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课时作业(三十三)　平面向量的综合应用
一、单项选择题
1．已知向量a＝(1，－2)，b＝(sinα，cosα)，若a∥b，则tanα＝(　　)
A．－B．－2
C．D．2
2．在平面四边形ABCD中，＝(－2，3)，＝(6，4)，则该四边形的面积为(　　)
A．2B．4
C．13D．26
3．已知B是以线段AC为直径的圆上的一点(异于点A，C)，其中|AB|＝2，则·＝(　　)
A．1B．2
C．3D．4
4．[2023·河南禹州模拟]在△ABC中，AB＝1，AC＝3，·＝1，则BC＝(　　)
A．B．2
C．D．2
5．在四边形ABCD中，＝，(＋)·(－)＝0，则这个四边形是(　　)
A．菱形B．矩形
C．正方形D．等腰梯形
6.
[2023·河南开封模拟]如图，正六边形ABCDEF的边长为1，延长FD，BC交于H，则·＝(　　)
A．3B．－3
C．9D．－9
7．(能力题)△ABC是边长为4的等边三角形，点D、E分别在边AC、BC上，且DE⊥BC，则·的最小值为(　　)
A．B．－
C．3D．－3
8．(能力题)[2023·江西南昌模拟]在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，若a2＋b2－c2＝4S△ABC，且(＋)·＝0，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰非直角三角形
B．三边均不相等的直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
9．(能力题)在△ABC中，·(－4)＝0，则cosA的最小值为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
二、多项选择题
10．[2023·辽宁沈阳模拟]已知α、β∈[0，2π)，a＝(cosα，sinα)，b＝(cos (α＋β)，sin (α＋β))，且|2a－3b|＝，则β可能为(　　)
A．B．
C．πD．
11．(能力题)[2023·湖北武汉模拟]平面向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cos (α＋β)，sin (α＋β))，c＝(cos (α＋2β)，sin (α＋2β))，其中0°<β<180°，则(　　)
A．|a－b|＝|b－c|
B．(a＋c)∥b
C．若|a＋c|＝|b|，则β＝30°
D．若a＋b＋c＝0，则β＝120°
三、填空题
12.
如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E为BC的中点，若＝2，则·＝________．
13．[2023·江西芦溪模拟]已知向量a＝(，tanα)，b＝(cosα，1)，α∈(，π)，且a∥b，则sin2α＝________．
14．(能力题)设P为△ABC所在平面上一点，且满足＋2＝m(m>0)，若△ABP的面积为2，则△ABC的面积为________．
四、解答题
15．已知向量m＝(2sin，2)，n＝(cos，cos2).
(1)若m·n＝2，求cos(x＋)的值；
(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求f(A)的取值范围．
?优生选做题?
16.
如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥CB，∠ABC＝60°，AB＝2，AD＝，E为线段CD的中点，F为线段AB上一动点，且＝λ＋μ，则λ的最大值与最小值的比值为________．
17．在△ABC中，a＝4，c＝4，∠BAC＝，P为△ABC内部(包含边界)的动点，且PA＝1.
(1)求|＋|；
(2)求·的取值范围．
课时作业（三十三）　平面向量的综合应用
1．解析：因为a＝（1，－2），b＝（sinα，cosα）且a∥b，所以1×cosα＝－2×sinα，所以tanα＝＝－.故选A.
答案：A
2．解析：∵·＝－12＋12＝0，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD面积为||·||＝××＝13.故选C.
答案：C
3．解析：
如图所示，
B是以线段AC为直径的圆上的一点，
|AB|＝2，
∴⊥，
∴·＝（＋）·
＝2＋·
＝||2＋0
＝4.
故选D.
答案：D
4．解析：
·＝·（－）＝||·||·cosA－||2＝1，
∴cosA＝，
∴BC2＝12＋32－2×1×3×＝6，
∴BC＝.
故选A.
答案：A
5．解析：由题意，＝，
即|AD|＝|BC|，且AD∥BC，
故四边形ABCD为平行四边形．
又（＋）·（－）＝·＝0，
故AC⊥BD，
即四边形ABCD为菱形．
故选A.
答案：A
6．解析：由正六边形的性质易得，∠E＝∠EDC＝120°，∠EDF＝30°，所以CD⊥FH，
所以△CDH为直角三角形，且∠CHD＝30°，CH＝2，DH＝，
在△DEF中，||＝＝，
所以||＝3，||＝2，
所以·＝||·||·cos150°＝3×2×＝－9.
故选D.
答案：D
7．解析：
△ABC是边长为4的等边三角形，点D、E分别在边AC、BC上，且DE⊥BC，
则以C为原点，CB所在的直线为x轴，平面内过C垂直于CB的直线为y轴，如图所示：
则C（0，0），A（2，2），B（4，0）.
因为点D、E分别在边AC、BC上，且DE⊥BC.
设E（m，0）且0所以·＝（2－m，2－m）·（0，－m）＝3m2－6m＝3（m－1）2－3.
故当m＝1时，·的最小值为－3.
故选D.
答案：D
8．解析：由a2＋b2－c2＝4S△ABC，
可得2abcosC＝2absinC，
所以tanC＝，所以C＝，由·＝0可得B＝C，所以B＝C＝.
故选A.
答案：A
9．解析：在△ABC中，＝－，
所以·（－4）＝（－）·（－4）＝－4||2－||2＋5·
＝－4||2－||2＋5||·||cosA＝0，
设||＝b，||＝c，
所以－4b2－c2＋5bccosA＝0，所以cosA＝≥＝，当且仅当c＝2b时，取等号．
故选D.
答案：D
10．解析：2a－3b＝（2cosα－3cos（α＋β），2sinα－3sin（α＋β）），
由于|2a－3b|＝，
所以＝，
[2cosα－3cos（α＋β）]2＋[2sinα－3sin（α＋β）]2＝19，
4cos2α＋4sin2α＋9cos2（α＋β）＋9sin2（α＋β）－12[cosαcos（α＋β）＋sinαsin（α＋β）]＝19，
4＋9－12cos [α－（α＋β）]＝19，cosβ＝－.
cos＝，cos＝－，cosπ＝－1，cos＝cos（π＋）＝－cos＝－，
所以在四个选项中，BD选项符合题意．
故选BD.
答案：BD
11．解析：
如图所示，因为|a|＝|b|＝|c|＝1，故在单位圆中分别作出＝a，＝b，＝c.
对A，|a－b|＝|AB|，|b－c|＝|BC|，因为∠AOB＝∠BOC＝β，则|AB|＝|BC|，即|a－b|＝|b－c|，故A正确；
对B，因为∠AOB＝∠BOC＝β，故OB为OA，OC的角平分线，且OA＝OC＝1，根据向量的加法法则可得（a＋c）∥b，故B正确；
对C，当β＝60°时，易得△OAB，△BOC均为正三角形，根据向量加法的平行四边形法则可得a＋c＝b，此时|a＋c|＝|b|，故C错误；
对D，由B，设（a＋c）＝λb，λ∈R，则因为a＋b＋c＝0，故（λ＋1）b＝0，解得λ＝－1，由平行四边形法则可得此时△ABC为正三角形，β＝120°，故D正确．
故选ABD.
答案：ABD
12．解析：
以A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，
则A（0，0），B（3，0），C（3，4），D（0，4），
因为点E为BC的中点，且＝2，
所以E（3，2），F（2，4），
故＝（3，2），＝（2，4），
所以·＝6＋8＝14.
答案：14
13．解析：因为向量a＝（，tanα），b＝（cosα，1），且a∥b，
所以cosαtanα＝，得sinα＝，
因为α∈（，π），
所以cosα＝－＝－＝－，
所以sin2α＝2sinαcosα＝2××（－）＝－.
答案：－
14．解析：因为＋2＝m（m>0），
所以＋＝（m>0），
令＝＋，则－＝－，
所以＝，所以D为AC上靠近C的三等分点，
因为＝，所以∥，
所以S△ABP＝S△ABD＝S△ABC＝2，
所以S△ABC＝3.
答案：3
15．解析：（1）m·n＝2sincos＋2cos2＝sin＋cos＋1＝2sin（＋）＋1.
∵m·n＝2，∴sin（＋）＝.
cos（x＋）＝1－2sin2（＋）＝.
（2）∵（2a－c）cosB＝bcosC，
由正弦定理得（2sinA－sinC）cosB＝sinBcosC，
∴2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC，
∴2sinAcosB＝sin（B＋C）.
∵A＋B＋C＝π，
∴sin（B＋C）＝sinA，且sinA≠0，
∴cosB＝，
∵B∈（0，π），
∴B＝，
∴0∴<＋<，又∵f（x）＝m·n＝2sin（＋）＋1，
∴f（A）＝2sin（＋）＋1∈（2，3），
故f（A）的取值范围是（2，3）.
16．解析：
延长AD，BC交于点G，
在Rt△ABG中，AG＝ABtanB＝2，
∴GD＝AG－AD＝，
又∠G＝90°－60°＝30°，DC⊥BC，
∴CD＝GD＝.
由＝λ＋μ得·＝λ·＋μ·＝λ×·cos120°＝－.
根据在上的投影向量，可得（·）max＝·＝·＋·＝，此时λ＝－.
（·）min＝·＝·＋·＝－，此时λ＝.
∴λ的最大值与最小值的比值为＝－3.
答案：－3
17．解析：（1）在△ABC中，由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccosA，
即48＝b2＋16＋4b，解得b＝4或b＝－8（舍），
所以|＋|2＝（＋）2＝2＋2＋2·＝16.
所以|＋|＝4.
（2）以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
设∠PAB＝α（0≤α≤π），则P点坐标为（cosα，sinα）.
由（1）知，AB＝AC＝4，∠BAC＝，
所以B点坐标为（4，0），C点坐标为（－2，2）.
所以＝（4－cosα，－sinα），＝（－2－cosα，2－sinα）.
所以·＝－2sinα－2cosα－7＝－4sin（α＋）－7.
因为0≤α≤，所以≤α＋≤.
所以≤sin（α＋）≤1，所以－11≤·≤－9.
所以·的取值范围是[－11，－9].(共30张PPT)
第四节　平面向量的综合应用
关键能力·题型突破
题型一　向量与平面几何
例 1(1)在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
答案：C
解析：∵·＝()·()＝()·()
＝||2－|AB|2＝×9－×16＝0.
∴AN⊥MN，
∴△AMN是直角三角形．
故选C.
(2)[2023·辽宁沈阳模拟]如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，BC＝2，P是线段AB上的动点，则|＋4|的最小值为(　　)
A．3 B．6
C．2 D．4
答案：B
解析：如图，以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系，设AB＝a，BP＝x(0≤x≤a)，
因为AD＝1，BC＝2，
所以P(0，x)，C(2，0)，D(1，a)，
所以＝(2，－x)，＝(1，a－x)，
4＝(4，4a－4x)，
所以＋4＝(6，4a－5x)，
所以|＋4|＝≥6，
所以当4a－5x＝0，即x＝a时，|＋4|的最小值为6.
故选B.
题后师说
平面几何问题的向量解法
巩固训练1
(1)如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，＝4，则·＝(　　)
A． B．－
C．－ D．－
答案：B
解析：以CD的中点O为原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
依题意可得D(－，0)，C(，0)，A(－1，)，E(，)，
所以＝(－)，＝()，
故·＝－＝－.
故选B.
(2)若△ABC是边长为2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，则·()的值为________．
－
解析：已知△ABC是边长为2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，
则AM＝MD＝＝，
又＝2，
则·()＝－22＝－2×()2＝－.
题型二　向量与三角函数
例 2设向量a＝(cos x，sin x)，b＝(sin x，sin x)．
(1)若a∥b，求cos 2x的值；
(2)设函数f(x)＝(b－a)·a，x∈[－π，π]，求f(x)的零点．
解析：(1)由a∥b，得cos x sin x－sin 2x＝0，所以sin x＝0或cos x＝sin x，若sin x＝0，则cos 2x＝1－2sin 2x＝1.
若cos x＝sin x，又sin 2x＋cos 2x＝1，则sin 2x＝，cos 2x＝1－2sin 2x＝.综上，cos 2x的值为1或.
(2)f(x)＝b·a－a2＝sin x cos x＋sin 2x－1＝sin 2x＋－1＝sin (2x－)－.
令f(x)＝0，得sin (2x－)＝，又x∈[－π，π]，知2x－∈，
则2x－＝－，－，所以x＝－，－.
题后师说
向量与三角函数综合问题的解法
解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键：准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数问题解决．
巩固训练2
已知a＝(sin 2x，cos 2x)，b＝(，2)，f(x)＝a·b－1＋m的最大值为2.
(1)求函数f(x)的最小正周期及m的值；
(2)若x∈，求出当x取何值时函数f(x)取得最小值并求出最小值？
解析：(1)f(x)＝sin 2x＋2cos2x－1＋m＝sin2x＋cos 2x＋m
＝2(sin 2x＋cos 2x)＋m＝2(cos sin 2x＋sin cos 2x)＋m
＝2sin (2x＋)＋m，
∴T＝＝＝π，
f(x)的最大值为2×1＋m＝2，
解得m＝0.
(2)由(1)得f(x)＝2sin (2x＋)，
∵x∈，∴2x＋∈，
∴当2x＋＝时，即x＝时，f(x)min＝2×(－)＝－1.
题型三　向量与解三角形
例 3[2023·河北秦皇岛模拟]已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C所对的边，向量m＝(a－b，c－a)，n＝(sin B，sin A＋sin C)，且m⊥n.
(1)求角C；
(2)若sin B解析：(1)因为m⊥n，所以(a－b)×sin B＋(sin A＋sin C)(c－a)＝0，
由正弦定理得(a－b)×b＝(a＋c)(a－c)．
即a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理得cos C＝＝，
因为0(2)在三角形ADC中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD cos ∠ACD，
即13＝16＋CD2－4CD，解得CD＝1或CD＝3，即a＝2或a＝6，
因为sin B因为C＝，所以A>C>B，故a>c>b，所以a＝6，
所以S△ABC＝ab sin C＝×6×4×＝6.
题后师说
向量与解三角形综合问题的解题策略
巩固训练3
[2023·广东广州模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足b cos ＝a sin B．
(1)求A；
(2)若a＝·＝3，AD是△ABC的中线，求AD的长．
解析：(1)cos ＝cos ()＝sin ，
∴b sin ＝a sin B，
由正弦定理得sin B sin ＝sin A sin B，
∵sin B≠0，∴sin ＝sin A，
∴sin ＝2sin cos ，∵A∈(0，π)，∈(0，)，
∴sin ≠0，
得cos ＝，即＝，
∴A＝.
(2)∵·＝3，
∴bc cos (π－A)＝3，得bc＝6，
由余弦定理得b2＋c2＝a2＋2bc cos A＝13，
＝)，
∴||2＝)2＝(c2＋b2＋2bc cos A)＝，
∴||＝，
即AD的长为.
专题突破 　平面向量与三角形的“四心”
微专题1 平面向量与三角形的重心
(1)三角形的重心：三角形的三条中线的交点．
(2)O是△ABC的重心 ＝0.
例 1 已知O是△ABC所在平面上的一点，若＝)(其中P为平面上任意一点)，则点O是△ABC的(　　)
A．外心　　B．内心　　C．重心　　D．垂心
答案：C
解析：由已知得
3＝，
所以3＋3＝，
即＝0，
所以点O是△ABC的重心．
故选C.
微专题2 平面向量与三角形的垂心
(1)三角形的垂心：三角形的三条高线的交点．
(2)O是△ABC的垂心 ·＝·＝·

例 2 已知点O为△ABC所在平面内一点，且＋＝＋＝＋，则点O一定为△ABC的(　　)
A．外心　　　 B．内心 C．重心　　　 D．垂心
答案：D
解析：因为＋＝＋，
所以－＝－，
所以()·()＝()·()，
所以·()＝·()，
所以·()＝0，
所以·()＝0，
所以·＝0，
所以⊥.
同理可得⊥⊥.
所以O为△ABC的垂心．
故选D.
微专题3 平面向量与三角形的外心
(1)三角形的外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．
(2)O是△ABC的外心 ||＝||＝||(或＝＝)．

例 3 已知点O是△ABC所在平面上的一点．若()·＝()·＝()·＝0，则点O是△ABC的(　　)
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
答案：A
解析：()·()＝()·()＝()·()＝0 －＝－＝－＝0 ||＝||＝||.所以点O是△ABC的外心．
故选A.
微专题4 平面向量与三角形的内心
(1)三角形的内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)．
(2)O是△ABC的内心 ·()＝·()＝·()＝0.
例4 O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：＝＋λ()，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心
答案：A
解析：∵、分别表示向量、方向上的单位向量，
∴的方向与∠BAC的角平分线一致，
又∵＝＋λ()，λ∈[0，＋∞)，
∴＝＝λ()，λ∈[0，＋∞)，
∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致，
∴一定通过△ABC的内心．
故选A.第四节　平面向量的综合应用
关键能力·题型突破
题型一　向量与平面几何
例 1(1)在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
(2)[2023·辽宁沈阳模拟]如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，BC＝2，P是线段AB上的动点，则|＋4|的最小值为(　　)
A．3 B．6
C．2 D．4
题后师说
平面几何问题的向量解法
巩固训练1
(1)如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，＝4，则·＝(　　)
A． B．－
C．－ D．－
(2)若△ABC是边长为2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，则·()的值为________．
题型二　向量与三角函数
例 2设向量a＝(cos x，sin x)，b＝(sin x，sin x)．
(1)若a∥b，求cos 2x的值；
(2)设函数f(x)＝(b－a)·a，x∈[－π，π]，求f(x)的零点．
题后师说
向量与三角函数综合问题的解法
解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键：准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数问题解决．
巩固训练2
已知a＝(sin 2x，cos 2x)，b＝(，2)，f(x)＝a·b－1＋m的最大值为2.
(1)求函数f(x)的最小正周期及m的值；
(2)若x∈，求出当x取何值时函数f(x)取得最小值并求出最小值？
题型三　向量与解三角形
例 3[2023·河北秦皇岛模拟]已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C所对的边，向量m＝(a－b，c－a)，n＝(sin B，sin A＋sin C)，且m⊥n.
(1)求角C；
(2)若sin B题后师说
向量与解三角形综合问题的解题策略
巩固训练3
[2023·广东广州模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足b cos ＝a sin B．
(1)求A；
(2)若a＝·＝3，AD是△ABC的中线，求AD的长．
专题突破 　平面向量与三角形的“四心”
微专题1平面向量与三角形的重心
(1)三角形的重心：三角形的三条中线的交点．
(2)O是△ABC的重心 ＝0.
　
例 1 已知O是△ABC所在平面上的一点，若＝)(其中P为平面上任意一点)，则点O是△ABC的(　　)
A．外心　　B．内心　　C．重心　　D．垂心
微专题2平面向量与三角形的垂心
(1)三角形的垂心：三角形的三条高线的交点．
(2)O是△ABC的垂心 ·＝·＝·
例 2 已知点O为△ABC所在平面内一点，且＋＝＋＝＋，则点O一定为△ABC的(　　)
A．外心　　　 B．内心 C．重心　　　 D．垂心
微专题3平面向量与三角形的外心
(1)三角形的外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．
(2)O是△ABC的外心 ||＝||＝||(或＝＝)．
例 3 已知点O是△ABC所在平面上的一点．若()·＝()·＝()·＝0，则点O是△ABC的(　　)
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
微专题4平面向量与三角形的内心
(1)三角形的内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)．
(2)O是△ABC的内心 ·()＝·()＝·()＝0.
例4 O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：＝＋λ()，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心
第四节　平面向量的综合应用
关键能力·题型突破
例1　解析：(1)∵·＝()·()＝()·()
＝||2－|AB|2＝×9－×16＝0.
∴AN⊥MN，
∴△AMN是直角三角形．
故选C.
(2)
如图，以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系，设AB＝a，BP＝x(0≤x≤a)，
因为AD＝1，BC＝2，
所以P(0，x)，C(2，0)，D(1，a)，
所以＝(2，－x)，＝(1，a－x)，4＝(4，4a－4x)，
所以＋4＝(6，4a－5x)，
所以|＋4|＝≥6，
所以当4a－5x＝0，即x＝a时，|＋4|的最小值为6.
故选B.
答案：(1)C　(2)B
巩固训练1　解析：(1)
以CD的中点O为原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
依题意可得D(－，0)，C(，0)，A(－1，)，E(，)，
所以＝(－)，＝()，
故·＝－＝－.
故选B.
(2)
已知△ABC是边长为2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，
则AM＝MD＝＝，
又＝2，
则·()＝－22＝－2×()2＝－.
答案：(1)B　(2)－
例2　解析：(1)由a∥b，得cos x sin x－sin 2x＝0，所以sin x＝0或cos x＝sin x，若sin x＝0，则cos 2x＝1－2sin 2x＝1.
若cos x＝sin x，又sin 2x＋cos 2x＝1，则sin 2x＝，cos 2x＝1－2sin 2x＝.综上，cos 2x的值为1或.
(2)f(x)＝b·a－a2＝sin x cos x＋sin 2x－1＝sin 2x＋－1＝sin (2x－)－.
令f(x)＝0，得sin (2x－)＝，又x∈[－π，π]，知2x－∈，
则2x－＝－，－，所以x＝－，－.
巩固训练2　解析：(1)f(x)＝sin 2x＋2cos2x－1＋m＝sin2x＋cos 2x＋m
＝2(sin 2x＋cos 2x)＋m＝2(cos sin 2x＋sin cos 2x)＋m
＝2sin (2x＋)＋m，
∴T＝＝＝π，
f(x)的最大值为2×1＋m＝2，
解得m＝0.
(2)由(1)得f(x)＝2sin (2x＋)，
∵x∈，∴2x＋∈，
∴当2x＋＝时，即x＝时，f(x)min＝2×(－)＝－1.
例3　解析：(1)因为m⊥n，所以(a－b)×sin B＋(sin A＋sin C)(c－a)＝0，
由正弦定理得(a－b)×b＝(a＋c)(a－c)．
即a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理得cos C＝＝，
因为0(2)在三角形ADC中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD cos ∠ACD，
即13＝16＋CD2－4CD，解得CD＝1或CD＝3，即a＝2或a＝6，
因为sin B因为C＝，所以A>C>B，故a>c>b，所以a＝6，
所以S△ABC＝ab sin C＝×6×4×＝6.
巩固训练3　解析：(1)cos ＝cos ()＝sin ，
∴b sin ＝a sin B，
由正弦定理得sin B sin ＝sin A sin B，
∵sin B≠0，∴sin ＝sin A，
∴sin ＝2sin cos ，∵A∈(0，π)，∈(0，)，
∴sin ≠0，
得cos ＝，即＝，
∴A＝.
(2)∵·＝3，
∴bc cos (π－A)＝3，得bc＝6，
由余弦定理得b2＋c2＝a2＋2bc cos A＝13，
＝)，
∴||2＝)2＝(c2＋b2＋2bc cos A)＝，
∴||＝，
即AD的长为.
专题突破 　平面向量与三角形的“四心”
例1　解析：由已知得
3＝，
所以3＋3＝，
即＝0，
所以点O是△ABC的重心．
故选C.
答案：C
例2　解析：因为＋＝＋，
所以－＝－，
所以()·()＝()·()，
所以·()＝·()，
所以·()＝0，
所以·()＝0，
所以·＝0，
所以⊥.
同理可得⊥⊥.
所以O为△ABC的垂心．
故选D.
答案：D
例3　解析：()·()＝()·()＝()·()＝0 －＝－＝－＝0 ||＝||＝||.所以点O是△ABC的外心．
故选A.
答案：A
例4　解析：∵、分别表示向量、方向上的单位向量，
∴的方向与∠BAC的角平分线一致，
又∵＝＋λ()，λ∈[0，＋∞)，
∴＝＝λ()，λ∈[0，＋∞)，
∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致，
∴一定通过△ABC的内心．
故选A.
答案：A

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