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课时作业(六十四)　随机事件的概率与古典概型
一、单项选择题
1．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中事件A＋发生的概率为(　　)
A．B．C．D．
2．[2023·河南商丘期末]已知袋子中有10个小球，其中红球2个，黑球和白球共8个，从中随机取出一个，设取出红球为事件A，取出黑球为事件B，随机事件C与B对立．若P(A＋B)＝0.5，则P(C)＝(　　)
A．0.3B．0.6C．0.7D．0.8
3．某省在新高考改革方案中规定：每位考生必选语文、数学、英语3科，再从物理、历史2科中选1科，从化学、生物、地理、政治4科中选2科，甲考生随机选择，最后他选择物理、化学、地理这个组合的概率是(　　)
A．B．C．D．
4．中国科协公布的一项调查显示，科技工作者每天平均工作时长为8.6小时，一天最长工作时间为16小时．高学历者每天工作时间更长，睡眠缺乏情况严重，博士学历的科技工作者每天平均工作时间最长，为9.29小时．同时，博士和硕士学历的科技工作者每周花在运动上的时间都不足5小时，明显少于其他学历群体，科研人员的健康状况不容忽视．某大型研究所共有职工120人，对他们年龄和身体健康情况进行调查，其结果如下表：
亚健康 健康 合计
35岁以下 40 30 70
35～50岁 27 13 40
50岁以上 8 2 10
现从该研究所职工中任取1人，则下列结论正确的是(　　)
A．该职工亚健康的概率小于0.6
B．该职工健康的概率大于0.5
C.该职工的年龄在50岁以上的概率大于0.1
D．该职工的年龄不低于35，且身体健康的概率大于0.1
5．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中3部产生于汉、魏晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著均是汉、魏晋、南北朝时期专著的概率为(　　)
A．B．C．D．
6．从分别写有数字1，2，3，4的4张卡片中随机抽出2张交给甲、乙两人，一人一张，则甲的卡片上的数字比乙的卡片上的数字大2的概率为(　　)
A．B．C．D．
7．[2023·山西晋城一中模拟]同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数．则两颗骰子出现的点数不同且互质的概率为(　　)
A．B．C．D．
8．[2023·河南平顶山期末]6把不同的钥匙中只有1把可以打开某个锁，从中任取2把能将该锁打开的概率为(　　)
A．B．C．D．
9．(能力题)[2023·河南信阳模拟]用红、黄、蓝、紫四种颜色随机地给正四面体的四个顶点染色，则“恰有一个面上的三个顶点同色”的概率为(　　)
A．B．C．D．
10．[2023·广东深圳模拟]我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法：筹算．筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的．据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当．即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，如图所示，例如：表示62，表示26，现有5根算筹，据此表示方式表示两位数(算筹不剩余且个位不为0)，则这个两位数大于40的概率为(　　)
A．B．C．D．
二、多项选择题
11．[2023·江苏四市模拟]从装有5只红球、5只白球的袋中任意取出3只球，下列各对事件为对立事件的有(　　)
A．“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”
B．“取出3只红球”与“取出的3只球中至少有1只白球”
C．“取出3只红球”与“取出3只白球”
D．“取出的3只球中至少有2只红球”与“取出的3只球中至少有2只白球”
12．[2023·山东临沂模拟]2021年5月31日，中共中央政治局召开会议，审议《关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定》并指出，为进一步优化生育政策，积极应对人口老龄化，实施一对夫妻可以生育三个子女政策及配套支持措施．假定生男生女是等可能的，现随机选择一个有3个孩子的家庭，则(　　)
A．三个孩子都是男孩的概率为
B．这个家庭有女孩的概率为
C．第一孩是男孩的条件下，第二三孩也是男孩的概率为
D．这个家庭有女孩的条件下，该家庭也有男孩的概率为
三、填空题
13．某汽车4S店有甲、乙、丙、丁、戊5种车型在售，小王从中任选2种车型试驾，则甲车型被选到的概率为________．
14．[2023·安徽蚌埠模拟]柜子里有3双不同的鞋，从中随机地取出2只，则取出的鞋子是一只左脚一只右脚，但不是一双鞋的概率是________.
四、解答题
15．[2023·黑龙江哈尔滨模拟]2016年起，春节期间全国流行在微信群里发红包、抢红包，如今，发抢红包已经成为人们工作和生活里很重要的决策方式，某单位活动中，部门主任将800元发成手气红包50个，产生的手气红包频数分布表如下：
金额分组 (0，5] (5，10] (10，15] (15，20] (20，25] (25，30]
频数 3 9 17 11 8 2
(1)求产生的手气红包的金额超过15元的频率；
(2)估计手气红包金额的70%分位数；
(3)在这50个红包组成的样本中，将频率视为概率．
(ⅰ)若红包金额在区间(25，30]内为红包运气手，求抢得红包的某人恰好是红包运气手的概率；
(ⅱ)随机抽取手气红包金额在(0，5]∪(25，30]内的两人，设其手气金额分别为m，n，求事件“|m－n|>20”的概率．
16．[2023·河南驻马店期末]华为HarmonyOS系统是一款面向未来、面向全场景的分布式操作系统，预计该系统将会成为继Android、IOS系统之后的全球第三大手机操作系统．为了了解手机用户对HarmonyOS系统的期待程度，某公司随机在20000人中抽取了100名被调查者，记录他们的期待值，将数据分成[0，15)，[15，30)，…，[75，90]6组，其中期待值不低于60的称为非常期待HarmonyOS系统，现整理数据得到如下频率分布直方图．
(1)试估计总体中期待值在区间[0，60)内的人数；
(2)请根据所提供的数据，完成下面的2×2列联表，并判断能否有99.5%的把握认为是否非常期待HarmonyOS系统与性别有关；
非常期待 不非常期待 合计
男 55
女 20
合计 100
(3)为了答谢用户对华为HarmonyOS系统的期待和信任，宣传部门决定：从非常期待的人群中按分层抽样抽出六名代表参加鸿蒙系统的宣传发布会，在发布会的互动环节中将抽取两位代表赠送手机，求这两位代表为一男一女的概率．
附：χ2＝，
其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
?优生选做题?
17．[2023·河北石家庄期末]某箱脐橙共有18个，其中有少部分是坏果．若从这箱脐橙中任取2个，恰好取到1个坏果的概率为，则这箱脐橙中坏果的个数为(　　)
A．3B．5C．2D．4
18．[2023·山东滨州模拟]某社区对在抗击疫情工作中表现突出的3位医生、2位护士和1位社区工作人员进行表彰并合影留念．现将这6人随机排成一排，则3位医生中有且只有2位相邻的概率为________．
课时作业（六十四）　随机事件的概率与古典概型
1．解析：由已知得：P（A）＝，P（B）＝，
事件B表示“小于5的点数出现”，
则事件表示“出现5点或6点”，
故事件A与事件互斥，
∴P（A＋）＝P（A）＋（1－P（B））＝＋（1－）＝.故选C.
答案：C
2．解析：由题意可知，P（A）＝＝0.2.
因为A与B互斥且P（A＋B）＝0.5，故P（B）＝0.3.
又因为随机事件C与B对立，所以P（C）＝1－0.3＝0.7.
故选C.
答案：C
3．解析：在物理、历史任选1科只有两种选法；
而在化学、生物、地理、政治中任选2科有六种选法；
甲考生随机选科的组合共有12种，即
物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，历化生，历化地，历化政，历生地，历生政，历地政．
满足要求的组合为：物化地共一种；
所以甲考生选择物理、化学、地理的概率为P＝.
故选C.
答案：C
4．解析：对于选项A，该职工亚健康的概率为＝＝0.625>0.6，故错误；
对于选项B，该职工健康的概率为＝＝0.375<0.5，故错误；
对于选项C，该职工的年龄在50岁以上的概率为≈0.08<0.1，故错误；
对于选项D，该职工的年龄不低于35岁且身体健康的概率为＝＝0.125>0.1，故正确．
故选D.
答案：D
5．解析：从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件总数n（Ω）＝10，
设A＝{所选2部专著均是汉、魏晋、南北朝时期专著}，
则n（A）＝3，
∴P（A）＝＝.
故选A.
答案：A
6．解析：从这4张卡片中随机抽出2张交给甲、乙两人有A＝12种不同的方法．
其中甲的卡片上的数字比乙的卡片上的数字大2的结果有3、1；4、2；（前为甲），共2种结果．
所以甲的卡片上的数字比乙的卡片上的数字大2的概率为＝.
故选A.
答案：A
7．解析：同时掷两颗质地均匀的骰子，则有6×6＝36个基本事件，
出现的点数不同且互质的情况有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），（5，6）共11对，
所以概率为＝.故选D.
答案：D
8．解析：将6把钥匙编号为a、b、c、d、e、f，不妨设能打开锁的为钥匙a.
从中任取2把，有：ab、ac、ad、ae、af、bc、bd、be、bf、cd、ce、cf、de、df、ef，共15种情况，
能将锁打开的情况有5种，分别为ab、ac、ad、ae、af，故所求概率为＝.
故选C.
答案：C
9．解析：用红、黄、蓝、紫四种颜色随机地给正四面体的四个顶点染色，
基本事件总数n＝44＝256，
恰有一个面上的三个顶点同色“包含的基本事件个数m＝CCC＝48，
则“恰有一个面上的三个顶点同色“的概率为p＝＝＝，故选D.
答案：D
10．解析：根据题意可知：一共5根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为4＋1，3＋2，2＋3，1＋4共四类情况；
第一类：4＋1，即十位用4根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是4或者8，个位为1，则两位数为41或者81；
第二类：3＋2，即十位用3根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是3或者7，个位可能为2或者6，故两位数可能32，36，72，76；
第三类：2＋3，即十位用2根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是2或者6，个位可能为3或者7，故两位数可能是23，27，63，67；
第四类：1＋4，即十位用1根算筹，个位用4根算筹，那么十位为1，个位可能为4或者8，则该两位数为14或者18，
综上可知：所有的两位数有14，18，23，27，32，36，41，63，67，72，76，81共计12个，
其中大于40的有41，63，67，72，76，81共计6个，
故这个两位数大于40的概率为＝.故选B.
答案：B
11．解析：从装有5只红球、5只白球的袋中任意取出3只球，所有可能的情况有：
3只均为红球；2只红球1只白球；1只红球2只白球；3只均为白球．
所以，对于A选项，“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”为互斥事件，但不是对立事件，故错误；
对于B选项，取出的3只球中至少有1只白球包含：2只红球1只白球；1只红球2只白球；3只均为白球．故与取出3只红球为对立事件，故正确；
对于C选项，“取出3只红球”与“取出3只白球”为互斥事件，但不是对立事件，故错误；
对于D选项，“取出的3只球中至少有2只红球”包含事件：3只均为红球；2只红球1只白球．“取出的3只球中至少有2只白球”包含事件：1只红球2只白球；3只均为白球．故为对立事件，正确．
故选BD.
答案：BD
12．解析：由题意知：这个家庭3个孩子的全部可能为：（女女女）、（女女男）、（女男女）、（男女女）、（女男男）、（男女男）、（男男女）、（男男男），共8种；
则三个孩子都是男孩的有（男男男）共1种，所以其概率为，A错误；
这个家庭有女孩的有：（女女女）、（女女男）、（女男女）、（男女女）、（女男男）、（男女男）、（男男女）共7种，其概率为，B错误；
第一孩是男孩的条件下有（男女女）、（男女男）、（男男女）、（男男男）共4种，第二三孩也是男孩的有（男男男）共1种，其概率为，C正确；
这个家庭有女孩的有：（女女女）、（女女男）、（女男女）、（男女女）、（女男男）、（男女男）、（男男女）共7种，
其中有男孩的有：（女女男）、（女男女）、（男女女）、（女男男）、（男女男）、（男男女）共6种，其概率为.D正确．
故选CD.
答案：CD
13．解析：随机试验小王从甲、乙、丙、丁、戊5种车型中任选2种车型试驾的可能结果为：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），共含10个基本事件，其中随机事件甲车型被选到包含基本事件（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），所以随机事件甲车型被选到的概率P＝＝.
答案：
14．解析：由题意，可以先选出左脚的一只有C＝3种选法，然后从剩下两双的右脚中选出一只有C＝2种选法，所以一共6种取法，又因为柜子里有3双不同的鞋，随机取出2只，共有C＝15种取法，故P＝＝0.4.
答案：0.4
15．解析：（1）产生的手气红包的金额超过15元的频数为11＋8＋2＝21，
所以，产生的手气红包的金额超过15元的频率为＝0.42.
（2）前三组的频率为＝0.58，前四组的频率为＝0.80，
所以手气红包金额的70%分位数为15＋×5＝.
（3）（ⅰ）由表中数据知，手气红包频数在（25，30]内的有2人，
所以，某人恰好是红包运气手的概率为＝；
（ⅱ）由题知，手气红包金额在（0，5]和（25，30]内的分别有3人和2人，分别记为a，b，c和A，B，
所以，抽取手气红包金额在（0，5]∪（25，30]内的两人的情况为：（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B），共10种，
其中，满足事件“|m－n|>20”的情况有（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B）共6种，
所以，根据古典概型得事件“|m－n|>20”的概率为＝.
16．解析：（1）因为样本中期待值不小于60的频率为（＋）×15＝0.6，所以样本中期待值小于60的频率为0.4，所以样本中期待值在区间[0，60）内的人数为100×0.4＝40.
（2）因为样本中非常期待HarmonyOS系统的人数为（＋）×15×100＝60，所以样本中女用户人数为45，非常期待HarmonyOS系统的男用户人数为40.列表如下：
非常期待 不非常期待 合计
男 40 15 55
女 20 25 45
合计 60 40 100
χ2＝≈8.249>7.879，
所以有99.5%的把握认为男女用户对是否非常期待HarmonyOS系统有差异．
（3）∵样本中非常期待HarmonyOS系统的男用户人数与女用户人数之比为2∶1，
∴所抽6人包括4男2女．
记4名男用户分别为A、B、C、D；记2名女用户分别为m、n.
从6人中抽取2人，所抽两人为1男1女记为事件A，
从6人中抽取2人包含的基本事件有AB，AC，AD，Am，An，BC，BD，Bm，Bn，CD，Cm，Cn，Dm，Dn，mn，共15种，
事件A包含的基本事件有Am，An，Bm，Bn，Cm，Cn，Dm，Dn，共8种，
所以从6人中抽取2人，所抽两人1男1女的概率P（A）＝.
17．解析：设这箱脐橙中坏果的个数为n，
则＝＝，解得n＝3或15，
因为有少部分是坏果，所以n＝3.
故选A.
答案：A
18．解析：由题意，先将2位护士和1位社区工作人员排成一排，有A种排法，然后将3位医生分成两组，一组2人一组1人，有C种分组方法，然后插入到2位护士和1位社区工作人员所排成的4个空中的2个空，有A种插空方法，最后交换相邻2位医生的位置有A种方法，所以3位医生中有且只有2位相邻共有ACAA＝432种排法，又6人随机排成一排有A种排法，所以所求概率为P＝＝.
答案：(共54张PPT)
第三节　随机事件的概率与古典概型
必备知识·夯实双基
关键能力·题型突破
【课标标准】　1.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.2.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.3.理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率.4.理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.5.会用频率估计概率．
必备知识·夯实双基
知识梳理
1.样本点和样本空间
把随机试验E的每个可能的________称为样本点，通常用ω表示．全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．
2．事件的概念
确定事件 必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能事件 空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件
随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件 基本事件 把只包含一个样本点的事件称为基本事件 基本结果
3.频率与概率
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐________事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
稳定于
4．事件的关系与运算
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 ________
并事件(和事件) A与B至少一个发生 ________或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生 ________或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生
互为对立 A与B有且仅 有一个发生
A B
A∪B
A∩B


Ω
5.概率的基本性质
(1)对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1.必然事件的概率P(Ω)＝________，不可能事件的概率P( )＝________．
(2)如果事件A与事件B互斥，则P(A＝______________.
(3)如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝________，P(A)＝________．
(4)如果A B，那么P(A)≤P(B)．
(5)设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A＝_________________________．
1
0
P（A）＋P（B）
1－P（A）
1－P（B）
P（A）＋P（B）－P（A∩B）
6．古典概型
(1)古典概型的定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
①有限性：样本空间的样本点只有________；
②等可能性：每个样本点发生的可能性________．
(2)古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝________．其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
有限个
相等
＝
[常用结论]
1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事件互斥是对立的必要不充分条件．
2．若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
夯实双基
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的．(　　)
(2)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生．(　　)
(3)若A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1.(　　)
(4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　　)
×
√
×
√
2．(教材改编)从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是(　　)
A．A，C互斥 B．B，C互斥
C．任何两个都互斥 D．任何两个都不互斥
解析：从一批产品中取出三件产品，
设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品不全是次品”，
在A中，A和C能同时发生，事件A和C不是互斥事件，故A错误；
在B中，B和C不能同时发生，故B和C是互斥事件，故B正确；
在C中，A和C能同时发生，事件A和C不是互斥事件，故C错误；
在D中，B和C不能同时发生，故B和C是互斥事件，故D错误．故选B.
答案：B
3．(教材改编)抛掷一枚骰子，记事件A为“出现点数是奇数”，事件B为“出现点数是3的倍数”，则P(A＝________，P(A＝________．
解析：抛掷一枚骰子，基本事件为出现的点数是1，2，3，4，5，6，事件A∪B包括出现的点数是1，3，5，6这4个基本事件，故P(A∪B)＝，事件A∩包括出现的点数是3这1个基本事件，故P(A∩B)＝.
4．(易错)对于概率是1‰(千分之一)的事件，下列说法正确的是(　　)
A．概率太小，不可能发生
B．1 000次中一定发生1次
C．1 000人中，999人说不发生，1人说发生
D．1 000次中有可能发生1 000次
解析：解析：概率是1‰说明发生的可能性是1‰，每次发生都是随机的，1 000次中也可能发生1 000次，只是发生的可能性很小．故选D.
答案：D
5．(易错)袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中1个红球，2个黑球，现随机从中不放回地依次摸出2个球，则第二次摸到红球的概率为________．
解析：因为三个球的大小质地完全相同，所以从袋中不放回的依次摸出2个球，所包含的总的情况有：第一次红球第二次黑球，第一次黑球第二次红球，第一次和第二次都是黑球，共3种情况；满足第二次摸到红球的只有一种，故所求的概率为P＝.
关键能力·题型突破
题型一　随机事件
角度一 事件的关系与运算
例 1(1)[2023·安徽芜湖期末](多选)从5个女生和4个男生中任选两个人参加某项活动，有如下随机事件：A＝“至少有一个是女生”，B＝“至少有一个男生”，C＝“恰有一个男生”，D＝“两个都是女生”，E＝“恰有一个女生”．下列结论正确的有(　　)
A．C＝E
B．A＝B
C．D
D．B＝ ，B＝Ω
答案：AD
解析：对于A，事件C，E均为：“选出的两个人是1个男生和1个女生”，则C＝E，正确；
对于B，事件A：“选出的两个人是1个男生和1个女生或者2个女生”，事件B：“选出的两个人是1个男生和1个女生或者2个男生”，则A≠B，错误；
对于C，事件D，E包含的样本点都不相同，则D∩E＝ ，错误；
对于D，事件B，D包含的样本点都不相同，则B∩D＝ ；事件B：“选出的两个人是1个男生和1个女生或者2个男生”；事件D：“选出的两个人是2个女生”，则B∪D包含了样本空间中所有的样本点，∴B∪D＝Ω，D正确．
故选AD.
(2)[2023·河北保定期末]从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，则互斥且不对立的两个事件是(　　)
A．“都是红球”与“都是黑球”
B．“至少有一个红球”与“恰好有一个黑球”
C．“至少有一个红球”与“至少有一个黑球”
D．“都是红球”与“至少有一个黑球”
答案：A
解析：A.“都是红球”与“都是黑球”不可能同时发生，所以是互斥事件，但是不是必然有一个发生，所以不是对立事件，故选项A符合题意；B.“至少有一个红球”与“恰好有一个黑球”不是互斥事件，故选项B不符合题意；C.“至少有一个红球”与“至少有一个黑球”不是互斥事件，故选项C不符合题意；D.“都是红球”与“至少有一个黑球”是互斥事件，也是对立事件，故选项D不符合题意．故选A.
题后师说
判断互斥事件、对立事件的两种方法
巩固训练1
从1，2，3，4，5，6这六个数中任取三个数，下列两个事件为对立事件的是(　　)
A．“至多有一个是偶数”和“至多有两个是偶数”
B．“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”
C．“至少有一个是奇数”和“全都是偶数”
D．“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数”
答案：C
解析：从1，2，3，4，5，6这六个数中任取三个数，可能有0个奇数和3个偶数，1个奇数和2个偶数，2个奇数和1个偶数，3个奇数和0个偶数，“至多有一个是偶数”包括2个奇数和1个偶数，3个奇数和0个偶数，“至多有两个是偶数”包括1个奇数和2个偶数，2个奇数和1个偶数，3个奇数和0个偶数，即“至多有一个是偶数”包含于“至多有两个是偶数”，故A错误；“恰有一个是奇数”即1个奇数和2个偶数，“恰有一个是偶数”即2个奇数和1个偶数，所以“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”是互斥但不对立事件，故B错误；同理可得“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数” 是互斥但不对立事件，故D错误；“至少有一个是奇数”包括1个奇数和2个偶数，2个奇数和1个偶数，3个奇数和0个偶数，“全都是偶数”即0个奇数和3个偶数，所以“至少有一个是奇数”和“全都是偶数”为对立事件，故C正确．故选C.
角度二 随机事件的频率与概率
例 2某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40]
天数 2 16 36 25 7 4
解析：(1)由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间[20，25)和最高气温低于20的天数为2＋16＋36＝54，
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．
如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，
如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶，
如果最高气温低于20，需求量为200瓶，
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p＝＝.
(2)当温度大于等于25 ℃时，需求量为500，
Y＝450×2＝900元，
当温度在[20，25)℃时，需求量为300，
Y＝300×2－(450－300)×2＝300元，
当温度低于20 ℃时，需求量为200，
Y＝400－(450－200)×2＝－100元，
当温度大于等于20时，Y>0，
由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20 ℃的天数有：
90－(2＋16)＝72，
∴估计Y大于零的概率P＝＝.
题后师说
1.频率与概率的关系
频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小．
2．随机事件概率的求法
通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是事件的概率．

巩固训练2
为了研究某种油菜籽的发芽率，科研人员在相同条件下做了8批试验，油菜籽发芽试验的相关数据如下表．
(1)如何计算各批试验中油菜籽发芽的频率？
(2)由各批油菜籽发芽的频率，可以得到频率具有怎样的特征？
(3)如何确定该油菜籽发芽的概率？
批次 1 2 3 4 5 6 7 8
每批粒数 5 10 130 700 1 500 2 000 3 000 5 000
发芽粒数 4 9 116 637 1 370 1 786 2 709 4 490
解析：(1)利用公式：频率＝，可求出各批试验中油菜籽发芽的频率．
(2)＝0.8，＝0.9，≈0.892，≈0.91，≈0.913，＝0.893，≈0.903，＝0.898，
当试验次数越来越多时，频率越来越趋近于一个常数．
(3)由(2)可知，当试验次数越来越多时，频率在0.900附近波动，由此可估计该油菜籽发芽的概率约为0.900.
角度三 互斥事件与对立事件的概率
例 3 某学校在教师外出家访了解家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：
(1)求有4人或5人外出家访的概率；
(2)求至少有3人外出家访的概率．
派出人数 ≤2 3 4 5 ≥6
概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04
解析：(1)设“派出2人及以下外出家访”为事件A，“派出3人外出家访”为事件B，“派出4人外出家访”为事件C，“派出5人外出家访”为事件D，“派出6人及以上外出家访”为事件E，则有4人或5人外出家访的事件为事件C或事件D，C与D为互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式可知P(C＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4.
(2)至少有3人外出家访的对立事件为有2人及以下外出家访，所以由对立事件的概率公式可知所求概率P＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.
题后师说
求复杂互斥事件概率的两种方法
巩固训练3
从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示：
(1)求表中字母a的值；
(2)求至少遇到4个红灯的概率；
(3)求至多遇到5个红灯的概率．
红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上
概率 0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03
解析：(1)由题意可得0.02＋0.1＋a＋0.35＋0.2＋0.1＋0.03＝1，解得a＝0.2.
(2)设事件A为遇到红灯的个数为4，事件B为遇到红灯的个数为5，事件C为遇到红灯的个数为6个及以上，则事件“至少遇到4个红灯”为A∪B∪C，因为事件A，B，C互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＋0.03＝0.33，即至少遇到4个红灯的概率为0.33.
(3)设事件D为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件.
则P()＝1－P(D)＝1－0.03＝0.97.
题型二　古典概型
例 4 在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有4个小球，小球上分别写有1，2，3，4的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，家长先从盒子中取出一个小球，记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下小球上数字将小球放回．①若取出的两个小球上数字之积大于8，则奖励飞机玩具一个；②若取出的两个小球上数字之积在区间[4，8]上，则奖励汽车玩具一个；③若取出的两个小球上数字之积小于4，则奖励饮料一瓶．
(1)求每对亲子获得飞机玩具的概率；
(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率，哪个更大？请说明理由．
解析：(1)样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}共16个样本点．
记“获得飞机玩具”为事件A，事件A包含的样本点有(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)共4个．
故每对亲子获得飞机玩具的概率为P(A)＝＝.
(2)同(1)，记“获得汽车玩具”为事件B，记“获得饮料”为事件C.
事件B包含的样本点有(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(4，1)，(4，2)共7个．
所以P(B)＝，
事件C包含的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)共5个，
所以P(C)＝.
所以P(B)>P(C)，即每对亲子获得汽车玩具的概率大于获得饮料的概率．
题后师说
古典概型中样本点个数的探求方法
巩固训练4
(1)从两名男生，两名女生共4名同学中随机选2名参加社会实践活动，则所选两名同学性别不同的概率为(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
答案：D
解析：两名男生标记为a1，a2，两名女生标记为b1，b2.
从中随机选2名参加社会实践的事件有{a1，a2}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a2，b1}，{a2，b2}，{b1，b2}，共计6种．
其中两名同学性别不同的事件有{a1，b1}，{a1，b2}，{a2，b1}，{a2，b2}，共计4种，
所求概率P＝＝.
故选D.
(2)[2023·河北张家口期末]从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任取2张，卡片上的数字恰好一奇一偶的概率是(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
答案：B
解析：由题意，P＝＝.故选B.
题型三　古典概型与统计的综合
例 5 [2023·河南安阳期末]某企业的一种产品以某项指标m作为衡量产品质量的标准，按该项指标划分等级如下表：
等级 一等品 二等品 三等品
m m≥140 120≤m<140 m<120
随机抽取1 000件这种产品，按照这项指标绘制成如图所示频率分布直方图．
(1)求a的值，若这种产品的一、二等品至少占全部产品的85%，则该企业为产品优质企业，根据抽样数据，判断该企业是否为产品优质企业，并说明理由；
(2)从这1000件产品中，按各等级的比例用分层随机抽样的方法抽取8件，再从这8件中随机抽取2件，求这2件全是一等品的概率．
解析：(1)由题意知，(0.003 5＋0.009 0＋0.021 5＋0.028 5＋a＋0.015 0＋0.002 5)×10＝1，解得a＝0.02；
该企业是产品优质企业，理由如下：
根据抽样数据可知，一、二等品所占比例的估计值为1－10×(0.003 5＋0.009 0)＝0.875>0.85，所以该企业是产品优质企业．
(2)由频率分布直方图可得，一等品所占比例为10×(0.02＋0.015 0＋0.002 5)＝0.375，二等品所占比例为10×(0.021 5＋0.028 5)＝0.5，三等品所占比例为10×(0.003 5＋0.009 0)＝0.125，所以抽取的8件产品中，一等品有3件，二等品有4件，三等品有1件，
记3件一等品为A，B，C，4件二等品为a，b，c，d，1件三等品为α，
则抽取2件的基本事件为(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(A，α)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，(B，α)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，(C，d)，(C，α)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，α)，(b，c)，(b，d)，(b，α)，(c，d)，(c，α)，(d，α)共28个，
其中2件全是一等品的有3个，则2件全是一等品的概率为.
题后师说
古典概型与统计综合的题型，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、列联表等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，结合古典概型就可求解．
巩固训练5
2022年支付宝“集五福”活动从1月19日开始，持续到1月31日，用户打开支付宝最新版，通过AR扫描“福”字集福卡(爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福)，在除夕夜22：18前集齐“五福”的用户获得一个大红包．某研究型学习小组为了调查研究“集五福与性别是否有关”，现从某一社区居民中随机抽取200名进行调查，得到统计数据如下表所示：
集齐“五福”卡 未集齐“五福”卡 合计
男性 80 20 100
女性 65 35 100
合计 145 55 200
(1)假设未参与的视为未集齐“五福”卡者，请根据以上数据，判断是否有95%的把握认为是否集齐“五福”与性别有关；
(2)现采用分层抽样的方法从男性的样本中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求这3人中恰有1人未集齐“五福”卡的概率．
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
解析：(1)根据列联表可得：
χ2＝＝≈5.643>3.841，
所以有95%的把握认为是否集齐“五福”与性别有关．
(2)设集齐“五福”卡的男性抽取x人，则＝，所以x＝4，
故抽取的5人中集齐“五福”卡的男性有4人，未集齐“五福”卡的男性有1人，
设被抽取的集齐“五福”卡的4名男性为A，B，C，D，未集齐“五福”卡的1名男性为a，
从5人中任意抽取3人的所有基本事件如下：
(A，B，C)，(A，B，D)，(A，B，a)，(A，C，D)(A，C，a)，(A，D，a)，(B，C，D)，(B，C，a)，(B，D，a)(C，D，a)，
所以基本事件总数为10，其中事件恰有1人未集齐“五福”卡包含的基本事件有：
(A，B，a)，(A，C，a)，(A，D，a)，(B，C，a)，(B，D，a)，(C，D，a)共6种，
由古典概型的概率公式可得事件恰有1人未集齐“五福”卡的概率P＝＝，
故这3人中恰有1人未集齐“五福”卡的概率是.
1.[2022·全国甲卷]从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
答案：C
解析：从6张卡片中任取2张的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种不同取法，其中2张卡片上的数字之积是4的倍数的取法有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6种，所以所求概率P＝＝.故选C.
2．[2022·新高考Ⅰ卷]从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　)
A． B． C． D．
答案：D
解析：方法一　从2，3，4，5，6，7，8中随机取2个不同的数有＝21(种)结果，其中这2个数互质的结果有(2，3)，(2，5)，(2，7)，(3，4)，(3，5)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，7)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，(7，8)，共14种，所以所求概率为＝.故选D.
方法二　从2，3，4，5，6，7，8中随机取2个不同的数有＝21(种)结果，其中这2个数不互质的结果有(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7种，所以所求概率为＝.故选D.
3．[2022·全国乙卷]从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．
解析：从5名同学中随机选3名的方法数为＝10，
甲、乙都入选的方法数为＝3，所以甲、乙都入选的概率P＝.
4．[2021·全国甲卷]将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(　　)
A． B． C． D．
答案：C
解析：将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有＝5种排法，若2个0不相邻，则有＝10种排法，
所以2个0不相邻的概率为＝.故选C.
5．[2020·全国Ⅰ卷]设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为(　　)
A． B． C． D．
答案：A
解析：从O，A，B，C，D中任取3点的情况有(O，A，B)，(O，A，C)，(O，A，D)，(O，B，C)，(O，B，D)，(O，C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(B，C，D)，(A，C，D)，共有10种不同的情况，由图可知取到的3点共线的有(O，A，C)和(O，B，D)两种情况，所以所求概率为＝.故选A.第三节　随机事件的概率与古典概型
【课标标准】　1.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.2.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.3.理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率.4.理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.5.会用频率估计概率．
必备知识·夯实双基
知识梳理
1.样本点和样本空间
把随机试验E的每个可能的________称为样本点，通常用ω表示．全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．
2．事件的概念
确定事件 必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能事件 空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件
随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件
基本事件 把只包含一个样本点的事件称为基本事件
3.频率与概率
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐________事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
4．事件的关系与运算
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 ________
并事件(和事件) A与B至少一个发生 ________或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生 ________或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A＝________
互为对立 A与B有且仅 有一个发生 A＝________， A＝________
5.概率的基本性质
(1)对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1.必然事件的概率P(Ω)＝________，不可能事件的概率P( )＝________．
(2)如果事件A与事件B互斥，则P(A＝________.
(3)如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝________，P(A)＝________．
(4)如果A B，那么P(A)≤P(B)．
(5)设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A＝________________．
6．古典概型
(1)古典概型的定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
①有限性：样本空间的样本点只有________；
②等可能性：每个样本点发生的可能性________．
(2)古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝________．其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
[常用结论]
1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事件互斥是对立的必要不充分条件．
2．若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
夯实双基
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的．(　　)
(2)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生．(　　)
(3)若A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1.(　　)
(4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　　)
2．(教材改编)从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是(　　)
A．A，C互斥 B．B，C互斥
C．任何两个都互斥 D．任何两个都不互斥
3．(教材改编)抛掷一枚骰子，记事件A为“出现点数是奇数”，事件B为“出现点数是3的倍数”，则P(A＝________，P(A＝________．
4．(易错)对于概率是1‰(千分之一)的事件，下列说法正确的是(　　)
A．概率太小，不可能发生
B．1 000次中一定发生1次
C．1 000人中，999人说不发生，1人说发生
D．1 000次中有可能发生1 000次
5．(易错)袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中1个红球，2个黑球，现随机从中不放回地依次摸出2个球，则第二次摸到红球的概率为________．
关键能力·题型突破
题型一　随机事件
角度一事件的关系与运算
例 1(1)[2023·安徽芜湖期末](多选)从5个女生和4个男生中任选两个人参加某项活动，有如下随机事件：A＝“至少有一个是女生”，B＝“至少有一个男生”，C＝“恰有一个男生”，D＝“两个都是女生”，E＝“恰有一个女生”．下列结论正确的有(　　)
A．C＝E
B．A＝B
C．D
D．B＝ ，B＝Ω
(2)[2023·河北保定期末]从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，则互斥且不对立的两个事件是(　　)
A．“都是红球”与“都是黑球”
B．“至少有一个红球”与“恰好有一个黑球”
C．“至少有一个红球”与“至少有一个黑球”
D．“都是红球”与“至少有一个黑球”
题后师说
判断互斥事件、对立事件的两种方法
巩固训练1
从1，2，3，4，5，6这六个数中任取三个数，下列两个事件为对立事件的是(　　)
A．“至多有一个是偶数”和“至多有两个是偶数”
B．“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”
C．“至少有一个是奇数”和“全都是偶数”
D．“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数”
角度二随机事件的频率与概率
例 2某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40]
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
题后师说
1.频率与概率的关系
频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小．
2．随机事件概率的求法
通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是事件的概率．
巩固训练2
为了研究某种油菜籽的发芽率，科研人员在相同条件下做了8批试验，油菜籽发芽试验的相关数据如下表．
批次 1 2 3 4 5 6 7 8
每批粒数 5 10 130 700 1 500 2 000 3 000 5 000
发芽粒数 4 9 116 637 1 370 1 786 2 709 4 490
(1)如何计算各批试验中油菜籽发芽的频率？
(2)由各批油菜籽发芽的频率，可以得到频率具有怎样的特征？
(3)如何确定该油菜籽发芽的概率？
角度三互斥事件与对立事件的概率
例 3 某学校在教师外出家访了解家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：
派出人数 ≤2 3 4 5 ≥6
概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04
(1)求有4人或5人外出家访的概率；
(2)求至少有3人外出家访的概率．
题后师说
求复杂互斥事件概率的两种方法
巩固训练3
从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示：
红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上
概率 0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03
(1)求表中字母a的值；
(2)求至少遇到4个红灯的概率；
(3)求至多遇到5个红灯的概率．
题型二　古典概型
例 4 在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有4个小球，小球上分别写有1，2，3，4的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，家长先从盒子中取出一个小球，记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下小球上数字将小球放回．①若取出的两个小球上数字之积大于8，则奖励飞机玩具一个；②若取出的两个小球上数字之积在区间[4，8]上，则奖励汽车玩具一个；③若取出的两个小球上数字之积小于4，则奖励饮料一瓶．
(1)求每对亲子获得飞机玩具的概率；
(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率，哪个更大？请说明理由．
题后师说
古典概型中样本点个数的探求方法
巩固训练4
(1)从两名男生，两名女生共4名同学中随机选2名参加社会实践活动，则所选两名同学性别不同的概率为(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
(2)[2023·河北张家口期末]从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任取2张，卡片上的数字恰好一奇一偶的概率是(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
题型三　古典概型与统计的综合
例 5[2023·河南安阳期末]某企业的一种产品以某项指标m作为衡量产品质量的标准，按该项指标划分等级如下表：
等级 一等品 二等品 三等品
m m≥140 120≤m<140 m<120
随机抽取1 000件这种产品，按照这项指标绘制成如图所示频率分布直方图．
(1)求a的值，若这种产品的一、二等品至少占全部产品的85%，则该企业为产品优质企业，根据抽样数据，判断该企业是否为产品优质企业，并说明理由；
(2)从这1000件产品中，按各等级的比例用分层随机抽样的方法抽取8件，再从这8件中随机抽取2件，求这2件全是一等品的概率．
题后师说
古典概型与统计综合的题型，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、列联表等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，结合古典概型就可求解．
巩固训练5
2022年支付宝“集五福”活动从1月19日开始，持续到1月31日，用户打开支付宝最新版，通过AR扫描“福”字集福卡(爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福)，在除夕夜22：18前集齐“五福”的用户获得一个大红包．某研究型学习小组为了调查研究“集五福与性别是否有关”，现从某一社区居民中随机抽取200名进行调查，得到统计数据如下表所示：
集齐“五福”卡 未集齐“五福”卡 合计
男性 80 20 100
女性 65 35 100
合计 145 55 200
(1)假设未参与的视为未集齐“五福”卡者，请根据以上数据，判断是否有95%的把握认为是否集齐“五福”与性别有关；
(2)现采用分层抽样的方法从男性的样本中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，求这3人中恰有1人未集齐“五福”卡的概率．
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
1.[2022·全国甲卷]从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
2．[2022·新高考Ⅰ卷]从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　)
A． B． C． D．
3．[2022·全国乙卷]从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．
4．[2021·全国甲卷]将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(　　)
A． B． C． D．
5．[2020·全国Ⅰ卷]设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为(　　)
A． B． C． D．
第三节　随机事件的概率与古典概型
必备知识·夯实双基
知识梳理
1．基本结果
3．稳定于
4．A B　A∪B　A∩B　 　 　Ω
5．（1）1　0　（2）P（A）＋P（B）　（3）1－P（A）　1－P（B）　（5）P（A）＋P（B）－P（A∩B）
6．（1）①有限个　②相等　（2）＝
夯实双基
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．解析：从一批产品中取出三件产品，
设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品不全是次品”，
在A中，A和C能同时发生，事件A和C不是互斥事件，故A错误；
在B中，B和C不能同时发生，故B和C是互斥事件，故B正确；
在C中，A和C能同时发生，事件A和C不是互斥事件，故C错误；
在D中，B和C不能同时发生，故B和C是互斥事件，故D错误．故选B.
答案：B
3．解析：抛掷一枚骰子，基本事件为出现的点数是1，2，3，4，5，6，事件A∪B包括出现的点数是1，3，5，6这4个基本事件，故P(A∪B)＝，事件A∩包括出现的点数是3这1个基本事件，故P(A∩B)＝.
答案：
4．解析：概率是1‰说明发生的可能性是1‰，每次发生都是随机的，1 000次中也可能发生1 000次，只是发生的可能性很小．故选D.
答案：D
5．解析：因为三个球的大小质地完全相同，所以从袋中不放回的依次摸出2个球，所包含的总的情况有：第一次红球第二次黑球，第一次黑球第二次红球，第一次和第二次都是黑球，共3种情况；满足第二次摸到红球的只有一种，故所求的概率为P＝.
答案：
关键能力·题型突破
例1　解析：(1)对于A，事件C，E均为：“选出的两个人是1个男生和1个女生”，则C＝E，正确；
对于B，事件A：“选出的两个人是1个男生和1个女生或者2个女生”，事件B：“选出的两个人是1个男生和1个女生或者2个男生”，则A≠B，错误；
对于C，事件D，E包含的样本点都不相同，则D∩E＝ ，错误；
对于D，事件B，D包含的样本点都不相同，则B∩D＝ ；事件B：“选出的两个人是1个男生和1个女生或者2个男生”；事件D：“选出的两个人是2个女生”，则B∪D包含了样本空间中所有的样本点，∴B∪D＝Ω，D正确．
故选AD.
(2)A.“都是红球”与“都是黑球”不可能同时发生，所以是互斥事件，但是不是必然有一个发生，所以不是对立事件，故选项A符合题意；B.“至少有一个红球”与“恰好有一个黑球”不是互斥事件，故选项B不符合题意；C.“至少有一个红球”与“至少有一个黑球”不是互斥事件，故选项C不符合题意；D.“都是红球”与“至少有一个黑球”是互斥事件，也是对立事件，故选项D不符合题意．故选A.
答案：(1)AD　(2)A
巩固训练1　解析：从1，2，3，4，5，6这六个数中任取三个数，可能有0个奇数和3个偶数，1个奇数和2个偶数，2个奇数和1个偶数，3个奇数和0个偶数，“至多有一个是偶数”包括2个奇数和1个偶数，3个奇数和0个偶数，“至多有两个是偶数”包括1个奇数和2个偶数，2个奇数和1个偶数，3个奇数和0个偶数，即“至多有一个是偶数”包含于“至多有两个是偶数”，故A错误；“恰有一个是奇数”即1个奇数和2个偶数，“恰有一个是偶数”即2个奇数和1个偶数，所以“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”是互斥但不对立事件，故B错误；同理可得“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数” 是互斥但不对立事件，故D错误；“至少有一个是奇数”包括1个奇数和2个偶数，2个奇数和1个偶数，3个奇数和0个偶数，“全都是偶数”即0个奇数和3个偶数，所以“至少有一个是奇数”和“全都是偶数”为对立事件，故C正确．故选C.
答案：C
例2　解析：(1)由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间[20，25)和最高气温低于20的天数为2＋16＋36＝54，
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．
如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，
如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶，
如果最高气温低于20，需求量为200瓶，
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p＝＝.
(2)当温度大于等于25 ℃时，需求量为500，
Y＝450×2＝900元，
当温度在[20，25)℃时，需求量为300，
Y＝300×2－(450－300)×2＝300元，
当温度低于20 ℃时，需求量为200，
Y＝400－(450－200)×2＝－100元，
当温度大于等于20时，Y>0，
由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20 ℃的天数有：
90－(2＋16)＝72，
∴估计Y大于零的概率P＝＝.
巩固训练2　解析：(1)利用公式：频率＝，可求出各批试验中油菜籽发芽的频率．
(2)＝0.8，＝0.9，≈0.892，≈0.91，≈0.913，＝0.893，≈0.903，＝0.898，
当试验次数越来越多时，频率越来越趋近于一个常数．
(3)由(2)可知，当试验次数越来越多时，频率在0.900附近波动，由此可估计该油菜籽发芽的概率约为0.900.
例3　解析：(1)设“派出2人及以下外出家访”为事件A，“派出3人外出家访”为事件B，“派出4人外出家访”为事件C，“派出5人外出家访”为事件D，“派出6人及以上外出家访”为事件E，则有4人或5人外出家访的事件为事件C或事件D，C与D为互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式可知P(C＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4.
(2)至少有3人外出家访的对立事件为有2人及以下外出家访，所以由对立事件的概率公式可知所求概率P＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.
巩固训练3　解析：(1)由题意可得0.02＋0.1＋a＋0.35＋0.2＋0.1＋0.03＝1，解得a＝0.2.
(2)设事件A为遇到红灯的个数为4，事件B为遇到红灯的个数为5，事件C为遇到红灯的个数为6个及以上，则事件“至少遇到4个红灯”为A∪B∪C，因为事件A，B，C互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＋0.03＝0.33，即至少遇到4个红灯的概率为0.33.
(3)设事件D为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件.
则P()＝1－P(D)＝1－0.03＝0.97.
例4　解析：(1)样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}共16个样本点．
记“获得飞机玩具”为事件A，事件A包含的样本点有(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)共4个．
故每对亲子获得飞机玩具的概率为P(A)＝＝.
(2)同(1)，记“获得汽车玩具”为事件B，记“获得饮料”为事件C.
事件B包含的样本点有(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(4，1)，(4，2)共7个．
所以P(B)＝，
事件C包含的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)共5个，
所以P(C)＝.
所以P(B)>P(C)，即每对亲子获得汽车玩具的概率大于获得饮料的概率．
巩固训练4　解析：(1)两名男生标记为a1，a2，两名女生标记为b1，b2.
从中随机选2名参加社会实践的事件有{a1，a2}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a2，b1}，{a2，b2}，{b1，b2}，共计6种．
其中两名同学性别不同的事件有{a1，b1}，{a1，b2}，{a2，b1}，{a2，b2}，共计4种，
所求概率P＝＝.
故选D.
(2)由题意，P＝＝.故选B.
答案：(1)D　(2)B
例5　解析：(1)由题意知，(0.003 5＋0.009 0＋0.021 5＋0.028 5＋a＋0.015 0＋0.002 5)×10＝1，解得a＝0.02；
该企业是产品优质企业，理由如下：
根据抽样数据可知，一、二等品所占比例的估计值为1－10×(0.003 5＋0.009 0)＝0.875>0.85，所以该企业是产品优质企业．
(2)由频率分布直方图可得，一等品所占比例为10×(0.02＋0.015 0＋0.002 5)＝0.375，二等品所占比例为10×(0.021 5＋0.028 5)＝0.5，三等品所占比例为10×(0.003 5＋0.009 0)＝0.125，所以抽取的8件产品中，一等品有3件，二等品有4件，三等品有1件，
记3件一等品为A，B，C，4件二等品为a，b，c，d，1件三等品为α，
则抽取2件的基本事件为(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(A，α)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，(B，α)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，(C，d)，(C，α)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，α)，(b，c)，(b，d)，(b，α)，(c，d)，(c，α)，(d，α)共28个，
其中2件全是一等品的有3个，则2件全是一等品的概率为.
巩固训练5　解析：(1)根据列联表可得：
χ2＝＝≈5.643>3.841，
所以有95%的把握认为是否集齐“五福”与性别有关．
(2)设集齐“五福”卡的男性抽取x人，则＝，所以x＝4，
故抽取的5人中集齐“五福”卡的男性有4人，未集齐“五福”卡的男性有1人，
设被抽取的集齐“五福”卡的4名男性为A，B，C，D，未集齐“五福”卡的1名男性为a，
从5人中任意抽取3人的所有基本事件如下：
(A，B，C)，(A，B，D)，(A，B，a)，(A，C，D)(A，C，a)，(A，D，a)，(B，C，D)，(B，C，a)，(B，D，a)(C，D，a)，
所以基本事件总数为10，其中事件恰有1人未集齐“五福”卡包含的基本事件有：
(A，B，a)，(A，C，a)，(A，D，a)，(B，C，a)，(B，D，a)，(C，D，a)共6种，
由古典概型的概率公式可得事件恰有1人未集齐“五福”卡的概率P＝＝，
故这3人中恰有1人未集齐“五福”卡的概率是.
真题展台——知道高考考什么？
1．解析：从6张卡片中任取2张的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种不同取法，其中2张卡片上的数字之积是4的倍数的取法有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6种，所以所求概率P＝＝.故选C.
答案：C
2．解析：方法一　从2，3，4，5，6，7，8中随机取2个不同的数有＝21(种)结果，其中这2个数互质的结果有(2，3)，(2，5)，(2，7)，(3，4)，(3，5)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，7)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，(7，8)，共14种，所以所求概率为＝.故选D.
方法二　从2，3，4，5，6，7，8中随机取2个不同的数有＝21(种)结果，其中这2个数不互质的结果有(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7种，所以所求概率为＝.故选D.
答案：D
3．解析：从5名同学中随机选3名的方法数为＝10，
甲、乙都入选的方法数为＝3，所以甲、乙都入选的概率P＝.
答案：
4．解析：将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有＝5种排法，若2个0不相邻，则有＝10种排法，
所以2个0不相邻的概率为＝.故选C.
答案：C
5．解析：
从O，A，B，C，D中任取3点的情况有(O，A，B)，(O，A，C)，(O，A，D)，(O，B，C)，(O，B，D)，(O，C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(B，C，D)，(A，C，D)，共有10种不同的情况，由图可知取到的3点共线的有(O，A，C)和(O，B，D)两种情况，所以所求概率为＝.故选A.
答案：A

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