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12.2.1 三角形全等的判定（SSS和SAS）（练习）
一、单选题
1．如图，和中，，，若，则等于（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
2．如图，这是一个平分角的仪器，，将点A放在一个角的顶点，使AB、AD分别与这个角的两边重合，可证，从而得到AC就是这个角的平分线．其中证明的数学依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
3．如图，已知，则的理由是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点F，C在BE上，AC＝DF，BF＝EC，AB＝DE，AC与DF相交于点G，则与2∠DFE相等的是（　　）
A．∠A+∠D B．3∠B C．180°﹣∠FGC D．∠ACE+∠B
5．作∠AOB的角平分线的作图过程如下：
用下面的三角形全等判定方法解释其作图原理，最为恰当的是（ ）
A．边角边 B．角边角 C．角角边 D．边边边
6．如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知平分，那么就可以证明，理由是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，D，E是边上的两点，，则的度数为（ ）
A．90° B．80° C．70° D．60°
9．在△ABC中，AB＝7，AC＝5，AD是边BC的中线，那么AD的取值范围是（　　）
A．0＜AD＜12 B．2＜AD＜12 C．0＜AD＜6 D．1＜AD＜6
10．在和中，，，，，则这两个三角形的关系是（ ）
A．不一定全等 B．不全等 C．根据“ASA”全等 D．根据“SAS”全等
二、填空题
11．如图，，判定的依据是 ．
12．如图，小明用直尺和圆规作一个角等于已知角，则说明≌的依据是 ．
13．如图，已知AB=AC，AD=AE，要证明△ABD≌△ACE，还需要添加条件为 （只写一种）．
14．如图，在正方形方格中，各正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．图中是格点三角形，请你找出方格中所有与全等，且以A为顶点的格点三角形．这样的三角形共有 个（除外）．
15．如图，已知，添加一个条件 ，使
16．如图，在中，D是上的一点，，平分，交于点E，连接，若，，则 ．
17．如图，已知点，在线段两侧，，，线段，相交于点．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
18．如图，在△ABC中，BD=CD，BE交AD于F，AE=EF，若BE=7CE，，则BF= ．
19．如图，BD是△ABC的中线，E为AB边上一点，且，连接CE交BD于F，连接AF并延长交BC于点G，则 ．
三、解答题
20． 如图，AD＝BC，AC＝BD，求证：∠C＝∠D．
21．已知如图：．求证：．
22．如图，A，B，C，D依次在同一条直线上，，BF与EC相交于点M．求证：．
23．如图，是格点三角形（顶点在网格线的交点上），请在下列每个方格纸上按要求画一个与全等的格点三角形．
(1)在图①中所画三角形与有一条公共边；
(2)在图②中所画三角形与有一个公共角；
(3)在图③中所画三角形与△有且只有一个公共顶点．
24．已知：如图，，，．求证：．
25．如图所示，，，，求证：．
26．如图，已知：AB＝AC，BD＝CD，E为AD上一点．
(1)求证：△ABD≌△ACD；
(2)若∠BED＝50°，求∠CED的度数．
27．已知：如图，A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，求证：
(1)BC＝EF；
(2)BC∥EF．
28．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，CE交BA于点D，CE交BF于点M．
求证：（1）EC＝BF；
（2）EC⊥BF．
29．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．
(1)当∠A＝80°时，求∠EDC的度数；
(2)求证：CF＝FG＋CE．
参考答案：
1．B
【分析】根据“SSS”证明，根据全等三角形的性质得出即可．
【详解】解：∵在和中，
∴（SSS），
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
2．A
【分析】利用SSS证明△ABC≌△ADC，可得答案．
【详解】解：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
3．C
【分析】根据，可得，再用SSS即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，
∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
4．C
【详解】由题意根据等式的性质得出BC＝EF，进而利用SSS证明△ABC与△DEF全等，利用全等三角形的性质得出∠ACB＝∠DFE，最后利用三角形内角和进行分析解答．
【分析】解：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ACB＝∠DFE，
∴2∠DFE＝180°﹣∠FGC，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，其中全等三角形的判定方法有：SSS；SAS；ASA；AAS；以及HL（直角三角形的判定方法）．
5．D
【分析】连接CE，CD，可根据SSS证明△OCE≌△OCD，由此得到答案．
【详解】解：连接CE，CD，
由题意知，OE=OD，CE=CD，
∵OC=OC，
∴可根据SSS证明△OCE≌△OCD，
故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理，熟记判定定理并应用是解题的关键．
6．B
【分析】根据，，正好是两边一夹角，即可得出答案．
【详解】解：∵在△ABO和△DCO中，，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握两边对应相等，且其夹角也对应相等的两个三角形全等，是解题的关键．
7．C
【分析】根据已知条件求得、、，由此即可判定求解．
【详解】解：∵平分，
∴，
在和中，
∴
故选C
【点睛】此题考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
8．B
【分析】先证明BD=CE，然后证明△ADB≌△AEC，∠ADE=∠AED=70°，得到∠BAD=∠CAE，根据三角形内角和定理求出∠DAE=40°，从而求出∠BAD的度数即可得到答案．
【详解】解：∵BE=CD，
∴BE-DE=CD-DE，即BD=CE，
∵∠1=∠2=110°，AD=AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS），∠ADE=∠AED=70°，
∴∠BAD=∠CAE，∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=40°，
∵∠BAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE=20°，
∴∠BAC=80°，
故选B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，邻补角互补，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
9．D
【分析】延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解．
【详解】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．
∵AD是边BC的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB＝7．
在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，
即：2＜2AD＜12，
1＜AD＜6．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：出现中点的辅助线一般应延长中线所在的直线构造全等三角形，这是一种非常重要的方法，要注意掌握．
10．D
【分析】由角度数量关系与三角形内角和定理可得，，由线段的数量关系可得，，进而可证明三角形全等．
【详解】解：∵，
∴，
∵
①+②得
②-①得
∴在和中，
∵
∴
故选D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定．解题的关键在于找出三角形全等的条件．
11．
【分析】结合三角形全等的判定定理及题目所给条件判断．
【详解】，
BD为公共边，
故
故可以用判定
故答案为：SSS．
【点睛】本题考查三角形全等判定定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握判定定理的应用情形．
12．SSS
【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．
【详解】解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
④过点D′作射线O′B′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
在△OCD与△O′C′D′，
，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
显然运用的判定方法是SSS．
故答案为：SSS．
【点睛】此题是一道综合题，不但考查了学生对作图方法的掌握，也是对全等三角形的判定的方法的考查．
13．（答案不唯一）
【分析】根据已知条件选择合适的全等三角形的判定方法，添加合适的条件即可．
【详解】解：添加条件为，理由是：
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SSS）．
故答案为：
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
14．5
【分析】根据全等三角形的判定及方格图的特征．认真观察图形可得答案．
【详解】解：如图，
根据平移，对称，可得与△ABC全等的三角形有5个，包括△ADE，△ANF，△ANG，△ACG，△AEF．
故答案为：5．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，平移，对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15．
【分析】根据已有的一边与一角对应相等，利用SAS判定两三角形确定，即可添加AC=BD即可
【详解】解：∵△ABC与△BAD，具有AB=BA，和，一边和一角对应相等，
根据SAS判定两三角形确定，需添加夹角的另一边，
∴添加AC=BD，
在△ABC和△BAD中，
，
∴
故答案是：AC=BD．
【点睛】本题考查三角形全等添加条件，掌握三角形全等判定定理是解题关键
16．55°
【分析】根据SAS证明△ACE≌△DCE，根据全等三角形的性质可得∠CDE＝∠A＝100°，再根据三角形外角的性质可求∠BED．
【详解】解：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠DCE，
在△ACE与△DCE中，
，
∴△ACE≌△DCE（SAS），
∴∠CDE＝∠A＝100°，
∵∠B＝45°，
∴∠BED＝∠CDE-∠B＝100°-45°＝55°，
故答案为：55°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，关键是得到∠CDE＝∠A＝100°．
17．①②③④
【分析】由题意易得，然后根据全等三角形的性质可进行求解．
【详解】解：在和中，
，
∴（SSS），
∴，，
∴平分；故①③正确；
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
∴；故②④正确；
故答案为①②③④．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
18．##
【分析】延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，可证明，则BG＝AC，，根据AE＝EF，得到，可证出，即得出AC＝BF，从而得出BF的长．
【详解】解：如图，延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，
在和中，
∴
∴BG＝AC，，
又∵AE＝EF，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴BG＝BF，
∴AC＝BF，
又∵BE＝7CE，AE＝，
∴BF＋EF＝，
即BF＋＝，
解得BF＝．
故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明线段相等，一般转化为证明三角形全等，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
19．
【分析】作，交于，作，交于．通过平行线的性质证明，，，即可求出．
【详解】解：作，交于，作，交于，
是的中线，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的面积，三角形全等，平行线的性质，等高模型等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
20．证明见解析
【分析】根据边边边的判定方法，判定三角形全等，进而可证明对应角相等．
【详解】证明：在△ABD和△BAC中，
∵，
∴△ABD≌△BAC(SSS)，
∴∠C＝∠D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，能够根据条件选择合适的判定方法时解决本题的关键．
21．见解析
【分析】根据SSS直接证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：，
，
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握SSS证明全等三角形是解题的关键．
22．见解析
【分析】由AB=CD，得AC=BD，再利用SAS证明△AEC≌△DFB，即可得结论．
【详解】证明：，
，
．
在和中，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据题意以及网格的特点根据轴对称画出图形即可；
（2）根据题意以及网格的特点根据轴对称画出图形即可；
（3）根据题意以及网格的特点画出图形即可．
【详解】（1）如图①所示，△ABD即为所求；
（2）如图②所示，△DEC即为所求；
（3）如图③所示，△AED即为所求，
【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
24．见解析
【分析】先根据，得出，再根据，，利用“SAS”证明，即可证明结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴（SAS），
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握两边对应相等，且这两条边所夹的角也对应相等的两个三角形全等，是解题的关键．
25．见解析
【分析】根据三角形全等的判定，由已知先证∠ACB＝∠DCE，再根据SAS可证△ABC≌△DEC．
【详解】证明：∵，
∴．
∴，
在与中
，
∴ (SAS)．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
26．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据SSS即可证明△ABD≌△ACD；
（2）只要证明△EDB≌△EDC（SAS），即可推出∠BED＝∠CED，进而得到答案．
【详解】（1）证明：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACD，
∴∠ADB＝∠ADC，
在△EDB和△EDC中，
，
∴△EDB≌△EDC（SAS），
∴∠BED＝∠CED，
∵∠BED＝50°，
∴∠CED＝∠BED＝50°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据图形题意，熟练掌握两个三角形全等判定与性质．
27．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
（2）根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可．
【详解】（1）证明：（1），
，
，
，
在与 中
，
，
．
（2）（2），
，
．
【点睛】考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，证明三角形全等是解决问题的关键．
28．（1）见解析；（2）见解析
【详解】（1）先利用SAS证明△ABF≌△AEC即可得到EC＝BF；
（2）根据（1）中的全等推得∠AEC＝∠ABF，根据∠BAE＝90°，∠AEC+∠ADE＝90°，再根据对顶角相等，等量代换后，推得∠BMD＝90°．
【解答】证明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE＝∠CAF＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAF，
在△ABF和△AEC中，
，
∴△ABF≌△AEC（SAS），
∴EC＝BF；
（2）如图，由（1）得：△ABF≌△AEC，
∴∠AEC＝∠ABF，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE＝90°，
∴∠AEC+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠BDM（对顶角相等），
∴∠ABF+∠BDM＝90°，
在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝90°，
∴EC⊥BF．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，对顶角的定义，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
29．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据三角形内角和与角平分线定义可得，再根据外角性质即可求出；
（2）在线段上取一点，使，连接，证明，得到，利用全等三角形的性质与外角性质得出，，证明，从而得到，即可证明结论．
【详解】（1）解：在△ABC中，∵∠A＝80°，
∴，
∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，
，
，
∠EDC
；
（2）解：在线段上取一点，使，连接，如图所示：
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
为的一个外角，
，
为的一个外角，
，
平分，
，
，
∠A＝2∠BDF，
在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查三角形综合，涉及到三角形内角和定理的运用、角平分线定义、外角性质求角度、三角形全等的判定与性质等知识点，正确的做辅助线是解决问题的关键．

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