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2022-2023学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在有理数，，，中，是负数的为( )
A. B. C. D.
2. 点所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 下列各组线段中，能构成三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
4. 有大小两个盛酒的捅，已知个大桶和个小桶可以盛酒斛斛，古代一种容器单位个大桶和个小桶盛酒斛，设个大桶盛酒斛，个小桶酒斛，可列方程组为( )
A. B. C. D.
5. 下列问题中，最适合采用全面调查方式的是( )
A. 调查所生产的整批火柴是否能够划燃
B. 了解一批导弹的杀伤半径
C. 疫情防控期间，调查我校出入校门口学生的体温
D. 了解全国中小学生的体重情况
6. 如图，≌，其中，，则( )
A.
B.
C.
D.
7. 若，则下列不等式不一定成立的是( )
A. B. C. D.
8. 语句“的与的和超过”可以表示为( )
A. B. C. D.
9. 如图，已知，，分别平分，，则的度数为( )
A. B. C. D.
10. 如图，点的坐标为，作轴，轴，垂足分别为、，点为线段的中点，点从点出发，在线段、上沿运动，当时，点的坐标为( )
A.
B.
C.
D. 或
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 的算术平方根是______ ．
12. 六边形的内角和的度数是______．
13. 如图，，，，，，则______度．
14. 若关于，的方程是二元一次方程，则 ______ ．
15. 年是中华人民共和国成立周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游行活动．其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业”“改革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作扇形统计图．以下是打乱了的统计步骤：
绘制扇形统计图；
收集三个部分本班学生喜欢的人数；
计算扇形统计图中三个部分所占的百分比；
其中正确的统计顺序是______．
16. 已知，不等式解集为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17. 计算：
四、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
解不等式组，并求出它的非负整数解．
19. 本小题分
新冠肺炎疫情发生以来，专家给出了很多预防建议为普及预防措施，某校组织了由七年级名学生参加的“防新冠”知识竞赛杨老师为了了解学生的答题情况，从中随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按优秀、良好、及格、不及格个级别进行统计，并绘制成了如下条形统计图和扇形统计图部分信息未给出请根据图中提供的信息，解答下列问题：
求被抽取的部分学生的人数，并请补全条形统计图；
求出扇形统计图中表示良好级别的扇形的圆心角度数；
请估计七年级名学生中达到良好和优秀的总人数．
20. 本小题分
若关于，的二元一次方程组．
若方程组的解、满足方程，求的值；
若，求的取值范围．
21. 本小题分
如图，中，，是的角平分线．
若，求的度数；
若是的中点，的面积为，，求的长．
22. 本小题分
为开展“校园读书活动”雅礼中学读书会讣划釆购数学文化和文学名著两类书籍共本，经了解，购买本数学文化和本文学名著共需元，本数学文化比本文学名著贵元．注：所采购的同类书籍价格都一样
求每本数学文化和文学名著的价格；
若校园读书会要求购买数学文化本数不少于文学名著，且总费用不超过元，请求出所有符合条件的购书方案．
23. 本小题分
如图，四边形中，，是的中点，平分．
求证：平分；
若，，求的面积．
24. 本小题分
我们定义：使方程组与不等式组同时成立的未知数的值称为此方程组和不等式组的“梦想解”．
例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”
已知，，，试判断方程解是否为它与它们中某个不等式的“梦想解”；
若关于，的二元一次方程组的解是不等式组的梦想解，且为整数，求的值．
若关于的方程的解是关于的不等式组的“梦想解”，且此时不等式组有个整数解，试求的取值范围．
25. 本小题分
如图，，，满足，点是轴上的一个动点，点是的中点，连接，将绕点逆时针旋转到．
求、、三点的坐标；
当点在线段上或延长线上时，若，求点的坐标；
当点在线段的延长线上时，连接，若，的值在变化，求点的运动路径长度．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：在有理数，，，中，是负数的为．
故选：．
根据小于的数是负数，对各选项计算后再计算负数的个数．
本题主要考查小于的数是负数的概念，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：点所在的象限是第一象限，
故选：．
根据平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征，即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边．
A、，不能构成三角形，此项不符题意；
B、，不能构成三角形，此项不符题意；
C、，能构成三角形，此项符合题意；
D、，不能构成三角形，此项不符题意．
故选：．
根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得．
本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
故选：．
根据“个大桶和个小桶可以盛酒斛，个大桶和个小桶盛酒斛”即可得出关于、的二元一次方程组．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于、的二元一次方程组是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：、调查所生产的整批火柴是否能够划燃，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B、了解一批导弹的杀伤半径，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C、疫情防控期间，调查我校出入校门口学生的体温，适合采用全面调查方式，故本选项符合题意；
D、了解全国中小学生的体重情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
故选：．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
此题考查全面调查与抽样调查，关键是根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
6.【答案】
【解析】解：≌，，
，
，
故选：．
根据全等三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：若，则，原变形成立，故本选项不符合题意；
B.若，则，原变形成立，故本选项不符合题意；
C.若，不妨设，，则，原变形不成立，故本选项符合题意；
D.若，则，原变形成立，故本选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质分别进行判断，即可求出答案．不等式的基本性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
此题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：依题意得：．
故选：．
根据“的与的和超过”，即可得出关于的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
，
、分别平分、，
，，
．
故选：．
由，根据两直线平行，同旁内角互补，可得，又由、分别平分、，可得，，则可求得的度数．
此题考查了平行线与角平分线的性质．题目比较简单，注意数形结合思想的应用．
10.【答案】
【解析】解：当点在正方形的边上时，
在和中，
，
≌，
，
点是中点，
，
，
，
当点在正方形的边上时，
同的方法，得出，
，
或．
故选：．
分两种情况：当点在正方形的边上时，根据正方形的性质用判断出≌，得出，得出点的坐标，当点在正方形的边上时，同的方法即可．
此题是全等三角形的判定和性质，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出≌．
11.【答案】
【解析】解：，
的算术平方根为，
故答案为：．
根据算术平方根的定义解决．
本题考查算术平方根的定义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做这个正数的算术平方根．
12.【答案】
【解析】解：六边形的内角和的度数是．
故答案为：．
根据多边形的内角和公式可得答案．
本题考查多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：如图所示：
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
，
，
又，
，
故答案为．
由角的和差得，边角边证明≌，其性质得，再由三角形的内角和定理，邻补角的性质求出．
本题综合考查了角的和差，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，邻补角的性质等相关知识，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点是灵活运用证明三角形全等的方法解决实际问题，易错点是学生将结果加上度的符号．
14.【答案】
【解析】解：关于，的方程是二元一次方程，
，
解得：，
的值是．
故答案为：．
根据二元一次方程定义可得，据此可得、的值，再代入计算即可．
此题主要考查了二元一次方程，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：首先是整式方程．方程中共含有两个未知数．所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数单位，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
根据扇形统计图的制作步骤求解可得．
【解答】
解：正确的统计顺序是：
收集三个部分本班学生喜欢的人数；
计算扇形统计图中三个部分所占的百分比；
绘制扇形统计图；
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：，
，
解不等式，得．
故答案为：．
先由，得出，由不等式的性质得出答案．
本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是注意不等号的方向是否改变．
17.【答案】解：原式
．
【解析】本题涉及三次根式的化简、绝对值化简、二次根式化简，在计算时，需要对每个部分分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，关键是熟练掌握三次根式的化简、绝对值的化简、二次根式的化简等．
18.【答案】解：．
解不等式得：，
解不等式得：，
则该不等式组的解集为：．
故不等式组的非负整数解为：，，，．
【解析】先分别解不等式，求出不等式组的解集，然后找出负整数解．
本题考查了解一元一次不等式组，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19.【答案】解：人，
即被抽取的部分学生有人；
优秀的学生有：人，
良好的学生有：人，
补全的条形统计图如图所示；
扇形统计图中表示良好级别的扇形的圆心角度数为：，
即扇形统计图中表示良好级别的扇形的圆心角度数是；
人，
即七年级名学生中达到良好和优秀的总人数是人．
【解析】根据及格的人数和所占的百分比，可以求得被抽取的部分学生人数；根据条形统计图中的数据，可以计算出良好和优秀的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
用度乘以表示良好级别所占的比例即可得出答案；
根据样本估计总体，可以计算出七年级名学生中达到良好和优秀的总人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】解：，
解得：，
代入得：，
解得：，
故的值为，
把，代入得：，
解得：，
故的取值范围为：．
【解析】用加减消元法得出用含有的式子表示，代入，求出的值即可，
用含有的式子表示，，得到关于的一元一次不等式，解之即可．
本题考查解二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键：正确找出等量关系列出关于的一元一次方程，根据不等量关系列出关于的一元一次不等式．
21.【答案】解：，
，
是的角平分线．
；
是的中点，
，
，
，
．
【解析】先利用互余计算出，再利用角平分线的定义得到；
先利用是的中点得到，再根据三角形面积公式得到，然后解关于的方程即可．
本题主要考查了角平分线的定义以及线段中点，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义．
22.【答案】解：设每本数学文化的价格为元，每本文学名著的价格为元，
依题意，得：，
解得：．
答：每本数学文化的价格为元，每本文学名著的价格为元．
设购买数学文化本，则购买文学名著本，
依题意，得：，
解得：．
为整数，
共有三种购书方案，方案：购进数学文化本，文学名著本；方案：购进数学文化本，文学名著本；方案：购进数学文化本，文学名著本．
【解析】设每本数学文化的价格为元，每本文学名著的价格为元，根据“购买本数学文化和本文学名著共需元，本数学文化比本文学名著贵元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买数学文化本，则购买文学名著本，根据购买数学文化本数不少于文学名著且总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出关于的取值范围，结合为整数即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
23.【答案】证明：作垂足为，
平分，，，
，
，
，
，，
平分．
解：由可知：，
，，
．
【解析】作垂足为，根据角平分线的性质定理以及判定定理即可证明．
根据即可计算．
本题考查角平分线的判定和性质以及三角形面积公式，根据角平分线这个条件添加辅助线是解题的关键．
24.【答案】解：解方程得，
解得：，故方程不是的“梦想解”；
解得：，故方程不是“梦想解”；
解得：，故方程是的“梦想解”；
故答案为：
解方程
得：
解是不等式组的梦想解
为整数，
为或；
解不等式组得：，
不等式组的整数解有个，
令整数的值为，，，，，，
则有：，．
故，
且，
，
，
，
，
解方程得：，
方程是关于的不等式组的“梦想解”，
，
解得，
综上的取值范围是．
【解析】先求出方程的解和不等式组的解集，即可判断；
先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出，解不等式组即可；
先求出不等式组的解集，不等式组有个整数解，即可得出，然后解方程得：，根据“梦想解”的定义得出，即可得出．
本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“关联方程”是解题的关键．
25.【答案】解：，
，，
，，
点是的中点，
，
综上所述：，，；
如图，当点落在线段上时，连接，．
由题意，，
，
，，，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，，
，
，
当点在的延长线上时，同法可证，，可得，
综上所述，满足条件的点的坐标为或；
如图，连接，．
，
，，，
，
，
，，
≌，
，，，
，
，
即，
，
，
，
，
，
当时，，
，
，
当时，，可得，
点的运动路径．
【解析】利用非负数的性质求解即可；
如图中，当点落在线段上时，连接，证明≌，即可解决问题．当点在的延长线上时，同法可求；
首先证明，，再证明，推出，求出或两种情形时的值即可解决问题．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，非负数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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