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22.3 实际问题与二次函数
【知识梳理】
二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
【核心考点精讲】
一．二次函数的最值（共4小题）
1．二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的最小值是（　　）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
2．若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2的最小值为 　 　．
3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x经过点A（3，4）．
（1）求a的值；
（2）过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，在直线AB上任取一点P，作点A关于直线OP的对称点C；
①当点C恰巧落在x轴时，求直线OP的表达式；
②连结BC，求BC的最小值．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3．
（1）在图①中，P是BC上一点，EF垂直平分AP，分别交AD、BC边于点E、F，求证：四边形AFPE是菱形；
（2）若菱形AFPE的四个顶点都在矩形ABCD的边上，当菱形的面积最大时，菱形的边长是 　 　．
二．根据实际问题列二次函数关系式（共4小题）
5．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（　　）
A．y＝x2+a B．y＝a（1+x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝a（1﹣x）2
6．退休的李老师借助自家15米的院墙和总长度为30米的围栏，在院墙外设计一个矩形花圃种植花草．为方便进出，他在如图所示的位置安装了一个1米宽的门，如果设和墙相邻的一边长为x米，花圃面积为y平方米，则y与x之间的函数关系式为 　 　．
7．n个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n（n≥2）之间的函数关系是 　 　．
8．如图，矩形DEFG的四个顶点分别在正三角形ABC的边上．已知△ABC的边长为4，记矩形DEFG的面积为S，线段BE为x．
（1）求S关于x的函数表达式．
（2）当S时，求x的值．
三．二次函数的应用（共5小题）
9．如图，用一段长为18米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为xm，另一边的长为ym，矩形的面积为Sm2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，那私么y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系
10．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件） 4 5 6
y（件） 10000 9500 9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围．
11．某乡镇贸易公司开设了一家网店，销售当地某种农产品，已知该农产品成本为每千克10元，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10＜x≤30）
（1）写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
12．某商场购进A、B两种商品进行销售，已知购进4件A商品和6件B商品需260元，购进5件A商品和4件B商品需220元．两种商品以相同的售价销售，A商品的销售量y1（件）与售价x（元）之间的关系为y1＝310﹣5x；当售价为40元时，B商品可销售100件，售价每提高1元，少销售3件．
（1）求A、B两种商品每件的进价分别为多少元？
（2）当商品售价为多少元时，A、B两种商品的销售利润总和最大？最大利润是多少？
13．为了疫情防控需求，某商店购进一批额温枪，每个进价为30元．若每个售价定为42元时，则每周可售出160个．后经调查发现，销售定价每增加1元时．每周的销售量将减少10个．若商店准备把这种额温枪销售价定为每个x元（x≥42），每周的销售获利为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出销售定价为多少时，这一周销售额温枪获利最大；
（2）若该商店在某周销售这种额温枪获利1600元，求这种额温枪的销售单价．
【过关检测】
一．选择题（共3小题）
1．某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm，把这个长方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（　　）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
2．以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝at2+bt（a＜0）．若小球在第1秒与第3秒高度相等，则下列四个时间中，小球飞行高度最高的时间是（　　）
A．第1.9秒 B．第2.2秒 C．第2.8秒 D．第3.2秒
3．商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（x正整数），每星期销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　）
A．y＝10（200﹣10x） B．y＝200（10+x）
C．y＝10（200﹣10x）2 D．y＝（10+x）（200﹣10x）
二．填空题（共6小题）
4．若m﹣n2＝0，则m+2n的最小值是 　 　．
5．为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为x，第一季度的总产值为y（亿元），则y关于x的函数解析式为 　 　．
6．圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点．已知雕塑OA高米，与OA水平距离5米处为水柱最高点，落水点C、D之间的距离为22米，则喷出水柱的最大高度为 　 　米．
7．在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+mx+3过点（4，3），着当0≤x≤a时，y有最大值7，最小值3，则a的取值范围是 　 　．
8．已知抛物线具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为，P是抛物线上一个动点，则△PMF周长的最小值是__________.
9．如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位上升1米后，水面的宽度为________米．
三．解答题（共6小题）
10．先阅读下面的例题，再按要求解答下列问题：
求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4，
∵（y+2）2≥0，
∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4．
（1）求代数式m2+m+4的最小值；
（2）求代数式24﹣2x2+8x的最大值；
（3）某居民小区要在一块靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
11．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件） 4 5 6
y（件） 10000 9500 9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围．
12．某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表：
进货批次 A型水杯（个） B型水杯（个） 总费用（元）
一 100 200 8000
二 200 300 13000
（1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？
（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？
13．某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件；每降价1元，每星期可多卖出25件．
（1）设该商品每件定价为x元，每星期可卖出y件，分别求出当x＞50和x＜50时，y与x的函数关系式；
（2）若该商品的进价为每件30元，如何定价才能使得每星期的利润最大？请说明理由．
14．某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？
15．如图，抛物线经过点，点，交轴于点．连接，．为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)过点作，垂足为点，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
22.3 实际问题与二次函数
【知识梳理】
二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
【核心考点精讲】
一．二次函数的最值（共5小题）
1．二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的最小值是（　　）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2﹣3，
∴其图象开口向上，其顶点为（1，﹣3）．
∴函数的最小值为﹣3．
故选：A．
2．若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2的最小值为 　﹣2　．
【解答】解：把二次函数y＝ax2﹣bx+2的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣ax2+bx﹣2，再向左平移1个单位，向上平移4个单位为y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2，
∵二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，
∴y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2的最小值为﹣2，
故答案为：﹣2．
3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x经过点A（3，4）．
（1）求a的值；
（2）过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，在直线AB上任取一点P，作点A关于直线OP的对称点C；
①当点C恰巧落在x轴时，求直线OP的表达式；
②连结BC，求BC的最小值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x经过点A（3，4），
令x＝3，代入y＝ax2+x，则4＝a×32+3，
∴a；
（2）①如图1：由对称性可知OA＝OC，AP＝CP，
∵AP∥OC，
∴∠1＝∠2，
又∵∠AOP＝∠2，
∴∠AOP＝∠1，
∴AP＝AO，
∵A（3，4），
∴AO＝5，
∴AP＝5，
∴P1（8，4），
同理可得P2（﹣2，4），
∴OP的表达式为y＝﹣2x或yx．
②如图2：∵OA＝OC，
∴点C在以O为圆心，OA长为半径作⊙O上，连接BO，交⊙O于点C，
此时BC的值最小，
∵B（﹣12，4），
∴OB，
∴BC的最小值为5．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3．
（1）在图①中，P是BC上一点，EF垂直平分AP，分别交AD、BC边于点E、F，求证：四边形AFPE是菱形；
（2）若菱形AFPE的四个顶点都在矩形ABCD的边上，当菱形的面积最大时，菱形的边长是 　　．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠APB＝∠EAP，
∵EF垂直平分AP，
∴AF＝PF，AE＝PE，
∴∠EAP＝∠PAF，
∴∠APB＝∠PAF＝∠PAF＝∠PAE，
∵PA＝AP，
∴△EAP≌FPA（ASA），
∴AE＝AF，
∴AF＝PF＝AE＝PE，
∴四边形AFPE是菱形．
（2）如图2中，当P与C重合时，菱形AFPE面积最大．
设AF＝CF＝x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
∴12+（3﹣x）2＝x2，
∴x，
∴AF＝CF．
故答案为：．
二．根据实际问题列二次函数关系式（共4小题）
5．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（　　）
A．y＝x2+a B．y＝a（1+x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝a（1﹣x）2
【解答】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月投放单车a（1+x）2辆，
则y＝a（1+x）2．
故选：B．
6．退休的李老师借助自家15米的院墙和总长度为30米的围栏，在院墙外设计一个矩形花圃种植花草．为方便进出，他在如图所示的位置安装了一个1米宽的门，如果设和墙相邻的一边长为x米，花圃面积为y平方米，则y与x之间的函数关系式为 　y＝﹣2x2+31x（8≤x＜15.5）　．
【解答】解：若和墙相邻的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（30+1﹣2x）米，
依题意得：y＝x（30+1﹣2x）＝﹣2x2+31x．
又∵，
∴8≤x＜15.5，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+31x（8≤x＜15.5）．
故答案为：y＝﹣2x2+31x（8≤x＜15.5）．
7．n个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n（n≥2）之间的函数关系是 　mn2n　．
【解答】解：mn（n﹣1）n2n，
故答案为：mn2n．
8．如图，矩形DEFG的四个顶点分别在正三角形ABC的边上．已知△ABC的边长为4，记矩形DEFG的面积为S，线段BE为x．
（1）求S关于x的函数表达式．
（2）当S时，求x的值．
【解答】解：（1）∵正△ABC，
∴∠B＝60°，
∵矩形DEFG的四个顶点分别在正三角形ABC的边上，
∴∠BED＝90°，BE＝CF＝x，EF＝4﹣2x，
∴DE＝BE tan60°x．
∴S＝EF DEx （4﹣2x）＝﹣2x2+4x．
（2）∵S，
∴﹣2x2+4x．
∴2x2﹣4x+1＝0．
解得：x＝1±．
∵0＜x＜2．
∴x＝1±．
三．二次函数的应用（共5小题）
9．如图，用一段长为18米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为xm，另一边的长为ym，矩形的面积为Sm2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，那私么y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
【解答】解：由题意得，y（30﹣x），S＝xyx2+15x，
所以y与x是一次函数关系，S与x是二次函数关系．
故选：A．
10．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件） 4 5 6
y（件） 10000 9500 9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围．
【解答】解：（1）设y和x的函数表达式为y＝kx+b，则，
解得，
故y和x的函数表达式为y＝﹣500x+12000；
（2）设这一周该商场销售这种商品的利润为w元，
由题意得，
解得3≤x≤12，
则w＝y（x﹣3）＝（﹣500x+12000）（x﹣3）＝﹣500x2+13500x﹣36000，
∴w与x之间的函数关系式w＝﹣500x2+13500x﹣36000，自变量的取值范围为3≤x≤12．
11．某乡镇贸易公司开设了一家网店，销售当地某种农产品，已知该农产品成本为每千克10元，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10＜x≤30）
（1）写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）由图象知，当10＜x≤14时，y＝640；
当14＜x≤30时，设y＝kx+b，将（14，640），（30，320）代入得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+920；
综上所述，y；
（2）设每天的销售利润为w元，
当10＜x≤14时w＝640×（x﹣10）＝640x﹣6400，
∵k＝640＞0，
∴w随着x的增大而增大，
∴当x＝14时，w＝4×640＝2560元；
当14＜x≤30时，w＝（x﹣10）（﹣20x+920）＝﹣20（x﹣28）2+6480，
∵﹣20＜0，14＜x≤30，
∴当x＝28时，w有最大值，最大值为6480，
∵2560＜6480，
∴当销售单价x为28元时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．
12．某商场购进A、B两种商品进行销售，已知购进4件A商品和6件B商品需260元，购进5件A商品和4件B商品需220元．两种商品以相同的售价销售，A商品的销售量y1（件）与售价x（元）之间的关系为y1＝310﹣5x；当售价为40元时，B商品可销售100件，售价每提高1元，少销售3件．
（1）求A、B两种商品每件的进价分别为多少元？
（2）当商品售价为多少元时，A、B两种商品的销售利润总和最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设A、B两种商品每件的进价分别为x元、y元，
由题意得：，
解得：，
答：A、B两种商品每件的进价分别为20元、30元；
（2）设商品售价为x元，两种商品的销售利润为w元，
由题意得：w＝（x﹣20）（310﹣5x）+（x﹣30）[100﹣3（x﹣40）]＝﹣8x2+720x﹣12800＝﹣8（x﹣45）2+3400，
∵﹣8＜0，
∴当x＝45时，w取最大值，最大值为3400，
答：当商品售价为45元时，A、B两种商品的销售利润总和最大，最大利润是3400元．
13．为了疫情防控需求，某商店购进一批额温枪，每个进价为30元．若每个售价定为42元时，则每周可售出160个．后经调查发现，销售定价每增加1元时．每周的销售量将减少10个．若商店准备把这种额温枪销售价定为每个x元（x≥42），每周的销售获利为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出销售定价为多少时，这一周销售额温枪获利最大；
（2）若该商店在某周销售这种额温枪获利1600元，求这种额温枪的销售单价．
【解答】解：（1）根据题意知y＝（x﹣30）[160﹣（x﹣42）×10]，
整理，得y＝﹣10x2+880x﹣17400，
化为顶点式，得y＝﹣10（x﹣44）2+1960，
∵﹣10＜0，
∴当x＝44时，y有最大值，最大值为1960，
答：当销售定价为44元时，这周销售额温枪获利最大；
（2）当y＝1600时，代入y＝﹣10（x﹣44）2+1960中，
得﹣10（x﹣44）2+1960＝1600，
解得x＝50或x＝38（不符合题意舍去）．
答：该商店在某周销售这种额温枪共获利1600元时，其销售单价为50元．
【过关检测】
一．选择题（共2小题）
1．某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm，把这个长方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（　　）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【解答】解：设长方体的底面边长为xcm，则高为（x+50）cm，
所以总费用y＝0.16×2×[x2+2x（x+50）]＝0.96x2+32x，
故选：D．
2．以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝at2+bt（a＜0）．若小球在第1秒与第3秒高度相等，则下列四个时间中，小球飞行高度最高的时间是（　　）
A．第1.9秒 B．第2.2秒 C．第2.8秒 D．第3.2秒
【解答】解：∵小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝at2+bt（a＜0），小球在第1秒与第3秒高度相等，
∴该抛物线开口向下，对称轴是直线t2，
∵|1.9﹣2|＝0.1，|2.2﹣2|＝0.2，|2.8﹣2|＝0.8，|3.2﹣2|＝1.2，
∴在选项中的四个时间中，当t＝1.9时，小球飞行的高度最高，
故选：A．
3．商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（x正整数），每星期销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　）
A．y＝10（200﹣10x） B．y＝200（10+x）
C．y＝10（200﹣10x）2 D．y＝（10+x）（200﹣10x）
【解答】解：设每件商品的售价上涨x元（x正整数），
则每件商品的利润为（60-50+x）元，总销量为（200-10x）件，
商品利润为y＝（10+x）（200﹣10x）．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
4．若m﹣n2＝0，则m+2n的最小值是 　﹣1　．
【解答】解：∵m﹣n2＝0，
∴m＝n2，
∴m+2n
＝n2+2n
＝（n+1）2﹣1≥﹣1，
∴m+2n的最小值是﹣1，
5．为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为x，第一季度的总产值为y（亿元），则y关于x的函数解析式为 　y＝x2+3x+3　．
【解答】解：y＝1+1×（1+x）+1×（1+x）2
＝1+1+x+1+2x+x2
＝x2+3x+3．
故答案为：y＝x2+3x+3．
6．圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点．已知雕塑OA高米，与OA水平距离5米处为水柱最高点，落水点C、D之间的距离为22米，则喷出水柱的最大高度为 　6　米．
【解答】解：设水柱所在抛物线的函数表达式为v＝ax2+bx+c（x≥0），
∵雕塑OA高米，
∴点A的坐标是（0，）．
∵落水点C、D之间的距离为22米，
∴点D的坐标为（11，0），
∵与OA水平距离5米处为水柱最高点，
∴抛物线的对称轴为x＝5，
得到，
∴水柱所在抛物线的函数表达式为yx2x（x≥0）．
当x＝5时，y525，
∴喷出水柱的最大高度为6米．
7．在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+mx+3过点（4，3），着当0≤x≤a时，y有最大值7，最小值3，则a的取值范围是 　2≤a≤4　．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+mx+3过点（4，3），
∴3＝﹣16+4m+3，
∴m＝4，
∴y＝﹣x2+4x+3，
∵y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴抛物线开口向下，对称轴是x＝2，顶点为（2，7），函数有最大值7，
把y＝3代入y＝﹣x2+4x+3得3＝﹣x2+4x+3，解得x＝0或x＝4，
∵当0≤x≤a时，y有最大值7，最小值3，
∴2≤a≤4．
故答案为：2≤a≤4．
8．已知抛物线具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为，P是抛物线上一个动点，则△PMF周长的最小值是____5______.
【解答】解：过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，如图所示．
∵点P′在抛物线上，∴P′F=P′E．
又∵点到直线之间垂线段最短，MF==2，
∴当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，最小值为ME+MF=3+2=5．
9．如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位上升1米后，水面的宽度为________米．
【解答】解：如图，以拱顶为坐标原点建立直角坐标系，设抛物线的解析式为 ，依题意，当OE=2时，AB=4，即点A、B的坐标分别为（-2，-2）、(2，-2)
∴，求得
∴抛物线的解析式为
当水位上升1米后，拱顶到水面的距离，水面的宽度为CD
∴，
解得，
∴点C、D的坐标分别为，
∴．
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
10．先阅读下面的例题，再按要求解答下列问题：
求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4，
∵（y+2）2≥0，
∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4．
（1）求代数式m2+m+4的最小值；
（2）求代数式24﹣2x2+8x的最大值；
（3）某居民小区要在一块靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
【解答】解：（1）m2+m+4＝m2+m4＝（m）2，
∵（m）2≥0，
∴（m）2，
∴m2+m+4的最小值为；
（2）24﹣2x2+8x＝﹣2（x2﹣4x）+24＝﹣2[（x﹣2）2﹣4]+24＝﹣2（x﹣2）2+32，
∵﹣2（x﹣2）2≤0，
∴﹣2（x﹣2）2+32≤32，
∴24﹣2x2+8x的最大值为32；
（3）设花园面积为ym2，
根据题意得：y＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x＝﹣2（x2﹣10x）＝﹣2（x﹣5）2+50，
∵﹣2＜0，
∴当x＝5时，花园的面积最大，最大面积是50m2，
此时AB＝5m，BC＝10m，符合题意，
答：当x＝5时，花园的面积最大，最大面积是50m2，
11．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件） 4 5 6
y（件） 10000 9500 9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围．
【解答】解：（1）设y和x的函数表达式为y＝kx+b，则，
解得，
故y和x的函数表达式为y＝﹣500x+12000；
（2）设这一周该商场销售这种商品的利润为w元，
由题意得，
解得3≤x≤12，
则w＝y（x﹣3）＝（﹣500x+12000）（x﹣3）＝﹣500x2+13500x﹣36000，
∴w与x之间的函数关系式w＝﹣500x2+13500x﹣36000，自变量的取值范围为3≤x≤12．
12．某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表：
进货批次 A型水杯（个） B型水杯（个） 总费用（元）
一 100 200 8000
二 200 300 13000
（1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？
（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设A种型号的水杯进价为x元，B种型号的水杯进价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种型号的水杯进价为20元，B种型号的水杯进价为30元；
（2）设超市应将B型水杯降价m元时，每天售出B型水杯的利润为W元，根据题意，
得：W＝（44﹣m﹣30）（20+5m）
＝﹣5m2+50m+280
＝﹣5（m﹣5）2+405，
∴当m＝5时，W取得最大值，最大值为405元，
答：超市应将B型水杯降价5元时，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为405元．
13．某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件；每降价1元，每星期可多卖出25件．
（1）设该商品每件定价为x元，每星期可卖出y件，分别求出当x＞50和x＜50时，y与x的函数关系式；
（2）若该商品的进价为每件30元，如何定价才能使得每星期的利润最大？请说明理由．
【解答】解：（1）当x＞50时，y＝200﹣5（x﹣50）＝﹣5x+450；
当x＜50时，y＝200+25（50﹣x）＝﹣25x+1450；
（2）设该商品每件定价为x元，每星期的利润为W元．
当x＞50时，W＝（x﹣30）（﹣5x+450）＝﹣5x2+600x﹣13500（50＜x≤90）；
∴当x＝60时，W最大＝30×150＝4500；
当x＜50时，W＝（x﹣30）（﹣25x+1450）＝﹣25x2+2200x﹣43500（30≤x＜50）；
∴当x＝44时，W最大＝14×350＝4900；
当x＝50时，W＝（50﹣30）×200＝4000；
∵4900＞4500＞4000，
∴该商品每件定价为44元时，每星期的利润最大．
14．某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知：，
解得：，
故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+120；
（2）∵y＝﹣2x+120，
∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）
＝﹣2x2+160x﹣2400
＝﹣2（x﹣40）2+800，
∵﹣2＜0，
∴当x＜0时，w随x的增大而增大，
∵20≤x≤38，
∴当x＝38时，w有最大值，最大值为792，
∴售价定为38元/件时，每天最大利润为792元．
15．如图，抛物线经过点，点，交轴于点．连接，．为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)过点作，垂足为点，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时有最大值，最大值是多少？
【解答】（1）由题意得，∴
∴；
（2）设直线的表达式为，
∵过点，，
∴，∴，
∴直线的表达式为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴当时，有最大值；

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