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第1章全等三角形（辅助线-截长补短）
【学习目标】
1．掌握截长补短的定义；
2．了解在哪些题型可以运用截长补短法；
3．掌握截长补短的运用．
【要点梳理】
知识点一、截长补短的定义
当题目中出现三条线段间的和差关系时(如a=b+c),常考虑用此法解决.
"截"：就是将最长的线段a截成两段,使其中一段等于较短的一条线段b,再利用全等三角形或者等腰三角形的知识证另一段等于线段c;
"补"：就是将较短的线段b延长,使延长的线段长度为c,相当于将线段b,c拼成一条线段,再证明此线段的长等于a.
知识点二、截长补短的构造
截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段 在线段上截取
补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等 延长，使得
【典型例题】
类型一、 截长补短法证明线段的数量关系
1．如图，在中，，的平分线交于点．求证：．
举一反三：
【变式1】如图所示，AB∥CD,BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线，点E在AD上，求证：BC=AB+CD.
【变式2】已知四边形ABCD是正方形，E、F分别在CB、CD的延长线上，．
求证：．
【变式3】如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.
类型二、 截长补短法证明角度数量关系
2．已知：在中，，，求证：．
举一反三：
【变式1】如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,∠B+∠E=180°，求证：AD平分∠CDE.
【变式2】已知四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC如图2，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足PQ=AP+CQ,求证：∠PBQ=90°-
类型三、 截长补短法证明综合题
3．如图，四边形ABCD中，,,,对角线BD平分交AC于点P.CE是的角平分线,交BD于点O.
（1）请求出的度数;
（2）试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系，并说明理由;
举一反三：
【变式1】在中，为的角平分线.
（1）如图1，，，点在边上，，请直接写出图中所有与相等的线段.
（2）如图2，，如果，求证：.
【变式2】在中，，如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证．
(1)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想.
(2)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明.
【变式3】课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．

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