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课时作业(三十二)　平面向量的数量积
一、单项选择题
1．已知向量a＝(－2－t，3)，b＝(－6，－2)，且a⊥b，则实数t＝(　　)
A．11　　B．1
C．－1　　D．－11
2．已知＝(1，3)，＝(3，m)，·＝2，则||＝(　　)
A．1B．2
C．D．3
3．已知平面向量a，b满足|a|＝2，b＝(1，1)，|a＋b|＝，则a在b上的投影向量的坐标为(　　)
A．(，) B．(1，1)
C．(－1，－1) D．(－，)
4．[2023·辽宁丹东期末]若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝3，|a＋b|＝5，则a·b＝(　　)
A．－2B．－1
C．1D．2
5．[2023·河北邯郸模拟]已知向量a＝(－4，－3)，b＝(m，1)，且夹角的余弦值为－，则m＝(　　)
A．0B．－1
C．0或－D．－
6．已知平面向量a＝(1，0)，b＝(1，2)，若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝(　　)
A．－1B．－2
C．－D．1
7．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下列结论正确的是(　　)
A．a∥bB．a⊥b
C．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b
8．[2023·福建福州模拟]已知向量a是非零向量，b是单位向量，a，b的夹角为120°，且a⊥(a＋b)，则|a|＝(　　)
A．B．
C．1D．2
9．(能力题)[2023·山东淄博模拟]如图在△ABC中，∠ABC＝90°，F为AB中点，CE＝3，CB＝8，AB＝12，则·＝(　　)
A．－15B．－13
C．13D．15
10．(能力题)已知△ABC是边长为2的等边三角形，AB为圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则·的取值范围为(　　)
A．[0，4] B．[－1，3]
C．[－2，4] D．[－3，1]
二、多项选择题
11．[2023·安徽涡阳期末]设向量a＝(0，－1)，b＝(，－)，则下列结论中正确的是(　　)
A．a∥bB．(a－b)⊥b
C．(a＋b)⊥bD．|a－b|＝|b|
12．[2023·江西抚州期末]已知点A(1，2)，B(5，2)，C(k，4)，若△ABC为直角三角形，则k的可能取值为(　　)
A．1B．2
C．3D．4
13．(能力题)[2023·山东日照模拟]八卦是我国古代的一套有象征意义的符号．如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|＝1，则(　　)
A．＝
B．＋＝
C．·＝－
D．·＝·
三、填空题
14．[2023·河南开封模拟]已知单位向量a，b的夹角为60°，则(a－b)·a＝________．
15．[2023·山东济宁模拟]已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(－1，)，|2a－b|＝2，则a，b的夹角为________．
16．(能力题)已知向量a＝(2t，2)，b＝(－2－t，－5)，若向量a与向量a＋b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________．
?优生选做题?
17．[2023·河南漯河模拟]已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足|－－|＝1，|∣的最小值为(　　)
A．－1B．2－1
C．2－1D．－1
18．如图，在△ABC中，|AC|＝6，|BC|＝8，|AB|＝10，O是△ABC的内切圆的圆心，则·＝________．
课时作业（三十二）　平面向量的数量积
1．解析：因为向量a＝（－2－t，3），b＝（－6，－2），且a⊥b，
所以a·b＝－6（－2－t）＋3×（－2）＝0，解得t＝－1.
故选C.
答案：C
2．解析：因为＝－＝（2，m－3），
则·＝2＋3（m－3）＝2，则m＝3，所以＝（2，0），
则||＝2.
故选B.
答案：B
3．解析：|a＋b|＝＝＝，|b|＝＝，
所以a·b＝2，
所以a在b上的投影向量为·＝b＝（1，1）.
故选B.
答案：B
4．解析：由题设，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝25，又|a|＝3，|b|＝3，
∴9＋2a·b＋18＝25，可得a·b＝－1.
故选B.
答案：B
5．解析：由已知|a|＝＝5，|b|＝，a·b＝－4m－3，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，即4m＋3＝3≥0，故m≥－，且16m2＋24m＋9＝9m2＋9，解得m＝0或－（舍去），所以m＝0.
故选A.
答案：A
6．解析：由已知a＋λb＝（1＋λ，2λ），
∵（a＋λb）⊥a，∴（a＋λb）·a＝（1＋λ）×1＋2λ×0＝0，解得λ＝－1.
故选A.
答案：A
7．解析：因为|a＋b|＝|a－b|，
所以|a＋b|2＝|a－b|2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，
所以4a·b＝0，即a·b＝0，
所以a⊥b.
故选B.
答案：B
8．解析：因为a⊥（a＋b），
所以a·（a＋b）＝0，即a2＋a·b＝0，
因为b是单位向量，a，b的夹角为120°，
所以|a|2－|a|＝0，
因为向量a是非零向量，
所以|a|＝.
故选A.
答案：A
9．解析：
建立如图所示的平面直角坐标系，
则A（12，0），B（0，0），C（0，8），F（6，0），
又CE＝3，CB＝8，AB＝12，
则CF＝＝10，
即CE＝FC，即FE＝FC，
则＝＋＝（6，0）＋（－6，8）＝（，），
则＝（，－），＝（－，－），
则·＝×（－）＋（－）2＝13.
故选C.
答案：C
10．解析：
如图所示，
·＝（＋）·（＋）＝2＋·＋·＋·
＝1＋·（＋）＋0.
由图象可知|＋|＝＝2，＋与夹角的范围为[0，π]，
所以·（＋）＝|||＋|cos〈，（＋）〉∈，
所以·∈[－1，3].
故选B.
答案：B
11．解析：对A，∵a＝（0，－1），b＝（，－），∴a≠λb，a与b不共线，故A错误．
对B，∵a＝（0，－1），b＝（，－），∴a－b＝（－，－），∴（a－b）·b＝（－，－）·（，－）＝－×＋×＝0，∴（a－b）⊥b，故B正确．
对C，∵a＝（0，－1），b＝（，－），∴a＋b＝（，－），∴（a＋b）·b＝（，－）·（，－）＝×＋×＝1≠0，故C错误．
对D，∵a＝（0，－1），b＝（，－），∴a－b＝（－，－），∴|a－b|＝＝，∴|b|＝＝，∴|a－b|＝|b|，故D正确．
故选BD.
答案：BD
12．解析：由题意，＝（4，0），＝（k－5，2），＝（k－1，2），若B为直角，则·＝（4，0）·（k－5，2）＝4（k－5）＝0 k＝5.
若A为直角，则·＝（4，0）·（k－1，2）＝4（k－1）＝0 k＝1.
若C为直角，则·＝（k－5，2）·（k－1，2）＝（k－1）（k－5）＋4＝k2－6k＋9＝0 k＝3.
故选AC.
答案：AC
13．解析：
对于A，两向量方向相反，故A错误；
对于B，连接BH交OA于M，由|OH|＝|OB|＝1，∠HOB＝90°可得|OM|＝，
由向量的平行四边形法则可得＋＝2，
又|OE|＝1，则＋＝2＝，B正确；
对于C，由正八边形可得∠AOB＝45°，
则·＝||·||cos∠AOD＝1×1×cos135°＝－，C正确；
对于D，·＝－·＝－||·||cos∠OHA，
·＝||·||cos∠OBC，
易得∠OHA＝∠OBC＝67.5°，
又|HA|＝|BC|，|HO|＝|BO|，则·＝－·，D错误．
故选BC.
答案：BC
14．解析：因单位向量a，b的夹角为60°，
则a·b＝|a||b|cos60°＝，
所以（a－b）·a＝a2－a·b＝1－＝.
答案：
15．解析：由|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝12，
而|a|＝1，|b|＝＝2，
所以8－8cos〈a，b〉＝12，可得cos〈a，b〉＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，
所以〈a，b〉＝.
答案：
16．解析：由题意得a＋b＝（t－2，－3），
向量a与向量a＋b的夹角为钝角，即a·（a＋b）<0，且向量a与向量a＋b不共线，
则2t（t－2）－6<0，且－6t－2（t－2）≠0，
故t2－2t－3<0，且t≠，
解得－1答案：
17．解析：因为|＋|2＝2＋2＋2·＝||2＋||2＋2||·||cos＝12，
所以|＋|＝2，
由平面向量模的三角不等式可得||＝|（－－）＋（＋）|≥||－－|－|＋||＝2－1，
当且仅当－－与＋方向相反时，等号成立．
因此||的最小值为2－1.
故选C.
答案：C
18．解析：设圆O的半径为r，
因为|AC|＝6，|BC|＝8，|AB|＝10，则|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
∴AC⊥BC，则S△ABC＝|AC|·|BC|＝r（|AB|＋|AC|＋|BC|），
则r＝＝2，因为∠ACB＝90°，易知CO平分∠ACB，
以点C为坐标原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则C（0，0）、O（2，2）、A（6，0）、B（0，8），则＝（2，2），＝（－6，8），
因此·＝－6×2＋8×2＝4.
答案：4(共43张PPT)
第三节　平面向量的数量积
必备知识·夯实双基
关键能力·题型突破
【课标标准】　
1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.
2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，能用坐标表示平面向量垂直的条件.
4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面的夹角.
5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用．
必备知识·夯实双基
知识梳理
1．数量积的有关概念
(1)向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则________＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作________．
(2)数量积的定义
已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝________．
∠AOB
a⊥b
|a||b|cos θ
|a||b|cos θ
(3)投影向量：如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．
2．平面向量数量积的性质
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
a·b＝|a||b|cos θ＝____________，|a|＝＝____________，
cos θ＝＝__________________，a⊥b a·b＝0 ___________．
3．平面向量数量积的运算律
已知向量a，b，c和实数λ.
(1)交换律：a·b＝________；
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝________(λ∈R)；
(3)分配律：(a＋b)·c＝________．
x1x2＋y1y2
x1x2＋y1y2＝0
b·a
a·(λb)
a·c＋b·c
[常用结论]
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(3)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立(因为a与b的夹角为0时不成立)．
(4)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立(因为a与b的夹角为π时不成立)．
(5)若＝λ()，则AP所在直线为∠BAC的平分线．
夯实双基
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两向量的数量积是一个向量．(　　)
(2)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　)
(3)(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　)
(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　)
×
√
×
×
2．(教材改编)已知|a|＝5，|b|＝，a·b＝5，则a与b的夹角θ＝(　　)
A．45° B．135°
C．－45° D．30°
答案：A
解析：∵cos θ＝＝＝，
∴θ＝45°.
故选A.
3．(教材改编)已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(m，2)，且a⊥b，则|a＋b|＝________．
解析：因为a⊥b，故2m－2＝0，m＝1，故a＋b＝(3，1)，
故|a＋b|＝.
4．(易错)已知在△ABC中，·>0，则△ABC的形状是________三角形．
钝角
解析：由·>0，得角A的补角为锐角，所以角A为钝角，所以△ABC为钝角三角形．
5．(易错)设向量a＝(x，－4)，b＝(1，－x)，向量a与b的夹角为锐角，则x的取值范围为________________．
(0，2)
解析：由向量a＝(x，－4)，b＝(1，－x)，因为向量a与b的夹角为锐角，则x×1＋(－4)×(－x)>0且≠，解得x>0且x≠2，即x的取值范围为(0，2)
关键能力·题型突破
题型一　平面向量数量积的运算
例 1(1)已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上投影向量是4e，则a·b为(　　)
A．12 B．8
C．－8 D．2
答案：A　
解析：a在b方向上投影向量为|a|cos θ·e＝4e，
∴|a|cos θ＝4，∴a·b＝|a||b|cos θ＝4×3＝12.
故选A.
(2)[2023·河南南阳模拟]如图，在正六边形ABCDEF中，若||＝2，G为CD的中点，则·＝(　　)
A．7 B．5
C．3 D．1
答案：B
解析：如图，延长AB，DC交于点H，
则∠ABC＝120°，∠BHC＝60°，
所以·＝·()＝||2＋··
＝4＋2×2cos 60°＋2×1cos 120°＝5.
故选B.
(3) [2023·广东广州模拟]如图放置的边长为2的正方形ABCD顶点A，D分别在x轴，y轴正半轴(含原点)上滑动，则·的最大值是________．
8
解析：设A(x，0)，D(0，y)，则x2＋y2＝4，
所以B(x＋y，x)，C(y，x＋y)，
于是·＝(x＋y，x)·(y，x＋y)＝x2＋2xy＋y2≤2(x2＋y2)＝8.
当且仅当x＝y＝时，等号成立．
题后师说
平面向量数量积运算的3种策略
巩固训练1
(1)已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，x)，若a∥b，则(a＋b)·b＝(　　)
A．5 B．15
C．－5 D．－15
答案：C
解析：若a∥b，则2x＋4＝0，解得x＝－2.
所以b＝(－1，－2)，所以a＋b＝(1，2)，
所以(a＋b)·b＝－1－4＝－5.
故选C.
(2)[2023·山东枣庄模拟]在长方形ABCD中，AB＝，AD＝2，点M满足＝，点N满足＝2，则·＝(　　)
A．1 B．0.5
C．3 D．1.5
答案：A
解析：如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(，0)，C(，2)，D(0，2)，
由＝知M(，1)，
由＝2知N(，2)，则＝(－，1)，＝(，2)，故·＝－＋1×2＝1.
故选A.
(3) [2023·辽宁东北育才学校模拟]在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝2，AB＝4，∠ABC＝，P是BC的中点，则·＝________．
14
解析：因为P是BC的中点，
所以＝＝，
因为AD＝BC＝2，AB＝4，∠ABC＝，
所以·＝－·()
＝2－·
＝16－×2×4×＝14.
题型二　平面向量数量积的模与夹角
例 2(1)[2023·河南平顶山模拟]已知向量a，b满足a＝(1，1)，|b|＝2，(a－b)·a＝1，则|a－b|＝(　　)
A．2　　　B．　　　C．　　　D．2
答案：A
解析：由(a－b)·a＝1得a2－a·b＝1，
因为a＝(1，1)，所以a2＝1＋1＝2，
故a·b＝1.
|a－b|＝＝＝2.
故选A.
(2)[2023·辽宁锦州模拟]若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与a的夹角为(　　)
A． B． C． D．
答案：A
解析：由条件可知|a＋b|＝|a－b|，两边平方后得a·b＝0，
并且|a－b|＝|a|，cos 〈a－b，a〉＝＝＝，
因为向量夹角的范围是[0，π]，所以向量a－b与a的夹角为.
故选A.
题后师说
(1)求平面向量的模的方法
利用公式|a|2＝a2＝a·a，|a|＝或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2把向量模的运算转化为数量积的运算．
(2)求平面向量的夹角的方法
一般是利用夹角公式：cos θ＝.
巩固训练2
(1)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a＋b|＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
答案：A
解析：因为向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，
所以|2a＋b|2＝(2a＋b)2＝4|a|2＋4a·b＋|b|2＝4＋0＋4＝8，
则|2a＋b|＝2.
故选A.
(2)[2023·河北保定模拟]已知向量a＝(1，－)，|b|＝3，a·b＝3，则a与b的夹角为________．
解析：因为a＝(1，－)，所以|a|＝ ＝2，
设向量a与b的夹角为θ，因为cos θ＝＝＝，因为θ∈，所以θ＝.
题型三　平面向量的垂直
例 3(1)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　)
A．a＋2b　　B. 2a＋b
C. a－2b D. 2a－b
答案：D
解析：由已知可得a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝1×1×＝.
因为(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2×1＝≠0，所以A选项不符合题意；
因为(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×＋1＝2≠0，所以B选项不符合题意；
因为(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2×1＝－≠0，所以C选项不符合题意；
因为(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×－1＝0，所以D选项符合题意．
故选D.
(2)已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a·b＝1，(ka＋2b)⊥(a－kb)，则实数k的值为________．
－1或2
解析：由题意可得(ka＋2b)·(a－kb)＝0，即ka2＋(2－k2)a·b－2kb2＝0，
∴9k＋(2－k2)×1－2k×4＝0，解得k＝－1或2，
所以实数k的值是－1或2.
题后师说
解决向量垂直问题，一般利用向量垂直的充要条件a·b＝0求解．
巩固训练3
(1)[2023·河南安阳模拟]已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，3－m)，若a⊥b，则m＝(　　)
A．－3 B．－2
C．1 D．2
答案：D
解析：由a⊥b，得m－6＋2m＝0，则m＝2.
故选D.
(2)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝_____．
解析：由题意可得a·b＝1×1×cos 45°＝，
由向量垂直的充要条件可得(ka－b)·a＝0，
即k×a2－a·b＝k－＝0，解得k＝.
1.[2022·全国乙卷]已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　)
A．－2　　B．－1　　C．1　　D．2
答案：C
解析：将|a－2b|＝3两边平方，得a2－4a·b＋4b2＝9.因为|a|＝1，|b|＝，所以1－4a·b＋12＝9，解得a·b＝1.故选C.
2．[2022·新高考Ⅰ卷]在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　)
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
答案：B
解析：因为BD＝2DA，所以＝＝＋3＝＋3()＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B.
3．[2022·新高考Ⅱ卷]已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　)
A．－6 B．－5 C．5 D．6
答案：C
解析：因为a＝(3，4)，b＝(1，0)，所以c＝a＋tb＝(3＋t，4)．由题意，得cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，即＝，解得t＝5.故选C.
4．[2020·新高考Ⅰ卷]已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　　)
A.(－2，6) B．(－6，2)
C．(－2，4) D．(－4，6)
答案：A
解析：·＝||·||·cos ∠PAB＝2||·cos ∠PAB，又||cos ∠PAB表示在方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又·＝2×2×cos 30°＝6，·＝2×2×cos 120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈(－2，6)，故选A.
5．[2021·新高考Ⅰ卷](多选)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则(　　)
|＝|
|＝|
＝
＝
答案：AC
解析：A：＝＝(cos β，－sin β)，
所以|＝＝1，
|＝＝1，故|＝|，正确；
B：＝＝(cos β－1，－sin β)，所以|＝＝
＝＝ ＝2|sin |，
同理|＝＝2|sin |，故|不一定相等，错误；
C：由题意得＝1×cos (α＋β)＋0×sin (α＋β)＝＝cos α·cos β＋sin α·(－sin β)＝cos (α＋β)，正确；
D：由题意得：＝1×cos α＋0×sin α＝＝cos β×cos (α＋β)＋(－sin β)×sin (α＋β)＝cos [β＋(α＋β)]＝cos ，故一般来说，错误．故选AC.
6．[2022·全国甲卷]已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1)，若a⊥b，则m＝________．
－
解析：由a⊥b，可得a·b＝(m，3)·(1，m＋1)＝m＋3m＋3＝0，所以m＝－.
7．[2021·新高考Ⅱ卷]已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________．
－
解析：由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，因此a·b＋b·c＋c·a＝－.第三节　平面向量的数量积
【课标标准】　1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，能用坐标表示平面向量垂直的条件.4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面的夹角.5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用．
必备知识·夯实双基
知识梳理
1．数量积的有关概念
(1)向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则________＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作________．
(2)数量积的定义
已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝________．
(3)投影向量：如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．
2．平面向量数量积的性质
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
a·b＝|a||b|cos θ＝____________，|a|＝＝____________，cos θ＝＝________，a⊥b a·b＝0 ________．
3．平面向量数量积的运算律
已知向量a，b，c和实数λ.
(1)交换律：a·b＝________；
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝________(λ∈R)；
(3)分配律：(a＋b)·c＝________．
[常用结论]
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(3)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立(因为a与b的夹角为0时不成立)．
(4)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立(因为a与b的夹角为π时不成立)．
(5)若＝λ()，则AP所在直线为∠BAC的平分线．
夯实双基
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两向量的数量积是一个向量．(　　)
(2)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　)
(3)(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　)
(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　)
2．(教材改编)已知|a|＝5，|b|＝，a·b＝5，则a与b的夹角θ＝(　　)
A．45° B．135°
C．－45° D．30°
3．(教材改编)已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(m，2)，且a⊥b，则|a＋b|＝________．
4．(易错)已知在△ABC中，·>0，则△ABC的形状是________三角形．
5．(易错)设向量a＝(x，－4)，b＝(1，－x)，向量a与b的夹角为锐角，则x的取值范围为________．
关键能力·题型突破
题型一　平面向量数量积的运算
例 1(1)已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上投影向量是4e，则a·b为(　　)
A．12 B．8
C．－8 D．2
(2)
[2023·河南南阳模拟]如图，在正六边形ABCDEF中，若||＝2，G为CD的中点，则·＝(　　)
A．7 B．5
C．3 D．1
(3)
[2023·广东广州模拟]如图放置的边长为2的正方形ABCD顶点A，D分别在x轴，y轴正半轴(含原点)上滑动，则·的最大值是________．
题后师说
平面向量数量积运算的3种策略
巩固训练1
(1)已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，x)，若a∥b，则(a＋b)·b＝(　　)
A．5 B．15
C．－5 D．－15
(2)[2023·山东枣庄模拟]在长方形ABCD中，AB＝，AD＝2，点M满足＝，点N满足＝2，则·＝(　　)
A．1 B．0.5
C．3 D．1.5
(3)
[2023·辽宁东北育才学校模拟]在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝2，AB＝4，∠ABC＝，P是BC的中点，则·＝________．
题型二　平面向量数量积的模与夹角
例 2(1)[2023·河南平顶山模拟]已知向量a，b满足a＝(1，1)，|b|＝2，(a－b)·a＝1，则|a－b|＝(　　)
A．2　　　B．　　　C．　　　D．2
(2)[2023·辽宁锦州模拟]若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与a的夹角为(　　)
A． B． C． D．
题后师说
(1)求平面向量的模的方法
利用公式|a|2＝a2＝a·a，|a|＝或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2把向量模的运算转化为数量积的运算．
(2)求平面向量的夹角的方法
一般是利用夹角公式：cos θ＝.
巩固训练2
(1)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a＋b|＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
(2)[2023·河北保定模拟]已知向量a＝(1，－)，|b|＝3，a·b＝3，则a与b的夹角为________．
题型三　平面向量的垂直
例 3(1)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　)
A．a＋2b　　B. 2a＋b
C. a－2b D. 2a－b
(2)已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a·b＝1，(ka＋2b)⊥(a－kb)，则实数k的值为________．
题后师说
解决向量垂直问题，一般利用向量垂直的充要条件a·b＝0求解．
巩固训练3
(1)[2023·河南安阳模拟]已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，3－m)，若a⊥b，则m＝(　　)
A．－3 B．－2
C．1 D．2
(2)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________．
1.[2022·全国乙卷]已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　)
A．－2　　B．－1　　C．1　　D．2
2．[2022·新高考Ⅰ卷]在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　)
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
3．[2022·新高考Ⅱ卷]已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　)
A．－6 B．－5 C．5 D．6
4．[2020·新高考Ⅰ卷]已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　　)
A.(－2，6) B．(－6，2)
C．(－2，4) D．(－4，6)
5．[2021·新高考Ⅰ卷](多选)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则(　　)
|＝|
|＝|
＝
＝
6．[2022·全国甲卷]已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1)，若a⊥b，则m＝________．
7．[2021·新高考Ⅱ卷]已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________．
第三节　平面向量的数量积
必备知识·夯实双基
知识梳理
1．(1)∠AOB　a⊥b　(2)|a||b|cos θ　|a||b|cos θ
2．x1x2＋y1y2　　 x1x2＋y1y2＝0
3．b·a　a·(λb)　a·c＋b·c
夯实双基
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：∵cos θ＝＝＝，
∴θ＝45°.
故选A.
答案：A
3．解析：因为a⊥b，故2m－2＝0，m＝1，故a＋b＝(3，1)，
故|a＋b|＝.
答案：
4．解析：由·>0，得角A的补角为锐角，所以角A为钝角，所以△ABC为钝角三角形．
答案：钝角
5．解析：由向量a＝(x，－4)，b＝(1，－x)，因为向量a与b的夹角为锐角，则x×1＋(－4)×(－x)>0且≠，解得x>0且x≠2，即x的取值范围为(0，2)
答案：(0，2)
关键能力·题型突破
例1　解析：(1)a在b方向上投影向量为|a|cos θ·e＝4e，
∴|a|cos θ＝4，∴a·b＝|a||b|cos θ＝4×3＝12.
故选A.
(2)如图，延长AB，DC交于点H，
则∠ABC＝120°，∠BHC＝60°，
所以·＝·()＝||2＋··
＝4＋2×2cos 60°＋2×1cos 120°＝5.
故选B.
(3)设A(x，0)，D(0，y)，则x2＋y2＝4，
所以B(x＋y，x)，C(y，x＋y)，
于是·＝(x＋y，x)·(y，x＋y)＝x2＋2xy＋y2≤2(x2＋y2)＝8.
当且仅当x＝y＝时，等号成立．
答案：(1)A　(2)B　(3)8
巩固训练1　解析：(1)若a∥b，则2x＋4＝0，解得x＝－2.
所以b＝(－1，－2)，所以a＋b＝(1，2)，
所以(a＋b)·b＝－1－4＝－5.
故选C.
(2)如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(，0)，C(，2)，D(0，2)，
由＝知M(，1)，
由＝2知N(，2)，则＝(－，1)，＝(，2)，故·＝－＋1×2＝1.
故选A.
(3)因为P是BC的中点，
所以＝＝，
因为AD＝BC＝2，AB＝4，∠ABC＝，
所以·＝－·()
＝2－·
＝16－×2×4×＝14.
答案：(1)C　(2)A　(3)14
例2　解析：(1)由(a－b)·a＝1得a2－a·b＝1，
因为a＝(1，1)，所以a2＝1＋1＝2，
故a·b＝1.
|a－b|＝＝＝2.
故选A.
(2)由条件可知|a＋b|＝|a－b|，两边平方后得a·b＝0，
并且|a－b|＝|a|，
cos 〈a－b，a〉＝＝＝，
因为向量夹角的范围是[0，π]，所以向量a－b与a的夹角为.
故选A.
答案：(1)A　(2)A
巩固训练2　解析：(1)因为向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，
所以|2a＋b|2＝(2a＋b)2＝4|a|2＋4a·b＋|b|2＝4＋0＋4＝8，
则|2a＋b|＝2.
故选A.
(2)因为a＝(1，－)，所以|a|＝ ＝2，
设向量a与b的夹角为θ，因为cos θ＝＝＝，因为θ∈，所以θ＝.
答案：(1)A　(2)
例3　解析：(1)由已知可得a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝1×1×＝.
因为(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2×1＝≠0，所以A选项不符合题意；
因为(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×＋1＝2≠0，所以B选项不符合题意；
因为(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2×1＝－≠0，所以C选项不符合题意；
因为(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×－1＝0，所以D选项符合题意．
故选D.
(2)由题意可得(ka＋2b)·(a－kb)＝0，即ka2＋(2－k2)a·b－2kb2＝0，
∴9k＋(2－k2)×1－2k×4＝0，解得k＝－1或2，
所以实数k的值是－1或2.
答案：(1)D　(2)－1或2
巩固训练3　解析：(1)由a⊥b，得m－6＋2m＝0，则m＝2.
故选D.
(2)由题意可得a·b＝1×1×cos 45°＝，
由向量垂直的充要条件可得(ka－b)·a＝0，
即k×a2－a·b＝k－＝0，解得k＝.
答案：(1)D　(2)
真题展台——知道高考考什么？
1．解析：将|a－2b|＝3两边平方，得a2－4a·b＋4b2＝9.因为|a|＝1，|b|＝，所以1－4a·b＋12＝9，解得a·b＝1.故选C.
答案：C
2．解析：因为BD＝2DA，所以＝＝＋3＝＋3()＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B.
答案：B
3．解析：因为a＝(3，4)，b＝(1，0)，所以c＝a＋tb＝(3＋t，4)．由题意，得cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，即＝，解得t＝5.故选C.
答案：C
4．解析：
·＝||·||·cos ∠PAB＝2||·cos ∠PAB，又||cos ∠PAB表示在方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又·＝2×2×cos 30°＝6，·＝2×2×cos 120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈(－2，6)，故选A.
答案：A
5．解析：A：＝＝(cos β，－sin β)，
所以|＝＝1，
|＝＝1，故|＝|，正确；
B：＝＝(cos β－1，－sin β)，所以|＝＝
＝＝ ＝2|sin |，
同理|＝＝2|sin |，故|不一定相等，错误；
C：由题意得＝1×cos (α＋β)＋0×sin (α＋β)＝＝cos α·cos β＋sin α·(－sin β)＝cos (α＋β)，正确；
D：由题意得：＝1×cos α＋0×sin α＝＝cos β×cos (α＋β)＋(－sin β)×sin (α＋β)＝cos [β＋(α＋β)]＝cos ，故一般来说，错误．故选AC.
答案：AC
6．解析：由a⊥b，可得a·b＝(m，3)·(1，m＋1)＝m＋3m＋3＝0，所以m＝－.
答案：－
7．解析：由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
因此a·b＋b·c＋c·a＝－.
答案：－

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