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人教A版（2019）选修第一册3.3.1抛物线及其标准方程
（共20题）
一、选择题（共12题）
抛物线 的焦点坐标为
A． B． C． D．
已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为 ，则
A． B． C． D．
抛物线 的焦点坐标是
A． B． C． D．
抛物线 的准线方程是
A． B． C． D．
“点 在曲线 上”是“点 的坐标满足方程 ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
若抛物线 上的点 到其焦点的距离是 到 轴距离的 倍，则 等于
A． B． C． D．
已知抛物线 的焦点为 ，点 ，， 在抛物线上，且 ，则
A． B．
C． D．
设点 ，抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上与直线 不共线的一点，则 周长的最小值为
A． B． C． D．
已知点 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 为抛物线 的焦点，点 在抛物线 上．在 中，若 ，则 的最大值为
A． B． C． D．
表示的曲线一定不是
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．直线
已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ．若 与双曲线 （）的两条渐近线分别交于点 和点 ，且 （ 为原点），则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过焦点的直线分别交抛物线于 ， 两点，分别过 ， 作 的垂线，垂足为 ，．若 ，且三角形 的面积为 ，则 的值为
A． B． C． D．
二、填空题（共5题）
在平面直角坐标系 中，已知抛物线 上一点 到焦点的距离为 ，则点 的横坐标是 ．
设 为抛物线 的焦点，，， 为该抛物线上的三点，若 ，则 ．
已知抛物线的方程为 ，则该抛物线的准线方程为 ．
已知点 ，， 是抛物线 上的点，若直线 ， 的倾斜角互补，则直线 的斜率是 ．
已知 的顶点 ，，若顶点 在抛物线 上移动，则 的重心的轨迹方程为 ．
三、解答题（共3题）
已知点 ，点 是直线 上的动点，过 作直线 ，，线段 的垂直平分线与 交于点 ．
(1) 求点 的轨迹 的方程；
(2) 若点 ， 是直线 上两个不同的点，且 的内切圆方程为 ，直线 的斜率为 ，求 的取值范围．
已知抛物线 上一点 到其焦点 的距离为 ．
(1) 求抛物线 的方程；
(2) 设直线 与抛物线 交于 ， 两点， 为坐标原点，若 ，求证：直线 必过一定点，并求出该定点的坐标；
(3) 过点 的直线 与抛物线 交于不同的两点 ，，若 ，求直线 的斜率的取值范围．
已知动圆 经过定点 ，且与直线 相切，设动圆圆心 的轨迹为曲线 ．
(1) 求曲线 的方程；
(2) 设过点 的直线 ， 分别与曲线 交于 ， 两点，直线 ， 的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线 的斜率为定值．
答案
一、选择题（共12题）
1. 【答案】B
2. 【答案】A
【解析】由抛物线的方程可得其准线方程为 ，
根据抛物线的定义可得 到焦点的距离等于其到准线的距离，
故 ，解得 ．
3. 【答案】D
【解析】抛物线 变形为 ，
则其焦点坐标为 ．
4. 【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，
所以其准线方程是 ．
5. 【答案】B
【解析】若点 在曲线 上，则 ；当点 的坐标满足方程 时，必有 ，即点 在曲线 上，故应为必要不充分条件．
6. 【答案】D
【解析】由题意得 ，
即 ，
即 ，
代入抛物线方程，得 ，
因为 ，
所以 ．故选D．
7. 【答案】C
8. 【答案】C
【解析】由题意得抛物线的焦点 ，准线方程为 ，过 作 垂直于准线，交准线于 ，过 作 垂直于准线，交准线于 ，如图所示，
根据抛物线的定义可知 ，
因为 ，
所以 ，，
9. 【答案】A
【解析】由题意得，准线 ，，，
假设点 在 轴上方，过点 作 ，垂足为 ，
则由抛物线定义可知 ，
于是 ，
因为 在 上为减函数，
所以当 取到最大值时（此时直线 与抛物线相切）， 取最小值，计算可得直线 的斜率为 ，从而 ，
所以 ．
10. 【答案】A
【解析】当 ， 一正一负时，表示双曲线；
当 ， 不相等时，表示椭圆；
当 ， 有一个为 时，表示直线；
当 ， 相等为正时，表示圆；
当 ， 都小于等于 时，图形不存在．无法表示抛物线，故选A．
11. 【答案】D
【解析】因为抛物线 的焦点为 ，准线为 ．
所以 ，准线 的方程为 ，
因为 与双曲线 （）的两条渐近线分别交于点 和点 ，且 （ 为原点），
所以 ，，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以双曲线的离心率为 ．
故选：D．
12. 【答案】C
【解析】如图所示，过点 作 于点 ，
设 ，则 ，从而 ，
所以 ，，
因此，，
所以 ，
所以 ，
解得 （负值舍去），故选C．
二、填空题（共5题）
13. 【答案】
【解析】根据抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，可得点 到准线的距离为 ．
设 的横坐标为 ，
所以 ，即点 的横坐标为 ．
14. 【答案】
【解析】因为 ，
所以点 为 的重心，
则 ，， 三点的横坐标之和为点 的横坐标的 倍，
即 ，
所以 ．
15. 【答案】
【解析】由已知得抛物线的标准方程为 ，
所以该抛物线的准线方程为 ．
16. 【答案】
17. 【答案】 （）
【解析】设 的重心为 ，，，
则有 即
所以 ，
因为点 在抛物线 上，
所以有 ，即 ，．
故答案为 （）．
三、解答题（共3题）
18. 【答案】
(1) 因为点 ，点 是直线 上的动点，过 作直线 ，，线段 的垂直平分线与 交于点 ，
所以点 到点 的距离等于它到直线 的距离，
所以点 的轨迹是以点 为焦点，直线 为准线的抛物线，
所以曲线 的方程为 ．
(2) 设 ，点 ，点 ，
直线 的方程为：，
化简，得 ，
因为 的内切圆的方程为 ，
所以圆心 到直线 的距离为 ，即 ，
所以 ，
由题意得 ，所以上式化简，得 ，
同理，有 ，
所以 ， 是关于 的方程 的两根，
所以 ，，
所以 ，
因为 ，，
所以 ，
直线 的斜率 ，则 ，
所以 ，
因为函数 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，所以 ．
所以 的取值范围是 ．
19. 【答案】
(1) 解法 ：
由题意，根据抛物线的定义，有 ，
解得 ，所以抛物线 的方程为 ．
解法 ：
将 代入 得 ，
又点 到其焦点 的距离为 ，焦点坐标为 ，
所以 ，将 代入整理得 ，
解得 ，故抛物线 的方程为 ．
(2) 依题意，直线 的斜率存在，设 的方程为 ．
由 得 ，
设 ，，则 ，，所以
令 ，得 ，所以直线 过定点 ．
(3) 依题意，直线 的斜率 存在且 ，设 的方程为 ，
由 消去 ，得 ，
由 ，即 ，解得 或 ．
设 ，，
则 ，，且 ，，所以
因为 ，所以 ，解得 ．
所以直线 的斜率的取值范围是 ．
20. 【答案】
(1) 由已知，动点 到定点 的距离等于 到直线 的距离．
由抛物线的定义知 点的轨迹是以 为焦点，以 为准线的抛物线，
故 ．
曲线 的方程为 ．
(2) 由题意可知直线 ， 的斜率存在，倾斜角互补，则斜率互为相反数，且不等于零．
设 ，，直线 的方程为 ，，直线 的方程为 ，
由 得 ，
已知此方程一个根为 ，
所以 ，即 ，
同理 ，
所以 ，，
所以
所以 ，
所以，直线 的斜率为定值 ．

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