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人教版高中数学必修第二册6.2.3向量的数乘运算 同步练习
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.3(2a-4b)等于 (　　)
A.5a+7b B.5a-7b
C.6a+12b D.6a-12b
2.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,且a=λb,则实数λ= (　　)
A. B.
C.± D.±
3.已知点C在线段AB上,且AC=CB,则 (　　)
A.= B.=-
C.= D.=-
4.已知向量a=e1-2e2,b=2e1+e2,c=-6e1+2e2,其中e1,e2不共线,则a+b与c的关系为 (　　)
A.不共线 B.共线
C.相等 D.无法确定
5.已知P,A,B,C是平面内四点,且++=,则下列各组向量一定共线的是 (　　)
A.与 B.与
C.与 D.与
6.在正方形ABCD中,点E,F分别是CD,BC的中点,那么= (　　)
A.+
B.--
C.-+
D.-
7.在△ABC中,点P是AB上一点,且=+,若=t,则t的值为 (　　)
A. B.
C. D.
8.已知向量a,b是两个非零向量,则在下列四个条件中,一定能使a,b共线的是 (　　)
①2a-3b=4e且a+2b=-2e;
②存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0;
③xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0);
④已知梯形ABCD,其中=a,=b.
A.①② B.①③
C.② D.③④
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.设a,b是两个不共线的非零向量,若向量ka+2b与8a+kb的方向相反,则k=　　　　.
10.已知x,y是实数,向量a,b不共线,若(x+y-1)a+(x-y)b=0,则x=　　　　,y=　　　　.
11.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若-3+2=0,则=　　　　.
12.在四边形ABCD中,若=3e,=-5e,且||=||,则四边形ABCD的形状为　　　　.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)化简:
(1)8(2a-b+c)-6(a-2b+c)-2(2a+c);
(2)(2a+8b)-(4a-2b).
14.(10分)已知两个非零向量a,b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;
(2)求实数k使ka+b与2a+kb共线.
15.(5分)已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC(不包括端点)上,则= (　　)
A.λ(+),λ∈(0,1)
B.λ(+),λ∈
C.λ(-),λ∈(0,1)
D.λ(-),λ∈
16.(15分)已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC的中点.
(1)若点O满足2++=0,试判断向量与的关系,并说明理由;
(2)已知E为AC的中点,O在线段DE上,且满足+2+3=0,△BOC的面积为2,求△ABC的面积.
参考答案与解析
1.D　[解析] 利用向量数乘的运算律,可得3(2a-4b)=6a-12b,故选D.
2.C　[解析] 因为|a|=3,|b|=5,a=λb,所以|a|=|λ||b|,即3=5|λ|,所以|λ|=,得λ=±.
3.D　[解析] =+=+==-.
4.B　[解析] ∵a+b=3e1-e2,∴c=-2(a+b),∴a+b与c共线.故选B.
5.B　[解析] 因为++=,所以+++=0,即-2=,所以与共线.
6.D　[解析] 因为点E是CD的中点,所以=,又点F是BC的中点,所以==-,所以=+=-,故选D.
7.A　[解析] 由题意可得=-=+-=(-)=,∵=t,∴t=.
8.A　[解析] ①由2a-3b=-2(a+2b)得b=-4a,所以b∥a,故①符合题意;②因为存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0,所以λa=μb,所以b∥a,故②符合题意;③若x=y=0,则xa+yb=0,但a,b不一定共线,故③不符合题意;④梯形ABCD中,没有说明哪组对边平行,故④不符合题意.故选A.
9.-4　[解析] 因为向量ka+2b与8a+kb的方向相反,所以ka+2b=λ(8a+kb)(λ<0),所以所以
10.　　[解析] 由已知得解得x=y=.
11.2　[解析] ∵-3+2=0,∴-=2(-),∴=2,∴=2.
12.等腰梯形　[解析] 由已知可得=-, 所以∥, 且||≠||,又||=||,所以四边形ABCD为等腰梯形.
13.解:(1)原式=16a-8b+8c-6a+12b-6c-4a-2c=(16-6-4)a+(-8+12)b+(8-6-2)c=6a+4b.
(2)原式=[(a+4b)-(4a-2b)]=(-3a+6b)=2b-a.
14.解:(1)证明:∵=++=a+b+2a+8b+3a-3b=6a+6b=6,
∴与共线,又与有公共点,
∴A,B,D三点共线.
(2)∵ka+b与2a+kb共线,∴ka+b=λ(2a+kb)(λ∈R),
∴(k-2λ)a+(1-λk)b=0,∴解得k=±.
15.A　[解析] 易知=+,因为点P在线段AC上,所以与同向,且0<||<||,故=λ(+),λ∈(0,1).
16.解:(1)=.理由如下:
∵D为BC的中点,∴+=2,
∴由2++=0,得2+2=0,∴=.
(2)由题意得+2+3=(+)+2(+)=2+4=0,
∴=2,∴DE=3DO,
又AB=2DE,∴AB=6DO,∴S△ABC=6S△BOC=12,即△ABC的面积为12.

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