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第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3 因式分解
14.3.3 十字相乘法
新知一览
整式的乘法
因式分解
整式的乘法与因式分解
乘法公式
同底数幂的乘法
幂的乘方
积的乘方
整式的乘法
平方差公式
完全平方公式
提公因式法
*十字相乘法
公式法
整式乘法
因式分解
一个多项式
几个整式的积
1.因式分解和整式乘法的关系是？
2.我们已经学习了哪些因式分解的方法？
是方向相反的变形
①提公因式法：
②公式法：
pa + pb + pc = p(a + b + c)
1. a2 - b2 = (a + b)(a - b)
2. a2±2ab + b2 = (a ± b)2
知识点：十字相乘法因式分解
合作探究
探究：1.计算：
(1) ( x + 2 )( x + 3 ) = ___________；
(2) ( x - 4 )( x + 1 ) =____________；
(3) ( x + 4 )( x - 2 ) =____________；
2. 根据题 1 和等式的性质填空：
(1) x2 + 5x + 6 = ______________ ；
(2) x2 - 3x - 4 =_______________；
(3) x2 + 2x - 8 =_______________；
x2 + 5x + 6
x2 - 3x - 4
x2 + 2x - 8
( x + 2 )( x + 3 )
( x + 1 )( x - 4 )
( x + 4 )( x - 2 )
观察因式分解算结果，你能发现什么规律？
多项式的 常数项 一次项的 系数 分解因式
6 5 ( x + 2 )( x + 3 )
- 4 - 3 ( x + 1 )( x - 4 )
- 8 2 ( x + 4 )( x - 2 )
x2 + (p + q)x + pq =
规律
(x + p)
(x + q).
2×3
2 + 3
1×(-4)
1 + (-4)
4×(-2)
4 + (-2)
要点总结
十字相乘法求因式分解
运算法则：
x2 + (p + q)x + pq
= (x + p)(x + q)
条件：
1. 多项式为二次三项式；
2. 多项式常数项可分解成两个因式，且两个因式的___等于一次项系数.
和
典例精析
例1 分解因式：x2 5x + 6 .
x2 5x + 6 ；
分解因式，得
(x 2)(x 3) .
·
×
-2
-3
2x + ( 3)x = -5x
③ 检验确定，横写因式.
① 竖分常数项与二次项；
② 交叉相乘，积相加；
练一练
1. 把下列多项式因式分解：
(1) x2 - 6x + 8； (2) x2 + 4x 5 .
分解因式，得
(x 2)(x 4) .
·
×
-2
-4
分解因式，得
(x 1)(x + 5) .
·
×
-1
5
十字相乘法
分解因式
公式
x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)
步骤
① 竖分常数项与二次项；
② 交叉相乘，积相加；
③ 检验确定，横写因式.
1.下列因式分解正确的是( )
A．x3－4x = x(x2－4) B．x2－x－2 = (x + 1)(x－2)
C．x2 + 2x－1 = (x－1)2 D．x2－2x + 1 = x(x－2) + 1
2.把多项式 x2 + mx－5 因式分解成 (x + 5)(x－n)，则
m 的值为( ).
A．m = 4 B．m = 3 C．m = 6 D．m = 5
B
A
3.因式分解：(1) 2x2 + 6xy + 4y2；
(2) -3a2 + 18a - 24.
解：(1) 原式＝2(x2 + 3xy + 2y2)
＝2(x + y)(x + 2y).
(2) 原式＝-3(a2 - 6a + 8)
＝-3(a - 2)(a - 4).
4. 已知整式 A = x(x＋3)＋5，整式 B = ax－1.
(1) 若 A＋B＝(x－2)2，求 a 的值；
(2) 若 A－B 可以分解为 (x－2)(x－3)，求 a 的值.
解：(1) ∵A＋B＝x(x＋3)＋5＋ax－1
＝x2＋(3＋a)x＋4，
＝x2－4x＋4，
且 A＋B＝(x－2)2，
∴ 3＋a＝－4.
∴ a＝－7.
(2) ∵A－B＝x(x＋3)＋5－(ax－1)
＝x2＋(3－a)x＋6，
且 A＋B＝(x－2)(x－3)，
∴ 3－a＝－2＋(－3).
(2) 若 A－B 可以分解为 (x－2)(x－3)，求 a 的值.
∴ a＝8.

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