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八年级数学上分层优化堂堂清
十二章 全等三角形
12.2三角形全等的判定第二课时
学习目标：
1.能够利用尺规正确的画出一个与给定三角形满足SAS条件的全等的三角形，能准确叙述SAS.
2.能够利用SAS进行简单的几何推理（计算或证明）
3.能够利用SAS进行较复杂的几何推理（计算或证明）
4.能画图说明满足SSA条件的两个三角形不一定全等.能够综合利用SSS、SAS进行复杂的几何推理.
老师对你说：
知识点1 全等三角形的判定2：边角边（SAS）
三角形全等的判定2：边角边（SAS）
文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，．
知识点2 利用SAS进行推理证明
①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的顺序.
②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等
知识点3 综合利用SSS、SAS进行复杂的几何推理.
证明三角形全等的“两个条件”（1）直接条件：已知中直接给出的边（角）对应相等，
隐含条件：已知中没有给出，但通过读图得到的条件，如公共边、公共角、对顶角。
“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用．
1.证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.
2判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1 全等三角形的判定2：边角边（SAS）
【例1-1】如图，AD⊥AB，AE⊥AC，AD＝AB，AE＝AC，则判定△ADC≌△ABE的根据是____．
【例1-2】如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短
【例1-3】如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
知识点2 利用SAS进行推理证明
【例2-1】如图，在2×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是(　　)
A．∠2＝2∠1 B．∠2﹣∠1＝90° C．∠1+∠2＝180° D．∠1+∠2＝90°
【例2-2】如图，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝35.5°，∠2＝30.5°，则∠3＝　 　度．
【例2-3】 在四边形ABCD中，E为BC边中点．已知：如图，若AE平分∠BAD，∠AED＝90°，点F为AD上一点，AF＝AB．
求证：(1)△ABE≌△AFE；(2)AD＝AB+CD．
知识点3 综合利用SSS、SAS进行复杂的几何推理.
【例3-1】如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，．

求证：；
若，求三角形的面积．
【例3-2】已知四边形中，，，如图2，点P，Q分别在线段，上，满足，求证：．
【例3-3】已知：在和中，．
(1)如图①，若，求证：．
(2)如图②，若，则与间的等量关系式为__________，的大小为__________（直接写出结果，不证明）
能力强化提升训练
1 .如图，在中，，，平分，于E，若，则为 ．

如图，在中，，分别是，边上的高，在上取一点D，使，在射线上取一点G，使，连结，．若，，则的度数为 ．

如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．

4 .如图，在中，，分别是，边上的高，在上载取，延长至点使，连接，．

(1)求证：；
(2)求的度数；
堂堂清
选择题（每小题4分，共32分）
1 .如图中全等的三角形是(　　)
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④
2 .如图，在2×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是(　　)
A．∠2＝2∠1 B．∠2﹣∠1＝90° C．∠1+∠2＝180° D．∠1+∠2＝90°
3 .如图，有一池塘，要测量池塘两端A，B的距离时，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C．连接AC并延长到D，使CD＝CA．连接BC并延长到E，使CE＝CB．可证明△EDC≌△BAC，从而得到ED＝AB，则测得ED的长就是两点A，B的距离．判定△EDC≌△BAC的依据是(　　)
A．“边边边” B．“角边角” C．“角角边” D．“边角边”
4 .如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去
5 .如图，是和的公共边，下列条件不能判定的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6 .如图，已知，，，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
7 .如图，把长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC，木棍AB固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（　　）
A．△ABC与△ABD不全等
B．有两边分别相等的两个三角形不一定全等
C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
8 .如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .如图，已知AB∥CF，点E为DF的中点，若AB＝9 cm，CF＝5 cm，则BD＝____cm.
10 如图，在中，，，，分别在，，上，且，，，则的度数是_____．（用含的代数式表示）
11 .如图，在中，，，是边上的中线，则的取值范围是________
12 .如图，△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点B，D，E在同一条直线上，若∠CAE＋∠ACE＋∠ADE＝130°，则∠ADE的度数为________°．
13 .如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为____________
三、解答题（共6小题，48分）
14 .（8分）如图，．求证：．
15 .（8分）如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．

16 .（8分）如图，在和中，，，，连接，C、D、E三点在同一条直线上，连接．
(1)求证：；
(2)判断与的位置关系并说明理由．
17 .（8分）.如图，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF，BE与CF交于点O，与AC交于点D．
(1)求证：BE＝CF；
(2)若∠BAC＝80°，求∠BOF的度数．
18 .（8分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．
19 .（8分）如图，在四边形中，于，，.求证：（1）；（2）.
拓展培优*冲刺满分
如图，已知长方形ABCD的边长，，点E在边AB上，，如果点P从点B出发在线段BC上向点C运动，同时，点Q在线段DC上从点D向点C运动，已知点P的运动速度是2cm/s，则经过______s，与全等．
2 .问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______．
拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
3 .(1)阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接(或将绕着点逆时针旋转得到)，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______；
(2)问题解决：如图2，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：；
(3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于，两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．
八年级数学上分层优化堂堂清
十二章 全等三角形
12.2三角形全等的判定第二课时（解析版）
学习目标：
1.能够利用尺规正确的画出一个与给定三角形满足SAS条件的全等的三角形，能准确叙述SAS.
2.能够利用SAS进行简单的几何推理（计算或证明）
3.能够利用SAS进行较复杂的几何推理（计算或证明）
4.能画图说明满足SSA条件的两个三角形不一定全等.能够综合利用SSS、SAS进行复杂的几何推理.
老师对你说：
知识点1 全等三角形的判定2：边角边（SAS）
三角形全等的判定2：边角边（SAS）
文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，．
知识点2 利用SAS进行推理证明
①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的顺序.
②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等
知识点3 综合利用SSS、SAS进行复杂的几何推理.
证明三角形全等的“两个条件”（1）直接条件：已知中直接给出的边（角）对应相等，
隐含条件：已知中没有给出，但通过读图得到的条件，如公共边、公共角、对顶角。
“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用．
1.证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.
2判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1 全等三角形的判定2：边角边（SAS）
【例1-1】如图，AD⊥AB，AE⊥AC，AD＝AB，AE＝AC，则判定△ADC≌△ABE的根据是____．
【答案】SAS
【解析】∵AD⊥AB，AE⊥AC，∴∠DAB＝∠EAC＝90°，∴∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC，即：∠DAC＝∠BAE，
在△ADC和△ABE中，AD＝AB，∠DAC＝∠BAE，AE＝AC，
∴△ADC≌△ABE（SAS），故填：SAS．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型
【例1-2】如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短
【答案】A
【分析】根据题意易证，根据证明方法即可求解．
解：O为、的中点，
，，
（对顶角相等），
在与中，
，
，
，
故选：A．
【点拨】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键．
【例1-3】如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，，正好是两边一夹角，即可得出答案．
解：∵在△ABO和△DCO中，，
∴，故B正确．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握两边对应相等，且其夹角也对应相等的两个三角形全等，是解题的关键．
知识点2 利用SAS进行推理证明
【例2-1】如图，在2×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是(　　)
A．∠2＝2∠1 B．∠2﹣∠1＝90° C．∠1+∠2＝180° D．∠1+∠2＝90°
答案 D
解析 如图：
由题意得：AC＝BD＝2，BC＝DE＝1，∠ACB＝∠BDE＝90°，
∴∠1+∠BED＝90°，
在△ABC和△BED中，，∴△ABC≌△BED(SAS)，
∴∠2＝∠BED，
∴∠1+∠2＝90°，
故选：D．
【例2-2】如图，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝35.5°，∠2＝30.5°，则∠3＝　 　度．
答案 66
解析 如图所示：
∵∠BAC＝∠DAE，∠BAC＝∠1+∠DAC，∠DAE＝∠DAC+∠4，
∴∠1＝∠4，
在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ADB＝∠AEC，
又∵∠2+∠4+∠AEC＝180°，∴∠AEC＝114°，∴∠ADB＝114°，
又∠ADB+∠3＝180°，∴∠3＝66°，
故答案为：66．
【例2-3】 在四边形ABCD中，E为BC边中点．已知：如图，若AE平分∠BAD，∠AED＝90°，点F为AD上一点，AF＝AB．
求证：(1)△ABE≌△AFE；(2)AD＝AB+CD．
解析 (1)证明：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠FAE，
在△ABE和△AFE中，，
∴△ABE≌△AFE(SAS)；
(2)证明：由(1)知，△ABE≌△AFE，
∴EB＝EF，∠AEB＝∠AEF，
∵∠BEC＝180°，∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，∠AEF+∠DEF＝90°，
∴∠DEC＝∠DEF，
∵点E为BC的中点，∴EB＝EC，
∴EF＝EC，
在△ECD和△EFD中，，∴△ECD≌△EFD(SAS)，
∴DC＝DF，
∵AD＝AF+DF，AB＝AF，
∴AD＝AB+CD．
知识点3 综合利用SSS、SAS进行复杂的几何推理.
【例3-1】如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，．

求证：；
若，求三角形的面积．
【答案】(1) 见分析； (2)
【分析】（1）根据得，根据得，即，根据 即可证明；
（2）在中，以为底作为高，则，，根据 得，，即可得．
（1）证明：∵，
，
∵，
，
在和中，
，
；
（2）解：如图所示，在中，以为底作为高，

，，
∵，
，，
．
【点拨】本题考查了三角形的判定与性质，三角形的面积，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
【例3-2】已知四边形中，，，如图2，点P，Q分别在线段，上，满足，求证：．
证明见分析
【分析】在的延长线上取点K，使得，连接，根据四边形内角和，证明，得到，，再证明，得到，进而推出，然后结合，即可证明结论．
解：证明：如图，在的延长线上取点K，使得，连接，

，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，四边形内角和，做辅助线构造全等三角形是解题关键．
【例3-3】已知：在和中，．
(1)如图①，若，求证：．
(2)如图②，若，则与间的等量关系式为__________，的大小为__________（直接写出结果，不证明）
【答案】(1)证明见解析
(2)，α
【分析】（1）利用证明，即可得到结论；
（2）与（1）同理可证，得到，由得到，根据对顶角相等和三角形内角和定理得到即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴；
如图②，设与相交于点E，
∵，
∴，
在和中，
，,，
∴，
故答案为：，
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
能力强化提升训练
1 .如图，在中，，，平分，于E，若，则为 ．

【答案】6
【分析】延长，交于点，证，，得出，，及，则，可以求出其值．
【详解】解：延长，交于点，

∵，
，，
∵，
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：6．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质及判定是解题的关键．
如图，在中，，分别是，边上的高，在上取一点D，使，在射线上取一点G，使，连结，．若，，则的度数为 ．

【答案】32度/
【分析】证明得到，根据三角形的内角和定理求得即可．
【详解】解：，分别是，边上的高，
.
，.
.
在和中，，，，
.
.
，
.
【点睛】本题考查三角形的高、全等三角形得判定与性质、三角形的内角和定理，证明是解答的关键．
如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．

【答案】见解析
【分析】利用三角形内角和定理得的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
【详解】证明：在 中，，，
．
．
．
，
．
在和中，
，
∴．
．
【点评】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
4 .如图，在中，，分别是，边上的高，在上载取，延长至点使，连接，．

(1)求证：；
(2)求的度数；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据高的定义得到，进而得到，由此证明即可证明；
（2）由全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理得到，即可得到，即．
【详解】（1）证明：、分别是、两条边上的高，
，
，
，
在与中，
，
，
；
（2）解：∵，
∴，
∵是边上的高，即，
∴，
∴，
∴，即．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，高的定义，证明是解题的关键．
堂堂清
选择题（每小题4分，共32分）
1 .如图中全等的三角形是(　　)
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④
答案 B
解析 ①和③符合全等三角形的判定定理SAS，两三角形全等，而其它三角形不全等，
故选：B．
2 .如图，在2×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是(　　)
A．∠2＝2∠1 B．∠2﹣∠1＝90° C．∠1+∠2＝180° D．∠1+∠2＝90°
答案 D
解析 如图：
由题意得：AC＝BD＝2，BC＝DE＝1，∠ACB＝∠BDE＝90°，
∴∠1+∠BED＝90°，
在△ABC和△BED中，，∴△ABC≌△BED(SAS)，
∴∠2＝∠BED，
∴∠1+∠2＝90°，
故选：D．
3 .如图，有一池塘，要测量池塘两端A，B的距离时，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C．连接AC并延长到D，使CD＝CA．连接BC并延长到E，使CE＝CB．可证明△EDC≌△BAC，从而得到ED＝AB，则测得ED的长就是两点A，B的距离．判定△EDC≌△BAC的依据是(　　)
A．“边边边” B．“角边角” C．“角角边” D．“边角边”
答案 D
解析 由题意知AC＝DC，BC＝EC，且∠ACB＝∠DCE(对顶角相等)，
∴△ABC≌△DEC(SAS)，∴DE＝AB，
故选：D．
4 .如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定可进行求解
【详解】解：第①块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃．
故选：A．
5 .如图，是和的公共边，下列条件不能判定的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】由全等三角形的判定方法：，，，即可判断．
【详解】解A、由可以判定，故不符合题意；
B、，这两个角分别是，的对角，不能判定，故符合题意；
C、由可以判定，故不符合题意；
D、由可以判定，故不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
6 .如图，已知，，，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先证出，根据三角形全等的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：，
，即，
在和中，，
，
，
，
，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．
7 .如图，把长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC，木棍AB固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（　　）
A．△ABC与△ABD不全等
B．有两边分别相等的两个三角形不一定全等
C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定方法即可判断；
【详解】由题意可知：AB＝AB，AC＝AD，∠ABC＝∠ABD，
满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是△ABC与△ABD不全等，
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，记住有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
8 .如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解．
解：如图，

由图可知：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选C．
【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .如图，已知AB∥CF，点E为DF的中点，若AB＝9 cm，CF＝5 cm，则BD＝____cm.
【答案】4
【解析】解：∵AB∥CF，
∴∠A=∠ACF，∠AED=∠CEF，
在△AED和△CEF中
，
∴△AED≌△CEF（AAS），
∴FC=AD=5cm，
∴BD=AB-AD=9-5=4（cm）．
故答案为：4
10 如图，在中，，，，分别在，，上，且，，，则的度数是_____．（用含的代数式表示）
【详解】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDF和△CED中，
，
∴△BDF≌△CED（SAS）
∴∠EDC＝∠DFB
，
∴∠EDF＝∠B＝（180° ∠A）÷2＝90° ∠A，
∵∠FDE＝α，
∴∠A＝180° 2α，
故答案为：180° 2α．
11 .如图，在中，，，是边上的中线，则的取值范围是________
【答案】2＜AD＜7
【分析】延长AD至点E，使得DE＝AD，可证△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，从而得到的取值范围．
【详解】如图，延长AD至点E，使得DE＝AD，
∵是边上的中线，
∴，
在△ABD和△CDE中，
，
∴△ABD△CDE（SAS），
∴AB＝CE=5，AD＝DE，
∵△ACE中，AC-CE＜AE＜AC+CE，
∴4＜AE＜14，
∴2＜AD＜7．
12 .如图，△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点B，D，E在同一条直线上，若∠CAE＋∠ACE＋∠ADE＝130°，则∠ADE的度数为________°．
【答案】65
【分析】根据手拉手模型证明△ABD≌△ACE，可得∠ABD=∠ACE，再利用三角形外角的性质得∠ADE=∠BAD+∠ABD，再结合已知条件即可解答．
【详解】解：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC ∠DAC=∠DAE ∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠CAE+∠ACE+∠ADE=130°，
∴∠ABD+∠BAD+∠ADE=130°，
∵∠ADE=∠ABD+∠BAD，
∴2∠ADE=130°，
∴∠ADE=65°．
故答案为：65．
13 .如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为____________
【答案】7
【分析】利用已知条件证明△ADE≌△ADC（SAS），得到ED＝CD，从而BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，即可求得△BDE的周长．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠CAD
在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴ED＝CD，∴BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，
∴△BDE的周长＝BE+BD+ED＝（6﹣4）+5＝7．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明△ADE≌△ADC．
三、解答题（共6小题，48分）
14 .（8分）如图，．求证：．
【答案】见解析
【分析】由全等三角形的判定定理即可求证．
【详解】证明：∵，
∴
∵，
∴，
在和中，
．
∴．
【点评】本题考查利用“”证明三角形全等．掌握相关定理进行推导是解题关键．
15 .（8分）如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．

【答案】见解析
【分析】利用三角形内角和定理得的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
【详解】证明：在 中，，，
．
．
．
，
．
在和中，
，
∴．
．
【点评】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
16 .（8分）如图，在和中，，，，连接，C、D、E三点在同一条直线上，连接．
(1)求证：；
(2)判断与的位置关系并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
【分析】（1）由“”可证，可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得，由三角形内角和定理可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，设与于G，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
17 .（8分）.如图，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF，BE与CF交于点O，与AC交于点D．
(1)求证：BE＝CF；
(2)若∠BAC＝80°，求∠BOF的度数．
答案 (1)略 (2) 100°
解析 (1)证明：∵∠CAB＝∠EAF，∴∠CAB+∠CAE＝∠EAF+∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF(SAS)，
∴BE＝CF；
(2)解：∵△BAE≌△CAF，∴∠EBA＝∠FCA，即∠DBA＝∠OCD，
∵∠BDA＝∠ODC，∴∠BAD＝∠COD，
∵∠BAC＝80°，∴∠COD＝80°，
∴∠BOF＝100°．
18 .（8分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．
【答案】见解析
【分析】在AB上找到F使得AF＝AD，易证△AEF≌△AED，可得AF＝AD，∠AFE＝∠D，根据平行线性质可证∠C＝∠BFE，即可证明△BEC≌△BEF，可得BF＝BC，即可解题．
【详解】证明：在AB上找到F使得AF＝AD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD＝∠EAF，
∵在△AEF和△AED中，
，
∴△AEF≌△AED，（SAS）
∴AF＝AD，∠AFE＝∠D，
∵AD∥BC，
∴∠D＋∠C＝180°，
∵∠AFE＋∠BFE＝180°
∴∠C＝∠BFE，
∵BE平分∠BAD，
∴∠FBE＝∠C，
∵在△BEC和△BEF中，
，
∴△BEC≌△BEF，（AAS）
∴BF＝BC，
∵AB＝AF＋BF，
∴AB＝AD＋BC，
即AD＝AB﹣BC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AEF≌△AED和△BEC≌△BEF是解题的关键．
19 .（8分）如图，在四边形中，于，，.求证：（1）；（2）.
【答案】详见解析
【分析】过点向OA、OB作垂线，构建全等三角形，继而根据平角定义以及线段的和差即可证得结论.
【详解】如图，过点作与点，则∠F=∠CEO=90°，
，OC=OC，
，
，，
，，
，
，，
∵，，
.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键.
拓展培优*冲刺满分
如图，已知长方形ABCD的边长，，点E在边AB上，，如果点P从点B出发在线段BC上向点C运动，同时，点Q在线段DC上从点D向点C运动，已知点P的运动速度是2cm/s，则经过______s，与全等．
【答案】1或4
【分析】分两种情况：①当时，，②当时，，进而求出即可．
【详解】解：设运动的为s，分两种情况：
①当，时，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点P从点B出发在线段上以的速度向点C运动，
∴（s），此时点Q的运动速度为(cm/s)；
②当，时，，
由题意得：，
解得：（s），此时点Q的运动速度为(cm/s)；
综上，点P经过1或4s时；与全等．
故答案为：1或4．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质等知识，关键是掌握两个三角形全等的判定和性质．
2 .问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______．
拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
【答案】问题发现：，；拓展探究：成立，理由见解析
【分析】问题发现：根据题目条件证△ACE≌△DCB，再根据全等三角形的性质即可得出答案；
拓展探究：用SAS证，根据全等三角形的性质即可证得．
【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示：
∵，
∴，
又∵,
∴（SAS），
，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
故答案为：，；
拓展探究：成立．
理由如下：设与相交于点，如图1所示：
∵，
∴，
又∵，，
∴（SAS），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，依然成立．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键．
3 .(1)阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接(或将绕着点逆时针旋转得到)，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______；
(2)问题解决：如图2，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：；
(3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于，两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)；(2)见解析；(3)，证明见解析
【分析】（1）延长至，使，连接，证明，根据三角形三边关系即可求解；
（2）延长至点，使，连接，，同（1）得，，证明在中，由三角形的三边关系得，即可得证；
（3）延长至点，使，连接，证明，，根据求的三角形的性质即可得证．
【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图①所示：
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在中，由三角形的三边关系得：，
∴，即，
∴；
故答案为：；
（2）证明：延长至点，使，连接，，如图所示
同（1）得，，
，，
，
在中，由三角形的三边关系得，
（3）
证明如下：
延长至点，使，连接，如图所示
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
．
，
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图①中结构相关的图形．
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
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