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2023年江苏省盐城市射阳县实验初级中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）数a的相反数是，则数a为（　　）
A．﹣ B．﹣2023 C． D．2023
2．（3分）下列数学符号中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A．∵ B．∠ C．≠ D．≌
3．（3分）根据地区生产总值统一核算结果，盐城市2023年第一季度实现地区生产总值1702.3亿元．将1702.3亿用科学记数法表示为（　　）
A．1.7023×103 B．1.7023×104
C．1.7023×1010 D．1.7023×1011
4．（3分）下列计算，正确的是（　　）
A．x4+x3＝x7 B．x2 x3＝x6 C．x6÷x5＝x D．（2x2）3＝6x6
5．（3分）如图所示的几何体的主视图、左视图或俯视图中，含有矩形的几何体共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（3分）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，下列结论正确的是（　　）
A．x1＝x2 B．﹣2x1＝﹣2x2
C．x1+x2＝﹣2 D．x1 x2＝1
7．（3分）如图，点C、D在线段AB上，且AC：CD：DB＝3：2：1．以点A为圆心，分别以线段AC、AD、AB为半径画同心圆，记以AC为半径的圆为区域Ⅰ，CD所在的圆环为区域Ⅱ，DB所在的圆环为区域Ⅲ．现在此图形中随机撒一把豆子，统计落在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域内的豆子数．若大量重复此实验，则（　　）
A．豆子落在区域Ⅰ的概率最小
B．豆子落在区域Ⅱ的概率最小
C．豆子落在区域Ⅲ的概率最小
D．豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同
8．（3分）如图，△ABC和△CDE是一副三角板，其中∠ACB＝∠CDE＝90°，∠CAB＝30°，∠E＝45°，AC＝EC．现按如图所示的方式摆放，点B在边CE上．若连接AD，则∠BAD的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）
9．（3分）分解因式：x2﹣4＝　 　．
10．（3分）已知式子有意义，则x的取值范围是　 　．
11．（3分）分式方程2﹣＝0的解是 　 　．
12．（3分）学校对各班级的卫生进行了检查，其中九（1）班的教室卫生是90分、卫生区卫生是85分、学生个人卫生是90分．若这三项成绩分别按35%、30%和35%计入总成绩，则该班这次卫生检查的总成绩是 　 　分．
13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P（a，3）和点Q（﹣2，b），则a：b的值为 　 　．
14．（3分）如图，沿弦AB折叠扇形纸片AOB，圆心O恰好落在上的点C处，若AB＝，则四边形OACB的面积为 　 　．
15．（3分）△ABC中，∠A、∠B都是锐角，cosA＝，sinB＝，AB＝8，则BC长为 　 　．
16．（3分）若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和等于0的点，则称该点为这个函数图象的“零点”．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，2）、B（0，2），若一次函数y＝kx﹣1图象上的“零点”为点C，则当△ABC为等腰三角形时，k的值为 　 　．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（6分）计算：2﹣3+（﹣2）0﹣cos60°．
18．（6分）解不等式组：
19．（8分）先化简，再求值：（x﹣1﹣）÷，其中x＝﹣2．
20．（8分）有4张扑克牌，牌面数字分别为2、3、4、4，其余都相同．小明随机从中摸出一张牌，记录牌面数字后放回；洗匀后再从中摸出一张牌，记录牌面数字后又放回．小明摸了100次，结果统计如下：
牌面数字 2 3 4 4
次数 26 24 30 20
（1）上述试验中，小明摸出牌面数字为3的频率是 　 　；小明摸一张牌，摸到牌面数字为3的概率是 　 　；
（2）若小明一次摸出两张牌，求小明摸出的两张牌的牌面数字之和为6的概率．
21．（8分）某校对所有九年级同学进行了数学运算水平（数学核心素养组成部分）的测试，并随机抽取了50名学生的测试成绩进行整理和分析．
成绩频数分布表
成绩等级 D等 C等 B等 A等
分数（单位：分） 60＜x≤70 70＜x≤80 80＜x≤90 90＜x≤100
学生数 a 13 12 16
其中B等成绩（单位：分）分别为：81，82，84，85，85，86，87，89，90，90，90，90．根据以上信息，解答下列问题：
（1）在80＜x≤90这一组成绩的众数是 　 　；
（2）表中a＝　 　，本次测试成绩的中位数为 　 　；
（3）测试成绩高于85分为优秀，请估计该校九年级400名学生中测试成绩为优秀的人数．
22．（10分）叙述并证明三角形中位线定理．
定理：　 　．
已知：如图，　 　；
求证：　 　；
证明：　 　．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，现按如下过程进行尺规作图：
①作边AB的垂直平分线，交AB于点O；
②连接OC，以点O为圆心，OC为半径，作△ABC的外接圆；
③在AB右侧作∠BOD＝∠CBO；
④在OD上取点E，使BE＝CO（点E、O不重合），连接BE．
（1）图中已完成了①和②，请在图中完成③④；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：四边形CBEO是平行四边形；
（3）当∠A＝　 　°时，BE与⊙O相切，请说明理由．
24．（10分）如图，OE是某景区一段坡度i＝1：7的上坡路段，CD为竖直（与水平面垂直）的监控立杆，点D处安装了摄像头，点A、B分别为摄像头的测速起点与终点．安装调试摄像头时，在摄像头D处测得点A的俯角为38.13°，点B的俯角为45°．已知BC＝10.6米，点O、A、B、C、D、E在同一平面内．
（1）求杆CD的高度；（精确到个位）
（2）一辆小汽车从A点驶向B点，摄像头两次测速抓拍的时间间隔为0.4秒．若∠CAD＝30°，此路段的限速是40千米/小时，试判断这辆小汽车是否超速违章，并说明理由．（参考数据：sin38.13°≈0.62，cos38.13°≈0.79，tan38.13°≈0.78，≈1.41）
25．（10分）A、B两地相距180km，甲车从A地驶往B地，乙车从B地以80km/h的速度匀速驶往A地，乙车比甲车晚出发ah．设甲车行驶的时间为x（h），甲、乙两车离A地的距离分别为y甲（km）、y乙（km），图中线段OP表示y甲与x的函数关系．
（1）若两车同时到达目的地：
①a的值为 　 　；
②在图中画出y乙（km）与x（h）的函数图象；
（2）若甲、乙两车在距A地90km至120km之间的某处相遇，求a的取值范围．
26．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，点E在边BA的延长线上，点F在边AD上，且AE＝BC，AF＝CD，延长EF交BD于点G．
（1）求证：△DFG是直角三角形；
（2）求cos∠AGB的值；
（3）探究三条线段AG、DG、EG之间的等量关系，并说明理由．
27．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+3的顶点为点D，与y轴相交于点C，与直线y＝x+1交于点A、B，且点A在x轴的负半轴上．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；
（2）求点C到直线AB的距离；
（3）点P是对称轴右侧抛物线上的一点，连接AD、AP，AP交对称轴于点M，当AM+DM最小时，求证：AB平分∠DAP．
2023年江苏省盐城市射阳县实验初级中学中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）数a的相反数是，则数a为（　　）
A．﹣ B．﹣2023 C． D．2023
【分析】符号不同，但绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可得出答案．
【解答】解：∵数a的相反数是，
∴a＝﹣，
故选：A．
【点评】本题考查相反数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．（3分）下列数学符号中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A．∵ B．∠ C．≠ D．≌
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
【解答】解：A、B，数学符号是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A、B不符合题意；
C、此数学符号是中心对称图形，但不是轴对称图形，故C符合题意；
D、此数学符号不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义．
3．（3分）根据地区生产总值统一核算结果，盐城市2023年第一季度实现地区生产总值1702.3亿元．将1702.3亿用科学记数法表示为（　　）
A．1.7023×103 B．1.7023×104
C．1.7023×1010 D．1.7023×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1702.3亿＝170230000000＝1.7023×1011．
故选：D．
【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列计算，正确的是（　　）
A．x4+x3＝x7 B．x2 x3＝x6 C．x6÷x5＝x D．（2x2）3＝6x6
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、单项式乘单项式运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别计算，进而得出答案．
【解答】解：A．x4+x3，无法合并，故此选项不合题意；
B．x2 x3＝x5，故此选项不合题意；
C．x6÷x5＝x，故此选项符合题意；
D．（2x2）3＝8x6，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、单项式乘单项式运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（3分）如图所示的几何体的主视图、左视图或俯视图中，含有矩形的几何体共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据几何体的三视图即可得出答案．
【解答】解：圆柱体的主视图与左视图均为矩形，长方体的主视图、左视图和俯视图均为矩形．
故选：B．
【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
6．（3分）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，下列结论正确的是（　　）
A．x1＝x2 B．﹣2x1＝﹣2x2
C．x1+x2＝﹣2 D．x1 x2＝1
【分析】计算根的判别式的值得到Δ＝8＞0，则利用根的判别式的意义可对A选项进行判断；根据乙元二次方程根的定义得到﹣2x1﹣1＝0，﹣2x2﹣1＝0，则﹣2x1﹣1＝﹣2x2﹣1，于是可对B选项进行判断；然后根据根与系数的关系对C选项和D选项进行判断．
【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴方程有两个不相等的实数解，即x1≠x2，所以A选项不符合题意；
∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，
∴﹣2x1﹣1＝0，﹣2x2﹣1＝0，
∴﹣2x1﹣1＝﹣2x2﹣1，
即﹣2x1＝﹣2x2，所以B选项符合题意；
∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，所以C选项和D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
7．（3分）如图，点C、D在线段AB上，且AC：CD：DB＝3：2：1．以点A为圆心，分别以线段AC、AD、AB为半径画同心圆，记以AC为半径的圆为区域Ⅰ，CD所在的圆环为区域Ⅱ，DB所在的圆环为区域Ⅲ．现在此图形中随机撒一把豆子，统计落在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域内的豆子数．若大量重复此实验，则（　　）
A．豆子落在区域Ⅰ的概率最小
B．豆子落在区域Ⅱ的概率最小
C．豆子落在区域Ⅲ的概率最小
D．豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同
【分析】分别计算出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域的面积即可判断出答案．
【解答】解：∵AC：CD：DB＝3：2：1，
∴设AC＝3x，CD＝2x，DB＝x，
∴Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域的面积分别为S1＝π （3x）2＝9x2π，S2＝π （5x）2﹣π （3x）2＝16x2π，S3＝π （6x）2﹣π （5x）2＝11x2π，
∵S2＞S3＞S1，
∴豆子落在区域Ⅰ的概率最小．
故选：A．
【点评】本题考查了几何概率，关键是计算出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域的面积．
8．（3分）如图，△ABC和△CDE是一副三角板，其中∠ACB＝∠CDE＝90°，∠CAB＝30°，∠E＝45°，AC＝EC．现按如图所示的方式摆放，点B在边CE上．若连接AD，则∠BAD的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】由SAS证明△ACD≌△ECD，因此∠CAD＝∠E＝45°，于是得到∠BAD＝∠CAD﹣∠CAB＝45°﹣30°＝15°．
【解答】解：∵∠CDE＝90°，∠E＝45°，
∴∠DCE＝90°﹣∠E＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCE＝45°，
∴∠ACD＝∠DCE，
∵AC＝EC，CD＝CD，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴∠CAD＝∠E＝45°，
∴∠BAD＝∠CAD﹣∠CAB＝45°﹣30°＝15°．
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是证明△ACD≌△ECD（SAS），得到∠CAD＝∠E＝45°．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）
9．（3分）分解因式：x2﹣4＝　（x+2）（x﹣2）　．
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．
10．（3分）已知式子有意义，则x的取值范围是　x＞﹣3　．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：由题意得：x+3＞0，
解得：x＞﹣3，
故答案为：x＞﹣3．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
11．（3分）分式方程2﹣＝0的解是 　x＝﹣　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2（x+1）﹣1＝0，
解得：x＝﹣，
检验：把x＝﹣代入得：x+1≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣．
故答案为：x＝﹣．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12．（3分）学校对各班级的卫生进行了检查，其中九（1）班的教室卫生是90分、卫生区卫生是85分、学生个人卫生是90分．若这三项成绩分别按35%、30%和35%计入总成绩，则该班这次卫生检查的总成绩是 　88.5　分．
【分析】利用总成绩＝教室卫生得分×35%+卫生区卫生得分×30%+学生个人卫生得分×35%，即可求出结论．
【解答】解：根据题意得：90×35%+85×30%+90×35%
＝31.5+25.5+31.5
＝88.5（分），
∴该班这次卫生检查的总成绩是88.5分．
故答案为：88.5．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，根据各数量之间的关系，列式计算是解题的关键．
13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P（a，3）和点Q（﹣2，b），则a：b的值为 　﹣　．
【分析】根据点P、Q都在同一个反比例函数图象上，可得3a＝﹣2b，整理即可得到a：b的值．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P（a，3）和点Q（﹣2，b），
∴3a＝﹣2b，
∴＝﹣．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，在同一个反比例函数图象上的两个点，它们点的纵横坐标之积相等．
14．（3分）如图，沿弦AB折叠扇形纸片AOB，圆心O恰好落在上的点C处，若AB＝，则四边形OACB的面积为 　8　．
【分析】由折叠可得AB垂直平分OC，再根据垂径定理得出AD＝BD，进而得出四边形OACB是菱形，根据直角三角形的边角关系求出OD，进而得出半径OC，由菱形的面积公式可求答案．
【解答】解：如图，连接OC交AB于点D，由题意可知，AB垂直平分OC，
即AB⊥OC，OD＝CD＝OC，AD＝BD＝AB＝2，
∵OA＝OC，
∴OD＝OA，
∴∠OAD＝30°，
∴∠AOD＝90°﹣30°＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
同理△BOC是等边三角形，
∴四边形OACB是菱形，
∴AD＝OA＝2，
∴OA＝4＝OC，
∴S四边形OACB＝AB OC＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查垂径定理，折叠的性质，掌握折叠的性质、垂径定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
15．（3分）△ABC中，∠A、∠B都是锐角，cosA＝，sinB＝，AB＝8，则BC长为 　6.5　．
【分析】首先根据题意画出示意图，作CD⊥AB于D，先在Rt△BCD中由，在Rt△CDA中，cosA＝，
设AD＝4x，AC＝41x，进而得BD＝12x，BC＝13x，求出x的值即可得出BC的长．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图：
在Rt△BCD中，，
在Rt△CDA中，cosA＝，
设AD＝4x，AC＝41x，
由勾股定理得：CD＝＝5x，
∴BD＝12x，BC＝13x，
∵AB＝8，
∴4x+12x＝8，
∴x＝，
∴BC＝13x＝6.5．
故答案为：6.5．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，解答此题的关键是根据题意画出示意图，熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义，以及他们之间的关系．
16．（3分）若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和等于0的点，则称该点为这个函数图象的“零点”．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，2）、B（0，2），若一次函数y＝kx﹣1图象上的“零点”为点C，则当△ABC为等腰三角形时，k的值为 　或或﹣2　．
【分析】首先根据点A，B的坐标得AB＝2，再设点C（m，﹣m），且点C在y＝kx﹣1的图象上．根据△ABC为等腰三角形，分三种情况进行讨论：
①AB为腰，且点A为顶点时，根据AC＝AB列出关于m的方程，解方程求出m，进而得点C的坐标，最后再将点C的坐标代入y＝kx﹣1即可求得k的值；
②AB为腰，且点B为顶点时，根据BC＝BA列出关于m的方程，解方程求出m，进而得点C的坐标，此时点C的坐标不合题意，即这种情况不存在；
③当AB为底边时，点C为顶点，此时点C在线段AB的垂直平分线上，可得点C的横坐标为1，进而得点C的坐标为（﹣1，1），然后将点C的坐标代入y＝kx﹣1即可求得k的值．
【解答】解：∵A（﹣2，2）、B（0，2），
∴AB＝2，
依题意设点C的坐标为（m，﹣m），且点C在y＝kx﹣1的图象上．
∵△ABC为等腰三角形，
∴有以下三种情况：
①AB为腰，且点A为顶点时，即：AB＝AC，
∵AC2＝（m+2）2+（m﹣2）2，AB2＝4，
∴（m+2）2+（m﹣2）2＝4，
解得：，，
当时，点C的坐标为，
∴，
解得：，
当时，点C的坐标为，
∴，
解得：，
②AB为腰，且点B为顶点时，即：BC＝BA，
∵BC2＝m2+（﹣m﹣2）2，BA2＝4，
∴m2+（﹣m﹣2）2＝4，
解得：m1＝0，m2＝﹣2，
当m＝0时，点C的坐标为（0，0），
∵点C（0，0）不在一次函数y＝kx﹣1的图象上，故不合题意，舍去，
当m＝﹣2时，点C的坐标为（﹣2，2），
此时点C与点A重合，A，B，C不能构成三角形，故不合题意，舍去，
③当AB为底边时，点C为顶点，
此时点C在线段AB的垂直平分线上，
∴点C的横坐标为1，
∴点C的坐标为（﹣1，1）
∴1＝﹣k﹣1，
解得：k＝﹣2．
综上所述：k的值为或或﹣2．
故答案为：或或﹣2．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象，等腰三角形的性质，解答此题的关键是理解题意进行分类讨论，漏解是解答此题的易错点．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（6分）计算：2﹣3+（﹣2）0﹣cos60°．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝+1﹣
＝．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．（6分）解不等式组：
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由x﹣2（x﹣1）≥1得：x≤1，
由＜x﹣1得：x＞2，
则不等式组无解．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（8分）先化简，再求值：（x﹣1﹣）÷，其中x＝﹣2．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再将x的值代入进行计算即可
【解答】解：（x﹣1﹣）÷，
＝（﹣），
＝，
＝，
当x＝﹣2时，原式＝＝＝＝1﹣2．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键，并注意将结果分母有理化．
20．（8分）有4张扑克牌，牌面数字分别为2、3、4、4，其余都相同．小明随机从中摸出一张牌，记录牌面数字后放回；洗匀后再从中摸出一张牌，记录牌面数字后又放回．小明摸了100次，结果统计如下：
牌面数字 2 3 4 4
次数 26 24 30 20
（1）上述试验中，小明摸出牌面数字为3的频率是 　　；小明摸一张牌，摸到牌面数字为3的概率是 　　；
（2）若小明一次摸出两张牌，求小明摸出的两张牌的牌面数字之和为6的概率．
【分析】（1）直接由频率定义和概率公式分别求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小明摸出的两张牌的牌面数字之和为6的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）上述试验中，小明摸出牌面数字为3的频率是＝；
小明摸一张牌，摸到牌面数字为3的概率是；
故答案为：，；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小明摸出的两张牌的牌面数字之和为6的结果有4种，
∴小明摸出的两张牌的牌面数字之和为6的概率为＝．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）某校对所有九年级同学进行了数学运算水平（数学核心素养组成部分）的测试，并随机抽取了50名学生的测试成绩进行整理和分析．
成绩频数分布表
成绩等级 D等 C等 B等 A等
分数（单位：分） 60＜x≤70 70＜x≤80 80＜x≤90 90＜x≤100
学生数 a 13 12 16
其中B等成绩（单位：分）分别为：81，82，84，85，85，86，87，89，90，90，90，90．根据以上信息，解答下列问题：
（1）在80＜x≤90这一组成绩的众数是 　90　；
（2）表中a＝　9　，本次测试成绩的中位数为 　84.5　；
（3）测试成绩高于85分为优秀，请估计该校九年级400名学生中测试成绩为优秀的人数．
【分析】（1）根据众数的定义求解即可；
（2）根据各等级人数之和等于总人数可得a的值，再依据中位数的定义可得答案；
（3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可．
【解答】解：（1）在80＜x≤90这一组成绩的众数是90，
故答案为：90；
（2）a＝50﹣（13+12+16）＝9，
本次测试成绩的中位数为＝84.5，
故答案为：9、84.5；
（3）400×＝184（名），
答：估计该校九年级400名学生中测试成绩为优秀的人数为184名．
【点评】本题主要考查众数和中位数及样本估计总体，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
22．（10分）叙述并证明三角形中位线定理．
定理：　三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．　．
已知：如图，　D、E分别为AB、AC的中点　；
求证：　DE∥BC，DE＝BC　；
证明：　见解析　．
【分析】延长DE至F，使EF＝DE，连接CF，证明△AED≌△CEF，根据全等三角形的性质得到AD＝CF，∠A＝∠ECF，证明四边形DBCF为平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可．
【解答】解：定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
已知：如图，D、E分别为AB、AC的中点；
求证：DE∥BC，DE＝BC；
证明：延长DE至F，使EF＝DE，连接CF，
在△AED和△CEF中，
，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴AD＝CF，∠A＝∠ECF，
∴AB∥EF，
∵AD＝DB，
∴DB＝CF，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DE＝BC．
故答案为：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；D、E分别为AB、AC的中点；DE∥BC，DE＝BC．
【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，现按如下过程进行尺规作图：
①作边AB的垂直平分线，交AB于点O；
②连接OC，以点O为圆心，OC为半径，作△ABC的外接圆；
③在AB右侧作∠BOD＝∠CBO；
④在OD上取点E，使BE＝CO（点E、O不重合），连接BE．
（1）图中已完成了①和②，请在图中完成③④；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：四边形CBEO是平行四边形；
（3）当∠A＝　45　°时，BE与⊙O相切，请说明理由．
【分析】（1）作一个角等于已知角的尺规作图和作一条线段等于已知线段；
（2）证明可证得∠BOC＝∠EBO，从而得出OC∥BE，根据∠BOE＝∠CBO可得出OE∥CB，进而得出结论；
（3）根据切线性质得出∠OBE＝90°，进而得出∠OBC＝∠BOE＝45°，进一步得出结果．
【解答】（1）解：如图1，
（2）证明：∵CO＝BO，
∴∠C＝∠BCO，
∵BE＝CO，
∴BO＝BE，
∴∠BOE＝∠BEO，
∵∠BOE＝∠CBO，
∠OE∥CB，∠OCB＝∠CBO＝∠BOE＝∠BEO，
∴∠BOC＝∠EBO，
∴OC∥BE，
∴四边形CBEO是平行四边形；
（3）解：当BE与⊙O相切时，∠OBE＝90°，
∴∠OBC＝∠BOE＝∠BEO＝45°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠CBO＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，切线性质，圆周角定理的推论，作一个角等于已知角等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
24．（10分）如图，OE是某景区一段坡度i＝1：7的上坡路段，CD为竖直（与水平面垂直）的监控立杆，点D处安装了摄像头，点A、B分别为摄像头的测速起点与终点．安装调试摄像头时，在摄像头D处测得点A的俯角为38.13°，点B的俯角为45°．已知BC＝10.6米，点O、A、B、C、D、E在同一平面内．
（1）求杆CD的高度；（精确到个位）
（2）一辆小汽车从A点驶向B点，摄像头两次测速抓拍的时间间隔为0.4秒．若∠CAD＝30°，此路段的限速是40千米/小时，试判断这辆小汽车是否超速违章，并说明理由．（参考数据：sin38.13°≈0.62，cos38.13°≈0.79，tan38.13°≈0.78，≈1.41）
【分析】（1）过点D作FD⊥DM，过点B作BM⊥DM交DC的延长线于点M，设CM为x，则BM为7x，由勾股定理求得CM＝1.5米，DM＝BM＝7x＝10.5 米，进而得到CD为9米，据此判断；
（2）过点C作CN⊥AD于点N，由∠FDN推导出∠DCN＝∠FDN＝38.13°，进而得到CN＝7.11米，AC＝14.22 米，AB＝3.62米，推导出小汽车的速度为32.58千米/小时，进而得出结论．
【解答】解：（1）如图，过点D作FD⊥DM，过点B作BM⊥DM交DC的延长线于点M，
∵OE是坡度i＝1：7的公路，
∴设CM为x米，则BM为7x米，
由勾股定理得：BC＝＝5x，
∵BC＝10.6米，
∴，即CM＝1.5米，
∵∠BDM＝∠BDF＝45°，
∴DM＝BM＝7x＝10.5 米，
∴CD＝DM﹣CM＝10.5﹣1.5＝9 米，
答：杆CD的高度约为9米；
（2）小汽车没有超速违章．理由如下：
如图，过点C作CN⊥AD于点N，
由题可知，∠FDN＝38.13°，
∵∠FDN+∠CDN＝∠DCN+∠CDN＝90°，
∴∠DCN＝∠FDN＝38.13°，
由（1）得CD＝9 米，
∴CN＝CD cos38.13°≈9×0.79＝7.11（米），
∵∠CAD＝30°，
∴AC＝2CN＝14.22 米，
∴AB＝AC﹣BC＝14.22﹣10.6＝3.62（米），
∴此时小汽车的速度为3.62÷0.4＝9.05（米/秒）＝32.58（千米/小时），
∵32.58＜40，
∴小汽车没有超速违章．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．
25．（10分）A、B两地相距180km，甲车从A地驶往B地，乙车从B地以80km/h的速度匀速驶往A地，乙车比甲车晚出发ah．设甲车行驶的时间为x（h），甲、乙两车离A地的距离分别为y甲（km）、y乙（km），图中线段OP表示y甲与x的函数关系．
（1）若两车同时到达目的地：
①a的值为 　0.75　；
②在图中画出y乙（km）与x（h）的函数图象；
（2）若甲、乙两车在距A地90km至120km之间的某处相遇，求a的取值范围．
【分析】（1）①甲车的速度为120÷2＝60（km/h）；
②求出乙车比甲车晚出发0.5h，即可画出图象，再求出y甲＝60x，y乙＝﹣80x+180，联立解析式解方程组即可得到答案；
（2）求得y甲＝60x，y乙＝180﹣80（x﹣m）＝﹣80x+180+80m，联立解方程组可得y甲＝y乙＝60（+m），根据甲、乙两车在距A地90km至120km之间的某处相遇，可列90＜60（+m）＜120，即可解得答案．
【解答】解：（1）①由图可得，甲车的速度为180÷3＝60（km/h），
∵乙车从B地以80km/h的速度匀速驶往A地，两车同时到达目的地，
∴乙车行驶时间为180÷80＝2.25（h），
∵3﹣2.25＝0.75（h），
∴乙车比甲车晚出发0.75h，
∴a＝0.75；
故答案为：0.75；
②画出y乙与x的函数图象如下：
图象CD即为y乙与x的函数图象，
由题意得y甲＝60x，
（2）设CD的函数表达式为y乙＝﹣80x+b，将（3，0）代入y乙＝﹣80x+b，得b＝240，
∴y乙＝﹣80x+240，
由﹣80x+240＝60x，解得x＝，
∴甲车出发后h与乙车相遇，
根据题意得y甲＝60x，y乙＝180﹣80（x﹣m）＝﹣80x+180+80m，
由60x＝﹣80x+180+80m得：x＝+m，
当x＝+m，y1＝y2＝60（+m），
∵甲、乙两车在距A地60km至72km之间的某处相遇，
∴90＜60（+m）＜120，
解得＜a＜，
∴a的范围是解得＜a＜．
【点评】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法，解题的关键是数形结合数形的应用．
26．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，点E在边BA的延长线上，点F在边AD上，且AE＝BC，AF＝CD，延长EF交BD于点G．
（1）求证：△DFG是直角三角形；
（2）求cos∠AGB的值；
（3）探究三条线段AG、DG、EG之间的等量关系，并说明理由．
【分析】（1）证明△AEF≌△ADB（SAS），得出∠AEF＝∠ADB，证得∠DFG＝90°，则结论得出；
（2）在线段EG上取点P，使得EP＝DG，证明△AEP≌△ADG（SAS），得AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，证得△PAG为等腰直角三角形，进而利用特殊角三角函数解答即可；
（3）结合（2）根据△PAG为等腰直角三角形，利用线段的和差可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，AD＝BC，AB＝CD，
∴∠EAF＝90°，
∴∠DAB＝∠EAF＝90°，
∵AE＝BC，AF＝CD，
∴AE＝AD，AF＝AB，
∴△AEF≌△ADB（SAS），
∴∠AEF＝∠ADB，
∵∠AFE＝∠DFG，
∴∠AEF+∠AFE＝∠ADB+∠DFG＝90°，
∴∠DFG＝90°，
∴△DFG是直角三角形；
（2）解：如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，
∵AE＝AD，∠E＝∠ADG，EP＝DG，
∴△AEP≌△ADG（SAS），
∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，
∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°，
∴△PAG为等腰直角三角形，
∴∠AGP＝45°，
∵∠BGF＝∠DFG＝90°，
∴∠AGB＝45°，
∴cos∠AGB＝，
∴cos∠AGB的值为；
（3）解：EG＝DG+AG，理由如下：
∵△PAG为等腰直角三角形，
∴PG＝AG，
∴EG＝PE+PG＝DG+AG．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰直角三角形的性质等知识，得到△AEP≌△ADG是解题的关键．
27．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+3的顶点为点D，与y轴相交于点C，与直线y＝x+1交于点A、B，且点A在x轴的负半轴上．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；
（2）求点C到直线AB的距离；
（3）点P是对称轴右侧抛物线上的一点，连接AD、AP，AP交对称轴于点M，当AM+DM最小时，求证：AB平分∠DAP．
【分析】（1）先由直线y＝x+1求出点A，把点A代入抛物线的函数表达式求出b，再利用配方法求顶点D的坐标；
（2）过C作CF⊥AB，放在等腰直角三角形△BCF中求CF；
（3）先利用胡不归模型确定点M的位置，再利用几何推理说明∠DAB＝∠BAP．
【解答】（1）解：令y＝x+1＝0得x＝﹣1，
∴点A（﹣1，0），代入y＝﹣x2+bx+3得，b＝2，
∴y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；
（2）解：如图1，连接BC，过C作CF⊥AB，垂足为F，过B作BH⊥x轴，垂足为H，
∵，
∴或，
∴B（2，3），
∵C（0，3），
∴BC∥x轴，
∵AH＝BH＝3，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴∠BAH＝45°，
∴∠ABC＝45°，
在等腰直角三角形△BCF中，CF＝＝＝，
∴点C到直线AB的距离为；
（3）证明：如图1，连接ME，过M作MN⊥AD，垂足为N，过E作EQ⊥AD，垂足为Q，则AM＝EM，
在Rt△ADR中，AR＝2，DR＝4，AD＝2，
∴sin∠ADR＝＝＝，
∴sin∠ADR＝＝，
∴MN＝DM，
∴AM+DM＝EM+MN≥EQ，
当EQ⊥AD时AM+DM最小，如图2所示：
∵∠DAE+∠ADR＝90°，∠DAE+∠AEQ＝90°，
∴∠ADR＝∠AEQ，
∵∠AEQ＝∠PAE
∴∠ADR＝∠PAE，
∵∠ADR+∠DAB＝∠DTB＝45°，∠PAE+∠BAP＝∠BAE＝45°，
∴∠DAB＝∠BAP，
∴AB平分∠DAP．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，并结合了等腰直角三角形和胡不归模型．对于（3），关键是利用胡不归模型确定点M的位置．
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