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第二节　等差数列
必备知识·夯实双基
关键能力·题型突破
【课标标准】　1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元一次函数的关系．
必备知识·夯实双基
知识梳理
1.等差数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的_______都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．数学表达式为_______________________．
(2)等差中项
若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝______．
差
同一个常数
an－an－1＝d(n≥2，d为常数)
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式：an＝___________．
(2)前n项和公式：Sn＝________＝___________．
a1＋(n－1)d
na1＋d
3．等差数列的性质
(1)通项公式的推广公式：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*) d＝(n≠m)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则_____________．
(3)等差数列的前n项和为Sn，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列．
(4)S2n－1＝(2n－1)an.
(5)n为奇数时，Sn＝na中，S奇＝________a中，S偶＝________a中，S奇－S偶＝________．
(6)n为偶数时，S偶－S奇＝.
(7)为等差数列．
ak＋al＝am＋an
a中
[常用结论]
1．已知数列的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列一定是等差数列，且公差为p.
2．在等差数列中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
3．等差数列的单调性：当d>0时，是递增数列；当d<0时，是递减数列；当d＝0时，是常数列．
4．数列是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，这里公差d＝2A.
夯实双基
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　)
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　)
×
√
×
×
2．(教材改编)记Sn为等差数列的前n项和，已知S5＝5，a6＝10，则a8＝(　　)
A．15　　　B．16　　　
C．19　　　D．20
答案：B
解析：设等差数列的公差为d，所以，解得，
∴a8＝－5＋3×7＝16.故选B.
3．(教材改编)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目，请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为________．
解析：设五个人所分得的面包为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d(d>0)，
则(a－2d)＋(a－d)＋a＋(a＋d)＋(a＋2d)＝5a＝100，
∴a＝20.
又由题意知(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d，
即24d＝11a，
∴d＝×20＝.
∴最小的一份为a－2d＝20－×2＝.
4．(易错)一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是(　　)
A．d> B．d<
C．答案：D
解析：由题意可得
即
所以5．(易错)已知在等差数列中，＝，公差d<0，则使数列的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是________．
5
解析：∵d<0，＝，∴a3＝－a9，
∴a1＋2d＝－a1－8d，
∴a1＋5d＝0，∴a6＝0，
∴an>0(1≤n≤5)，
∴Sn取得最大值时的自然数n是5或6.
关键能力·题型突破
题型一　等差数列基本量的运算
例1 (1)[2023·山东威海模拟]等差数列的前n项和为Sn，若a3＝4，S9＝18，则公差d＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
答案：B
解析：由题可知 .故选B.
(2)已知等差数列的前n项和为Sn，若a4＝10，S8＝92，则a2 023＝________．
6 067
解析：设等差数列的首项为a1，公差为d，
则
解得
所以a2 023＝a1＋2 022d＝1＋2 022×3＝6 067.
(3)[2023·江西南昌模拟]已知等差数列的前n项和为Sn，且S2＝S5，a3＝－1，则an＝________．
解析：设等差数列的公差为d，由S2＝S5，a3＝－1，
所以，解得，
所以an＝a1＋(n－1)d＝n－4.
n－4
题后师说
等差数列基本运算的求解策略
巩固训练1
(1)[2023·广东佛山模拟]在等差数列中，a3＝7，S5＝7a2，则a6＝(　　)
A．11　　　B．13　　　
C．14　　　D．16
答案：B
解析：a3＝a1＋2d＝7，5a1＋10d＝7，
联立方程可解得a1＝3，d＝2，
所以a6＝3＋5×2＝13.故选B.
(2)[2023·安徽安庆一中模拟]已知是公差为2的等差数列，其前n项和为Sn，且S7＋S2＝8a4，则S5＝(　　)
A．36 B．40
C．48 D．52
答案：B
解析：因为S7＋S2＝8a4，所以7a1＋×2＋2a1＋2＝8(a1＋6)，解得：a1＝4.
所以S5＝5a1＋×2＝40.故选B.
(3)[2023·河南开封模拟]已知公差为1的等差数列中＝a3a6，若an＝0，则n＝________．
7
解析：由＝a3a6，有(a1＋4)2＝(a1＋2)(a1＋5) a1＝－6，从而an＝－6＋(n－1)×1＝n－7，
所以若an＝0时，得n＝7.
题型二　等差数列的判定与证明
例2 [2023·广东广州模拟]已知正项数列，其前n项和Sn满足an(2Sn－an)＝1(n∈N*)．
(1)求证：数列是等差数列，并求出Sn的表达式；
(2)数列中是否存在连续三项ak，ak＋1，ak＋2，使得构成等差数列？请说明理由．
解析：(1)依题意，正项数列中＝1，即a1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即(Sn－Sn－1)[2Sn－(Sn－Sn－1)]＝1，
整理得＝1，又＝＝1，因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
则＝n，因为{an }是正项数列，即Sn>0，
所以Sn＝.
(2)不存在，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝，又a1＝1，即 n∈N*，都有an＝，
则＝＝，
假设存在满足要求的连续三项ak，ak＋1，ak＋2，使得构成等差数列，
则2＝，即＝，
两边同时平方，得k＋1＋k＋2＝k－1＋k＋2＋2，即(k＋1)k＝(k－1)(k＋2)，
整理得：k2＋k＝k2＋k－2，即0＝－2，显然不成立，因此假设是错误的，
所以数列中不存在满足要求的连续三项．
题后师说
巩固训练2
已知数列满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求a2，a3；
(2)证明：数列是等差数列，并求的通项公式．
解析：(1)由已知，得a2－2a1＝4，
则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.
由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.
(2)证明：由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，
得＝2，即＝2，
所以数列是首项为＝1，公差为d＝2的等差数列．
则＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.
题型三　等差数列的性质
角度一 等差数列项的性质
例3 (1)[2023·江西鹰潭模拟]已知数列满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a1＋a3＋a5＝6，a2＋a4＋a6＝18，则a3＋a4＝(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
答案：C
解析：因为2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，
所以数列是等差数列，
由a1＋a3＋a5＝6 3a3＝6 a3＝2，
由a2＋a4＋a6＝18 3a4＝18 a4＝6，
因此a3＋a4＝8.故选C.
(2)[2023·河南焦作模拟]已知数列是等差数列，a5，a16是方程x2－3x－21＝0的两根，则数列的前20项和为(　　)
A．－30 B．－15
C．15 D．30
答案：D
解析：a5，a16是方程x2－3x－21＝0的两根，
所以a5＋a16＝3，
又是等差数列，
所以其前20项和为＝＝30.故选D.
(3)[2023·辽宁鞍山模拟]设等差数列的前n项和分别是Sn，Tn，若＝，则 ＝(　　)
A．1 B．
C． D．
答案：B
解析：因为等差数列的前n项和分别是Sn，Tn，
所以＝＝＝＝＝，故选B.
题后师说
(1)运用等差数列项的性质可以提升解题效率，具体性质详见【知识梳理】3.
(2)应用等差数列项的性质解题时，注意性质成立的前提条件．
巩固训练3
(1)[2023·湖南张家界期末]是等差数列，且a1＋a4＋a7＝15，a2＋a5＋a8＝21，则a3＋a6＋a9＝(　　)
A．24 B．27
C．30 D．33
答案：B
解析：因为是等差数列，所以a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9也成等差数列，
所以a3＋a6＋a9＝2＝2×21－15＝27.故选B.
(2)[2023·河南杞县模拟]已知项数为n的等差数列的前6项和为10，最后6项和为110，所有项和为360，则n＝(　　)
A．48 B．36
C．30 D．26
答案：B
解析：由题意知a1＋a2＋…＋a6＝10，an＋an－1＋…＋an－5＝110，
两式相加得6＝120，所以a1＋an＝20，又＝360，所以n＝36.故选B.
角度二 等差数列和的性质
例4 (1)[2023·安徽淮南模拟]已知等差数列的前n项和为Sn，若Sn＝2，S2n＝6，则S4n＝(　　)
A．8 B．12
C．14 D．20
答案：D
解析：等差数列的前n项和为Sn，Sn＝2，S2n－Sn＝6－2＝4，
则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n构成首项为2，公差为2的等差数列，
则S4n＝Sn＋＝2＋4＋6＋8＝20，故选D.
(2)一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是(　　)
A．4 B．8
C．12 D．20
答案：B
解析：根据等差数列的性质得：nd＝30－24＝6，a2n－a1＝d＝10.5，
解得：n＝4，故该数列的项数为2n＝8.故选B.
(3)[2023·河南洛阳模拟]等差数列中，a1＝2 021，前n项和为Sn，若＝－2，则S2 023＝(　　)
A．1 011 B．2 023
C．－1 011 D．－2 023
答案：D
解析：设等差数列的公差为d，则＝＝a1＋d，
因为＝－2，
所以＝－2，解得d＝－2，
所以S2 023＝2 023a1＋d＝2 023×2 021－2 023×2 022＝－2 023，
故选D.
题后师说
(1)运用等差数列和的性质可以提升解题效率，具体性质详见【知识梳理】3.
(2)应用等差数列和的性质解题时，也要注意性质成立的前提条件．
巩固训练4
(1)[2023·安徽蚌埠模拟]设等差数列的前n项和为Sn，已知S3＝15，S9＝99，则S6＝________．
解析：因为等差数列的前n项和为Sn，
所以S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，
所以2＝S3＋，
因为S3＝15，S9＝99，
所以2＝15＋，解得S6＝48.
48
(2)等差数列共有63项，且S63＝36，则S奇＝________，S偶＝________．
解析：由S63＝36，得63·a32＝36，∴a32＝.
∴S奇＝32a32＝32×＝，
S偶＝31a32＝31×＝.
角度三 最值问题
例5 等差数列的首项a1>0，设其前n项和为Sn，且S5＝S12，则当n为何值时，有最大值？
解析：由题意知d<0，因为Sn＝n2＋(a1－)n，
设f(x)＝x2＋x，
则函数y＝f(x)的图象如图，
由S5＝S12知，抛物线的对称轴为x＝＝，由图可知，当1≤n≤8时，Sn单调递增；当n≥9时，Sn单调递减，且S8＝S9.又n∈N*，所以当n＝8或9时，Sn有最大值．
题后师说
求等差数列前n项和Sn的最值的两种常用方法
巩固训练5
(1)[2023·江西赣州模拟]已知等差数列的前n项和为Sn，若S2 021>0，S2 022<0，则使得前n项和Sn取得最大值时n的值为(　　)
A．2 022 B．2 021
C．1 012 D．1 011
答案：D
解析：因为等差数列的前n项和为Sn，S2 021>0，S2 022<0，
所以
所以a1 011>0，a1 011＋a1 012<0，
所以a1 011>0，a1 012<0，即等差数列的公差d<0，
所以n≤1 011时，an>0；n≥1 012时，an<0，
所以使得前n项和Sn取得最大值时n的值为1 011.故选D.
(2)在等差数列中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为__________．
解析：当且仅当n＝8时，Sn有最大值，说明
∴解得－1∴d的取值范围为.
真题展台
1.[2022·新高考Ⅱ卷]图(1)是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图(2)是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝(　　)
A．0.75 B．0.8
C．0.85 D．0.9
答案：D
解析：设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则DD1＝0.5，CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3.由题意，得k3＝k1＋0.2，k3＝k2＋0.1，且＝0.725，即＝0.725，解得k3＝0.9.故选D.
2．[2022·全国乙卷]记Sn为等差数列的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________.
2
解析：方法一　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a1＋d＋a1＋2d)＝3(a1＋a1＋d)＋6，所以6a1＋6d＝6a1＋3d＋6，解得d＝2.
方法二　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由2S3＝3S2＋6，可得2×3a2＝3(a1＋a2)＋6.整理，得a2－a1＝2，所以d＝2.
3．[2020·新高考Ⅰ卷]将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________.
3n2－2n
解析：因为数列{2n－1}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列{3n－2}是以1为首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列{an}是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以{an}的前n项和为n·1＋·6＝3n2－2n.
4．[2021·新高考Ⅱ卷]记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求使Sn>an成立的n的最小值．
解析：(1)由等差数列的性质可得：S5＝5a3，则a3＝5a3，
∴a3＝0，
设等差数列的公差为d，从而有a2a4＝(a3－d)(a3＋d)＝－d2，
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a3－2d)＋(a3－d)＋a3＋(a3＋d)＝－2d，
从而－d2＝－2d，由于公差不为零，故d＝2，
数列的通项公式为：an＝a3＋(n－3)d＝2n－6.
(2)由数列的通项公式可得a1＝2－6＝－4，则Sn＝n×(－4)＋×2＝n2－5n，
则不等式Sn>an即：n2－5n>2n－6，整理可得(n－1)(n－6)>0，
解得：n<1或n>6，又n为正整数，故n的最小值为7.
5．[2021·全国乙卷]记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＝2.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
解析：(1)证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积，
所以n≥2时，Sn＝，
代入＝2可得，＝2，
整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝(n≥2)．
又＝＝2，所以b1＝，
故{bn}是以为首项，为公差的等差数列．
(2)由(1)可知，bn＝，则＝2，所以Sn＝，
当n＝1时，a1＝S1＝，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝＝－.
故an＝.课时作业(三十六)　等差数列
一、单项选择题
1．[2023·江西九江模拟]等差数列中，若a4＝6，a10＝12，则a16＝(　　)
A．16B．18
C．20D．22
2．[2023·河南汝州模拟]已知等差数列的前n项和为Sn，且a5＋2a10＋a13＝18，则S18＝(　　)
A．74B．81
C．162D．148
3．等差数列的前n项和为Sn，若S3＝6，S6＝21，则S9＝(　　)
A．27B．45
C．18D．36
4．[2023·北京房山模拟]数列是等差数列，若a3＝5，＋＝，则a1·a5＝(　　)
A．B．9
C．10D．20
5．[2023·安徽合肥模拟]设等差数列的前n项和为Sn，S15＝5(a3＋a8＋am)，则m的值为(　　)
A．10B．12
C．13D．14
6．[2023·河北石家庄二中模拟]记Sn为等差数列的前n项和．若4S1＝3S2＋S4，a5＝5，则a10＝(　　)
A．3B．7
C．11D．15
7．已知数列，都是等差数列，且a1－b1＝2，a2－b2＝1，则a5－b5＝(　　)
A．－2B．－1
C．1D．2
8．[2023·河北邯郸模拟]“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下中的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2022这2022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列14，29，44，…，则该数列的项数为(　　)
A．132B．133
C．134D．135
9．(能力题)[2023·辽宁沈阳模拟]若等差数列和的前n项的和分别是Sn和Tn，且＝，则＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
10．(能力题)已知等差数列满足S30＝120，a3＋a6＋a9＋…＋a30＝60，则an＝(　　)
A．2n－25B．2n－27
C．3n－15D．3n－18
二、多项选择题
11．[2023·广东东莞模拟]已知数列的前n项和为Sn，若a1＝－10，an＋1＝an＋3，则下列说法正确的是(　　)
A．是递增数列
B．10是数列中的项
C．数列中的最小项为S5
D．数列是等差数列
12．(能力题)[2023·山东青岛二中期末]设数列是等差数列，Sn是其前n项和，且S4S7，则下列结论正确的是(　　)
A．d<0
B．S8>S4
C．a6＝0
D．S5和S6均为Sn的最大值
三、填空题
13．[2023·河北秦皇岛模拟]已知是等差数列，a3＋a9＝12，则a13－a20＝________．
14．(能力题)[2023·山东淄博模拟]设等差数列的前n项和为Sn，若Sm－1＝－3，Sm＝－2，Sm＋1＝0，则m＝________．
四、解答题
15．[2023·辽宁葫芦岛模拟]记Sn为等差数列的前n项和，已知a1＋a3＝10，S8＝0.
(1)求的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最大值．
?优生选做题?
16．[2023·河南许昌模拟]已知Sn是等差数列的前n项和，若对任意的n∈N*，均有S6≤Sn成立，则的最小值为(　　)
A．2B．
C．3D．
17．[2023·山东泰安模拟]已知数列的前n项和为Sn，且满足3an＝2Sn＋2.
(1)求数列的通项公式；
(2)能否在数列中找到这样的三项，使它们按原来的顺序构成等差数列？请说明理由．
课时作业（三十六）　等差数列
1．解析：∵a4＝6，a10＝12，
∴，解得，
∴a16＝a1＋15d＝3＋15×1＝18，故选B.
答案：B
2．解析：因为是等差数列，所以a5＋2a10＋a13＝2a9＋2a10＝18，即a9＋a10＝9，
所以S18＝＝＝81.故选B.
答案：B
3．解析：由已知S3，S6－S3，S9－S6，即6，15，S9－21成等差数列，
所以2×15＝6＋，所以S9＝45.故选B.
答案：B
4．解析：因为数列是等差数列，a3＝5，所以a1＋a5＝2a3＝10，
因为＋＝＝，所以a1·a5＝9.故选B.
答案：B
5．解析：设等差数列的公差为d，
由已知有S15＝＝＝5[3a1＋（m＋8）d]，解得m＝13，故选C.
答案：C
6．解析：设等差数列的公差为d，
由，得：，解得：，
∴a10＝a1＋9d＝－3＋18＝15.故选D.
答案：D
7．解析：因为数列，都是等差数列，
所以数列是等差数列，
又a1－b1＝2，a2－b2＝1，
所以其公差为d＝－1，
所以a5－b5＝a1－b1＋4d＝－2.故选A.
答案：A
8．解析：由题意得：新数列14，29，44，…是首项为14，公差为15的等差数列，
设新数列为，则通项公式为an＝14＋15（n－1）＝15n－1，
令15n－1≤2022，解得：n≤134，
因为n∈N*，所以这个数列的项数为134.故选C.
答案：C
9．解析：因为和是等差数列，故＝＝＝.故选C.
答案：C
10．解析：设等差数列的公差为d，
则S30＝＋（a2＋a5＋…＋a29）＋
＝－20d＋－10d＋
＝180－30d，
即120＝180－30d，解得d＝2.
又S30＝30a1＋×2＝120，解得a1＝－25.
所以an＝－25＋（n－1）×2＝2n－27.故选B.
答案：B
11．解析：∵an＋1＝an＋3，∴an＋1－an＝3，
∴数列为首项为－10，公差为3的等差数列，
则an＝－10＋×3＝3n－13，
∵an＋1－an＝3>0，∴为递增数列，A正确，
令10＝3n－13，得n＝，不满足题意，故B错误，
∵a4＝－1<0，a5＝2>0，且为递增数列，
∴数列中的最小项为S4，故C错误，
∵Sn＝＝，
∴＝－，则数列是等差数列，故D正确．故选AD.
答案：AD
12．解析：由S40，
又∵S5＝S6，
∴a6＝S6－S5＝0，
∴a6＝0，故C正确；
∵d＝a6－a5<0，故A正确；
对于B，S8＝S4＋a5＋a6＋a7＋a8＝S4＋2（a6＋a7），
而a6＝0，d<0，故a7<0，a6＋a7<0，故S8由以上分析可知：a1>a2>…>a5>a6＝0>a7>…，
故S1S7>…，
∴S5＝S6均为Sn的最大值，故D正确．故选ACD.
13．解析：因为a3＋a9＝12，所以a6＝＝6，
因为a13－a20＝－＝＝a6，
所以a13－a20＝3.
答案：3
14．解析：由题意得：am＝Sm－Sm－1＝－2＋3＝1，am＋1＝Sm＋1－Sm＝0＋2＝2，
则等差数列的公差d＝am＋1－am＝2－1＝1，
则am＝a1＋（m－1）d＝a1＋（m－1）＝1，Sm＝a1m＋＝－2，
解得：m＝4或m＝－1（舍去）.
答案：4
15．解析：（1）设等差数列的公差为d，则，解得：，∴an＝7－2＝9－2n.
（2）由（1）得：Sn＝＝－n2＋8n，
则当n＝－＝4时，max＝S4＝－16＋32＝16.
16．解析：由题意，等差数列，对任意的n∈N*，均有S6≤Sn成立，
即S6是等差数列的前n项和中的最小值，必有a1<0，公差d>0，
当a6＝0，此时S5＝S6，S5、S6是等差数列的前n项和中的最小值，
此时a6＝a1＋5d＝0，即a1＝－5d，则＝＝＝.
当a6<0，a7≥0，此时S6是等差数列的前n项和中的最小值，
此时a6＝a1＋5d<0，a7＝a1＋6d≥0，即－6≤<－5，
则＝＝＝1＋，则有－6≤<－5，2≤＋8<3，<≤，<≤4，<1＋≤5，
所以的最小值为.故选D.
答案：D
17．解析：（1）∵3an＝2Sn＋2，
∴n＝1时，3a1＝2S1＋2＝2a1＋2，
∴a1＝2；
当n≥2时，3an－1＝2Sn－1＋2，所以3an－3an－1＝－＝2an，
∴an＝3an－1，即＝3（n≥2）
∴数列是以2为首项，3为公比的等比数列，
∴an＝2×3n－1.
（2）若1≤k即2×2×3m－1＝2×3k－1＋2×3n－1，整理得＋3n－m＝2，
又k，m，n∈N*且1≤k∴3n－m≥3，>0，所以3n－m＋>3，与＋3n－m＝2矛盾，
所以数列中找不到三项，使它们按原来的顺序构成等差数列．第二节　等差数列
【课标标准】　1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元一次函数的关系．
必备知识·夯实双基
知识梳理
1.等差数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的________都等于________，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．数学表达式为__________________．
(2)等差中项
若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝________．
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式：an＝____________．
(2)前n项和公式：Sn＝________＝________．
3．等差数列的性质
(1)通项公式的推广公式：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*) d＝(n≠m)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则________．
(3)等差数列的前n项和为Sn，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列．
(4)S2n－1＝(2n－1)an.
(5)n为奇数时，Sn＝na中，S奇＝________a中，S偶＝________a中，S奇－S偶＝________．
(6)n为偶数时，S偶－S奇＝.
(7)为等差数列．
[常用结论]
1．已知数列的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列一定是等差数列，且公差为p.
2．在等差数列中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
3．等差数列的单调性：当d>0时，是递增数列；当d<0时，是递减数列；当d＝0时，是常数列．
4．数列是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，这里公差d＝2A.
夯实双基
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　)
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　)
2．(教材改编)记Sn为等差数列的前n项和，已知S5＝5，a6＝10，则a8＝(　　)
A．15　　　B．16　　　C．19　　　D．20
3．(教材改编)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目，请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为________．
4．(易错)一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是(　　)
A．d> B．d<
C．5．(易错)已知在等差数列中，＝，公差d<0，则使数列的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是________．
关键能力·题型突破
题型一　等差数列基本量的运算
例1 (1)[2023·山东威海模拟]等差数列的前n项和为Sn，若a3＝4，S9＝18，则公差d＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
(2)已知等差数列的前n项和为Sn，若a4＝10，S8＝92，则a2 023＝________．
(3)[2023·江西南昌模拟]已知等差数列的前n项和为Sn，且S2＝S5，a3＝－1，则an＝________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题后师说
等差数列基本运算的求解策略
巩固训练1
(1)[2023·广东佛山模拟]在等差数列中，a3＝7，S5＝7a2，则a6＝(　　)
A．11　　　B．13　　　C．14　　　D．16
(2)[2023·安徽安庆一中模拟]已知是公差为2的等差数列，其前n项和为Sn，且S7＋S2＝8a4，则S5＝(　　)
A．36 B．40 C．48 D．52
(3)[2023·河南开封模拟]已知公差为1的等差数列中＝a3a6，若an＝0，则n＝________．
题型二　等差数列的判定与证明
例2[2023·广东广州模拟]已知正项数列，其前n项和Sn满足an(2Sn－an)＝1(n∈N*)．
(1)求证：数列是等差数列，并求出Sn的表达式；
(2)数列中是否存在连续三项ak，ak＋1，ak＋2，使得构成等差数列？请说明理由．
[听课记录]
题后师说
巩固训练2
已知数列满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求a2，a3；
(2)证明：数列是等差数列，并求的通项公式．
题型三　等差数列的性质
角度一等差数列项的性质
例3 (1)[2023·江西鹰潭模拟]已知数列满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a1＋a3＋a5＝6，a2＋a4＋a6＝18，则a3＋a4＝(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
(2)[2023·河南焦作模拟]已知数列是等差数列，a5，a16是方程x2－3x－21＝0的两根，则数列的前20项和为(　　)
A．－30 B．－15
C．15 D．30
(3)[2023·辽宁鞍山模拟]设等差数列的前n项和分别是Sn，Tn，若＝，则 ＝(　　)
A．1 B．
C． D．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题后师说
(1)运用等差数列项的性质可以提升解题效率，具体性质详见【知识梳理】3.
(2)应用等差数列项的性质解题时，注意性质成立的前提条件．
巩固训练3
(1)[2023·湖南张家界期末]是等差数列，且a1＋a4＋a7＝15，a2＋a5＋a8＝21，则a3＋a6＋a9＝(　　)
A．24 B．27
C．30 D．33
(2)[2023·河南杞县模拟]已知项数为n的等差数列的前6项和为10，最后6项和为110，所有项和为360，则n＝(　　)
A．48 B．36
C．30 D．26
角度二等差数列和的性质
例4 (1)[2023·安徽淮南模拟]已知等差数列的前n项和为Sn，若Sn＝2，S2n＝6，则S4n＝(　　)
A．8 B．12
C．14 D．20
(2)一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是(　　)
A．4 B．8
C．12 D．20
(3)[2023·河南洛阳模拟]等差数列中，a1＝2 021，前n项和为Sn，若＝－2，则S2 023＝(　　)
A．1 011 B．2 023
C．－1 011 D．－2 023
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题后师说
(1)运用等差数列和的性质可以提升解题效率，具体性质详见【知识梳理】3.
(2)应用等差数列和的性质解题时，也要注意性质成立的前提条件．
巩固训练4
(1)[2023·安徽蚌埠模拟]设等差数列的前n项和为Sn，已知S3＝15，S9＝99，则S6＝________．
(2)等差数列共有63项，且S63＝36，则S奇＝________，S偶＝________．
角度三最值问题
例5 等差数列的首项a1>0，设其前n项和为Sn，且S5＝S12，则当n为何值时，有最大值？
[听课记录]
题后师说
求等差数列前n项和Sn的最值的两种常用方法
巩固训练5
(1)[2023·江西赣州模拟]已知等差数列的前n项和为Sn，若S2 021>0，S2 022<0，则使得前n项和Sn取得最大值时n的值为(　　)
A．2 022 B．2 021
C．1 012 D．1 011
(2)在等差数列中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．
真题展台
1.[2022·新高考Ⅱ卷]图(1)是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图(2)是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝(　　)
A．0.75 B．0.8
C．0.85 D．0.9
2．[2022·全国乙卷]记Sn为等差数列的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________.
3．[2020·新高考Ⅰ卷]将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________.
4．[2021·新高考Ⅱ卷]记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求使Sn>an成立的n的最小值．
5．[2021·全国乙卷]记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＝2.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
第二节　等差数列
必备知识·夯实双基
知识梳理
1．(1)差　同一个常数　 an－an－1＝d(n≥2，d为常数)　(2)
2．(1)a1＋(n－1)d　(2)　na1＋d
3．(2)ak＋al＝am＋an　(5)　 a中
夯实双基
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：设等差数列的公差为d，所以，解得，
∴a8＝－5＋3×7＝16.故选B.
答案：B
3．解析：设五个人所分得的面包为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d(d>0)，
则(a－2d)＋(a－d)＋a＋(a＋d)＋(a＋2d)＝5a＝100，
∴a＝20.
又由题意知(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d，
即24d＝11a，
∴d＝×20＝.
∴最小的一份为a－2d＝20－×2＝.故选A.
答案：A
4．解析：由题意可得
即
所以答案：D
5．解析：∵d<0，＝，∴a3＝－a9，
∴a1＋2d＝－a1－8d，
∴a1＋5d＝0，∴a6＝0，
∴an>0(1≤n≤5)，
∴Sn取得最大值时的自然数n是5或6.
答案：5或6
关键能力·题型突破
例1　解析：(1)由题可知 .故选B.
(2)设等差数列的首项为a1，公差为d，
则
解得
所以a2 023＝a1＋2 022d＝1＋2 022×3＝6 067.
(3)设等差数列的公差为d，由S2＝S5，a3＝－1，
所以，解得，
所以an＝a1＋(n－1)d＝n－4.
答案：(1)B　(2)6 067　(3)n－4
巩固训练1　解析：(1)a3＝a1＋2d＝7，5a1＋10d＝7，
联立方程可解得a1＝3，d＝2，
所以a6＝3＋5×2＝13.故选B.
(2)因为S7＋S2＝8a4，所以7a1＋×2＋2a1＋2＝8(a1＋6)，解得：a1＝4.
所以S5＝5a1＋×2＝40.故选B.
(3)由＝a3a6，有(a1＋4)2＝(a1＋2)(a1＋5) a1＝－6，从而an＝－6＋(n－1)×1＝n－7，
所以若an＝0时，得n＝7.
答案：(1)B　(2)B　(3)7
例2　解析：(1)依题意，正项数列中＝1，即a1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即(Sn－Sn－1)[2Sn－(Sn－Sn－1)]＝1，
整理得＝1，又＝＝1，因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
则＝n，因为{an }是正项数列，即Sn>0，
所以Sn＝.
(2)不存在，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝，又a1＝1，即 n∈N*，都有an＝，
则＝＝，
假设存在满足要求的连续三项ak，ak＋1，ak＋2，使得构成等差数列，
则2＝，即＝，
两边同时平方，得k＋1＋k＋2＝k－1＋k＋2＋2，即(k＋1)k＝(k－1)(k＋2)，
整理得：k2＋k＝k2＋k－2，即0＝－2，显然不成立，因此假设是错误的，
所以数列中不存在满足要求的连续三项．
巩固训练2　解析：(1)由已知，得a2－2a1＝4，
则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.
由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.
(2)证明：由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，
得＝2，即＝2，
所以数列是首项为＝1，公差为d＝2的等差数列．
则＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.
例3　解析：(1)因为2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，
所以数列是等差数列，
由a1＋a3＋a5＝6 3a3＝6 a3＝2，
由a2＋a4＋a6＝18 3a4＝18 a4＝6，
因此a3＋a4＝8.故选C.
(2)a5，a16是方程x2－3x－21＝0的两根，
所以a5＋a16＝3，
又是等差数列，
所以其前20项和为＝＝30.故选D.
(3)因为等差数列的前n项和分别是Sn，Tn，
所以＝＝＝＝＝，故选B.
答案：(1)C　(2)D　(3)B
巩固训练3　解析：(1)因为是等差数列，所以a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9也成等差数列，
所以a3＋a6＋a9＝2＝2×21－15＝27.故选B.
(2)由题意知a1＋a2＋…＋a6＝10，an＋an－1＋…＋an－5＝110，
两式相加得6＝120，所以a1＋an＝20，又＝360，所以n＝36.故选B.
答案：(1)B　(2)B
例4　解析：(1)等差数列的前n项和为Sn，Sn＝2，S2n－Sn＝6－2＝4，
则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n构成首项为2，公差为2的等差数列，
则S4n＝Sn＋＝2＋4＋6＋8＝20，故选D.
(2)根据等差数列的性质得：nd＝30－24＝6，a2n－a1＝d＝10.5，
解得：n＝4，故该数列的项数为2n＝8.故选B.
(3)设等差数列的公差为d，则＝＝a1＋d，
因为＝－2，
所以＝－2，解得d＝－2，
所以S2 023＝2 023a1＋d＝2 023×2 021－2 023×2 022＝－2 023，故选D.
答案：(1)D　(2)B　(3)D
巩固训练4　解析：(1)因为等差数列的前n项和为Sn，
所以S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，
所以2＝S3＋，
因为S3＝15，S9＝99，
所以2＝15＋，解得S6＝48.
(2)由S63＝36，得63·a32＝36，∴a32＝.
∴S奇＝32a32＝32×＝，
S偶＝31a32＝31×＝.
答案：(1)48　(2)
例5　解析：由题意知d<0，因为Sn＝n2＋(a1－)n，
设f(x)＝x2＋x，
则函数y＝f(x)的图象如图，
由S5＝S12知，抛物线的对称轴为x＝＝，由图可知，当1≤n≤8时，Sn单调递增；当n≥9时，Sn单调递减，且S8＝S9.又n∈N*，所以当n＝8或9时，Sn有最大值．
巩固训练5　解析：(1)因为等差数列的前n项和为Sn，S2 021>0，S2 022<0，
所以
所以a1 011>0，a1 011＋a1 012<0，
所以a1 011>0，a1 012<0，即等差数列的公差d<0，
所以n≤1 011时，an>0；n≥1 012时，an<0，
所以使得前n项和Sn取得最大值时n的值为1 011.故选D.
(2)当且仅当n＝8时，Sn有最大值，说明
∴解得－1∴d的取值范围为.
答案：(1)D　(2)
真题展台——知道高考考什么？
1．解析：设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则DD1＝0.5，CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3.由题意，得k3＝k1＋0.2，k3＝k2＋0.1，且＝0.725，即＝0.725，解得k3＝0.9.故选D.
答案：D
2．解析：方法一　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a1＋d＋a1＋2d)＝3(a1＋a1＋d)＋6，所以6a1＋6d＝6a1＋3d＋6，解得d＝2.
方法二　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由2S3＝3S2＋6，可得2×3a2＝3(a1＋a2)＋6.整理，得a2－a1＝2，所以d＝2.
答案：2
3．解析：因为数列{2n－1}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列{3n－2}是以1为首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列{an}是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以{an}的前n项和为n·1＋·6＝3n2－2n.
答案：3n2－2n
4．解析：(1)由等差数列的性质可得：S5＝5a3，则a3＝5a3，
∴a3＝0，
设等差数列的公差为d，从而有a2a4＝(a3－d)(a3＋d)＝－d2，
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a3－2d)＋(a3－d)＋a3＋(a3＋d)＝－2d，
从而－d2＝－2d，由于公差不为零，故d＝2，
数列的通项公式为：an＝a3＋(n－3)d＝2n－6.
(2)由数列的通项公式可得a1＝2－6＝－4，则Sn＝n×(－4)＋×2＝n2－5n，
则不等式Sn>an即：n2－5n>2n－6，整理可得(n－1)(n－6)>0，
解得：n<1或n>6，又n为正整数，故n的最小值为7.
5．解析：(1)证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积，
所以n≥2时，Sn＝，
代入＝2可得，＝2，
整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝(n≥2)．
又＝＝2，所以b1＝，
故{bn}是以为首项，为公差的等差数列．
(2)由(1)可知，bn＝，则＝2，所以Sn＝，
当n＝1时，a1＝S1＝，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝＝－.
故an＝.

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