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第一节　函数的概念及其表示
必备知识·夯实双基
关键能力·题型突破
【课标标准】　
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用．
必备知识·夯实双基
知识梳理
1.函数的概念
一般地，设A，B是非空的________，如果对于集合A中的________一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：________、________和________．
(2)两个函数只有当________和________分别相同时，这两个函数才相同．
实数集
任意
唯一确定
定义域
对应关系
值域
定义域
对应关系
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析式法、列表法、图象法．
4．分段函数
在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数．
[常用结论]
1．常见函数的定义域
(1)分式函数中分母不等于0.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域为R.
(4)零次幂的底数不能为0.
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}．
(7)y＝tan x的定义域为{x}．
2．分段函数虽由几部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
夯实双基
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线．(　　)
(2)直线x＝1与函数y＝f(x)的图象的交点最多有两个．(　　)
(3)函数y＝1与y＝x0是同一个函数. (　　)
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(　　)
×
×
×
×
2．(教材改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
答案：B
解析：A中函数的定义域不是[－2，2]，C中图象不表示函数，D中函数的值域不是[0，2].
故选B.
3．(教材改编)下列函数f(x)与g(x)是同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝x－1，g(x)＝－1
B．f(x)＝x2，g(x)＝()4
C．f(x)＝x2，g(x)＝
D．f(x)＝x，g(x)＝
答案：C
解析：在A中，f(x)定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，∴f(x)与g(x)不是同一函数；在B中，f(x)定义域为R，g(x)定义域为{x|x≥0}，定义域不同，∴f(x)与g(x)不是同一函数；在C中，f(x)与g(x)定义域与对应关系都相同，∴f(x)与g(x)是同一函数；在D中，f(x)与g(x)定义域都是R，但对应关系不同，∴f(x)与g(x)不是同一函数．
故选C.
4．(易错)函数y＝ln (2－x)的定义域为(　　)
A．(0，2)　　B．[0，2)　　C．(0，1]　　D．[0，2]
答案：B
解析：由题意知，x≥0且2－x>0，
解得0≤x＜2，故其定义域是[0，2)．
故选B.
5．(易错)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________.
－3
解析：∵f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＝－f(1)＝－2，
当a>0时，2a＝－2，∴a＝－1(舍去)，
当a≤0时，a＋1＝－2，∴a＝－3.
关键能力·题型突破
题型一　函数的定义域
例 1 (1)[2023·河南信阳月考]函数y＝的定义域为(　　)
A．(－4，－1) B．(－4，1)
C．(－1，1) D．(－1，1]
答案：C
解析：由题意得，
解得，故定义域为(－1，1)．
故选C.
(2)[2023·河北衡水中学模拟]若y＝f(x)的定义域为(0，2]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)
A．(0，1] B．[0，1)
C．(0，1)
答案：D
解析：由y＝f(x)的定义域为(0，2]，令，
解得0＜x＜1，
∴函数g(x)＝的定义域是(0，1)．
故选D.
题后师说
求函数定义域的策略
巩固训练1
(1)函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．[－4，＋∞)　　B．[－4，－3)
C．(－4，＋∞) D．(－3，＋∞)
答案：B
解析：因为f(x)＝，所以要使式子有意义，则
，解得，即x∈[－4，－3)
所以函数f(x)＝的定义域是[－4，－3)故A、C、D错误．
故选B.
(2)[2023·商丘模拟]已知函数f(x＋2)的定义域为(－3，4)，则函数g(x)＝的定义域为(　　)
A．　B．　C．　D．
答案：C
解析：因为函数f(x＋2)的定义域为(－3，4)，所以f(x)的定义域为(－1，6)．又因为3x－1>0，即x>，所以函数g(x)的定义域为.
故选C.
题型二　函数的解析式
例 2(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
(2)已知f(x)是一次函数，并且f(f(x))＝4x＋3，求f(x)．
(3)函数f(x)满足方程2f(x)＋f＝2x，x∈R且x≠0.求f(x)．
解析：(1)设u＝＋1，则＝u－1(u≥1)．
∴f(u)＝(u－1)2＋2(u－1)＝u2－1(u≥1)．即f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.
∴解得或
故所求的函数为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.
(3)(构造法)∵2f(x)＋f＝2x，①
将x换成，则换成x，得2f＋f(x)＝.②
由①②消去f，得3f(x)＝4x－.
∴f(x)＝x－(x∈R且x≠0)．
题后师说
求函数解析式的方法
巩固训练2
(1)已知f＝，则f(x)＝(　　)
A．(x＋1)2(x≠1) B．(x－1)2(x≠1)
C．x2－x＋1(x≠1) D．x2＋x＋1(x≠1)
答案：C
解析：f＝＝－＋1.令＝t(t≠1)，得f(t)＝t2－t＋1(t≠1)，
即f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．
故选C.
(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝
___________．
x2－x＋2
解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝2，得c＝2，
f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，
∴即
∴f(x)＝x2－x＋2.
(3)若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，则f(x)＝________．
x＋1
解析：(3)对 x∈R恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，①
所以有3f(－x)－2f(x)＝－5x＋1，②
由①②解得f(x)＝x＋1.
题型三　分段函数
例 3 (1)[2023·山东潍坊模拟]设函数f(x)＝，则f(8)＝(　　)
A．10　　　B．9　　　C．7　　　D．6
答案：C
解析：因为f(x)＝，
则f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(13))＝f(10)＝7.
故选C.
(2)已知函数f(x)＝ 若f(f(a))＝0，则实数a的值等于________．
－
解析：①当a>－1即a＋1>0时，f(a)＝>－1，
则f＝＝0 a＝－1(舍)，
②当a≤－1即a＋1≤0时，f(a)＝－2a－6.
(ⅰ)当－2a－6≤－1，即当－≤a≤－1 时，有f(－2a－6)＝－2(－2a－6)－6＝0 a＝－ ；
(ⅱ)当－2a－6>－1 时，即a<－ 时，有f(－2a－6)＝＝0 a 无解．
综上，a＝－.
题后师说
分段函数问题的求解策略
巩固训练3
(1)[2023·黑龙江哈尔滨模拟]已知函数f(x)＝，则f＝(　　)
A．0 B．
C． D．1
答案：D
解析：因为f(x)＝，
所以f＝－100＝0，
所以f＝f＝0＋1＝1.
故选D.
(2)设函数f(x)＝，若f(a)＝a，则实数a的值为________.
解析：由题意知，f(a)＝a，
当a≥0时，有a－1＝a，解得a＝－2(舍去)，
当a<0时，有＝a，解得a＝1(舍去)或a＝－1.
所以实数a的值是a＝－1.
－1
专题突破 　函数的值域
方法一　分离参数法
例 1(1)函数f(x)＝的值域是(　　)
A．(－∞，－1)　B．(－∞，2)
C．(－∞，2)
答案：C
解析：f(x)＝＝＝2－，从而可知函数f(x)＝的值域为(－∞，2)
故选C.
(2)函数f(x)＝的值域为(　　)
A．
B．
C．
D．
答案：D
解析：依题意，f(x)＝＝＝＝·，由于－·的值域为，故函数f(x)的值域为(－∞，.
故选D.
(3)函数y＝的值域是________．
[－3，1)
解析：y＝＝＝1－，
因为x2＋1≥1，所以∈，所以－∈[－4，0)，
所以y＝∈.
(4)函数f(x)＝的值域为________．
(－1，1)
解析：f(x)＝＝1－，
由2x>0 2x＋1>1 0<<1 －2<－<0 －1<1－<1，所以函数f(x)的值域为(－1，1)．
方法二　配方法
例 2 (1)函数y＝的值域为____________________．
(－∞，0)
解析：(1)由题意得－x2＋x＋2≠0，∴x≠－1且x≠2.
因为－x2＋x＋2＝－＋，且－x2＋x＋2≠0.
所以原函数的值域为(－∞，0).
(2)函数f(x)＝ 的值域为____________．
解析：因为＝ ，所以0≤，所以函数的值域为.
方法三　换元法
例 3 (1)函数y＝2x－的值域为(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
解析：函数的定义域是{x|x≥1}，令＝t，则t∈[0，＋∞)，x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2t2－t＋2＝2＋，
因为t≥0，所以y≥.
故选D.
(2)函数y＝2x－1－的值域为________.
(－∞，0]
解析：令＝t≥0，则2x＝1－t2，所以y＝－t2－t＝＋.又t≥0，所以y≤0，即函数y＝2x－1－的值域是(－∞，0].
方法四　单调性法
例 4(1)函数f(x)＝＋x2－x＋1的值域为________．
[3，＋∞)
解析：f(x)＝＋，由2x－4≥0，得x≥2，因为f(x)在[2，＋∞)上单调递增，所以＝f(2)＝3，即f(x)的值域为[3，＋∞)．
(2)函数y＝的值域为_____________．

[－]
解析：因为，
所以－2≤x≤3，
所以此函数的定义域为[－2，3]，
又因为y＝是减函数，
当x＝－2时，y＝取得最大值，
当x＝3时，y＝取得最小值－，
所以值域为[－].
方法五　基本不等式法
例 5(1)函数f(x)＝x＋(x>0)的值域为________．
[6，＋∞)
解析：因为x>0，所以f(x)＝x＋≥2＝6，当且仅当x＝3时等号成立，所以函数的值域为[6，＋∞)．
(2)函数y＝(x>1)的值域为________________．
[2 ＋4，＋∞)
解析：y＝＝(x－1)＋＋4，
∵x>1，∴x－1>0，
∴y＝(x－1)＋＋4≥2＋4，
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时等号成立．
∴函数的值域为[2 ＋4，＋∞)．课时作业(六)　函数的概念及其表示
一、单项选择题
1．下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是(　　)
2．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．[－2，0)∪(0，2] B．[0，2]
C．[－2，2] D．(0，2]
3．下列各组函数中，表示同一函数的是(　　)
A．f(x)＝与g(x)＝x－1
B．f(x)＝2|x|与g(x)＝
C．f(x)＝与g(x)＝
D．y＝与y＝
4．[2023·山东滨州模拟]已知函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　)
A．B．3
C．1D．19
5．[2023·河南郑州模拟]已知f＝4x2＋3，则f(x)＝(　　)
A．x2－2x＋4B．x2＋2x
C．x2－2x－1D．x2＋2x＋3
6．[2023·安徽马鞍山模拟]已知函数f(x)＝，则f(4)＝(　　)
A．3B．9
C．19D．33
7．[2023·河北石家庄二中模拟]已知f(x＋1)＝lnx，则f(x)＝(　　)
A．ln (x＋1) B．ln (x－1)
C．ln|x－1|D．ln (1－x)
8．已知函数f(x)＝若f(f(－1))＝4，且a>－1，则a＝(　　)
A．－B．0
C．1D．2
9．(能力题)[2023·山东济宁模拟]若函数y＝＋ln (x＋2)的定义域为[1，＋∞)，则a＝(　　)
A．－3B．3
C．1D．－1
10．(能力题)[2023·黑龙江牡丹江模拟]f(2x－1)的定义域为[0，1)，则f(1－3x)的定义域为(　　)
A．(－2，4] B．
C．D．
二、多项选择题
11．函数f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则下列等式成立的是(　　)
A．f(x)＝fB．f＝－f(x)
C．f＝D．f(－x)＝－f(x)
12．(能力题)[2023·山东聊城模拟]已知f(x)＝，若f＝1，则实数a的值可以为(　　)
A．B．
C．1D．ee
三、填空题
13．设f(x)＝则f(f(－2))＝________，f(x)≥的解集是________．
14．(能力题)[2023·辽宁沈阳二中模拟]已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[－1，2]，则函数y＝f(x－1)的定义域为________．
四、解答题
15．已知函数f(2x)＝2－x，g(x)是二次函数，且满足g(0)＝1，g(x＋1)－g(x)＝2x.
(1)求f(x)，g(x)的解析式；
(2)设F(x)＝，求不等式F(x)≤3的解集．
?优生选做题?
16．[2023·江苏盐城中学模拟]已知连续函数f(x)的定义域为R，满足[f(x)]3－[f(x)]2－x2f(x)＋x2＝0，若f(x)的最大值为1，最小值为0，则f＋f(0)＋f＝(　　)
A．0B．
C．1D．
17．函数f(x)＝.
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的定义域为[－2，1]，求实数a的值．
课时作业（六）　函数的概念及其表示
1．解析：在B中，当x>0时，y有两个值和x对应，不满足函数y的唯一性，
A，C，D满足函数的定义．
故选B.
答案：B
2．解析：使得函数f（x）＝＋的表达式有意义，
则x>0且4－x2≥0，解得x∈（0，2].
故选D.
答案：D
3．解析：在A中，f（x）的定义域为{x|x≠－1}，g（x）的定义域为R，故A错误；
在B中，g（x）＝＝2＝f（x），B正确；
在C中，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，＋∞），故C错误；
在D中，y＝的定义域为[1，＋∞），由x2－1≥0可得y＝的定义域为（－∞，－1]∪[1，＋∞），D错误．
故选B.
答案：B
4．解析：f（f（3））＝f＝f＝2＋1＝3.
故选B.
答案：B
5．解析：因为f（2x＋1）＝4x2＋3＝（2x＋1）2－2（2x＋1）＋4，
所以f（x）＝x2－2x＋4.
故选A.
答案：A
6．解析：由题中函数的解析式可得：
f（4）＝f（4－3）＝f（1）＝f（1－3）＝f（－2）＝2×（－2）2＋1＝9.
故选B.
答案：B
7．解析：因为f（x＋1）＝lnx，所以x>0，令t＝x＋1（t>1），则x＝t－1，
所以f（t）＝ln（t－1），因此f（x）＝ln（x－1）.
故选B.
答案：B
8．解析：由题意知，
f（－1）＝（－1）2＋a＝1＋a，
又a>－1，所以1＋a>0，
所以f（f（－1））＝f（1＋a）＝21＋a＝4，
解得a＝1.
故选C.
答案：C
9．解析：由，得，
由题意可知上式的解集为，
所以x＝1为方程x2＋2x＋a＝0的一个根，
所以1＋2＋a＝0，得a＝－3.
故选A.
答案：A
10．解析：因为0≤x<1，所以0≤2x<2，所以－1≤2x－1<1，
所以f（x）的定义域为[－1，1），
所以由－1≤1－3x<1，得0所以f（1－3x）的定义域为.
故选C.
答案：C
11．解析：因为x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），则f（－x）＝＝－＝－f（x），
f＝＝＝f（x），AD选项正确，BC选项错误．
故选AD.
答案：AD
12．解析：因为f（x）＝f（f（a））＝1，所以
当a≤0时，f（a）＝1－2a>0，所以f（f（a））＝f（1－2a）＝ln（1－2a）＝1，
所以1－2a＝e，解得a＝<0，所以a＝满足；
当0所以lna＝0，解得a＝1，满足题意；
当a>1时，f（a）＝lna>0，所以f（f（a））＝f（lna）＝ln（lna）＝1，
所以lna＝e，解得a＝ee，满足题意．
故选ACD.
答案：ACD
13．解析：∵f（－2）＝2－2＝，
∴f（f（－2））＝f＝1－＝.
当x≥0时，1－≥，≤，
∴0≤x≤；
当x<0时，2x≥，∴－1≤x<0.
故f（x）≥的解集为.
答案：　
14．解析：函数y＝f（2x＋1）的定义域为[－1，2]，即－1≤x≤2，所以－1≤2x＋1≤5，
所以－1≤x－1≤5，即0≤x≤6，
所以函数的定义域为[0，6].
答案：[0，6]
15．解析：（1）设2x＝t，x＝，所以f（t）＝2－，
即f（x）＝2－，
因为g（x）是二次函数，所以设g（x）＝ax2＋bx＋c，
因为g（0）＝1，所以c＝1，
g（x＋1）－g（x）＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋1－（ax2＋bx＋1）
＝2ax＋a＋b，
所以2ax＋a＋b＝2x，2a＝2且a＋b＝0，
解得a＝1，b＝－1，
所以g（x）＝x2－x＋1.
（2）由（1）可知F（x）＝
F（x）≤3等价于，或，
解得，或，
所以－2≤x<0或0≤x≤2，
所以不等式的解集为{x|－2≤x≤2}．
16．解析：由[f（x）]3－[f（x）]2－x2f（x）＋x2＝0，得
[f（x）]2[f（x）－1]－x2[f（x）－1]＝0，
[f（x）－1][f2（x）－x2]＝0，
所以f（x）＝1，或f（x）＝±x，
因为0≤f（x）≤1，且函数图象连续，
所以f（x）＝
所以f＋f（0）＋f＝1＋0＋＝.
故选D.
答案：D
17．解析：（1）①若1－a2＝0，即a＝±1，
1）当a＝1时，f（x）＝，定义域为R，满足题意；
2）当a＝－1时，f（x）＝，定义域不为R，不满足题意；
②若1－a2≠0，g（x）＝（1－a2）x2＋3（1－a）x＋6为二次函数，
∵f（x）定义域为R，∴g（x）≥0对x∈R恒成立，
∴
－≤a<1；
综合①、②得a的取值范围为.
（2）命题等价于不等式（1－a2）x2＋3（1－a）x＋6≥0的解集为[－2，1]，
显然1－a2≠0，
∴1－a2<0且x1＝－2、x2＝1是方程（1－a2）x2＋3（1－a）x＋6＝0的两根，
∴ ，
解得a＝2.第一节　函数的概念及其表示
【课标标准】　1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．
必备知识·夯实双基
知识梳理
1.函数的概念
一般地，设A，B是非空的________，如果对于集合A中的________一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：________、________和________．
(2)两个函数只有当________和________分别相同时，这两个函数才相同．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析式法、列表法、图象法．
4．分段函数
在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数．
[常用结论]
1．常见函数的定义域
(1)分式函数中分母不等于0.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域为R.
(4)零次幂的底数不能为0.
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}．
(7)y＝tan x的定义域为{x}．
2．分段函数虽由几部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
夯实双基
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线．(　　)
(2)直线x＝1与函数y＝f(x)的图象的交点最多有两个．(　　)
(3)函数y＝1与y＝x0是同一个函数. (　　)
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(　　)
2．(教材改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
3．(教材改编)下列函数f(x)与g(x)是同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝x－1，g(x)＝－1
B．f(x)＝x2，g(x)＝()4
C．f(x)＝x2，g(x)＝
D．f(x)＝x，g(x)＝
4．(易错)函数y＝ln (2－x)的定义域为(　　)
A．(0，2)　　B．[0，2)　　C．(0，1]　　D．[0，2]
5．(易错)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________.
关键能力·题型突破
题型一　函数的定义域
例 1 (1)[2023·河南信阳月考]函数y＝的定义域为(　　)
A．(－4，－1) B．(－4，1)
C．(－1，1) D．(－1，1]
(2)[2023·河北衡水中学模拟]若y＝f(x)的定义域为(0，2]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)
A．(0，1] B．[0，1)
C．(0，1)
题后师说
求函数定义域的策略
巩固训练1
(1)函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．[－4，＋∞)　　B．[－4，－3)
C．(－4，＋∞) D．(－3，＋∞)
(2)[2023·商丘模拟]已知函数f(x＋2)的定义域为(－3，4)，则函数g(x)＝的定义域为(　　)
A．　B．　C．　D．
题型二　函数的解析式
例 2(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
(2)已知f(x)是一次函数，并且f(f(x))＝4x＋3，求f(x)．
(3)函数f(x)满足方程2f(x)＋f＝2x，x∈R且x≠0.求f(x)．
题后师说
求函数解析式的方法
巩固训练2
(1)已知f＝，则f(x)＝(　　)
A．(x＋1)2(x≠1) B．(x－1)2(x≠1)
C．x2－x＋1(x≠1) D．x2＋x＋1(x≠1)
(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________．
(3)若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，则f(x)＝________．
题型三　分段函数
例 3 (1)[2023·山东潍坊模拟]设函数f(x)＝，则f(8)＝(　　)
A．10　　　B．9　　　C．7　　　D．6
(2)已知函数f(x)＝ 若f(f(a))＝0，则实数a的值等于________．
题后师说
分段函数问题的求解策略
巩固训练3
(1)[2023·黑龙江哈尔滨模拟]已知函数f(x)＝，则f＝(　　)
A．0 B．
C． D．1
(2)设函数f(x)＝，若f(a)＝a，则实数a的值为________.
专题突破 　函数的值域
方法一　分离参数法
例 1(1)函数f(x)＝的值域是(　　)
A．(－∞，－1)　B．(－∞，2)
C．(－∞，2)
(2)函数f(x)＝的值域为(　　)
A．
B．
C．
D．
(3)函数y＝的值域是________．
(4)函数f(x)＝的值域为________．
方法二　配方法
例 2 (1)函数y＝的值域为________．
(2)函数f(x)＝ 的值域为________．
方法三　换元法
例 3 (1)函数y＝2x－的值域为(　　)
A． B．
C．D．
(2)函数y＝2x－1－的值域为________.
方法四　单调性法
例 4(1)函数f(x)＝＋x2－x＋1的值域为________．
(2)函数y＝的值域为________．
方法五　基本不等式法
例 5(1)函数f(x)＝x＋(x>0)的值域为________．
(2)函数y＝(x>1)的值域为________．
第一节　函数的概念及其表示
必备知识·夯实双基
知识梳理
1．实数集　任意　唯一确定
2．(1)定义域　对应关系　值域
(2)定义域　对应关系
夯实双基
1．(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：A中函数的定义域不是[－2，2]，C中图象不表示函数，D中函数的值域不是[0，2].
故选B.
答案：B
3．解析：在A中，f(x)定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，∴f(x)与g(x)不是同一函数；在B中，f(x)定义域为R，g(x)定义域为{x|x≥0}，定义域不同，∴f(x)与g(x)不是同一函数；在C中，f(x)与g(x)定义域与对应关系都相同，∴f(x)与g(x)是同一函数；在D中，f(x)与g(x)定义域都是R，但对应关系不同，∴f(x)与g(x)不是同一函数．
故选C.
答案：C
4．解析：由题意知，x≥0且2－x>0，
解得0≤x＜2，故其定义域是[0，2)．
故选B.
答案：B
5．解析：∵f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＝－f(1)＝－2，
当a>0时，2a＝－2，∴a＝－1(舍去)，
当a≤0时，a＋1＝－2，∴a＝－3.
答案：－3
关键能力·题型突破
例1　解析：(1)由题意得，
解得，故定义域为(－1，1)．
故选C.
(2)由y＝f(x)的定义域为(0，2]，令，
解得0＜x＜1，
∴函数g(x)＝的定义域是(0，1)．
故选D.
答案：(1)C　(2)D
巩固训练1　解析：(1)因为f(x)＝，所以要使式子有意义，则
，解得，即x∈[－4，－3)
所以函数f(x)＝的定义域是[－4，－3)故A、C、D错误．
故选B.
(2)因为函数f(x＋2)的定义域为(－3，4)，所以f(x)的定义域为(－1，6)．又因为3x－1>0，即x>，所以函数g(x)的定义域为.
故选C.
答案：(1)B　(2)C
例2　解析：(1)设u＝＋1，则＝u－1(u≥1)．
∴f(u)＝(u－1)2＋2(u－1)＝u2－1(u≥1)．即f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.
∴解得或
故所求的函数为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.
(3)(构造法)∵2f(x)＋f＝2x，①
将x换成，则换成x，
得2f＋f(x)＝.②
由①②消去f，得3f(x)＝4x－.
∴f(x)＝x－(x∈R且x≠0)．
巩固训练2　解析：(1)f＝＝－＋1.令＝t(t≠1)，得f(t)＝t2－t＋1(t≠1)，
即f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．
故选C.
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝2，得c＝2，
f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，
∴即
∴f(x)＝x2－x＋2.
(3)对 x∈R恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，①
所以有3f(－x)－2f(x)＝－5x＋1，②
由①②解得f(x)＝x＋1.
答案：(1)C　(2)x2－x＋2　(3)x＋1
例3　解析：(1)因为f(x)＝，
则f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(13))＝f(10)＝7.
故选C.
(2)①当a>－1即a＋1>0时，f(a)＝>－1，
则f＝＝0 a＝－1(舍)，
②当a≤－1即a＋1≤0时，f(a)＝－2a－6.
(ⅰ)当－2a－6≤－1，即当－≤a≤－1 时，有f(－2a－6)＝－2(－2a－6)－6＝0 a＝－ ；
(ⅱ)当－2a－6>－1 时，即a<－ 时，有f(－2a－6)＝＝0 a 无解．
综上，a＝－.
答案：(1)C　(2)－
巩固训练3　解析：(1)因为f(x)＝，
所以f＝－100＝0，
所以f＝f＝0＋1＝1.
故选D.
(2)由题意知，f(a)＝a，
当a≥0时，有a－1＝a，解得a＝－2(舍去)，
当a<0时，有＝a，解得a＝1(舍去)或a＝－1.
所以实数a的值是a＝－1.
答案：(1)D　(2)－1
专题突破 　函数的值域
例1　解析：(1)f(x)＝＝＝2－，从而可知函数f(x)＝的值域为(－∞，2)
故选C.
(2)依题意，f(x)＝＝＝＝·，由于－·的值域为，故函数f(x)的值域为(－∞，.
故选D.
(3)y＝＝＝1－，
因为x2＋1≥1，所以∈，所以－∈[－4，0)，
所以y＝∈.
(4)f(x)＝＝1－，
由2x>0 2x＋1>1 0<<1 －2<－<0 －1<1－<1，所以函数f(x)的值域为(－1，1)．
答案：(1)C　(2)D　(3)[－3，1)　(4)(－1，1)
例2　解析：(1)由题意得－x2＋x＋2≠0，∴x≠－1且x≠2.
因为－x2＋x＋2＝－＋，且－x2＋x＋2≠0.
所以原函数的值域为(－∞，0).
(2)因为＝ ，所以0≤，所以函数的值域为.
答案：(1)(－∞，0)　(2)
例3　解析：(1)函数的定义域是{x|x≥1}，令＝t，则t∈[0，＋∞)，x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2t2－t＋2＝2＋，
因为t≥0，所以y≥.
故选D.
(2)令＝t≥0，则2x＝1－t2，所以y＝－t2－t＝＋.又t≥0，所以y≤0，即函数y＝2x－1－的值域是(－∞，0].
答案：(1)D　(2)(－∞，0]
例4　解析：(1)f(x)＝＋，由2x－4≥0，得x≥2，因为f(x)在[2，＋∞)上单调递增，所以＝f(2)＝3，即f(x)的值域为[3，＋∞)．
(2)因为，
所以－2≤x≤3，
所以此函数的定义域为[－2，3]，
又因为y＝是减函数，
当x＝－2时，y＝取得最大值，
当x＝3时，y＝取得最小值－，
所以值域为[－].
答案：(1)[3，＋∞)　(2)[－]
例5　解析：(1)因为x>0，所以f(x)＝x＋≥2＝6，当且仅当x＝3时等号成立，所以函数的值域为[6，＋∞)．
(2)y＝＝(x－1)＋＋4，
∵x>1，∴x－1>0，
∴y＝(x－1)＋＋4≥2＋4，
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时等号成立．
∴函数的值域为[2 ＋4，＋∞)．
答案：(1)[6，＋∞)　(2)[2 ＋4，＋∞)

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