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八年级数学上分层优化堂堂清
十二章 全等三角形
12.1全等三角形
学习目标：
1.了解全等形和全等三角形的概念.
2.能够找出全等三角形的对应元素.
3.掌握全等三角形的对应边、角相等.
【重点】探究全等三角形的性质.
【难点】掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，迅速正确地指出两个全等三角形的对应元素.
老师对你说：
知识点1 全等图形
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.
在平面几何中，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.
知识点2 全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
知识点3 对应边、对应角和对应顶点
对应边、对应角、对应顶点的定义：
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.
2. 找对应边、对应角的方法
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.
知识点4 全等三角形的性质
（1）全等三角形的对应边相等；
（2）全等三角形的对应角相等；
后面还会学到：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1 全等图形
【例1-1】下列四个图形中，属于全等图形的是（　　）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．③和④
【例1-2】下列说法正确的是（ ）
A．两个形状相同的图形称为全等图形 B．两个圆是全等图形
C．全等图形的形状、大小都相同 D．面积相等的两个三角形是全等图形
【例1-3】请观察图中的5组图案，其中是全等形的是________（填序号）；
知识点2 全等三角形
【例2-1】下列4个图形中，属于全等的2个图形是_________.（填序号）
【例2-2】对于“全等三角形”的描述，下列说法正确的是（ ）
A．边长相等的图形 B．面积相等的图形
C．周长相等的图形 D．能够完全重合的图形
【例2-3】已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是（ ）
A．与是对应边 B．与是对应边
C．与是对应边 D．不能确定 的对应边
知识点3 对应边、对应角和对应顶点
【例3-1】如图，如果△ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，∠B=∠D，对于以下结论：
①AB与CD是对应边；②AC与CA是对应边；③点A与点A是对应顶点；④点C与点C是对应顶点；⑤∠ACB与∠CAD是对应角，
其中正确的是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【例3-2】如下图，与全等．用符号“”表示这两个三角形全等．已知与是对应角，写出其余的对应角和各对对应边．
【例3-3】如图,△ABD≌△ACE,且∠BAD和∠CAE,∠ABD和∠ACE,∠ADB和∠AEC是对应角,则对应边_________．
知识点4 全等三角形的性质
【例4-1】如图，，若，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【例4-2】如图，△ABC≌△EBD，AB=4cm，BD=7cm，则CE的长度为（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【例4-3】如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，，当时，与之间的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
能力强化提升训练
1.如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：
（1）BD=DE+CE；
（2）△ABD满足什么条件时，BD∥CE．
2 .如图，△ACE≌△DBF，AC＝6，BC＝4．
（1）求证：AE∥DF；
（2）求AD的长度．
3.如图，点A坐标为，点B坐标为，若在y轴右侧有一点C使得与全等，则点C的坐标为________．
4.如图，，过点作于点，若，则的度数是_____．
堂堂清
选择题（每小题4分，共32分）
1.下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　）
B．
C． D．
2.下列说法正确的是（ ）
A．面积相等的两个图形是全等图形 B．所有正方形都是全等图形
C．全等三角形的周长相等 D．全等三角形的边相等
3.下列说法正确的是（ ）
A．周长相等的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等
如图，点F，B，E，C在同一条直线上，．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
5 .如图，，若，，则的长为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
6 .如图，点F、A、D、C在同一直线上，，，，则等于（ ）
A．3 B． C．4 D．
7 .如图，已知≌，下列选项中不能被证明的等式是（ ）．
A． B． C． D．
8 .如图，在的正方形网格中，求（ ）度．
A．30 B．45 C．42 D．60
二、填空题（每小题4分，共20分）
9..如图，有6个条形方格图，在由实线围成的图形中，全等图形有：（1）与__；（2）与__．
10 .已知，若，，则的度数为______________
11 .如图，，，，与相交于点，与相交于点，则___________.
12.如图所示，，对应，请写出其余对应边和对应角．
13 .如图，在的正方形网格中标出了和，则___________度．
三、解答题（共6小题，48分）
14 .（8分）如图所示，，对应，请写出其余对应边和对应角．
15 （8分）.如图，A、B、C、D在同一直线上，且△ABF≌△DCE，求证：
(1)、∥；
(2)AC=BD
（8分）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．”
理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等图形．
范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法．
请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来．
（8分）如图所示，已知，且，，，在同一条直线上．
(1)求证：．
(2)若，，求的长度．
18 .（8分）如图，≌，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．求证：
19.（8分）如图所示，ADF≌CBE，且点E，B，D，F在一条直线上，判断AD与BC的位置关系．
拓展培优*冲刺满分
1.如图所示，已知AE⊥AB，△ACE≌△AFB，CE、AB、BF分别交于点D、M．证明：CE⊥BF．
2.如图，D、A、E三点在同一条直线上，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，且△ABD≌△CAE，AC=4．
(1)求∠BAC的度数；
(2)求△ABC的面积．
3.如图所示，△ACD≌△ECD，△CEF≌△BEF，∠ACB＝90°．求∠B的度数．
八年级数学上分层优化堂堂清
十二章 全等三角形
12.1全等三角形（解析版）
学习目标：
1.了解全等形和全等三角形的概念.
2.能够找出全等三角形的对应元素.
3.掌握全等三角形的对应边、角相等.
【重点】探究全等三角形的性质.
【难点】掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，迅速正确地指出两个全等三角形的对应元素.
老师对你说：
知识点1 全等图形
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.
在平面几何中，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.
知识点2 全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
知识点3 对应边、对应角和对应顶点
对应边、对应角、对应顶点的定义：
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.
2. 找对应边、对应角的方法
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.
知识点4 全等三角形的性质
（1）全等三角形的对应边相等；
（2）全等三角形的对应角相等；
后面还会学到：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1 全等图形
【例1-1】下列四个图形中，属于全等图形的是（　　）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．③和④
【答案】A
【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【详解】解：①、②和④都可以完全重合，因此全等的图形是①和②．
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．
【例1-2】下列说法正确的是（ ）
A．两个形状相同的图形称为全等图形 B．两个圆是全等图形
C．全等图形的形状、大小都相同 D．面积相等的两个三角形是全等图形
【答案】C
【分析】根据全等图形的定义逐项进行判断．
【详解】解：A.两个形状相同的图形，大小不一定相等，因此这样的两个图形不一定是全等图形，故A错误；
B.两半径相同的圆是全等图形，故B错误；
C.全等图形的形状、大小都相同，故C正确；
D.面积相等的两个三角形不一定形状相同，不一定是全等图形，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了全等图形的定义，解题的关键是熟练掌握形状和大小都相同的图形是全等图形．
【例1-3】请观察图中的5组图案，其中是全等形的是________（填序号）；
【答案】（5）
【分析】根据全等形的定义：形状、大小相同，能够完全重合的两个图形进行判断即可．
【详解】（1）形状、大小不相等，不是全等形；
（2）大小不同，不是全等形；
（3）形状，大小都不相同，不是全等形；
（4）形状，大小都不相同，不是全等形；
（5）形状，大小都相同，是全等形；
故答案为：（5）．
【点评】本题考查全等形的识别．熟练掌握形状、大小相同，能够完全重合的两个图形是全等形是解题的关键．
知识点2 全等三角形
【例2-1】下列4个图形中，属于全等的2个图形是_________.（填序号）
【答案】①③
【分析】先求出的度数，然后分析求解即可.
【详解】解：在③中，，
∴与①中的相等，并且两夹边对应相等，
∴属于全等的2个图形是①③
故答案为①③.
【点评】本题考查了三角形全等的条件，熟悉全等三角形的判定定理是解题的关键.
【例2-2】对于“全等三角形”的描述，下列说法正确的是（ ）
A．边长相等的图形 B．面积相等的图形
C．周长相等的图形 D．能够完全重合的图形
【答案】D
【分析】根据全等图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A.边长相等的两个三角形不一定是全等三角形，故本选项不符合题意；
B.面积相等的两个三角形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等三角形，故本选项不符合题意；
C. 周长相等的两个三角形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等三角形，故本选项不符合题意；
D. 能够完全重合的两个三角形是全等三角形，该说法正确，故本选项符合题意．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了全等形的识别，熟记全等形是能够完全重合的两个图形是解题关键．
【例2-3】已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是（ ）
A．与是对应边 B．与是对应边
C．与是对应边 D．不能确定 的对应边
【答案】A
【分析】根据全等三角形的概念即可得到答案．
解：与是对应角，和是对应角，
和是对应角，
与是对应边，
故选A．
【点拨】本题考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，准确找出对应边是解题关键．
知识点3 对应边、对应角和对应顶点
【例3-1】如图，如果△ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，∠B=∠D，对于以下结论：
①AB与CD是对应边；②AC与CA是对应边；③点A与点A是对应顶点；④点C与点C是对应顶点；⑤∠ACB与∠CAD是对应角，
其中正确的是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】由全等三角形的对应边相等、对应角相等对以下结论进行判定．
【详解】解：△ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，∠B=∠D．
①AB与CD是对应边．故①正确；
②AC与CA是对应边．故②正确；
③点A与点C是对应顶点．故③错误；
④点C与点A是对应顶点．故④错误；
⑤∠ACB与∠CAD是对应角．故⑤正确．
综上所述，正确的结论是①②⑤，共有3个．
故选B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质．解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角．
【例3-2】如下图，与全等．用符号“”表示这两个三角形全等．已知与是对应角，写出其余的对应角和各对对应边．
【答案】．对应角是：与，与；
对应边是；OA与OB，OC与OD，AC与BD．
【分析】根据全等三角形的表示法以及全等三角形的性质即可得到答案．
解： ．
因为与是对应角，所以其余的对应角是：
与，与；
对应边是；OA与OB，OC与OD，AC与BD．
【点拨】本题主要考查全等三角形的表示法和性质，准确找到全等三角形的对应角和对应边是关键．
【例3-3】如图,△ABD≌△ACE,且∠BAD和∠CAE,∠ABD和∠ACE,∠ADB和∠AEC是对应角,则对应边_________．
【答案】AB和AC,AD和AE,BD和CE
【分析】根据全等三角形的对应角所对的边为对应边求解即可．
【详解】∵△ABD≌△ACE，∠BAD和∠CAE，∠ABD和∠ACE，∠ADB和∠AEC是对应角，
∴BD与CE，AD与AE，AB与AC为对应边，
故答案为：AB与AC，AD与AE，BD与CE．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，明确全等三角形的对应角所对的边为对应边是解本题的关键.
知识点4 全等三角形的性质
【例4-1】如图，，若，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据三角形内角和定理求出，然后根据全等三角形的性质得到，，最后利用三角形外角的性质求解即可．
解：∵，，
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
∴．
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点，全等三角形的对应角相等，对应边相等．
【例4-2】如图，△ABC≌△EBD，AB=4cm，BD=7cm，则CE的长度为（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】D
【分析】根据全等三角形的性质可得BE=AB，BC=BD，进而得到BE=3cm，BC=7cm，再根据线段的和差关系进行计算即可．
【详解】解：∵△ABC≌△EBD，
∴BE=AB，BC=BD，
∵AB=3cm，BD=7cm，
∴BE=3cm，BC=7cm，
∴CE=7cm-3cm=4cm，
故选D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
【例4-3】如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，，当时，与之间的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
B
【分析】根据全等三角形的性质得到，再根据平行线的性质，得到，利用，即可解答．
解：，，
，
，，
，，
，
，
化简得：．
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，结合图形和题意找到角之间的关系是解题的关键．
能力强化提升训练
1.如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：
（1）BD=DE+CE；
（2）△ABD满足什么条件时，BD∥CE．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠ADB=90°．
【分析】（1）根据全等三角形的性质求出BD=AE，AD=CE，代入求出即可；
（2）根据全等三角形的性质求出∠E=∠BDA=90°，推出∠BDE=90°，根据平行线的判定求出即可．
【详解】解：（1）∵△BAD≌△ACE，
∴BD=AE，AD=CE，
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，
即BD=DE+CE；
（2）△ABD满足∠ADB=90°时，BD∥CE，
理由是：∵△BAD≌△ACE，
∴∠E=∠ADB=90°，
∴∠BDE=180° 90°=90°=∠E，
∴BD∥CE．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定等的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论，通过做此题培养了学生分析问题的能力．
2 .如图，△ACE≌△DBF，AC＝6，BC＝4．
（1）求证：AE∥DF；
（2）求AD的长度．
【答案】（1）证明见解析（2）8
【分析】（1）根据全等三角形的性质可得∠A＝∠D，再根据内错角相等两直线平行可得AE∥DF；
（2）根据全等三角形的性质得出AC＝DB，进而解答即可．
【详解】（1）∵△ACE≌△DBF，
∴∠A＝∠D，
∴AE∥DF；
（2）∵△ACE≌△DBF，
∴AC＝DB，
∴AB＝DC＝AC﹣BC＝6﹣4＝2，
∴AD＝AC+CD＝6+2＝8．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．
3.如图，点A坐标为，点B坐标为，若在y轴右侧有一点C使得与全等，则点C的坐标为________．
【答案】或/或
【分析】根据题意可得，然后分两种情况讨论：若，若，结合全等三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵点A坐标为，点B坐标为，
∴，
如图，若，
∴，
∴点C的坐标为；
如图，若，
∴，
∴点C的坐标为；
故答案为：或
【点评】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
4.如图，，过点作于点，若，则的度数是_____．
【答案】/25度
【分析】由全等的性质得出，从而可证．再由，即得出．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即．
∵，
∴．
故答案为：25°．
【点评】本题考查全等的性质，垂线的定义，求一个角的余角．熟练掌握全等三角形对应角相等是解题关键．
堂堂清
选择题（每小题4分，共32分）
1.下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　）
B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据全等图形的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意；
B、两个图形能完全重合，属于全等图形，故此选项符合题意；
C、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意；
D、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形，是全等图形”是解题的关键．
2.下列说法正确的是（ ）
A．面积相等的两个图形是全等图形 B．所有正方形都是全等图形
C．全等三角形的周长相等 D．全等三角形的边相等
【答案】C
【分析】根据全等图形的定义以及性质逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A． 面积相等的两个图形不一定是全等图形，故该选项不正确，不符合题意；
B． 所有正方形不一定是全等图形，故该选项不正确，不符合题意；
C． 全等三角形的周长相等，故该选项正确，符合题意；
D． 全等三角形的对应边相等，故该选项不正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了全等图形的定义以及全等三角形的性质，掌握全等图形的定义与性质是解题的关键．
3.下列说法正确的是（ ）
A．周长相等的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等
【答案】C
【分析】根据全等三角形的定义，此题应采用排除法，对选项逐个进行分析从而确定正确答案．
【详解】解：A．全等三角形的周长相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
B．全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
C．正确，符合全等三角形的定义；
D．边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了全等三角形的定义，掌握全等三角形的定义是解答本题的关键．
如图，点F，B，E，C在同一条直线上，．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用三角形内角和定理求出，再利用全等三角形对应角相等即可得到的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【点评】此题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形对应角相等和三角形内角和是是解题的关键．
5 .如图，，若，，则的长为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质可得，，即可求解．
【详解】解：，
，，
．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，掌握性质是解题的关键．
6 .如图，点F、A、D、C在同一直线上，，，，则等于（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】根据全等三角形对应边相等，得，然后求出的长度，代入数据计算即可．
【详解】解：，，
，
即，
，
，
，
，
故选：A．
【点评】本题主要考查全等三角形对应边相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
7 .如图，已知≌，下列选项中不能被证明的等式是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵≌，
∴，，，
∴，
即：，
∴选项、、均正确，只有C中结论无法证明是成立的.
故选C．
8 .如图，在的正方形网格中，求（ ）度．
A．30 B．45 C．42 D．60
【答案】45
【分析】连接，根据正方形网格的特征即可求解．
【详解】解：如图所示，连接

∵图中是的正方形网格
∴，，
∴
∴，
∵
∴，即
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：B．
【点评】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9..如图，有6个条形方格图，在由实线围成的图形中，全等图形有：（1）与__；（2）与__．
【答案】 （6） （3）（5）
【分析】利用全等图形的概念可得答案．
【详解】解：（1）与（6）是全等图形，
（2）与（3）（5）是全等图形，
故答案为：（6），（3）（5）．
【点评】本题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．
10 .已知，若，，则的度数为______________
【答案】 60
【分析】根据全等三角形的性质可得，再根据三角形内角和定理即可得到答案．
解：根据题意画出图如图所示：
，
，
，
，
，
故答案为：60．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
11 .如图，，，，与相交于点，与相交于点，则___________.
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质求出，得出，即可求解．
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
即，
∵，，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形的性质是解题的关键．
12.如图所示，，对应，请写出其余对应边和对应角．
对应边是：，；对应角是，，．
【分析】根据全等三角形的性质得出即可．
解：∵，对应，
∴其余的对应边是：，；
对应角是，，．
【点拨】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
13 .如图，在的正方形网格中标出了和，则___________度．
【答案】
【分析】作辅助线，使为等腰直角三角形，根据全等三角形，可得到，利用等角代换即可得解．
【详解】解：如图，连接、，，，，
由图可知，在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了网格中求两角和，构造全等三角形，利用等角代换是解题关键．
三、解答题（共6小题，48分）
14 .（8分）如图所示，，对应，请写出其余对应边和对应角．
对应边是：，；对应角是，，．
【分析】根据全等三角形的性质得出即可．
解：∵，对应，
∴其余的对应边是：，；
对应角是，，．
【点拨】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
15 （8分）.如图，A、B、C、D在同一直线上，且△ABF≌△DCE，求证：
(1)、∥；
(2)AC=BD
【答案】(1)过程见解析
(2)过程见解析
【分析】对于（1），根据全等三角形的性质得∠A=∠D，∠ABF=∠DCE，即可得出∠CBF=∠BCE，再根据平行线的判定得出答案即可；
对于（2），根据全等三角形的对应边相等得AB=CD，进而得出答案．
（1）
∵△ABF≌△DCE，
∴∠A=∠D，∠ABF=∠DCE，
∴180°-∠ABF=180°-∠DCE，
即∠CBF=∠BCE，
∴，∥；
（2）
∵△ABF≌△DCE，
∴AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
即AC=BD．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定等，灵活选择性质和判定定理是解题的关键．
（8分）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．”
理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等图形．
范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法．
请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来．
【答案】见分析
【分析】根据网格的特点和全等形的定义进行作图即可．
解：依题意，如图
【点拨】本题考查了全等图形的定义，熟练掌握网格特点作图和全等图形的概念是解题的关键．
（8分）如图所示，已知，且，，，在同一条直线上．
(1)求证：．
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据全等三角形的性质得，根据平行线的判定即可得；
（2）根据全等三角形的性质得，根据线段之间的的关系得，可求出CE的长，即可得．
（1）
证明：∵，
∴，
∴．
（2）
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，解题的关键是掌握这些知识点．
18 .（8分）如图，≌，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．求证：
【答案】证明见解析
【分析】根据≌，可得∠BAC=∠DAE，即可求证．
【详解】证明：∵≌，
∴∠BAC=∠DAE，
∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE，
∴．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键．
19.（8分）如图所示，ADF≌CBE，且点E，B，D，F在一条直线上，判断AD与BC的位置关系．
【答案】
【分析】根据全等三角形的性质得出，进而得出，利用平行线判定解答即可．
【详解】解：与的位置关系为．
，
．
又，，
．
．
【点评】本题考查全等三角形的性质，解题关键是根据全等三角形的性质得出．
拓展培优*冲刺满分
1.如图所示，已知AE⊥AB，△ACE≌△AFB，CE、AB、BF分别交于点D、M．证明：CE⊥BF．
【答案】见解析.
【分析】先利用垂直定义得到∠BAE=90°，在利用三角形全等的性质得∠CAE=∠BAF，∠ACE=∠F，则∠CAF=∠BAE=90°，然后根据三角形内角和定理易得∠FMC=∠CAF=90°，然后根据垂直的定义即可得到结论．
【详解】证明：∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°，
∵△ACE≌△AFB，
∴∠CAE=∠BAF，∠ACE=∠F，
∴∠CAB+∠BAE=∠BAC+∠CAF，
∴∠CAF=∠BAE=90°，
而∠ACE=∠F，
∴∠FMC=∠CAF=90°，
∴CE⊥BF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
2.如图，D、A、E三点在同一条直线上，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，且△ABD≌△CAE，AC=4．
(1)求∠BAC的度数；
(2)求△ABC的面积．
【答案】(1)90°
(2)8
【分析】(1)根据垂直的定义得到∠D=90°，求得∠DBA+∠BAD=90°，根据全等三角形的性质得到∠DBA=∠CAE，等量代换即可得到结论；
(2)根据全等三角形的性质得AC=AB=4，再根据三角形的面积求出答案．
【详解】（1）解：∵BD⊥DE，
∴∠D=90°，
∴∠DBA+∠BAD=90°，
∵△ABD≌△CAE，
∴∠DBA=∠CAE
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∴∠BAC=90°；
（2）解：∵△ABD≌△CAE，
∴AC=AB=4，
又∵∠BAC=90°
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积=4×4÷2=8．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形的面积公式，证得△ABC是直角三角形是解决本题的关键．
3.如图所示，△ACD≌△ECD，△CEF≌△BEF，∠ACB＝90°．求∠B的度数．
【答案】∠B＝30°
【分析】设∠B＝，根据△ACD≌△ECD、△CEF≌△BEF可得出∠A＝∠CED、∠B＝∠3，由三角形的外角性质结合三角形内角和定理即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设∠B＝，
∵△ACD≌△ECD，△CEF≌△BEF，
∴∠A＝∠CED，∠B＝∠3＝，
∵∠CED＝∠B+∠3，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴，
∴，
即∠B＝30°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理、解一元一次方程，解本题的关键在熟练掌握相关性质．
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