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课时作业(六十二)　计数原理与排列组合
一、单项选择题
1．若3个班分别从6个风景点中选择一处浏览，则不同选法有(　　)
A．A种B．C种C．36种D．63种
2．甲，乙，丙，丁，戊共5名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次．已知甲和乙都不是第1名，且乙不是最后1名，则5人的名次排列的所有可能情况共有(　　)
A．30种B．54种
C．84种D．120种
3．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有(　　)
A．A·AB．C·C
C．A·AD．C·C
4．[2023·河南焦作模拟]某学校计划从包含甲、乙、丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲、乙、丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有(　　)
A．21种B．231种
C．238种D．252种
5．[2023·山东济南模拟]“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读．比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天．由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数n′与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142.则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有(　　)
A．648个B．720个
C．810个D．891个
6．某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为(　　)
A．85B．86C．91D．90
7．小张接到4项工作，要在下周一、周二、周三这3天中完成，每天至少完成1项，且周一只能完成其中1项工作，则不同的安排方式有(　　)
A．12种B．18种
C．24种D．36种
8．(能力题)有甲、乙、丙、丁四位同学要与两位老师站成一排合影留念，则甲同学不站两端且两位老师必须相邻的站法有(　　)
A．72种B．144种
C．288种D．576种
9．(能力题)[2023·安徽蚌埠模拟]在北京冬奥会期间，云顶滑雪公园的“冰墩墩”凭借着“‘冰墩墩’蹦迪‘冰墩墩’扫雪”等词条迅速舞动肢体，做出各种可爱的造型，活跃现场气氛．云顶滑雪公园设置了3个“结束区”，共安排了甲、乙、丙、丁4名“冰墩墩”表演人员，每个“结束区”至少有1个“冰墩墩”表演，则可能的安排方式种数为(　　)
A．18B．36C．72D．576
10．(能力题)用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，不同的涂色方法共有(　　)
A．24种　B．36种　C．48种　D．72种
二、多项选择题
11．现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则(　　)
A．所有可能的安排方法有125种
B．若A医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种
C．若专家甲必须去A医院，则不同的安排方法有16种
D．若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种
12．[2023·河北保定期末]目前，全国多数省份已经开始了新高考改革，改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成．选择性科目是由学生从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中任选3门，则(　　)
A．不同的选科方案有20种
B．若某考生计划在物理和生物中至少选一科，则不同的选科方案有12种
C．若某考生确定不选物理，则不同的选科方案有10种
D．若某考生在物理和历史中选择一科，则不同的选科方案有12种
13．(能力题)[2023·黑龙江哈尔滨模拟]将甲、乙、丙、丁4名志愿者分别安排到A，B，C三个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，则下列选项正确的是(　　)
A．共有18种安排方法
B．若甲、乙被安排在同社区，则有6种安排方法
C.若A社区需要两名志愿者，则有24种安排方法
D．若甲被安排在A社区，则有12种安排方法
三、填空题
14．[2023·河南安阳模拟]算盘是一种起源于我国古代的计算工具，距今有两千多年的历史，早期算盘多为五珠算盘(每档5个算珠)，后来为了方便计算重量(古时1斤等于16两)，人们又发明了七珠算盘．如图所示，取七珠算盘的一部分，一档为斤，一档为两，横梁上方的算珠每个记作数字5，横梁下方的算珠每个记作数字1，若拨动图中的2个算珠，则可以表示的不同重量有________种．
15．(能力题)用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为________．(用数字作答)
四、解答题
16．(能力题)如图，已知图形ABCDEF，内部连有线段．(列出过程，用数字作答)
(1)由点A沿着图中的线段到达点E的最近路线有多少条？
(2)由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有多少条？
(3)求出图中总计有多少个矩形？
?优生选做题?
17．某医院分配3名医生6名护士紧急前往三个小区协助社区做核酸检测．要求每个小区至少一名医生和至少一名护士．则分配方案共有(　　)
A．3180种B．3240种
C．3600种D．3660种
18．某大学一寝室4人参加疫情防控讲座，4人就坐在一排有13个空位的座位上，根据防疫要求，任意两人之间需间隔1米以上(两个空位)，则不同的就坐方法有________种．
课时作业（六十二）　计数原理与排列组合
1．解析：由题意可知，每个班都有6种选法，则由乘法原理可得共有6×6×6＝63种方法，故选D.
答案：D
2．解析：根据题意先排乙，再排甲，再排其他人，则所有排列的情况有AAA＝54种．故选B.
答案：B
3．解析：先排4个商业广告，则A，即存在5个空，再排2个公益广告，则A，故总排法：AA，故选A.
答案：A
4．解析：10人中选5人有C＝252种选法，其中，甲、乙、丙三位教师均不选的选法有C＝21种，
则甲、乙、丙三位教师至少一人被选中的选法共有C－C＝231种．
故选B.
答案：B
5．解析：根据“回文数”的特点，只需确定前3位即可，最高位即万位有9种排法，千位和百位各有10种排法，根据分步乘法计数原理，共有9×10×10＝900种排法，其中各位数字相同的共有9种，则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有900－9＝891种．故选D.
答案：D
6．解析：由题意，可分三类：第1类，男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为CC＋CC＋C＝31；第2类，男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为CC＋CC＋C＝34；第3类，男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为C＋CC＋C＝21.所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31＋34＋21＝86.故选B.
答案：B
7．解析：先从4项工作中选1项安排在周一完成，再从剩下的工作中选2项安排在周二或周三，所以不同的安排方式有CC·A＝24种．故选C.
答案：C
8．解析：若甲同学在第二位，两位老师可以在第三第四位，或者两位老师在第四第五位，或者两位老师在第五第六位，其他同学没有限制要求，有3AA＝36种；
若甲同学在第三位，两位老师可以在第一第二位，或者两位老师可以在第四第五位，或者两位老师在第五第六位，其他同学没有限制要求，有3AA＝36种；
若甲同学在第四位，两位老师可以在第一第二位，或者两位老师在第二第三位，或者两位老师在第五第六位，其他同学没有限制要求，有3AA＝36种；
若甲同学在第五位，两位老师可以在第一第二位，或者两位老师在第二第三位，或者两位老师在第三第四位，其他同学没有限制要求，有3AA＝36种；
所以共有36×4＝144种．
故选B.
答案：B
9．解析：先分3组（1，1，2），有C＝6种分组的方案；再分配，有A种分配的方案，则可能的安排方式种数为CA＝36.故选B.
答案：B
10．解析：对于①②③，两两相邻，依次用不同颜色涂，共有4×3×2＝24种涂色方法，对于④，与②③相邻，但与①相隔，此时可用剩下的一种颜色或者与①同色，共2种涂色方法，则由分步乘法计数原理得24×2＝48种不同的涂色方法．故选C.
答案：C
11．解析：对于A，每名专家有5种选择方法，则所有可能的安排方法有53＝125种，正确；对于B，由选项A知，所有可能的方法有53种，A医院没有专家去的方法有43种，所以A医院必须有专家去的不同的安排方法有53－43＝61种，正确；对于C，专家甲必须去A医院，则专家乙、丙的安排方法有52＝25种，错误；对于D，三名专家所选医院各不相同的安排方法有A＝60种，错误．故选AB.
答案：AB
12．解析：从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中任选3门，不同的选科方案有C＝20种，则A正确；若某考生计划在物理和生物中至少选一科，则不同的选科方案有CC＋CC＝12＋4＝16种，则B错误；若某考生确定不选物理，则不同的选科方案有C＝10种，则C正确；若某考生在物理和历史中选择一科，则不同的选科方案有CC＝12种，则D正确．故选ACD.
答案：ACD
13．解析：对于A：4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，所以安排方法为：CA＝36，错误；对于B：甲、乙被安排在同社区，先从3个社区中选1个安排甲与乙，剩余两个社区和剩余两名志愿者进行全排列，所以安排方法为：CA＝6，正确；对于C：A社区需要两名志愿者，所以先从4名志愿者中选择2名安排到A社区，再把剩余2名志愿者和2个社区进行全排列，所以安排方法为CA＝12，错误；对于D：甲安排在A社区，分为两种情况，第一种为A社区安排了两名志愿者，所以从剩余3名志愿者中选择一个，分到A社区，再把剩余2名志愿者和2个社区进行全排列，安排方法有CA种；第二种是A社区只安排了甲志愿者，此时剩余3名志愿者分为两组，再分配到剩余的两个社区中，此时安排方法有CA种；所以一共有安排方法为CA＋CA＝12，正确．故选BD.
答案：BD
14．解析：①十位拨动0枚算珠，个位拨动2枚算珠，有3种结果：2，6，10；
②十位拨动1枚算珠，个位拨动1枚算珠，有4种结果：11，15，51，55；
③十位拨动2枚算珠，个位拨动0枚算珠，有3种结果：20，60，100；
综上所述，拨动图中的2个算珠，则可以表示的不同重量有10种．
答案：10
15．解析：根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，当其千位数字为3或4时，有2A＝12种情况，即有12个符合题意的四位数，当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134，则有6－1＝5个比2134大的四位数，故有12＋5＝17个比2134大的四位数．
答案：17
16．解析：（1）由题意得A沿着图中的线段到达点E的最近路线需要移动6次，向右移动3次，向上移动3次，所以A沿着图中的线段到达点E的最近路线有C·C＝20条．
（2）设点G、H、P的位置如图所示：
则点A沿着图中的线段到达点C的最近路线可分为4种情况：
①沿着A→E→C，共有C·C·C＝60条最近路线；
②沿着A→G→C，共有C·C·C·C＝60条最近路线；
③沿着A→H→C，共有C·C·C＝40条最近路线；
④沿着A→P→C，共有C·C＝15条最近路线；
故由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有60＋60＋40＋15＝175条．
（3）由题意，要组成矩形则应从竖线中选出两条、横线中选出两条，可分为两种情况：
①矩形的边不在CD上，共有C·C＝90个矩形；
②矩形的一条边在CD上，共有C·C＝12个矩形；故图中共有90＋12＝102个矩形．
17．解析：每个小区至少一名护士，则把护士分为3组，共有3种情况：1，1，4；1，2，3；2，2，2.
把护士分为3组，3组人数分别为1，1，4，共有种分法，再分配给3个小区，有A种分法．每个小区1名医生有A种分法，则分配方案数为AA；
把护士分为3组，3组人数分别为1，2，3，共有CCC种分法，再分配给3个小区，有A种分法．每个小区1名医生有A种分法，则分配方案数为CCCAA；
把护士分为3组，3组人数分别为2，2，2，共有种分法，再分配给3个小区，有A种分法．每个小区1名医生有A种分法，则分配方案数为AA.
综上，分配方案总数为AA＋CCCAA＋AA＝3240.故选B.
答案：B
18．解析：先假设每人坐一个位置相当于去掉4个位置，再将4人中间任意两人之间放进2个空位，此时空位一共还剩3个，若将这三个连在一起插入4人之间和两侧的空位上，有5种放法；若将这三个分成两组，一组两个，一组一个，插入4人之间和两侧的空位上，有A种放法；若将这三个分成三组插入4人之间和两侧的空位上，有C种放法，故不同的就坐方法为A×（5＋A＋C）＝840种．
答案：840(共48张PPT)
第一节　计数原理与排列组合
必备知识·夯实双基
关键能力·题型突破
【课标标准】　1.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列组合解决简单的实际问题．
必备知识·夯实双基
知识梳理
1.两个计数原理
(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．
(2)完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．
2．排列与组合的概念
(1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
m＋n
m×n
一定顺序
作为一组
3．排列数与组合数公式
(1)排列数公式
＝_____________________________＝________(n，m∈N*，且m≤n)．规定0！＝1.
(2)组合数公式
＝__________________＝________(n，m∈N*，且m≤n)．规定＝1.
4．排列数与组合数的性质
；＝；；＝.
n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）
[常用结论]
1．两个计数原理的区别与联系
2.解受条件限制的排列、组合问题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算完成一件事的方法种数 不同点 分类、相加 分步、相乘
每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)
注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，缺一不可
夯实双基
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　)
(2)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　　)
(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　)
(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　)
×
√
×
√
2．(教材改编)从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是(　　)
A．12　　　B．24　　　
C．64　　　D．81
答案：B
解析：从4本书中选3本有4种选法，把选出的3本书送给3名同学，有6种送法，所以不同的送法有：4×6＝24(种)．故选B.
3．(教材改编)用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．
48
解析：由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有＝2种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个，有＝4×3×2＝24种排法，由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24＝48个．
4．(易错)6名同学争夺3项冠军，不同的结果有________种．(用具体数字作答)
216
解析：每一项冠军的情况都有6种，故6名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是63＝216(种)．
5．(易错)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________．
30
解析：分以下2种情况：
(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有种不同的选法．
(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有种不同的选法．
所以不同的选法共有＝18＋12＝30(种)．
关键能力·题型突破
题型一　两个计数原理
例 1 (1)[2023·广东广州模拟]如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为(　　)
A．480　　B．600　　C．720　　D．840
答案：C
解析：依题意，按安徽与陕西涂的颜色相同和不同分成两类：
若安徽与陕西涂同色，先涂陕西有5种方法，再涂湖北有4种方法，涂安徽有1种方法，涂江西有3种方法，
最后涂湖南有3种方法，由分步乘法计数原理得不同的涂色方案有5×4×1×3×3＝180种，
若安徽与陕西不同色，先涂陕西有5种方法，再涂湖北有4种方法，涂安徽有3种方法，
涂江西、湖南也各有3种方法，由分步乘法计数原理得不同的涂色方案有5×4×3×3×3＝540 种方法，
所以，由分类加法计数原理得不同的涂色方案共有180＋540＝720种．
(2)有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)
①每人恰好参加一项，每项人数不限；
②每项限报一人，且每人至多参加一项；
③每项限报一人，但每人参加的项目不限．
解析：①每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得共有不同的报名方法36＝729种．
②每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得共有不同的报名方法6×5×4＝120种．
③每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得共有不同的报名方法63＝216种．
题后师说
1.利用两个计数原理解决问题的一般步骤
2．涂色问题常用的两种方法
巩固训练1
(1)从数字1，2，3，4中取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为(　　)
A．7　　　　 B．9
C．10 D．13
答案：C
解析：其中各位数字之和等于6的三位数可分为以下情形：
①由1，1，4三个数字组成的三位数：114，141，411共3个；
②由1，2，3三个数字组成的三位数：123，132，213，231，312，321共6个；
③由2，2，2三个数字可以组成1个三位数，即222.
∴共有3＋6＋1＝10个，故选C.
(2)[2023·河南安阳模拟]为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目．现安排甲、乙两所高校与三家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则不同的对接方案共有(　　)
A．15种 B．16种
C．17种 D．18种
答案：B
解析：甲高校与用人单位对接的方案种数为3＋1＝4，同理，乙高校与用人单位对接的方案种数为4，故不同的对接方案共有4×4＝16种．故选B.
题型二　排列问题
例 2有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻；
(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；
(7)体体排成一排，甲必须排在乙前面；
(8)全体排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．
解析：(1)从7人中选5人排列，有＝7×6×5×4×3＝2 520种排列方法．
(2)分两步完成，先选3人站前排，有种方法，余下4人站后排，有种方法，则共有＝5 040种排列方法．
(3)先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，共有＝3 600种排列方法．
(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有种方法，再将女生全排列，有种方法，共有＝576种排列方法．
(5)(插空法)先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有种方法，则共有＝1 440种排列方法．
(6)把甲乙及中间三人看作一个整体，第一步先排甲乙两人有种方法，再从剩下的5人中选3人排列到中间，有种方法，最后把甲乙及中间三人看作一个整体，与剩余2人排列，有种方法，故共有＝720(种)．
(7)(消序法)＝2 520.
(8)(间接法)无限制排法有种，其中甲或乙在最左端或在最右端的排法为种，是甲在最左端且乙在最右端的排法，共有＝3 720(种)．
题后师说
求解排列问题的主要方法
直接法 直接列式计算符合条件的排列数
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 把某些元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
消序法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列
间接法 正难则反，等价转化的方法
巩固训练2
(1)[2023·江西临川一中模拟]为了贯彻落实党史学习教育成果，临川一中名师“学史力行”送教井冈山中学．现有理科语文、数学、英语、物理、化学、生物6名理科老师要安排在该中学理科1到6班上一节公开示范课，每个班级只安排一名老师上课且每个老师只在一个班上课，要求数学老师不能安排在1班，化学老师不能安排在6班，则不同的安排上课的方法数为(　　)
A．720　　 B．504
C．480 D．360
答案：B
解析：根据计数原理可以将事情分成两类：化学老师安排在1班和化学老师不安排在1班．
①化学老师排在1班，先排1班，有1种方法，其余5个班的老师做全排列共有＝120种方法；
②化学老师不在1班，先排1班，有4种方法，再排6班有4种方法，余下4个班有＝24种方法，
所以共有：4×4×24＝384种方法，
所以总的排列数为504.
故选B.
(2)[2023·黑龙江哈九中模拟]习近平总书记在全国教育大会上发表重要讲话，称教育是国之大计，党之大计．哈九中落实讲话内容，组织研究性学习．在研究性学习成果报告会上，有A、B、C、D、E、F共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A、C、D按先后顺序汇报(不一定相邻)，那么不同的汇报安排种数为(　　)
A．100 B．120
C．300 D．600
答案：A
解析：先排B元素，有5种排法，然后排剩余5个元素共＝120，由于A、C、D顺序确定，所以不同的排法共有＝100.故选A.
(3)[2023·河南安阳模拟]甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为(　　)
A．240 B．192
C．96 D．48
答案：B
解析：丙在正中间(4号位)；
甲、乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况，
考虑到甲、乙的顺序有种情况；
剩下的4个位置其余4人坐有种情况；
故不同的坐法的种数为＝192.
故选B.
(4)[2023·广东佛山模拟]“五经”是儒家典籍《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则《诗经》《春秋》分开排的情况有________种．
72
解析：先将《周易》《尚书》《礼记》进行排列，共有
再从产生的4个空位中选2个安排《诗经》《春秋》，共有种排法，
所以满足条件的情形共有＝72种．
题型三　组合问题
例 3 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生当选；
(2)两队长当选；
(3)至少有一名队长当选；
(4)至多有两名女生当选；
(5)既要有队长，又要有女生当选．
解析：(1)一名女生，四名男生，故共有＝350种．
(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有＝165种．
(3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和有两名队长．
故共有＝825种，或采用排除法：＝825种．
(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．
故共有＝966种．
(5)分两类：第一类女队长当选：；
第二类女队长不当选：
故共有＝790种．
题后师说
组合问题的两类题型
巩固训练3
(1) [2023·安徽十校联考]如图，“天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分. 假设有6名航天员(4男2女)在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，且两名女航天员不在一个舱内，则不同的安排方案种数为(　　)
A．14　　　B．18　　　C．30　　　D．36
答案：B
解析：将6名航天员安排在3个实验舱的方案数为
其中两名女航天员在一个舱内的方案数为＝12，
所以满足条件的方案数为30－12＝18种．
故选B.
(2)[2023·河南安阳模拟]教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市3所高校的校长计划拜访当地企业，共有4家企业可供选择．若每名校长拜访3家企业，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有(　　)
A．60种 B．64种 C．72种 D．80种
答案：A
解析：3名校长在4家企业任取3家企业的所有安排情况为：＝4×4×4＝64种，
又每家企业至少接待1名校长，故3名校长选的3家企业，不全相同，
因为3名校长选的3家企业完全相同有＝4种，
则不同的安排方法共有：64－4＝60种．
故选A.
(3)[2023·山西师大附中模拟]现有16个不同小球，其中红色、黄色、蓝色、绿色小球各4个，从中任取3个，要求这3个小球不能是同一颜色，且红色小球至多1个，不同的取法为________．
472
解析：由题意，不考虑特殊情况，共有＝560种取法，
其中每一种小球各取三个，有＝16种取法，
两个红色小球，共有＝72种取法，
故所求的取法共有560－16－72＝472种．
(4)[2023·黑龙江大庆模拟]某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有________．
92
解析：不妨设既会划左舷又会划右舷的2人为A、B，
①若A和B两人均不去参加比赛，则选派方法有种；
②若A和B两人只去一人参加比赛，
(ⅰ)若只会划左舷的去两人，则选派方法为种；
(ⅱ)若只会划右舷的去两人，则选派方法为种；
③若A和B两人均去参加比赛，
(ⅰ)若只会划左舷的去1人，则A和B两人均去划左舷，则选派方法为种；
(ⅱ)若只会划左舷的去2人，则A和B两人中有一人去划左舷，另一人去划右舷，
则选派方法为种；
(ⅲ)若只会划左舷的去3人，则A和B两人均去划右舷，则选派方法为
综上所述，不同的选派方法共有＝92种．
专题突破10　分组、分配问题
微专题1 不等分问题
例 1(1)[2023·安徽淮南一中模拟]为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有(　　)
A．18种　B．36种　C．68种　D．84种
答案：B
解析：根据题意，分派方案可分为两种情况：
若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有：
若两位女教师分配到同一个地方，且该地方有一位男老师，则有：＝18种方法；
故一共有：36种分派方法．故选B.
(2)若将6名教师分到3所中学任教，其中一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．


解析：将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有种取法．根据分步乘法计数原理，共有＝60种取法．再将这3组教师分配到3所中学，有＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法．
360
题后师说
对于不等分问题，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
微专题2 整体均分问题
例 2(1)已知有6本不同的书，平均分成三堆，有________种不同的分配方法？
解析：6本书平均分成3堆，
所以不同的分堆方法的种数为＝＝15.
15
(2)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生，将其平均分到3所学校去任教，有________种不同的分配方法．
解析：先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有＝90种分配方法．
90
题后师说
对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以(n为均分的组数)，避免重复计数．
微专题3 部分均分问题
例 3 (1)5位大学生在暑假期间主动参加A，B，C三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，至多有2人参加，则不同的安排方法共有(　　)
A．30种 B．90种
C．120种 D．150种
解析：因为5位大学生在暑假期间主动参加A，B，C三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，至多有2人参加，
所以5名大学生分成3组，每组的人数分别为1，2，2，
所以不同的安排方式有＝90种．
故选B.
答案：B
(2)[2023·广东河源模拟]某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁、戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，每名学生只去一所学校，则不同的安排方法种数是________．
解析：先将5名学生分成4组共有＝10种，
再将4组学生安排到4所不同的学校有＝24种，
根据分步计数原理可知：不同的安排方法共有10×24＝240种．
240
(3)[2023·河南新乡模拟]第24届冬季奥运会于2022年2月4日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排六名志愿者去四个场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆．且每个场馆最少安排一名志愿者，则不同的分配方法有(　　)
A．1 020种 B．1 280种
C．1 560种 D．1 680种
解析：根据题意，若6名志愿者以“2，2，1，1”形式分为四个服务小组，
共有
若6名志愿者以“3，1，1，1”形式分为四个服务小组，
＝480种分配方法．
由分类加法计数原理知共有1 560种分配方法．
故选C.
答案：C
真题展台
1.[2022·新高考Ⅱ卷]甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　)
A．12种　　 B．24种
C．36种 D．48种
解析：先利用捆绑法排乙、丙、丁、戊四人，再用插空法选甲的位置，共有＝24(种)不同的排列方式．故选B.
答案：B
2．[2021·全国乙卷]将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　)
A．60种 B．120种
C．240种 D．480种
解析：根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有种安排方法．故满足题意的分配方案共有＝240(种)．
答案：C
3．[2020·新高考Ⅰ卷]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　)
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
解析：首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有；最后剩下的3名同学去丙场馆．故不同的安排方法共有＝60种．故选C.
答案：C第一节　计数原理与排列组合
【课标标准】　1.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列组合解决简单的实际问题．
必备知识·夯实双基
知识梳理
1.两个计数原理
(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．
(2)完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．
2．排列与组合的概念
(1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
3．排列数与组合数公式
(1)排列数公式
＝________＝________(n，m∈N*，且m≤n)．规定0！＝1.
(2)组合数公式
＝________＝________(n，m∈N*，且m≤n)．规定＝1.
4．排列数与组合数的性质
；＝；；＝.
[常用结论]
1．两个计数原理的区别与联系
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算完成一件事的方法种数
不同点 分类、相加 分步、相乘
每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)
注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，缺一不可
2.解受条件限制的排列、组合问题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．
夯实双基
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　)
(2)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　　)
(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　)
(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　)
2．(教材改编)从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是(　　)
A．12　　　B．24　　　C．64　　　D．81
3．(教材改编)用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．
4．(易错)6名同学争夺3项冠军，不同的结果有________种．(用具体数字作答)
5．(易错)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________．
关键能力·题型突破
题型一　两个计数原理
例 1 (1)[2023·广东广州模拟]如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为(　　)
A．480　　B．600　　C．720　　D．840
(2)有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)
①每人恰好参加一项，每项人数不限；
②每项限报一人，且每人至多参加一项；
③每项限报一人，但每人参加的项目不限．
题后师说
1.利用两个计数原理解决问题的一般步骤
2．涂色问题常用的两种方法
巩固训练1
(1)从数字1，2，3，4中取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为(　　)
A．7　　　　B．9
C．10 D．13
(2)[2023·河南安阳模拟]为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目．现安排甲、乙两所高校与三家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则不同的对接方案共有(　　)
A．15种 B．16种
C．17种 D．18种
题型二　排列问题
例 2有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻；
(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；
(7)体体排成一排，甲必须排在乙前面；
(8)全体排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．
题后师说
求解排列问题的主要方法
直接法 直接列式计算符合条件的排列数
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 把某些元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
消序法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列
间接法 正难则反，等价转化的方法
巩固训练2
(1)[2023·江西临川一中模拟]为了贯彻落实党史学习教育成果，临川一中名师“学史力行”送教井冈山中学．现有理科语文、数学、英语、物理、化学、生物6名理科老师要安排在该中学理科1到6班上一节公开示范课，每个班级只安排一名老师上课且每个老师只在一个班上课，要求数学老师不能安排在1班，化学老师不能安排在6班，则不同的安排上课的方法数为(　　)
A．720　　B．504
C．480 D．360
(2)[2023·黑龙江哈九中模拟]习近平总书记在全国教育大会上发表重要讲话，称教育是国之大计，党之大计．哈九中落实讲话内容，组织研究性学习．在研究性学习成果报告会上，有A、B、C、D、E、F共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A、C、D按先后顺序汇报(不一定相邻)，那么不同的汇报安排种数为(　　)
A．100 B．120
C．300 D．600
(3)[2023·河南安阳模拟]甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为(　　)
A．240 B．192
C．96 D．48
(4)[2023·广东佛山模拟]“五经”是儒家典籍《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则《诗经》《春秋》分开排的情况有________种．
题型三　组合问题
例 3 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生当选；
(2)两队长当选；
(3)至少有一名队长当选；
(4)至多有两名女生当选；
(5)既要有队长，又要有女生当选．
题后师说
组合问题的两类题型
巩固训练3
(1) [2023·安徽十校联考]如图，“天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分. 假设有6名航天员(4男2女)在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，且两名女航天员不在一个舱内，则不同的安排方案种数为(　　)
A．14　　　B．18　　　C．30　　　D．36
(2)[2023·河南安阳模拟]教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市3所高校的校长计划拜访当地企业，共有4家企业可供选择．若每名校长拜访3家企业，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有(　　)
A．60种 B．64种 C．72种 D．80种
(3)[2023·山西师大附中模拟]现有16个不同小球，其中红色、黄色、蓝色、绿色小球各4个，从中任取3个，要求这3个小球不能是同一颜色，且红色小球至多1个，不同的取法为________．
(4)[2023·黑龙江大庆模拟]某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有________．
专题突破10　分组、分配问题
微专题1不等分问题
例 1(1)[2023·安徽淮南一中模拟]为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有(　　)
A．18种　B．36种　C．68种　D．84种
(2)若将6名教师分到3所中学任教，其中一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．
题后师说
对于不等分问题，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
微专题2整体均分问题
例 2(1)已知有6本不同的书，平均分成三堆，有________种不同的分配方法？
(2)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生，将其平均分到3所学校去任教，有________种不同的分配方法．
题后师说
对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以(n为均分的组数)，避免重复计数．
微专题3部分均分问题
例 3 (1)5位大学生在暑假期间主动参加A，B，C三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，至多有2人参加，则不同的安排方法共有(　　)
A．30种 B．90种
C．120种 D．150种
(2)[2023·广东河源模拟]某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁、戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，每名学生只去一所学校，则不同的安排方法种数是________．
(3)[2023·河南新乡模拟]第24届冬季奥运会于2022年2月4日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排六名志愿者去四个场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆．且每个场馆最少安排一名志愿者，则不同的分配方法有(　　)
A．1 020种 B．1 280种
C．1 560种 D．1 680种
1.[2022·新高考Ⅱ卷]甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　)
A．12种　　B．24种
C．36种 D．48种
2．[2021·全国乙卷]将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　)
A．60种 B．120种
C．240种 D．480种
3．[2020·新高考Ⅰ卷]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　)
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
第一节　计数原理与排列组合
必备知识·夯实双基
知识梳理
1．（1）m＋n　（2）m×n
2．（1）一定顺序　（2）作为一组
3．（1）n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）　　
（2）　
夯实双基
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．解析：从4本书中选3本有4种选法，把选出的3本书送给3名同学，有6种送法，所以不同的送法有：4×6＝24(种)．故选B.
答案：B
3．解析：由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有＝2种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个，有＝4×3×2＝24种排法，由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24＝48个．
答案：48
4．解析：每一项冠军的情况都有6种，故6名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是63＝216(种)．
答案：216
5．解析：分以下2种情况：
(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有种不同的选法．
(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有种不同的选法．
所以不同的选法共有＝18＋12＝30(种)．
答案：30
关键能力·题型突破
例1　解析：(1)依题意，按安徽与陕西涂的颜色相同和不同分成两类：
若安徽与陕西涂同色，先涂陕西有5种方法，再涂湖北有4种方法，涂安徽有1种方法，涂江西有3种方法，
最后涂湖南有3种方法，由分步乘法计数原理得不同的涂色方案有5×4×1×3×3＝180种，
若安徽与陕西不同色，先涂陕西有5种方法，再涂湖北有4种方法，涂安徽有3种方法，
涂江西、湖南也各有3种方法，由分步乘法计数原理得不同的涂色方案有5×4×3×3×3＝540 种方法，
所以，由分类加法计数原理得不同的涂色方案共有180＋540＝720种．
(2)①每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得共有不同的报名方法36＝729种．
②每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得共有不同的报名方法6×5×4＝120种．
③每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得共有不同的报名方法63＝216种．
答案：(1)C　(2)见解析
巩固训练1　解析：(1)其中各位数字之和等于6的三位数可分为以下情形：
①由1，1，4三个数字组成的三位数：114，141，411共3个；
②由1，2，3三个数字组成的三位数：123，132，213，231，312，321共6个；
③由2，2，2三个数字可以组成1个三位数，即222.
∴共有3＋6＋1＝10个，故选C.
(2)甲高校与用人单位对接的方案种数为3＋1＝4，同理，乙高校与用人单位对接的方案种数为4，故不同的对接方案共有4×4＝16种．故选B.
答案：(1)C　(2)B
例2　解析：(1)从7人中选5人排列，有＝7×6×5×4×3＝2 520种排列方法．
(2)分两步完成，先选3人站前排，有种方法，余下4人站后排，有种方法，则共有＝5 040种排列方法．
(3)先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，共有＝3 600种排列方法．
(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有种方法，再将女生全排列，有种方法，共有＝576种排列方法．
(5)(插空法)先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有种方法，则共有＝1 440种排列方法．
(6)把甲乙及中间三人看作一个整体，第一步先排甲乙两人有种方法，再从剩下的5人中选3人排列到中间，有种方法，最后把甲乙及中间三人看作一个整体，与剩余2人排列，有种方法，故共有＝720(种)．
(7)(消序法)＝2 520.
(8)(间接法)无限制排法有种，其中甲或乙在最左端或在最右端的排法为种，是甲在最左端且乙在最右端的排法，共有＝3 720(种)．
巩固训练2　解析：(1)根据计数原理可以将事情分成两类：化学老师安排在1班和化学老师不安排在1班．
①化学老师排在1班，先排1班，有1种方法，其余5个班的老师做全排列共有＝120种方法；
②化学老师不在1班，先排1班，有4种方法，再排6班有4种方法，余下4个班有＝24种方法，
所以共有：4×4×24＝384种方法，
所以总的排列数为504.
故选B.
(2)先排B元素，有5种排法，然后排剩余5个元素共＝120，由于A、C、D顺序确定，所以不同的排法共有＝100.故选A.
(3)丙在正中间(4号位)；
甲、乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况，
考虑到甲、乙的顺序有种情况；
剩下的4个位置其余4人坐有种情况；
故不同的坐法的种数为＝192.
故选B.
(4)先将《周易》《尚书》《礼记》进行排列，共有
再从产生的4个空位中选2个安排《诗经》《春秋》，共有种排法，
所以满足条件的情形共有＝72种．
答案：(1)B　(2)A　(3)B　(4)72
例3　解析：(1)一名女生，四名男生，故共有＝350种．
(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有＝165种．
(3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和有两名队长．
故共有＝825种，或采用排除法：＝825种．
(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．
故共有＝966种．
(5)分两类：第一类女队长当选：；
第二类女队长不当选：
故共有＝790种．
巩固训练3　解析：(1)将6名航天员安排在3个实验舱的方案数为
其中两名女航天员在一个舱内的方案数为＝12，
所以满足条件的方案数为30－12＝18种．
故选B.
(2)3名校长在4家企业任取3家企业的所有安排情况为：＝4×4×4＝64种，
又每家企业至少接待1名校长，故3名校长选的3家企业，不全相同，
因为3名校长选的3家企业完全相同有＝4种，
则不同的安排方法共有：64－4＝60种．
故选A.
(3)由题意，不考虑特殊情况，共有＝560种取法，
其中每一种小球各取三个，有＝16种取法，
两个红色小球，共有＝72种取法，
故所求的取法共有560－16－72＝472种．
(4)不妨设既会划左舷又会划右舷的2人为A、B，
①若A和B两人均不去参加比赛，则选派方法有种；
②若A和B两人只去一人参加比赛，
(ⅰ)若只会划左舷的去两人，则选派方法为种；
(ⅱ)若只会划右舷的去两人，则选派方法为种；
③若A和B两人均去参加比赛，
(ⅰ)若只会划左舷的去1人，则A和B两人均去划左舷，则选派方法为种；
(ⅱ)若只会划左舷的去2人，则A和B两人中有一人去划左舷，另一人去划右舷，
则选派方法为种；
(ⅲ)若只会划左舷的去3人，则A和B两人均去划右舷，则选派方法为
综上所述，不同的选派方法共有＝92种．
答案：(1)B　(2)A　(3)472　(4)92
专题突破　分组、分配问题
例1　解析：(1)根据题意，分派方案可分为两种情况：
若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有：
＝18种方法；
故一共有：36种分派方法．
故选B.
(2)将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有种取法．根据分步乘法计数原理，共有＝60种取法．再将这3组教师分配到3所中学，有＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法．
答案：(1)B　(2)360
例2　解析：(1)6本书平均分成3堆，
所以不同的分堆方法的种数为＝＝15.
(2)先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有＝90种分配方法．
答案：(1)15　(2)90
例3　解析：(1)因为5位大学生在暑假期间主动参加A，B，C三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，至多有2人参加，
所以5名大学生分成3组，每组的人数分别为1，2，2，
所以不同的安排方式有＝90种．
故选B.
(2)先将5名学生分成4组共有＝10种，
再将4组学生安排到4所不同的学校有＝24种，
根据分步计数原理可知：不同的安排方法共有10×24＝240种．
(3)根据题意，若6名志愿者以“2，2，1，1”形式分为四个服务小组，
共有
若6名志愿者以“3，1，1，1”形式分为四个服务小组，
＝480种分配方法．
由分类加法计数原理知共有1 560种分配方法．
故选C.
答案：(1)B　(2)240　(3)C
真题展台——知道高考考什么？
1．解析：先利用捆绑法排乙、丙、丁、戊四人，再用插空法选甲的位置，共有＝24(种)不同的排列方式．故选B.
答案：B
2．解析：根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有种安排方法．故满足题意的分配方案共有＝240(种)．
答案：C
3．解析：首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有；最后剩下的3名同学去丙场馆．故不同的安排方法共有＝60种．故选C.
答案：C

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