）>loga（x－1），
∴a>1.
（2）∵3<π，loga3∴a>1.
（3）∵1<3<π，log3a∴0答案：（1）（1，＋∞）　（1，＋∞）　（2）（1，＋∞）　（3）（0，1）
14．解析：由题意知：定义域为R，函数f（x）＝ln（eax＋1）－x是偶函数，则f（－x）＝ln（e－ax＋1）＋x＝f（x）＝ln（eax＋1）－x，
即ln＝2x，化简得lneax＝2x，解得a＝2.
答案：2
15．解析：（1）令h（x）＝f（x）－g（x）＝loga，
∵，∴h（x）的定义域为（－1，1），
x∈（－1，1），－x∈（－1，1），h（－x）＝loga＝－loga＝－h（x），
∴h（x）是奇函数．
（2）h（x）＝f（x）－g（x）＝loga，
∵＝－1－，
∴y＝在（－1，1）上是增函数，
∴当0∴当a>1时，由复合函数单调性知h（x）在（－1，1）上单调递增．
16．解析：由2a＝3b＝6，则a＝log26，b＝log36，则a>0，b>0，
所以a－b＝log26－log36＝－＝>0，所以选项A不正确．
＋＝log62＋log63＝1，所以选项B不正确．
由1＝＋>2，（因为a≠b，故等号不成立），则ab>4，故选项C正确．
a＋b＝（a＋b）＝2＋＋>2＋2＝4（因为a≠b，故等号不成立），故选项D正确．
故选CD.
答案：CD
17．解析：（1）由得－2因为函数的定义域关于原点对称，且f（－x）＝loga（2－x）－loga（2＋x）＝－f（x），
所以f（x）为奇函数．
（2）①当a>1时，f（x）在（－2，2）上为增函数，假设存在实数m，使得不等式f（log2m）②当0综上，①当a>1时，存在【课标标准】　1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.了解对数函数的概念，会画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a>0，a≠1)互为反函数．
必备知识·夯实双基
知识梳理
1.对数
(1)对数的概念：
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
(2)对数恒等式
①＝________(a>0，且a≠1，N>0)．
②logaab＝________(a>0，且a≠1，b∈R)．
(3)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1.M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝________________；
②loga＝________________；
③logaMn＝________(n∈R)．
(4)换底公式
logbN＝(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，N>0)
2．对数函数
(1)一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
(2)对数函数的图象与性质
01
图象
定义域 ________
值域 ________
性质 过定点________，即x＝1时，y＝0
当x>1时，________；当01时，________；当0在(0，＋∞)上是________ 在(0，＋∞)上是________
(3)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称．
[常用结论]
1．换底公式的三个重要结论
(1)logab＝.
＝logab.
(3)logab·logbc·logcd＝logad.
其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，c>0，且c≠1，m，n∈R.
2．对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
夯实双基
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝log2x及y＝都是对数函数．(　　)
(2)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　)
(3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　)
(4)函数y＝logax2与函数y＝2logax是相等函数.(　　)
2．(教材改编)(log29)·(log34)＝(　　)
A． B．
C．2 D．4
3．(教材改编)函数y＝loga(x－2)＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点________．
4.(易错)使式子log(2x－1)(2－x)有意义的x的取值范围是(　　)
A．x>2 B．x<2
C．5．若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
关键能力·题型突破
题型一　对数式的运算
例 1 (1)[2023·山东青岛模拟](log23－log83)(log32＋log92)＝________.(用数字作答)
(2)[2023·河北廊坊模拟]已知3a＝5b＝A，则＝2，则A＝________．
(3)计算：log23·log34＋(lg 5)2＋lg 5·lg 20＋lg 16－.
题后师说
对数运算的策略
巩固训练1
(1)已知log212＝m，则log312＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)[2023·河北沧州模拟]生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象．若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型K(n)＝λln n(λ为常数)来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K(单位：天)之间的对应关系，且Q＝＋1，在物种入侵初期，基于现有数据得出Q＝6，T＝50.据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加11倍所需要的时间为(ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)________天．
题型二　对数函数的图象及应用
例 2 (1)[2023·广东汕头模拟]函数y＝|lg (x＋1)|的图象是(　　)
(2)已知函数f(x)＝|ln x|，若0题后师说
与对数函数图象有关的问题的解题策略
巩固训练2
(1)[2023·山东潍坊模拟]若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是(　　)
(2)已知函数f(x)＝，且方程f(x)＝a有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为________．
题型三　对数函数的性质及应用
角度一比较大小
例 3 (1)[2023·辽宁大连模拟]已知a＝，b＝log32，c＝log2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．a(2)已知a＝log32，b＝，c＝log97，则(　　)
A．aC．b题后师说
比较对数值大小的方法
巩固训练3
(1)下列选项正确的是(　　)
A．log25.3B．log0.27C．log3π>logπ3
D．loga3.10且a≠1)
(2)[2023·河北保定模拟]已知a＝0.91.5，b＝log20.9，c＝log0.30.2，则(　　)
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．c>b>a
角度二解简单的对数不等式
例 4 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，若f(1)＝0，则不等式f(log2x)>0的解集为(　　)
A．
C.(0，2)
题后师说
与对数函数有关的不等式的求解策略
巩固训练4
若loga(a＋1)0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
角度三对数函数性质的综合应用
例 5[2023·河北石家庄一中月考]已知函数y＝在区间(－∞，)上是增函数，求实数a的取值范围________.
题后师说
求与对数函数有关的复合函数的值域、最值和单调性问题时，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．
巩固训练5
若函数f(x)＝的最大值为0，则实数a的值为________．
1.[2021·新高考Ⅱ卷]已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　)
A．cC．a2．[2022·天津卷]化简(2log43＋log83)(log32＋log92)的值为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．6
3．[2020·新高考Ⅱ卷]已知函数f(x)＝lg (x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(5，＋∞) D．[5，＋∞)
第六节　对数与对数函数
必备知识·夯实双基
知识梳理
1．(1)x＝logaN　(2)N　b　(3)logaM＋logaN　logaM－logaN　nlogaM
2．(0，＋∞)　R　(1，0)　y<0　y>0　y>0　y<0　减函数　增函数　(3)y＝x
夯实双基
1．(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：(log29)·(log34)＝2log23×(2log32)＝4.
故选D.
答案：D
3．解析：当x－2＝1，即x＝3时，loga(x－2)＝loga1＝0，此时y＝1，
∴函数y＝loga(x－2)＋1的图象恒过定点(3，1)．
答案：(3，1)
4．解析：要使log(2x－1)(2－x)有意义，则，
解得故选D.
答案：D
5．解析：∵loga<1＝logaa，
当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，不等式成立；
当0∴0综上所述，a的取值范围是
答案：
关键能力·题型突破
例1　解析：(1)(log23－log83)(log32＋log92)＝(log23－)(log32＋)
＝(log23－log23)(log32＋log32)＝log23×log32＝1.
(2)∵3a＝5b＝A，∴a＝log3A，b＝log5A，A>0.
∴＝logA3，＝logA5.
又∵＝2，
∴logA3＋2logA5＝2 logA3＋logA25＝2，
即logA75＝2，∴A2＝75，∵A>0，∴A＝5.
(3)log23·log34＋(lg 5)2＋lg 5·lg 20＋lg 16－2log23
＝·＋lg 5(lg 5＋lg 20)＋lg 24－3
＝＋lg 5·lg (5×20)＋2lg 2－3
＝2＋2lg 5＋2lg 2－3
＝2lg 10－1
＝1.
答案：(1)1　(2)5　(3)见解析
巩固训练1　解析：(1)因为log212＝m，所以＝＝＝m，即lg 3＝(m－2)lg 2，
所以log312＝＝＝＝，
故选B.
(2)∵Q＝＋1，Q＝6，T＝50，∴6＝＋1，解得λ＝10.
设初始时间为K1，初始累计繁殖数量为n，累计繁殖数量增加11倍后的时间为K2，
则K2－K1＝λln (12n)－λln n＝λln 12＝10(2ln 2＋ln 3)≈24.8(天)．
答案：(1)B　(2)24.8
例2　解析：(1)由于函数y＝lg (x＋1)的图象可由函数y＝lg x的图象向左平移一个单位而得到，函数y＝lg x的图象与x轴的交点是(1，0)，
故函数y＝lg (x＋1)的图象与x轴的交点是(0，0)，即函数y＝|lg (x＋1)|的图象与x轴的公共点是(0，0)，显然四个选项只有A选项满足．
故选A.
(2)f(x)＝|ln x|的图象如图，
因为f(a)＝f(b)，
所以|ln a|＝|ln b|，
因为0所以ln a<0，ln b>0，
所以01，
所以|ln a|＝－ln a，|ln b|＝ln b，
所以－ln a＝ln b，所以ln a＋ln b＝ln (ab)＝0，
所以ab＝1，则b＝，
所以a＋2b＝a＋，
令g(x)＝x＋(0当0所以g(x)在(0，1)上递减，
所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，
所以a＋2b>3，
所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)．
答案：(1)A　(2)(3，＋∞)
巩固训练2　解析：(1)由于f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝k－1－1＝0，k＝2，
所以f(x)＝ax－为减函数，所以0所以g(x)＝loga(x＋2)，x>－2，g(x)为(－2，＋∞)上的减函数，g(－1)＝0，
所以BCD选项错误，A选项正确．
故选A.
(2)作出函数f(x)的图象，再作出直线y＝a，方程f(x)＝a有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为1答案：(1)A　(2)1例3　解析：(1)∵a＝>30＝1，b＝log32∈(log31，log33)＝(0，1)，c＝log2∴c故选D.
(2)由a＝log32＝＝log3>c＝log97＝log3>0>b＝，
所以b故选D.
答案：(1)D　(2)D
巩固训练3　解析：(1)对于A，因为y＝log2x在(0，＋∞)是单调递增函数，所以log25.3>log24.7，故A错误；
对于B，因为y＝log0.2x在(0，＋∞)是单调递减函数，所以log0.27>log0.29，故B错误；
对于C，因为log3π>log33＝1，logπ3logπ3，故C正确；
对于D，当01时，y＝logax在(0，＋∞)是单调递增函数，
所以当0loga5.2，当a>1时，loga3.1故选C.
(2)因为0<0.9<1，所以函数y＝0.9x在(0，＋∞)单调递减，所以0<0.91.5<0.90＝1，
即0因为2>1，所以函数y＝log2x在(0，＋∞)单调递增，所以log20.9即b<0；
因为0<0.3<1，所以函数y＝log0.3x在(0，＋∞)单调递减，所以log0.30.2>log0.30.3＝1，
即c>1.所以c>a>b，故A、B、D错误．
故选C.
答案：(1)C　(2)C
例4　解析：由题意知函数f(x)的大致图象如图所示，
则不等式f(log2x)>0 log2x<－1或log2x>1，
解得02.
故选A.
答案：A
巩固训练4　解析：由题意，a>0，a≠1，
∴(－1)2＝a－2＋1>0，
∴a＋1>2，
∴要使loga(a＋1)则令函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，
∴0∴loga(a＋1)∴，
解得∴实数a的取值范围是.
答案：
例5　解析：令u＝x2－ax＋a，因为外层函数y＝在(0，＋∞)为减函数，则内层函数u＝x2－ax＋a在区间(－∞，)上是减函数，
所以，解得2≤a≤2＋2.
答案：[2，2＋2]
巩固训练5　解析：因为f(x)的最大值为0，所以h(x)＝ax2＋x＋2应有最小值1，因此应有解得a＝.
答案：
真题展台——知道高考考什么？
1．解析：a＝log52故选C.
答案：C
2．解析：原式＝
＝log23×log32＝2.
故选B.
答案：B
3．解析：由x2－4x－5>0得x>5或x<－1，
所以f(x)的定义域为(－∞，－1)
因为y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上单调递增，
所以f(x)＝lg (x2－4x－5)在(5，＋∞)上单调递增，
所以a≥5.
故选D.
答案：D

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