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(共35张PPT)
第九节　抛物线及其性质
必备知识·夯实双基
关键能力·题型突破
【课标标准】　1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点).3.了解抛物线的简单应用．
必备知识·夯实双基
知识梳理
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________.
相等
焦点
准线
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形
顶点 O(0，0) 对称轴 x轴 y轴 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦点 ________ ________ ________ ________
离心率 e＝1 准线方程 ________ ________ ________ ________
F(，0)
F(－，0)
F(0，)
F(0，－)
x＝－
x＝
y＝－
y＝
夯实双基
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)
(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.(　　)
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)
(4)抛物线的方程都是二次函数．(　　)
×
√
×
×
2．(教材改编)已知抛物线的焦点坐标为(0，)，则该抛物线的标准方程为(　　)
A．y2＝2x B．y2＝x
C．x2＝2y D．x2＝－2y
答案：C
解析：由题意可设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，
则＝，得p＝1.
∴抛物线的标准方程为x2＝2y.
故选C.
3．(教材改编)抛物线y2＝12x上与焦点的距离等于6的点的坐标是________．
(3，6)
解析：抛物线y2＝12x的准线方程为x＝－3.
∵抛物线y2＝12x上的点到焦点的距离等于6，
∴根据抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标为3，
代入抛物线方程，可得y2＝36，
∴y＝±6，即所求点的坐标为(3，6)或(3，－6)．
故答案为(3，6)或(3，－6)．
4．(易错)抛物线y＝－x2的焦点坐标是(　　)
A．(0，－) B．(－，0)
C．(0，－1) D．(－1，0)
答案：C
解析：抛物线的标准方程为x2＝－4y，
故抛物线开口向下，焦点在y轴的负半轴上，
∴焦点坐标为(0，－1)．
故选C.
5．(易错)顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是________．
y2＝－x
解析：设抛物线的标准方程为y2＝kx或 x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y.
关键能力·题型突破
题型一　抛物线的定义及其应用
例1 (1)动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是(　　)
A．直线 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
答案：D
解析：设动圆的圆心为C，则C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于动圆的半径r＋1，而动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆圆心到直线x＝2的距离为r＋1，根据抛物线的定义知，动圆的圆心轨迹为抛物线．
故选D.
(2)[2023·河南郑州模拟]抛物线C：y2＝16x的焦点为F，点M在C上，|MF|＝12，则M到y轴的距离是(　　)
A．4　　　 B．8　　　
C．10　　　 D．12
答案：B
解析：抛物线C：y2＝16x的准线方程为x＝－4.
设M(x0，y0)，由抛物线的定义知：|MF|＝12，即x0＋4＝12，
即x0＝8，所以M到y轴的距离是8.
故选B.
(3)[2023·江西赣州模拟]已知直线mx－y＋1－2m＝0恒过定点A，抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点坐标为F(1，0)，P为抛物线E上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
解析：方程mx－y＋1－2m＝0可化为y－1＝m(x－2)，
所以直线mx－y＋1－2m＝0恒过定点A(2，1).
因为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点坐标为F(1，0)，
所以＝1，即p＝2，
所以y2＝4x.
过点P作PP1⊥准线x＝－1，垂足为P1，
则|PP1|＝|PF|，
过点A作AA1⊥准线x＝－1，垂足为A1，
所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PP1|≥|AA1|＝3，
当且仅当A，P，A1三点共线时取等号，
所以|PA|＋|PF|的最小值为3.
故选C.
题后师说
抛物线定义的应用策略
巩固训练1
(1)[2023·河北张家口期末]已知M(x0，y0)是拋物线C：y2＝2px(p>0)上一点，F是C的焦点，y0＝|MF|＝6，则p＝(　　)
A．2　　　B．3　　　C．6　　　D．9
解析：由定义|MF|＝x0＋＝y0＝6，又＝36＝2px0，
所以36＝2p(6－)，解得p＝6.
故选C.
答案：C
(2)[2023·广东广州模拟]已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点M(0，)的距离与P到y轴的距离之和的最小值为________．
解析：由抛物线y2＝4x可知其焦点为F(1，0)，
由抛物线的定义可知|PF|＝xP＋1，
故点P到点M(0，)的距离与P到y轴的距离之和为|PM|＋xP＝|PM|＋|PF|－1≥|MF|－1＝－1＝1，
即点P到点(0，)的距离与P到y轴的距离之和的最小值为1.
1
题型二　抛物线的标准方程
例2 分别根据下列条件，求抛物线的标准方程．
(1)准线方程是4y＋1＝0；
(2)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(3)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.
解析：(1)准线方程为y＝－，所以抛物线开口向上，且＝，
得p＝，所以抛物线方程是x2＝y.
(2)双曲线方程＝1，左顶点为(－3，0)，
所以抛物线的焦点为(－3，0)，抛物线的开口向左，＝3，p＝6，
所以抛物线方程是y2＝－12x.
(3)设抛物线方程y2＝2px(p>0)，当y＝－3时，x＝，
|AF|＝＝5，即p2－10p＋9＝0，解得p＝1或p＝9，
抛物线方程为y2＝2x或y2＝18x.
设抛物线方程y2＝－2px(p>0)，当y＝－3时，x＝－，
|AF|＝＝5，解得p＝1或p＝9，
抛物线方程为y2＝－2x或y2＝－18x.
综上可知，抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
题后师说
求抛物线标准方程的常用方法
巩固训练2
(1)[2023·安徽蚌埠期末]设抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(2，m)到y轴的距离是到焦点距离的一半，则抛物线的标准方程为(　　)
A．y2＝2x　　　 B．y2＝4x
C．y2＝8x D．y2＝16x
解析：点P(2，m)到y轴的距离是到焦点距离的一半，因为点P到y轴的距离为2，所以点P到焦点距离为4，由抛物线的定义得2＋＝4，所以p＝4，所以抛物线的标准方程为y2＝8x.
故选C.
答案：C
(2)顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为(　　)
A．x2＝－12y或y2＝16x B．x2＝12y或y2＝－16x
C．x2＝9y或y2＝12x D．x2＝－9y或y2＝－12x
解析：对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0)．
当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则＝3，所以p＝6，
此时抛物线的标准方程为x2＝－12y.
当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则＝4，所以p＝8，
此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x. 故选A.
答案：A
(3)一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝ax上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为36，则该抛物线的标准方程为__________.
解析：设正三角形边长为x.由三角形的面积公式得36＝x2sin 60°，解得：x＝12.
由抛物线的对称性可知，正三角形在抛物线上的两点关于x轴对称，则当a>0时，三角形的一个顶点坐标为(6，6)，代入y2＝ax得a＝2；当a<0时，三角形的一个顶点坐标为(－6，6)，代入y2＝ax得a＝－2.
综上，a＝±2.
所以抛物线的标准方程为y2＝±2x.
y2＝±2x
题型三　抛物线的几何性质
例3 (1)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为C上一点，且|AF|＝5，O为坐标原点，则△OAF的面积为(　　)
A．2 B．
C．2 D．4
解析：F(1，0)，
设A(m，n)，则|AF|＝m＋1＝5，
∴m＝4，∴n＝±4，
∴S△AOF＝×1×4＝2.
故选A.
答案：A
(2)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，垂足为A，如果△APF是边长为4的正三角形，那么此抛物线的焦点坐标为________，点P的横坐标xp＝________．
(1，0)
3
解析：如图所示：
设，y0)，则|PA|＝＝4.　①

又在Rt△AMF中，∠AFM＝∠FAP＝60°，
故tan ∠AFM＝＝＝.　②
联立①②式，得p＝2，|y0|＝2.
故焦点坐标为(1，0)，点P的横坐标为xp＝＝3.
题后师说
(1)涉及抛物线上的点到直线的距离或到准线的距离时，常可相互转化．
(2)应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了用数形结合思想解题的直观性．
巩固训练3
(1)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF与y轴交于点M，且＝2，则点P到准线l的距离为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
答案：B
解析：(1)由抛物线C：y2＝4x，可知F(1，0)，即|OF|＝1(O为坐标原点)，过点P作y轴的垂线，垂足为N，
由三角形相似可知＝＝.
所以|PN|＝3|FO|＝3.
所以点P到准线l的距离为4.
故选B.
(2)[2023·广东佛山模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，若C上有一点A位于第一象限，且点A到抛物线焦点的距离为，则点A的坐标为________．
解析：因为抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，
∴－＝－，即p＝1，
∴C：y2＝2x，又点A到抛物线焦点的距离为，
∴xA＋＝，即xA＝2，又点A位于第一象限，
＝2×2，yA＝2，即A(2，2)．
(2，2)
真题展台
1.[2022·全国乙卷]设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　　)
A．2 B．2
C．3 D．3
答案：B
解析：由已知条件，易知抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.又B(3，0)，则|AF|＝|BF|＝2.不妨设点A在第一象限，则A(x0，2)．根据抛物线的定义可知x0－(－1)＝2，所以x0＝1，所以A(1，2)，所以|AB|＝＝2.故选B.
2．[2021·新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若|FQ|＝6，则C的准线方程为________.
解析：不妨设P(，p)，∴Q(6＋，0)，＝(6，－p)，因为PQ⊥OP，所以×6－p2＝0，
∵p>0，∴p＝3，∴C的准线方程为x＝－.
x＝－
3．[2021·新高考Ⅱ卷]抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝(　　)
A．1 B．2
C．2 D．4
答案：B
解析：抛物线的焦点坐标为，
其到直线x－y＋1＝0的距离：d＝＝，
解得p＝2(p＝－6舍去)．
故选B.课时作业(五十五)　抛物线及其性质
一、单项选择题
1．[2023·安徽马鞍山模拟]已知抛物线x2＝ay过点(，－1)，则其准线方程为(　　)
A．x＝－B．y＝－
C．x＝D．y＝
2．[2023·河北邢台期末]已知M为抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点，点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，则p＝(　　)
A．3B．4
C．5D．6
3．[2023·黑龙江大庆模拟]已知抛物线y2＝2px上的点M(2，y0)到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程是(　　)
A．y2＝2xB．y2＝4x
C．y2＝－2xD．y2＝－4x
4．[2023·山东师范大学附中模拟]已知O为坐标原点，抛物线x＝y2的焦点为F，点M在抛物线上，且|MF|＝3，则M点到x轴的距离为(　　)
A．2B．
C．2D．2
5．[2023·河南杞县期末]已知F为抛物线C：y2＝8x的焦点，点A为C上一点，点B的坐标为(6，0)，若|AF|＝|BF|，则△ABF的面积为(　　)
A．2B．4
C．8D．16
6．已知抛物线E：x2＝8y的焦点为F，点P为E上一点，Q为PF的中点，若|PF|＝10，则点Q的纵坐标为(　　)
A．7B．5
C．3D．1
7．[2023·福建龙岩模拟]已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，A为C上的点，过A作l的垂线，垂足为B，若|BF|＝2，则∠BAF＝(　　)
A．30°B．45°
C．60°D．90°
8．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑(如图1所示)，“门”的内侧曲线呈抛物线形．图2是“东方之门”的示意图，已知|CD|＝30m，|AB|＝60m，点D到直线AB的距离为150m，则此抛物线顶端O到AB的距离为(　　)
A．180mB．200m
C．220mD．240m
9．(能力题)若抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线分别交双曲线x2－＝1的两条渐近线于点A、B，且△AOB的面积为，则抛物线C的方程为(　　)
A．x2＝2yB．x2＝4y
C．x2＝8yD．x2＝12y
10．(能力题)[2023·河南郑州模拟]已知F是抛物线y2＝4x的焦点，P是抛物线上的一个动点，A(3，1)，则△APF周长的最小值为(　　)
A．2＋2B．4＋
C．3＋D．6＋
二、多项选择题
11．以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　)
A．y2＝8xB．y2＝－8x
C．x2＝8yD．x2＝－8y
12．(能力题)[2023·山东日照模拟]设抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E(3，1)为定点，则下列结论正确的有(　　)
A．准线l的方程是y＝－2
B．以线段MF为直径的圆与y轴相切
C．|ME|＋|MF|的最小值为5
D．|ME|－|MF|的最大值为2
三、填空题
13．[2023·安徽六安模拟]抛物线y2＝2px(p>0)过圆x2＋y2－4x＋8y＋19＝0的圆心，A(3，m)为抛物线上一点，则A到抛物线焦点F的距离为________．
14．[2023·山东肥城模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，过点M作准线l的垂线，交l于点H，若|MH|＝2，∠HFM＝30°，则抛物线C的方程为________．
四、解答题
15．已知抛物线y2＝2px(p＞0)有一内接直角三角形．直角顶点是原点，一直角边的方程为y＝2x，斜边长为5，求这个抛物线的方程．
?优生选做题?
16．F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，直线l与抛物线C相交于P，Q两点，满足∠PFQ＝，线段PQ的中点A到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为(　　)
A．3B．
C．D．
17．已知点F是抛物线E：y2＝8x的焦点，A，B，C为E上三点，且＋＋＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝________．
课时作业（五十五）　抛物线及其性质
1．解析：抛物线x2＝ay过点（，－1），则a＝－，
所以x2＝－y.
由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y轴负半轴，
准线方程为y＝.
故选D.
答案：D
2．解析：抛物线C：x2＝2py（p>0）的准线方程为y＝－，因为点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，所以＝2，所以p＝4.
故选B.
答案：B
3．解析：由题意知p>0，则准线为x＝－，
点M（2，y0）到焦点的距离等于其到准线的距离，
即|－－2|＝3，∴p＝2，则y2＝4x.
故选B.
答案：B
4．解析：由题意得y2＝4x，所以准线为x＝－1，
又因为|MF|＝3，设点M的坐标为（x0，y0），
则有|MF|＝x0＋1＝3，解得x0＝2.
将x0＝2代入解析式y2＝4x得y0＝±2，
所以点M到x轴的距离为2.
故选D.
答案：D
5．解析：由题意得F（2，0），
则|AF|＝|BF|＝4，
即点A到准线x＝－2的距离为4，
所以点A的横坐标为2.
当x＝2时，y＝±4，
即|yA|＝4，
所以S△ABF＝×（6－2）×4＝8.
故选C.
答案：C
6．解析：过点P，Q分别作准线的垂线，垂足分别为P1，Q1（如图），
设准线y＝－2与纵轴的交点为F1，
由梯形中位线定理易知|QQ1|＝＝＝＝7，又准线方程为y＝－2，故点Q的纵坐标为5.
故选B.
答案：B
7．解析：如图，设l与x轴交于点M，则由抛物线可知|FM|＝2，又|BF|＝2，故∠FBM＝45°，∠FBA＝45°，
又由抛物线定义|AB|＝|AF|，故∠BFA＝45°，则∠BAF＝90°．
故选D.
答案：D
8．解析：以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py（p>0），由题意设D（15，h），h<0，B（30，h－150），则，解得，所以此抛物线顶端O到AB的距离为50＋150＝200（m）.
故选B.
答案：B
9．解析：C的准线方程为y＝－，双曲线的渐近线为y＝±x，
则不妨设A（－，－），则B（，－），
由题可知∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形，
∴|AB|＝，S△AOB＝××＝，得p＝2，
∴C的方程为x2＝4y.
故选B.
答案：B
10．解析：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），准线l的方程为x＝－1，过P做PQ⊥l，垂足为Q，
设△APF周长为c，
c＝|PA|＋|PF|＋|AF|＝|PA|＋|PF|＋＝|PA|＋|PF|＋，由抛物线的定义可知：
|PF|＝|PQ|，因此c＝|PQ|＋|AP|＋，当P，A，Q在同一条直线上时，c有最小值，即
PA⊥l时，cmin＝3－（－1）＋＝4＋.
故选B.
答案：B
11．解析：设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py（p>0），
依题意得y＝，代入x2＝2py或x2＝－2py得|x|＝p，
∴2|x|＝2p＝8，p＝4，
∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.
故选CD.
答案：CD
12．解析：对于A：由抛物线C：y2＝8x，可得焦点坐标为（2，0），准线方程为x＝－2，故A错误；
对于B：设M（x0，y0），设MF的中点为D，
则|MF|＝x0＋＝x0＋2，D坐标为（，），
所以xD＝＝，即点D到点M、F和y轴距离相等，
所以以线段MF为直径的圆与y轴相切，故B正确；
对于C：过M作准线的垂线，垂足为N，由抛物线定义得|MF|＝|MN|，
所以|ME|＋|MF|＝|ME|＋|MN|，
由图象可得，当E、M、N三点共线时，|ME|＋|MN|有最小值，即为|EN′|＝3＋2＝5，
所以|ME|＋|MF|的最小值为5，故C正确；
对于D：根据三角形中，两边之差小于第三边可得|ME|－|MF|<|EF|，
如图所示，当E、F、M共线时，|ME|－|MF|有最大值，且为|EF|＝＝，
所以|ME|－|MF|的最大值为，故D错误．
故选BC.
答案：BC
13．解析：圆x2＋y2－4x＋8y＋19＝0的圆心为（－，－），即（2，－4），代入抛物线方程得（－4）2＝2p×2 p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2，则A（3，m）到抛物线焦点F的距离等于A到抛物线准线的距离，即距离为3＋2＝5.
答案：5
14．解析：因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
所以|MF|＝|MH|＝2，又∠HFM＝30°，
所以△MHF为顶角为120°的等腰三角形，
所以|HF|＝2，
记准线l与x轴交于点Q，则∠QHF＝60°，
所以p＝|QF|＝|HF|sin∠QHF＝2sin60°＝3，
所以该抛物线方程为y2＝6x.
答案：y2＝6x
15．解析：不妨设已知直角三角形为OAB，
直线OA的方程为y＝2x.
∵∠AOB＝90°，即OA⊥OB，
∴kOB＝－＝－，
直线OB的方程为y＝－x，
联立方程可得2x2－px＝0，
∴xA＝p，yA＝p，
同理可得xB＝8p，yB＝－4p，
∵斜边|AB|＝5，
由勾股定理可得，
|AB|2＝|OA|2＋|OB|2＝325，
∴325＝（p）2＋p2＋64p2＋16p2，
∵p＞0，∴p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝4x.
16．解析：设|PF|＝m，|QF|＝n，
过点P，Q分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为P′，Q′，如图所示：
则|PP′|＝m，|QQ′|＝n，
因为点A为线段PQ的中点，根据梯形中位线定理可得：
点A到抛物线C的准线的距离为d＝＝，因为∠PFQ＝，所以在△PFQ中，
由余弦定理得|PQ|2＝m2＋n2－2mncos＝m2＋n2＋mn，
所以＝＝＝，
又因为（m＋n）2≥4mn，所以≤，当且仅当m＝n时等号成立，
所以≤＝，故≤.所以的最小值为.
故选C.
答案：C
17．解析：由题意知F（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
∵＋＋＝0，F为△ABC的重心，
∴＝2，即x1＋x2＋x3＝6，
则|FA|＋|FB|＋|FC|＝x1＋2＋x2＋2＋x3＋2＝6＋6＝12.
答案：12第九节　抛物线及其性质
【课标标准】　1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点).3.了解抛物线的简单应用．
必备知识·夯实双基
知识梳理
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________.
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0，0)
对称轴 x轴 y轴
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦点 ________ ________ ________ ________
离心率 e＝1
准线方程 ________ ________ ________ ________
夯实双基
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)
(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.(　　)
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)
(4)抛物线的方程都是二次函数．(　　)
2．(教材改编)已知抛物线的焦点坐标为(0，)，则该抛物线的标准方程为(　　)
A．y2＝2x B．y2＝x
C．x2＝2y D．x2＝－2y
3．(教材改编)抛物线y2＝12x上与焦点的距离等于6的点的坐标是________．
4．(易错)抛物线y＝－x2的焦点坐标是(　　)
A．(0，－) B．(－，0)
C．(0，－1) D．(－1，0)
5．(易错)顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是________．
关键能力·题型突破
题型一　抛物线的定义及其应用
例1 (1)动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是(　　)
A．直线 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
(2)[2023·河南郑州模拟]抛物线C：y2＝16x的焦点为F，点M在C上，|MF|＝12，则M到y轴的距离是(　　)
A．4　　　B．8　　　C．10　　　D．12
(3)[2023·江西赣州模拟]已知直线mx－y＋1－2m＝0恒过定点A，抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点坐标为F(1，0)，P为抛物线E上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题后师说
抛物线定义的应用策略
巩固训练1
(1)[2023·河北张家口期末]已知M(x0，y0)是拋物线C：y2＝2px(p>0)上一点，F是C的焦点，y0＝|MF|＝6，则p＝(　　)
A．2　　　B．3　　　C．6　　　D．9
(2)[2023·广东广州模拟]已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点M(0，)的距离与P到y轴的距离之和的最小值为________．
题型二　抛物线的标准方程
例2 分别根据下列条件，求抛物线的标准方程．
(1)准线方程是4y＋1＝0；
(2)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(3)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.
[听课记录]
题后师说
求抛物线标准方程的常用方法
巩固训练2
(1)[2023·安徽蚌埠期末]设抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(2，m)到y轴的距离是到焦点距离的一半，则抛物线的标准方程为(　　)
A．y2＝2x　　　 B．y2＝4x
C．y2＝8x D．y2＝16x
(2)顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为(　　)
A．x2＝－12y或y2＝16x
B．x2＝12y或y2＝－16x
C．x2＝9y或y2＝12x
D．x2＝－9y或y2＝－12x
(3)一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝ax上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为36，则该抛物线的标准方程为________.
题型三　抛物线的几何性质
例3 (1)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为C上一点，且|AF|＝5，O为坐标原点，则△OAF的面积为(　　)
A．2 B．
C．2 D．4
(2)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，垂足为A，如果△APF是边长为4的正三角形，那么此抛物线的焦点坐标为________，点P的横坐标xp＝________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题后师说
(1)涉及抛物线上的点到直线的距离或到准线的距离时，常可相互转化．
(2)应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了用数形结合思想解题的直观性．
巩固训练3
(1)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF与y轴交于点M，且＝2，则点P到准线l的距离为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
(2)[2023·广东佛山模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，若C上有一点A位于第一象限，且点A到抛物线焦点的距离为，则点A的坐标为________．
真题展台
1.[2022·全国乙卷]设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　　)
A．2 B．2
C．3 D．3
2．[2021·新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若|FQ|＝6，则C的准线方程为____________.
3．[2021·新高考Ⅱ卷]抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝(　　)
A．1 B．2
C．2 D．4
第九节　抛物线及其性质
必备知识·夯实双基
知识梳理
1．相等　焦点　准线
2．F(，0)　F(－，0)　F(0，)　F(0，－)　x＝－　x＝　y＝－　y＝
夯实双基
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：由题意可设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，
则＝，得p＝1.
∴抛物线的标准方程为x2＝2y.
故选C.
答案：C
3．解析：抛物线y2＝12x的准线方程为x＝－3.
∵抛物线y2＝12x上的点到焦点的距离等于6，
∴根据抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标为3，
代入抛物线方程，可得y2＝36，
∴y＝±6，即所求点的坐标为(3，6)或(3，－6)．
故答案为(3，6)或(3，－6)．
答案：(3，6)或(3，－6)
4．解析：抛物线的标准方程为x2＝－4y，
故抛物线开口向下，焦点在y轴的负半轴上，
∴焦点坐标为(0，－1)．
故选C.
答案：C
5．解析：设抛物线的标准方程为y2＝kx或 x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y.
答案：y2＝－x或 x2＝y
关键能力·题型突破
例1　解析：(1)设动圆的圆心为C，则C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于动圆的半径r＋1，而动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆圆心到直线x＝2的距离为r＋1，根据抛物线的定义知，动圆的圆心轨迹为抛物线．
故选D.
(2)抛物线C：y2＝16x的准线方程为x＝－4.
设M(x0，y0)，由抛物线的定义知：|MF|＝12，即x0＋4＝12，
即x0＝8，所以M到y轴的距离是8.
故选B.
(3)方程mx－y＋1－2m＝0可化为y－1＝m(x－2)，
所以直线mx－y＋1－2m＝0恒过定点A(2，1).
因为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点坐标为F(1，0)，
所以＝1，即p＝2，
所以y2＝4x.
过点P作PP1⊥准线x＝－1，垂足为P1，
则|PP1|＝|PF|，
过点A作AA1⊥准线x＝－1，垂足为A1，
所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PP1|≥|AA1|＝3，当且仅当A，P，A1三点共线时取等号，
所以|PA|＋|PF|的最小值为3.
故选C.
答案：(1)D　(2)B　(3)C
巩固训练1　解析：(1)由定义|MF|＝x0＋＝y0＝6，又＝36＝2px0，
所以36＝2p(6－)，解得p＝6.
故选C.
(2)
由抛物线y2＝4x可知其焦点为F(1，0)，
由抛物线的定义可知|PF|＝xP＋1，
故点P到点M(0，)的距离与P到y轴的距离之和为|PM|＋xP＝|PM|＋|PF|－1≥|MF|－1＝－1＝1，
即点P到点(0，)的距离与P到y轴的距离之和的最小值为1.
答案：(1)C　(2)1
例2　解析：(1)准线方程为y＝－，所以抛物线开口向上，且＝，
得p＝，所以抛物线方程是x2＝y.
(2)双曲线方程＝1，左顶点为(－3，0)，
所以抛物线的焦点为(－3，0)，抛物线的开口向左，＝3，p＝6，
所以抛物线方程是y2＝－12x.
(3)设抛物线方程y2＝2px(p>0)，当y＝－3时，x＝，
|AF|＝＝5，即p2－10p＋9＝0，解得p＝1或p＝9，
抛物线方程为y2＝2x或y2＝18x.
设抛物线方程y2＝－2px(p>0)，当y＝－3时，x＝－，
|AF|＝＝5，解得p＝1或p＝9，
抛物线方程为y2＝－2x或y2＝－18x.
综上可知，抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
巩固训练2　解析：(1)点P(2，m)到y轴的距离是到焦点距离的一半，因为点P到y轴的距离为2，所以点P到焦点距离为4，由抛物线的定义得2＋＝4，所以p＝4，所以抛物线的标准方程为y2＝8x.
故选C.
(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0)．
当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则＝3，所以p＝6，
此时抛物线的标准方程为x2＝－12y.
当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则＝4，所以p＝8，
此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
故选A.
(3)设正三角形边长为x.由三角形的面积公式得36＝x2sin 60°，解得：x＝12.
由抛物线的对称性可知，正三角形在抛物线上的两点关于x轴对称，则当a>0时，三角形的一个顶点坐标为(6，6)，代入y2＝ax得a＝2；当a<0时，三角形的一个顶点坐标为(－6，6)，代入y2＝ax得a＝－2.
综上，a＝±2.
所以抛物线的标准方程为y2＝±2x.
答案：(1)C　(2)A　(3)y2＝±2x
例3　解析：(1)F(1，0)，
设A(m，n)，则|AF|＝m＋1＝5，
∴m＝4，∴n＝±4，
∴S△AOF＝×1×4＝2.
故选A.
(2)如图所示：
设，y0)，则|PA|＝＝4.　①
又在Rt△AMF中，∠AFM＝∠FAP＝60°，
故tan ∠AFM＝＝＝.　②
联立①②式，得p＝2，|y0|＝2.
故焦点坐标为(1，0)，点P的横坐标为xp＝＝3.
答案：(1)A　(2)(1，0)　3
巩固训练3　解析：(1)由抛物线C：y2＝4x，可知F(1，0)，即|OF|＝1(O为坐标原点)，过点P作y轴的垂线，垂足为N，
由三角形相似可知＝＝.
所以|PN|＝3|FO|＝3.
所以点P到准线l的距离为4.
故选B.
(2)因为抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，
∴－＝－，即p＝1，
∴C：y2＝2x，又点A到抛物线焦点的距离为，
∴xA＋＝，即xA＝2，又点A位于第一象限，
＝2×2，yA＝2，即A(2，2)．
答案：(1)B　(2)(2，2)
真题展台——知道高考考什么？
1．解析：由已知条件，易知抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.又B(3，0)，则|AF|＝|BF|＝2.不妨设点A在第一象限，则A(x0，2)．根据抛物线的定义可知x0－(－1)＝2，所以x0＝1，所以A(1，2)，所以|AB|＝＝2.故选B.
答案：B
2．解析：不妨设P(，p)，∴Q(6＋，0)，＝(6，－p)，因为PQ⊥OP，所以×6－p2＝0，
∵p>0，∴p＝3，∴C的准线方程为x＝－.
答案：x＝－
3．解析：抛物线的焦点坐标为，
其到直线x－y＋1＝0的距离：d＝＝，
解得p＝2(p＝－6舍去)．
故选B.
答案：B

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