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八年级数学上分层优化堂堂清
十二章 全等三角形
12.2三角形全等的判定第四课时HL
学习目标：
1、理解并记住HL这种判定方法；
2、会运用HL判定两个直角三角形全等；
3、提高推理能力，获得成功的体验，增强学习的自信心。
学习重点：理解并记住HL这种判定方法
学习难点：会运用HL判定两个直角三角形全等
老师对你说：
知识点1 直角三角形的判定（HL）
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
①斜边和一条直角边对应相等（HL）
②证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.
知识点2 利用HL进行证明和计算
特别指出：
（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
知识点3 综合运用三角形的判定定理进行证明和计算 .
确定全等三角形对应元素的方法
符号对应法：用全等符号表示的，可根据对应字母的位置来找对应边，对应边所对的角就是对应角。
位置特征法：①公共边（角）是对应边（角）②对顶角是对应角③一对最长边（最大角）是对应边（角），一对最短边（最小角）是对应边（角）
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1 直角三角形的判定（HL）
【例1-1】下列不能够判定两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．有两条直角边对应相等 B．有一条斜边和一个锐角对应相等
C．有一条直角边和一条斜边对应相等 D．有两个锐角对应相等
【例1-2】给出下列四组条件：
① AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF； ② AB＝DE，AC＝EF，∠B＝∠E；
③ ∠B＝∠E，AB＝DF，∠C＝∠F； ④ AB＝DE，AC＝DF，．
其中，能确定△ ABC和△ DEF全等的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【例1-3】如图，在中，，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ______．
知识点2 利用HL进行证明和计算
【例2-1】如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且．
(1)求证：；
(2)判断和的位置关系并证明．
【例2-2】如图，D是内部一点，于E，于F，且，点B是射线上一点，，，在射线上取一点C，使得，则的长为__________．
【例2-3】如图，四边形中，，，，，与相交于点F．
(1) 求证：
(2) 判断线段与的位置关系，并说明理由．
知识点3 综合运用三角形的判定定理进行证明和计算 .
【例3-1】如图，已知AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，BH＝EG，AH＝DG，∠C＝∠F．
(1) 求证：△ABH≌△DEG；
(2) 求证：CE＝FB．
【例3-2】已知如图，AB=AD，AD⊥DE，AB⊥BC，AC=AE，BC与DE相交于点F，连接CD、EB．
(1) 求证：△ABC≌△ADE；
(2) 图中还有哪几对全等三角形，请你一一列举（无需证明）；
(3) 求证：CF=EF．
能力强化提升训练
1 .如图①，E，F分别为线段AC上的两个动点，且于点E，于点F，若交AC于点M．
(1)求证：；
(2)当E，F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
2 .如图，于点E，于点F，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
3.两个大小不同的等腰直角三角形三角板，如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连接DC．
（1）请找出图②中的全等三角形，并给予证明．（说明：结论中不得含有未标识的字母）
（2）证明：DC⊥BE．
堂堂清
选择题（每小题4分，共32分）
1.如图， 于点 ， 于点 ，． 要根据证明，则还需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
3 .如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
4 .判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）
A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一条直角边对应相等 D．两个锐角对应相等
5 .如图，在Rt△ABC的斜边AB上截取AD＝AC，过点D作DE⊥AB交BC于E，则有（ ）
A．DE＝DB B．DE＝CE C．CE＝BE D．CE＝BD
6 .如图，要使，下面给出的四组条件，错误的一组是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7 .如图，在和中，，，，线段BC的延长线交DE于点F，连接AF．若，，，则线段EF的长度为（ ）
A．4 B． C．5 D．
8 .如图，在的两边上，分别取，再分别过点、作、的垂线，交点为，画射线．可判定，依据是（ ）
A．ASA B．SAS C．AAS D．HL
二、填空题（每小题4分，共20分）
9. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是___________．
如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝________．
11 .如图，已知，是的两条高线，，，则___________度．
12．如图，于点E，于点D，，则的长是________．
13 .如图，直线过正方形的顶点，于点，于点．若，，则的长为______________．
三、解答题（共6小题，48分）
14. （8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于F．（1）求证：△ABD≌△ACE．（2）求证：∠EAF＝∠DAF．
15 （8分） 如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，AD＝AE，BE与CD相交于点O．
求证：∠BDO＝∠CEO．
16 .（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE相交于点F，且AE＝CD．求证：AB＝CB；
17 .（8分）如图，在△ABC中，AH＝BH，AH⊥BC于点H，D为AH上一点，且BD＝AC，直线BD与AC交于点E，连接EH．
（1）求证：DH＝CH；
（2）判断BE与AC的位置关系，并证明你的结论；
18 .（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°点D在BC的延长线上，且BD＝AB．过点B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．
（1）求证：△ABC≌△BDE；
（2）请找出线段AB、DE、CD之间的数量关系，并说明理由．
19 .（8分）如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD．AG．
（1）求证：AD＝AG；
（2）AD与AG的位置关系如何．
拓展培优*冲刺满分
1.如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．
(1)求证：；
(2)求证：．
2 .在中，点D为边上的一点，过点D作于点E，作于点F，且，连接，求证．
八年级数学上分层优化堂堂清
十二章 全等三角形
12.2三角形全等的判定第四课时HL（解析版）
学习目标：
1、理解并记住HL这种判定方法；
2、会运用HL判定两个直角三角形全等；
3、提高推理能力，获得成功的体验，增强学习的自信心。
学习重点：理解并记住HL这种判定方法
学习难点：会运用HL判定两个直角三角形全等
老师对你说：
知识点1 直角三角形的判定（HL）
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
①斜边和一条直角边对应相等（HL）
②证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.
知识点2 利用HL进行证明和计算
特别指出：
（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
知识点3 综合运用三角形的判定定理进行证明和计算 .
确定全等三角形对应元素的方法
符号对应法：用全等符号表示的，可根据对应字母的位置来找对应边，对应边所对的角就是对应角。
位置特征法：①公共边（角）是对应边（角）②对顶角是对应角③一对最长边（最大角）是对应边（角），一对最短边（最小角）是对应边（角）
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1 直角三角形的判定（HL）
【例1-1】下列不能够判定两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．有两条直角边对应相等 B．有一条斜边和一个锐角对应相等
C．有一条直角边和一条斜边对应相等 D．有两个锐角对应相等
【答案】D
【分析】直角三角形全等的判定方法：，，，，，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
解：A、符合判定，故本选项不符合题意；
B、符合判定或，故本选项不符合题意；
C、符合判定，故本选项不符合题意．
D、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：，，，，．
【例1-2】给出下列四组条件：
① AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF； ② AB＝DE，AC＝EF，∠B＝∠E；
③ ∠B＝∠E，AB＝DF，∠C＝∠F； ④ AB＝DE，AC＝DF，．
其中，能确定△ ABC和△ DEF全等的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定方法：结合选项进行判定
解：① AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，可根据SSS判定
② AB＝DE，AC＝EF，∠B＝∠E，不能判断
③∠B＝∠E，AB＝DF，∠C＝∠F，不能判断
④ AB＝DE，AC＝DF，，可根据判断
所以能确定的条件有2组
故选：B
【点拨】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【例1-3】如图，在中，，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ______．
【答案】6或12/12或6
【分析】分情况讨论：①，此时，可据此求出P的位置；②，此时，点P与点C重合．
解：①当时，
∵，
在与中，
∴，
∴；
②当P运动到与C点重合时，，
在与中，
∴，
∴，
∴当点P与点C重合时，才能和全等，
综上所述，或12，
故答案为：6或12．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解题的关键，当题中没有明确全等三角形的对应边和对应角时，要分情况讨论，以免漏解．
知识点2 利用HL进行证明和计算
【例2-1】如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且．
(1)求证：；
(2)判断和的位置关系并证明．
．(1)证明过程见详解；(2)和的位置关系是垂直，证明过程见详解
【分析】（1）根据直角三角形的全等的条件：斜边直角边即可求证；
（2）延长与线段相交，根据全等，可找出线段与角的关系，由此即可求解．
（1）解：在，中，
∵
∴
（2）解：根据题意，画图如下，
延长交于点，由（1）可知，，，
∴在中，，
∵在中，，
∴，
∵，
∴在中，，
∴是直角三角形，即，
∵点、、在同一条线段上，
∴，
故和的位置关系是垂直．
【点拨】本题主要考查直角三角形的全等及线段的关系，理解三角形全等的条件，合理构造线段关系是解题的关键．
【例2-2】如图，D是内部一点，于E，于F，且，点B是射线上一点，，，在射线上取一点C，使得，则的长为__________．
6或10/10或6
【分析】分两种情况：①当点C在线段上，证明，可得，证明，可得，则，②当点C在线段的延长线上时，同理可得．
解： ①如图1，当点C在线段上时，连接，
∵于E，于F，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
又∵在和中，，
∴，
∴，
∴；
②如图2，当点C在线段的延长线上时，
同理可得，，
∴．
故答案为：6或10．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握证明全等三角形是关键，分类讨论是解答的关键．
【例2-3】如图，四边形中，，，，，与相交于点F．
(1) 求证：
(2) 判断线段与的位置关系，并说明理由．
(1)见分析；(2)，理由见分析
【分析】（1）根据即可证明．
（2）根据得到，结合得到，即可得结论．
（1）解：在和中，
∴．
（2）解：．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：、、、、等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
知识点3 综合运用三角形的判定定理进行证明和计算 .
【例3-1】如图，已知AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，BH＝EG，AH＝DG，∠C＝∠F．
(1) 求证：△ABH≌△DEG；
(2) 求证：CE＝FB．
(1)见分析；(2)见分析．
【分析】（1）由可证明；
（2）证明．得出，则可得出结论．
解：（1）证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠DEG＝∠ABH＝90°，
在Rt△ABH和Rt△DEG中，
∵，
∴Rt△ABH≌Rt△DEG（HL）；
（2）∵Rt△ABH≌Rt△DEG（HL），
∴AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，
∵，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴BC＝EF，
∴CE＝FB．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定、垂直的定义；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【例3-2】已知如图，AB=AD，AD⊥DE，AB⊥BC，AC=AE，BC与DE相交于点F，连接CD、EB．
(1) 求证：△ABC≌△ADE；
(2) 图中还有哪几对全等三角形，请你一一列举（无需证明）；
(3) 求证：CF=EF．
(1)见分析；(2)△ADC≌△ABE，△DFC≌△BFE；(3)见分析
【分析】（1）利用“HL”直接证明即可；
（2）求出∠DAC＝∠BAE，利用SAS可证△ADC≌△ABE，得到CD＝BE，∠ACD＝∠AEB，再求出∠DCF＝∠BEF，利用AAS可证△DFC≌△BFE；
（3）根据全等三角形的性质可直接得出结论．
解：（1）证明：在Rt△ABC和Rt△ADE中，，
∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL）；
（2）图中还有两对全等三角形：△ADC≌△ABE，△DFC≌△BFE；
证明：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠BAD＝∠DAE－∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAE，
又∵AD＝AB，AC＝AE，
∴△ADC≌△ABE（SAS）；
∴CD＝BE，∠ACD＝∠AEB，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠ACB＝∠AED，
∴∠ACB ∠ACD＝∠AED ∠AEB，
∴∠DCF＝∠BEF，
又∵∠DFC＝∠BFE，
∴△DFC≌△BFE（AAS）；
（3）由（2）可得：△DFC≌△BFE，
∴CF＝EF．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和对应边相等、对应角相等的性质是解题的关键
能力强化提升训练
1 .如图①，E，F分别为线段AC上的两个动点，且于点E，于点F，若交AC于点M．
(1)求证：；
(2)当E，F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)仍然成立，理由见解析
【分析】（1）利用可证明，可得，根据线段的和差关系即可得，利用可证明，即可得；
（2）同（1）的证明方法即可得上述结论依然成立．
【详解】（1）解：于E，于F，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）仍然成立，，
理由如下：
于E，于F，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定定理有，熟练掌握并灵活运用全等三角形的判定定理是解题关键．
2 .如图，于点E，于点F，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】（1）由题所给条件可得，即得，再证明即可求解；
（2）由（1）可得，则．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
即；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，以及全等三角形的对应边相等，对应角相等．
3.两个大小不同的等腰直角三角形三角板，如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连接DC．
（1）请找出图②中的全等三角形，并给予证明．（说明：结论中不得含有未标识的字母）
（2）证明：DC⊥BE．
【分析】根据等腰直角三角形的性质利用SAS判定△ABE≌△ACD；因为全等三角形的对应角相等，所以∠ACD＝∠ABE＝45°，已知∠ACB＝45°，所以可得到∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，即DC⊥BE．
【解答】解：（1）△ABE≌△ACD，
证明：∵AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；
（2）由△ABE≌△ACD得∠ACD＝∠ABE＝45°，
又∵∠ACB＝45°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，
∴DC⊥BE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法以及性质是并准确确定出全等三角形是解题的关键．
堂堂清
选择题（每小题4分，共32分）
1.如图， 于点 ， 于点 ，． 要根据证明，则还需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】．D
【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断．
解：∵于点D，于点F，
∴，
∵，
∴当添加时，根据“”判断．
故选：D．
【点拨】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
2.如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据，判断出≌．
解：滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在和中，
，
≌，
故选：．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题
3 .如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由图示可知BD为公共边，若想用“HL”判定证明和全等，必须添加AD=CB．
解：在和中
∴
故选A
【点拨】此题主要考查学生对全等三角形判定定理（HL）的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
4 .判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）
A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一条直角边对应相等 D．两个锐角对应相等
【答案】D
【分析】根据直角三角形全等的判定条件逐一判断即可．
解：A、两条直角边对应相等，可以利用SAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；
B、斜边和一锐角对应相等，可以利用AAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；
C、斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；
D、两个锐角对应相等，不可以利用AAA证明两个直角三角形全等，说法错误，符合题意；
故选D．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
5 .如图，在Rt△ABC的斜边AB上截取AD＝AC，过点D作DE⊥AB交BC于E，则有（ ）
A．DE＝DB B．DE＝CE C．CE＝BE D．CE＝BD
【答案】B
【分析】由“HL” Rt△ACE≌Rt△ADE，可得DE=CE，即可．
解：如图，连接AE，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=∠C=90°，
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
∵AE=AE，AC=AD，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），
∴DE=CE．
故选：B
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
6 .如图，要使，下面给出的四组条件，错误的一组是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判定即可．
解：A、∵，，AB=AB，∴(AAS)，正确，故此选项不符合题意；
B、∵，，AB=AB，∴(SSS)，正确，故此选项不符合题意；
C、∵，，AB=AB，∴(ASA)，正确，故此选项不符合题意；
D、，，AB=AB，两边以及一边对角对应相等，不能判定，故此选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查全靠等三角形的判定，熟练掌握全靠三角形判定定理：SSS，SAS，ASA，AAS，HL 是解题的关键．
7 .如图，在和中，，，，线段BC的延长线交DE于点F，连接AF．若，，，则线段EF的长度为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】证明，，根据全等三角形对应边相等，得到，，由解得，继而解得，最后由解答．
解：，，，
，，
，
故选：B．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、线段的和差等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
8 .如图，在的两边上，分别取，再分别过点、作、的垂线，交点为，画射线．可判定，依据是（ ）
A．ASA B．SAS C．AAS D．HL
【答案】D
【分析】由垂线的定义可知和都是直角三角形，已知条件满足斜边相等和一组直角边相等，因此依据HL判定．
解：由题意可知，和都是直角三角形，
在和中，
，
满足斜边相等和一组直角边相等，
因此，
故选D．
【点拨】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是能够依据HL判定两个直角三角形全等．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是___________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】用“”判定，只需要满足一条直角边对应线段，斜边对应相等即可
解：添加条件：，
在和中，
，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知“”的判定条件是解题的关键．
如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝________．
【答案】2
【分析】根据HL证明，可得，根据即可求解．
解： AB⊥AD，CE⊥BD，
，
在与中，
，
，
AD＝5，CD＝7，
，BD=CD＝7，
故答案为：2
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握HL证明三角形全等是解题的关键．
11 .如图，已知，是的两条高线，，，则___________度．
【答案】40
【分析】由，是的两条高线，得，证明，得，则，．
解：∵，是的两条高线，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：40．
【点拨】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键．
12．如图，于点E，于点D，，则的长是________．
【答案】5
【分析】先证明，再根据全等三角形的性质即可得到结论．
解：∵于点E，于点D，
∴，
在与中， ，
∴，
∴
∴，
故答案为：5．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是证明
13 .如图，直线过正方形的顶点，于点，于点．若，，则的长为______________．
【答案】
【分析】利用同角的余角相等，证得，根据垂直定义，得，结合已知，证得，进而证得，，据此可求出，问题得解．
解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
在和中
∵
∴
∴，
∴
故答案为：
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，正确寻找全等三角形，学会利用同角的余角相等是解本题的关键．
三、解答题（共6小题，48分）
14. （8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于F．（1）求证：△ABD≌△ACE．（2）求证：∠EAF＝∠DAF．
【分析】（1）求出∠AEC＝∠ADB＝90°，根据AAS推出即可．
（2）根据全等求出AE＝AD，根据HL证出Rt△AEF≌Rt△ADF，推出∠EAF＝∠DAF即可．
【解答】证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS）．
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴AE＝AD，
在Rt△AEF和Rt△ADF中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△ADF（HL），
∴∠EAF＝∠DAF，
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和平行线的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有定理HL，全等三角形的性质是：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
15 （8分） 如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，AD＝AE，BE与CD相交于点O．
求证：∠BDO＝∠CEO．
【分析】首先由“SAS”可证△ABE≌△ACD，由全等三角形的性质可得∠B＝∠C；然后由“AAS”证得△BDO≌△CEO，得到结论．
【解答】证明：在△ABE与△ACD中，
．
则△ABE≌△ACD（SAS）．
∴∠B＝∠C．
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE．
在△BDO与△CEO中，
．
∴△BDO≌△CEO（AAS）．
∴∠BDO＝∠CEO．
【点评】考查了全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形。
16 .（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE相交于点F，且AE＝CD．求证：AB＝CB；
【分析】首先利用已知同解证明△AEF≌△CDF（AAS），然后利用全等三角形的性质继续证明△ABD≌△CBE（AAS）即可证明结论；
【解答】证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEF＝∠CDF＝∠BEC＝∠BDA＝90°．
在△AEF和△CDF中，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴EF＝DF，AF＝CF．
∴EF+CF＝DF+AF，
∴EC＝DA，
在△ABD和△CBE中，
∴△ABD≌△CBE（AAS），
∴AB＝CB；
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质有一定的综合性．
17 .（8分）如图，在△ABC中，AH＝BH，AH⊥BC于点H，D为AH上一点，且BD＝AC，直线BD与AC交于点E，连接EH．
（1）求证：DH＝CH；
（2）判断BE与AC的位置关系，并证明你的结论；
【分析】（1）先判断出△ABH为等腰直角三角形，然后根据“HL”得出△AHC≌△BHD；
（2）根据对顶角和等量代换即可得出∠ADE+∠DAE＝90°，结论得证；
△AHE≌△BHF，即可得出EH＝FH，可得答案．
【解答】（1）证明：∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝∠AHC＝90°
在Rt△BHD和Rt△AHC中，
，
∴Rt△BHD≌Rt△AHC（HL），
∴DH＝CH；
（2）解：BE⊥AC．
由（1）可知△BHD≌△AHC，
∴∠DBH＝∠CAH．
∵∠CAH+∠C＝90°，
∴∠DBH+∠C＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴BE⊥AC；
【点评】此题是三角形的全等的性质和判定，同角或等角的余角相等，注：出现直角，要联想到互余．
18 .（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°点D在BC的延长线上，且BD＝AB．过点B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．
（1）求证：△ABC≌△BDE；
（2）请找出线段AB、DE、CD之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）利用已知得出∠A＝∠DBE，进而利用ASA得出△ABC≌△BDE即可；
（2）根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，
∴∠A+∠ABE＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠DBE+∠ABE＝90°，
∴∠A＝∠DBE，
在△ABC和△BDE中，，
∴△ABC≌△BDE（ASA）；
（2）解：AB＝DE+CD，
理由：由（1）证得，△ABC≌△BDE，
∴AB＝BD，BC＝DE，
∵BD＝CD+BC，
∴AB＝CD+DE．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
19 .（8分）如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD．AG．
（1）求证：AD＝AG；
（2）AD与AG的位置关系如何．
【分析】（1）先由条件可以得出∠ABE＝∠ACF，就可以得出△ABD≌△GCA，就有AD＝GA，∠BAD＝∠G；
（2）结论：AG⊥AD．由（1）可以得出∠GAD＝90°，进而得出AG⊥AD．
【解答】（1）证明：∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，
∴∠AFC＝∠BFC＝∠BEC＝∠BEA＝90°
∴∠BAC+∠ACF＝90°，∠BAC+∠ABE＝90°，∠G+∠GAF＝90°，
∴∠ABE＝∠ACF．
在△ABD和△GCA中，
，
∴△ABD≌△GCA（SAS），
∴AD＝GA，
（2）结论：AG⊥AD．
理由：∵△ABD≌△GCA（SAS），
∴∠BAD＝∠G，
∴∠BAD+∠GAF＝90°，
∴AG⊥AD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用、直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会利用等量代换证明垂直，属于中考常考题型．
拓展培优*冲刺满分
1.如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．
(1)求证：；
(2)求证：．
(1)证明见分析；(2)证明见分析
【分析】（1）根据题意证明，进而根据证明，即可求解；
（2）连接，由（1）证明可得，，证明，得出，进而即可得证．
解：（1）证明：，
，
，
，
在和中，
．
（2）连接，
由证明可得，
，
在和中，
．
，
，
．

【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
2 .在中，点D为边上的一点，过点D作于点E，作于点F，且，连接，求证．
见分析
【分析】首先根据全等三角形的判定定理，即可证得，再根据三角形的面积公式即可证得结论．
解：证明： ，，
．
，，
，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．
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