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3.4 函数的应用（一）
知识点一　用函数模型解决实际问题的一般步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论．
(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．
可将这些步骤用框图表示如下：
知识点二 常见的函数模型
(1)一次函数模型：即直线模型，其特点是随着自变量的增大，函数值匀速增大或减小．现实生活中很多事例可以用该模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等．
(2)二次函数模型：二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等问题常常是二次函数的模型．
(3)分段函数模型：由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用．
(一) 一次函数模型的应用
一次函数为：
例1．（1）、（2021·全国·高一专题练习）甲、乙两人沿着同一方向从地去地，甲前一半的路程使用速度，后一半的路程使用速度；乙前一半的时间使用速度，后一半的时间使用速度，关于甲，乙两人从地到达地的路程与时间的函数图象及关系（其中横轴表示时间，纵轴表示路程）可能正确的图示分析为（ ）
A． B．
C． D．
（2）、（2022·高一课时练习）某市为打击出租车无证运营、漫天要价等不良风气，出台两套出租车计价方案，方案一：2公里以内收费8元（起步价），超过2公里的部分每公里收费3元，不足1公里按1公里计算：方案二：3公里以内收费12元（起步价），超过3公里不超过10公里的部分每公里收费2.5元，超过10公里的部分每公里收费3.5元，不足1公里按1公里计算．以下说法正确的是（ ）
A．方案二比方案一更优惠
B．乘客甲打车行驶4公里，他应该选择方案二
C．乘客乙打车行驶12公里，他应该选择方案二
D．乘客丙打车行驶16公里，他应该选择方案二
【变式训练1-1】、（2022·高一单元测试）（多选题）某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为，观影人数记为，关于的函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后关于的函数图像．给出下列四种说法，其中正确的说法是（ ）
A．图（2）对应的方案是：提高票价，并提高固定成本
B．图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本
C．图（3）对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变
D．图（3）对应的方案是：提高票价，并降低固定成本
【变式训练1-2】、（2020·全国高一课时练习） 一水池有2个进水口、1个出水口，2个进水口的进水速度如图甲、乙所示，出水口的排水速度如图丙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丁所示．
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；
③4点到6点不进水不出水．其中一定正确的论断序号是________．
二次函数模型的应用
二次函数：形如
例2、（1）、（2022·全国·高二课时练习）把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2023·全国·高一假期作业）（多选题）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ）
A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润
【变式训练2-1】、（2021·全国·高一专题练习）（多选题）某杂志以每册元的价格发行时，发行量为万册.经过调查，若单册价格每提高元，则发行量就减少册.要该杂志销售收入不少于万元，每册杂志可以定价为（ ）
A．元 B．元
C．元 D．元
【变式训练2-2】、（2022秋·广西桂林·高一校考期中）将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为 元.
例3．（2022·全国·高一专题练习）如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．
(1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？
(2)若围成的矩形的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？
【变式训练3-1】、（2022·高一单元测试）如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．
(1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？
(三) 分段函数模型的应用
例4．（1）、（2021·全国·高一课时练习）某市为打击出租车无证运营、漫天要价等不良风气，出台两套出租车计价方案，方案一：2公里以内收费8元（起步价），超过2公里的部分每公里收费3元，不足1公里按1公里计算：方案二：3公里以内收费12元（起步价），超过3公里不超过10公里的部分每公里收费2.5元，超过10公里的部分每公里收费3.5元，不足1公里按1公里计算．以下说法正确的是（ ）
A．方案二比方案一更优惠
B．乘客甲打车行驶4公里，他应该选择方案二
C．乘客乙打车行驶12公里，他应该选择方案二
D．乘客丙打车行驶16公里，他应该选择方案二
（2）、（2022秋·河南开封·高一校考期末）某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为（ ）
A．15 B．40 C．25 D．13
【变式训练4-1】．（2023·全国·高三专题练习）（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是（ ）
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B．甲从家到公园的时间是30 min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
【变式训练4-2】．（2022·高一课时练习）某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益与年产量的关系式，则总利润最大时，每年生产的产品数量是 .
例5．（2022秋·云南曲靖·高一校考期末）巴拿马运河起着连接美洲南北陆路通道的作用，是世界上最繁忙的运河之一，假设运河上的船只航行速度为（单位：海里/小时），船只的密集度为（单位：艘/海里），当运河上的船只密度为50艘/海里时，河道拥堵，此时航行速度为0；当船只密度不超过5艘/海里时，船只的速度为45海里/小时，数据统计表明：当时，船只的速度是船只密集度的一次函数．
(1)当时，求函数的表达式；
(2)当船只密度为多大时，单位时间内，通过的船只数量可以达到最大值，求出最大值．（取整）
【变式训练5-1】．（2022秋·黑龙江伊春·高三校考开学考试）国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止.旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元.
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
(四) 生产生活中的“最优化” 问题（函数图象与实际问题的交汇）
例6．（2022秋·江苏南通·高一海安高级中学校考期中）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．
（1）设一次订购件，服装的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；
（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？
【变式训练6-1】．（2022·北京西城·高二期末）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：百件）间的函数关系是；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是．
(1)把商品的利润表示为生产量x的函数；
(2)为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？
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3.4 函数的应用（一）
知识点一　用函数模型解决实际问题的一般步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论．
(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．
可将这些步骤用框图表示如下：
知识点二 常见的函数模型
(1)一次函数模型：即直线模型，其特点是随着自变量的增大，函数值匀速增大或减小．现实生活中很多事例可以用该模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等．
(2)二次函数模型：二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等问题常常是二次函数的模型．
(3)分段函数模型：由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用．
(一) 一次函数模型的应用
一次函数为：
例1．（1）、（2021·全国·高一专题练习）甲、乙两人沿着同一方向从地去地，甲前一半的路程使用速度，后一半的路程使用速度；乙前一半的时间使用速度，后一半的时间使用速度，关于甲，乙两人从地到达地的路程与时间的函数图象及关系（其中横轴表示时间，纵轴表示路程）可能正确的图示分析为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意分析开始图象是重合的线段，再根据v1＜v2可知两人的运动情况均是先慢后快，即可.
【详解】由题意可知，开始时，甲、乙速度均为v1，
所以图象是重合的线段，由此排除C，D，
再根据v1＜v2可知两人的运动情况均是先慢后快，
图象是折线且前“缓”后“陡”，故图示A正确．
故选：A
（2）、（2022·高一课时练习）某市为打击出租车无证运营、漫天要价等不良风气，出台两套出租车计价方案，方案一：2公里以内收费8元（起步价），超过2公里的部分每公里收费3元，不足1公里按1公里计算：方案二：3公里以内收费12元（起步价），超过3公里不超过10公里的部分每公里收费2.5元，超过10公里的部分每公里收费3.5元，不足1公里按1公里计算．以下说法正确的是（ ）
A．方案二比方案一更优惠
B．乘客甲打车行驶4公里，他应该选择方案二
C．乘客乙打车行驶12公里，他应该选择方案二
D．乘客丙打车行驶16公里，他应该选择方案二
【答案】C
【分析】根据方案算出应付车费比较即可.
【详解】A. 应付车费与公里数有关，故错误；
B.乘客甲打车行驶4公里，方案一：应付车费为；
方案二应付车费为，他应该选择方案一，故错误；
C.乘客乙打车行驶12公里，方案一：应付车费为；
方案二应付车费为，他应该选择方案二，故正确；
D. 乘客丙打车行驶16公里，方案一：应付车费为；
方案二应付车费为，他应该选择方案一，故错误；
故选：C
【变式训练1-1】、（2022·高一单元测试）（多选题）某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为，观影人数记为，关于的函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后关于的函数图像．给出下列四种说法，其中正确的说法是（ ）
A．图（2）对应的方案是：提高票价，并提高固定成本
B．图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本
C．图（3）对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变
D．图（3）对应的方案是：提高票价，并降低固定成本
【答案】BC
【分析】由图（1）可设关于的函数为，，，分析出为票价，为固定成本，根据图（2）和图（3）图像的变化，即可分析出正确答案．
【详解】由图（1）可设关于的函数为，，，为票价，
当时，，则为固定成本；
由图（2）知，直线向上平移，不变，即票价不变，变大，则变小，固定成本减小，故A错误，B正确；
由图（3）知，直线与轴的交点不变，直线斜率变大，即变大，票价提高，不变，即不变，固定成本不变，故C正确，D错误；
故选：BC．
【变式训练1-2】、（2020·全国高一课时练习） 一水池有2个进水口、1个出水口，2个进水口的进水速度如图甲、乙所示，出水口的排水速度如图丙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丁所示．
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；
③4点到6点不进水不出水．其中一定正确的论断序号是________．
【答案】①②
【解析】
从0点到3点，2个进水口的进水量为9，故①正确；由排水速度知②正确；4点到6点可以是不进水，不出水，也可以是开一个进水口（速度快的）、1个排水扣，故③不正确．故填①②
二次函数模型的应用
二次函数：形如
例2、（1）、（2022·全国·高二课时练习）把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求得两个正三角形面积之和的表达式，结合二次函数的性质求得最小值，
【详解】设两段长分别为，，其中，则这两个正三角形的边长分别为，，
面积之和为，
由二次函数的性质可知，当，时，取得最小值，
所以．
故选：D
（2）、（2023·全国·高一假期作业）（多选题）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ）
A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润
【答案】BC
【分析】结合题目中所给条件及自变量的实际意义，利用二次函数以及基本不等式进行求解.
【详解】当时，，
故当时，获得最大利润，为，故B正确，D错误；
，
当且仅当，即时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C正确，A错误.
故选：BC.
【变式训练2-1】、（2021·全国·高一专题练习）（多选题）某杂志以每册元的价格发行时，发行量为万册.经过调查，若单册价格每提高元，则发行量就减少册.要该杂志销售收入不少于万元，每册杂志可以定价为（ ）
A．元 B．元
C．元 D．元
【答案】BC
【分析】设每册杂志定价为元，根据题意由，解得的范围，可得答案.
【详解】依题意可知，要使该杂志销售收入不少于万元，只能提高销售价，
设每册杂志定价为元，则发行量为万册，
则该杂志销售收入为万元，
所以，化简得，解得，
故选：BC
【点睛】关键点点睛：理解题意并求出每册杂志定价为元时的发行量是解题关键.
【变式训练2-2】、（2022秋·广西桂林·高一校考期中）将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为 元.
【答案】
【分析】根据总利润销售量每个利润．设售价为元，总利润为元，
则销售量为，每个利润为，表示总利润，然后根据函数性质求最大值．
【详解】设售价为元，总利润为元，
则，
当时，最大，最大的利润元；
即定价为70元时可获得最大利润，最大的利润是9000元．
故答案为: .
例3．（2022·全国·高一专题练习）如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．
(1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？
(2)若围成的矩形的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)15米；
(2)当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米.
【分析】（1）设篱笆的一面的长为 x 米，则，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可；
（2）根据题意，可得，根据二次函数最值的求法求解即可．
(1)
设篱笆的一面AB的长为 x 米，则，
由题意得，，
解得，
，
，
，
所以，的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；
(2)
由题意得，
时， S 取得最大值，此时，，
所以，当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米．
【变式训练3-1】、（2022·高一单元测试）如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．
(1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？
(2)若围成的矩形的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)15米；
(2)当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米.
【分析】（1）设篱笆的一面的长为 x 米，则，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可；
（2）根据题意，可得，根据二次函数最值的求法求解即可．
【详解】（1）设篱笆的一面AB的长为 x 米，则，
由题意得，，
解得，
，
，
，
所以，的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；
（2）由题意得，
时， S 取得最大值，此时，，
所以，当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米．
(三) 分段函数模型的应用
例4．（1）、（2021·全国·高一课时练习）某市为打击出租车无证运营、漫天要价等不良风气，出台两套出租车计价方案，方案一：2公里以内收费8元（起步价），超过2公里的部分每公里收费3元，不足1公里按1公里计算：方案二：3公里以内收费12元（起步价），超过3公里不超过10公里的部分每公里收费2.5元，超过10公里的部分每公里收费3.5元，不足1公里按1公里计算．以下说法正确的是（ ）
A．方案二比方案一更优惠
B．乘客甲打车行驶4公里，他应该选择方案二
C．乘客乙打车行驶12公里，他应该选择方案二
D．乘客丙打车行驶16公里，他应该选择方案二
【答案】C
【分析】根据方案算出应付车费比较即可.
【详解】A. 应付车费与公里数有关，故错误；
B.乘客甲打车行驶4公里，方案一：应付车费为；
方案二应付车费为，他应该选择方案一，故错误；
C.乘客乙打车行驶12公里，方案一：应付车费为；
方案二应付车费为，他应该选择方案二，故正确；
D. 乘客丙打车行驶16公里，方案一：应付车费为；
方案二应付车费为，他应该选择方案一，故错误；
故选：C
（2）、（2022秋·河南开封·高一校考期末）某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为（ ）
A．15 B．40 C．25 D．13
【答案】C
【解析】这是已知函数值求自变量的问题，又是分段函数，所以分类讨论求解即可．
【详解】解：令，若，则，不合题意；
若，则，满足题意；
若，则，不合题意．
故拟录用人数为25．
故选：．
【点睛】本题考查的是分段函数问题，在解答的过程当中充分体现了应用题的特性、分段函数的知识以及问题转化的思想，属于基础题．
【变式训练4-1】．（2023·全国·高三专题练习）（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是（ ）
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B．甲从家到公园的时间是30 min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
【答案】BD
【分析】根据图表逐项判断即可
【详解】在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；
由题中图象知，B正确；
甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；
当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得，D正确.
故选：BD
【变式训练4-2】．（2022·高一课时练习）某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益与年产量的关系式，则总利润最大时，每年生产的产品数量是 .
【答案】300
【分析】利用总收益与成本的差可得总利润关于的解析式，利用分段函数的性质，分别求出两段函数的最值，从而可得结果.
【详解】设总成本为元，总利润为元，则，
P=R-C=所以=
令，得=300．当0< <300时，；当>300时，．所以当=300时，取得最大值.
故答案为：300.
例5．（2022秋·云南曲靖·高一校考期末）巴拿马运河起着连接美洲南北陆路通道的作用，是世界上最繁忙的运河之一，假设运河上的船只航行速度为（单位：海里/小时），船只的密集度为（单位：艘/海里），当运河上的船只密度为50艘/海里时，河道拥堵，此时航行速度为0；当船只密度不超过5艘/海里时，船只的速度为45海里/小时，数据统计表明：当时，船只的速度是船只密集度的一次函数．
(1)当时，求函数的表达式；
(2)当船只密度为多大时，单位时间内，通过的船只数量可以达到最大值，求出最大值．（取整）
【答案】(1)
(2)25艘/海里，最大值为625．
【分析】（1）根据题意分段求解函数解析式，即可得答案；
（2）由（1）可得的解析式，分段求解函数最值，比较即可得答案.
【详解】（1）由题意知时，海里/小时；
当时，设，
则，解得，
故；
（2）由（1）可得，
当时，，此时；
当时，，
当时，取到最大值为625；
由于，故当船只密度为25艘/海里时，通过的船只数量可以达到最大值，
最大值为625．
【变式训练5-1】．（2022秋·黑龙江伊春·高三校考开学考试）国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止.旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元.
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
【答案】(1)
(2)当旅行团人数为60人时，旅行社获得最大利润21000元.
【分析】（1）根据题意直接可得；
（2）根据分段函数分别求各段的最值，然后可得.
【详解】（1）记旅行团人数为x，飞机票价格为y，
则由题意可知，，
即
（2）记旅行社所获利润为M，
则
当时，（元），
当时，，
故当时，（元）
综上，当旅行团人数为60人时，旅行社获得最大利润21000元.
(四) 生产生活中的“最优化” 问题（函数图象与实际问题的交汇）
例6．（2022秋·江苏南通·高一海安高级中学校考期中）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．
（1）设一次订购件，服装的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；
（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当一次订购550件服装时，该厂获得的利润最大，最大利润为6050元
【详解】本题考查分段函数，考查函数的最值，解题的关键是正确写出分段函数的解析式，属于中档题．
（1）根据题意，函数为分段函数，当0＜x≤100时，p=60；当100＜x≤600时，p=60-（x-100）×0.02=62-0.02x．
（2）设利润为y元，则当0＜x≤100时，y=60x-40x=20x；当100＜x≤600时，y=（62-0.02x）x-40x=22x-0.02x2，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论．
解：(1)当0当100∴p＝
(2)设利润为y元，则
当0当100∴y＝
当0当100y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6 050，
∴当x＝550时，y最大，此时y＝6 050.显然6 050>2 000.
所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元．
【变式训练6-1】．（2022·北京西城·高二期末）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：百件）间的函数关系是；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是．
(1)把商品的利润表示为生产量x的函数；
(2)为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？
【答案】(1)；
(2)商品的利润最大时生产量为百件.
【分析】（1）利用求出利润函数即可；
（2）利用导数求在上的最大值，由一次函数单调性求上的最大值，比较大小，即可确定利润最大时的生产量.
(1)
由题意，利润.
(2)
由（1），当时，，
所以，令，则或（舍），
故，，即递增；，，即递减；
所以的极大值也是最大值为（万元）；
当时递减，此时最大值为（万元）.
综上，使商品的利润最大，产量为百件.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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