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第八章 静电场
第2讲　电场能的性质
[自主落实]
一、静电力做功　电势能　电势　等势面
1．静电力做功
(1)特点：静电力做功与_____无关，只与起始和终止位置有关。
(2)计算方法
①W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿_________的距离。
②WAB＝qUAB，适用于_________。
路径
电场方向
任何电场
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中也具有势能，我们称这种形式的能为电势能，用符号Ep表示。
(2)静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于_______的减少量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp。
(3)电势能的相对性：电势能是_____的，通常把电荷离场源电荷_______处的电势能规定为零，或把电荷在大地_____上的电势能规定为零。
电势能
相对
无限远
表面
　　　　　　
电势能
电荷量
标量
零电势
相对性
4．等势面
(1)定义：电场中的电势____的各点组成的面。
(2)特点
①等势面一定与______垂直。
　　　　　　
相等
电场线
②在同一______上移动电荷时静电力不做功。
③电场线方向总是从______的等势面指向______的等势面。
④等差等势面越密的地方电场强度____，反之____。
二、电势差　电势差与电场强度的关系
1．电势差
(1)定义
在电场中，两点之间电势的____叫作电势差。
　　　　　　
等势面
电势高
电势低
越大
越小
差值
　　　　　　
qUAB
任意
无关
无关
　　　　　　
电场线
电场
电势
匀强电场
[自我诊断]
一、判断题
(1)电场中电场强度为零的地方电势一定为零。( )
(2)沿电场线方向电场强度越来越小，电势逐渐降低。( )
(3)A、B两点间的电势差等于将正电荷从A点移到B点时静电力所做的功。( )
(4)A、B两点的电势差是恒定的，所以UAB＝UBA。( )
(5)等差等势线越密的地方，电场线越密，电场强度越大。( )
(6)电场中电势降低的方向，就是电场强度的方向。( )
×
×
×
×
√
×
二、选择题
1．关于电场中两点电势的高低的判断，下列说法正确的是(　　)
A．若＋q在A点的电势能比在B点的大，则A点电势高于B点电势
B．若－q在C点的电势能比在D点的大，则C点电势高于D点电势
C．若－q在E点的电势能为负值，则E点电势为负值
D．电势降低的方向即为电场线方向
解析：由Ep＝qφ知，正电荷在电势越高的地方电势能越大，负电荷在电势越低的地方电势能越大，故A正确，B错误；若Ep与q均为负值，则φ为正值，故C错误；电势降低最快的方向为电场线方向，故D错误。
　　　　　　
A
2．(2016·全国Ⅲ卷)关于静电场的等势面，下列说法正确的是(　　)
A．两个电势不同的等势面可能相交
B．电场线与等势面处处相互垂直
C．同一等势面上各点电场强度一定相等
D．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，静电力做正功
B
解析：若两个不同的等势面相交，则在交点处存在两个不同电势数值，与事实不符，选项A错误；电场线一定与等势面垂直，选项B正确；同一等势面上的电势相同，但电场强度不一定相同，选项C错误；将一负试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，静电力做负功，选项D错误。
　　　　　　
3．电场中A、B两点间的电势差UAB＝75 V，B、C两点间的电势差UBC＝－200 V，则A、B、C三点电势的高低关系为(　　)
A．φA>φB>φC　　　　　　 B．φB>φC>φA
C．φC>φA>φB D．φC>φB>φA
解析：由题意，UAB＝φA－φB＝75 V，则得φA＞φB；UBC＝φB－φC＝－200 V，则得φB＜φC；又UAC＝UAB＋UBC＝(75－200)V＝－125 V，则得φA＜φC。故有φC＞φA＞φB，A、B、D错误，C正确。
C
电势高低及电势能大小的判断
1．电势高低的判断“四法”
　　　　　　
续表
2.电势能的大小判断“四法”
【例1】　(2020·全国Ⅱ卷改编)如图，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷。a、b为圆环水平直径上的两个点，c、d为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等，下列判断错误的是(　　)
A ．a、b两点的场强相等
B．a、b两点的电势相等
C ．c、d两点的场强相等
D．c、d两点的电势相等
　　　　　　
D
[解析]　在绝缘细圆环的上半圆P处，任取一小段，可看成点电荷，其在 a点产生的场强为E1，在关于细圆环水平直径对称的下半圆Q处再取一小段，其在a点产生的场强为E2，由对称性可知，E1、E2的合场强竖直向下，如图所示，即上半圆和下半圆在a点产生的合场强一定竖直向下，同理可知，在b点场强方向也竖直向下，大小与a点处
相等，A正确；同理可分析a、b所在的直径上各点
场强均竖直向下，故a、b两点在同一条等势线上，电
势相等，B正确；由微元法和对称性可知，c、d两点场强相等，方向竖直向下，C正确；电场由c到d，c点电势高于d点电势，D错误。
1．(电势的判断)(2021·江苏卷)一球面均匀带有正电荷，球内的电场强度处处为零，如图所示，O为球心，A、B为直径上的两点，OA＝OB，现垂直于AB将球面均分为左右两部分， C为截面上的一点，移去左半球面，右半球面所带电荷仍均匀分布，则(　　)
A．O、C两点电势相等
B．A点的电场强度大于B点
C．沿直线从A到B电势先升高后降低
D．沿直线从A到B电场强度逐渐增大
　　　　　　
A
解析：将题中半球壳补成一个完整的球壳，且带电均匀，设左、右半球面在A点产生的电场强度大小分别为E1和E2，由题知，均匀带电球壳内部电场强度处处为零，则知E1＝E2，根据对称性，左、右半球面在B点产生的电场强度大小分别为E2和E1，在图示电场中，A的电场强度大小为E2，方向向左，B的电场强度大小为E1，方向向左，所以A点的电场强度与B点的电场强度相同，沿直线从A到B电场强度不可能逐渐增大，故B、D错误；根据电场的叠加原理可知，在AB连线上电场线方向向左，沿着电场线方向电势逐渐降低，则沿直线从A到B电势升高，故C错误。故选A。
2．(电势能大小的判断)(2021·全国乙卷)如图(a)，在一块很大的接地金属平板的上方固定一负电荷。由于静电感应，在金属平板上表面产生感应电荷，金属板上方电场的等势面如图(b)中虚线所示，相邻等势面间的电势差都相等。若将一正试探电荷先后放于M和N处，该试探电荷受到的电场力大小分别为FM和FN，相应的电势能分别为EpM和EpN，则 (　　)
　　　　　　
A．FM＜FN，EpM＞EpN
B．FM＞FN，EpM＞EpN
C．FM＜FN，EpM＜EpN
D．FM＞FN，EpM＜EpN
　　　　　　
解析：根据电场线和等势线互相垂直的特点可以
大致确定电场线，如图。根据电场线的特点，电场线
越密集处电场越强，所以EM＜EN，电荷在电场中所受
的电场力F＝Eq，可知对于同一个正试探电荷有FM＜
FN，选项B、D错误；因为沿着电场线方向电势逐渐降低，可知φM＞φN，电荷在电场中的电势能Ep＝qφ，可知EpM＞EpN，选项A正确，C错误。
答案：A
3．(2021·全国甲卷改编)某电场的等势面如图所示，图中a、b、c、d、e为电场中的5个点，则(　　)
A．一正电荷从b点运动到e点，电场力做正功
B．一电子从a点运动到d点，电场力做功为4 eV
C．b点电场强度垂直于该点所在等势面，方向向右
D．a、b、c、d四个点中，c点的电场强度大小最大
　　　　　　
B
解析：由于b、e两点在同一等势面上，所以正电荷从b点运动到e点，电场力不做功，故选项A错误；电子从a点运动到d点，电场力做功Wad＝－e(φa－φd)＝－e(3 V－7 V)＝4 eV，故选项B正确；电场线与等势面垂直，并且沿电场线方向电势降低，所以b点电场强度垂直于该点所在等势面，方向向左，故选项C错误；等差等势面密的地方电场强度较大，a、b、c、d四个点中，b点处等差等势面最密，其电场强度大小最大，故选项D错误。
4．(2021·河北卷改编)如图，四个电荷量均为q(q>0)的点电荷分别放置于菱形的四个顶点，其坐标分别为(4l，0)、(－4l，0)、(0，y0)和(0，－y0)，其中x轴上的两个点电荷位置固定，y轴上的两个点电荷可沿y轴对称移动(y0≠0)。下列说法错误的是(　　)
　　　　　　
A．除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零
B．当y0取某值时，可使得菱形内部只存在两个电场强度为零的点
C．当y0＝8l时，将一带负电的试探电荷由点(4l，5l)移至点(0，－3l)，静电力做正功
D．当y0＝4l时，将一带负电的试探电荷放置在点(l，l)处，其所受到的静电力方向与x轴正方向成45°倾斜向上
解析：将四个电荷量均为q的点电荷记为A、B、C、D，如图甲所示：
　　　　　　
在第一象限内，B、D两点电荷在菱形BD边之外区域的合场强方向指向菱形外部，A、C两点电荷在菱形BD边之外区域的合场强方向也指向菱形外部，所以A、B、C、D四个点电荷在菱形BD边之外区域的合场强方向指向菱形外部。同理可知菱形各边之外区域的合场强方向都指向菱形外部，故A正确。
由电荷的对称性可知，O点合场强为零，若y0取恰当的值，y轴上还可以出现两处合场强为零的点，且这两点关于O点对称，故B错误。
当y0＝8l时点(0，－3l)与点(0，3l)等势，负试探电荷从点(4l，5l)移到点(0，－3l)与从点(4l，5l)移到点(0，3l)电场力做功相等。如图乙、丙所示，负试探电荷从点(4l，5l)移到点(0，3l)时在A、B产生的电场中，负试探电荷逆着电场线运动，电场力做正功，在C、D产生的电场中，负试探电荷也逆着电场线运动，电场力做正功，所以在A、B、C、D产生的电场中，电场力做正功，故C正确。
　　　　　　
当y0＝4l时，B、D在(l，l)处产生的场强方向与x轴夹角为45°，斜向左下，A、C在点(l，l)处产生的场强方向与x轴夹角为45°，斜向右上，由于B、D离点(l，l)较近，所以A、B、C、D在点(l，l)处的合场强方向与x轴夹角为45°，斜向左下，则负试探电荷在点(l，l)处所受电场力与x轴夹角为45°，斜向右上，故D正确。
　　　　　　
答案：B
电势差与电场强度的关系
1．在匀强电场中由公式U＝Ed得出的“一式二结论”
　　　　　　
(2)“等分法”的应用思路
【例2】　如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B连线的中点。已知A点的电势φA＝30 V，B点的电势φB＝－20 V，则下列说法正确的是(　　)
A．C点的电势φC＝5 V
B．C点的电势φC>5 V
C．C点的电势φC<5 V
D．负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能
　　　　　　
C
[解析]　从电场线的分布情况可以看出φA－φC>φC－φB，所以有φC< 5 V，A、B错误，C正确；因为负电荷在电势高的地方电势能较小，D错误。
【例3】　在某匀强电场中有M、N、P三点，在以它们为顶点的三角形中，∠M＝30°、∠P＝90°，直角边NP的长度为4 cm。已知电场方向与三角形所在平面平行，M、N和P点的电势分别为3 V、15 V和 12 V，则电场强度的大小为(　　)
　　　　　　
A
　　　　　　
A．N是直流高压电源的负极
B．电场中b点的电势高于c点的电势
C．同一个点电荷在电场中c点受到的静电力大于在a点受到的静电力
D．电场中c、b间的电势差Ucb小于b、a间的电势差Uba
解析：因到达集尘极的尘埃带负电荷，那么电场强度的方向向左，因此电场线方向向左，则知N是直流高压电源的正极，故A错误；根据沿着电场线方向电势是降低的，因此电场中b点的电势低于c点的电势，故
B错误；电场方向由集尘极指向放电极，电场线的分布由集尘极会聚于放电极，结合电场线的疏密来体现电场的强弱，那么电场中c点的电场强度小于a点的电场强度，所以同一个点电荷在电场中c点受到的静电力小于在a点受到的静电力，故C错误；假设电场是匀强电场，由于|ab|＝|bc|，那么b、a间的电势差Uba等于c、b间的电势差Ucb，但由于电场是非匀强电场，且电势φc>φb>φa，且沿着ca方向，电场强度越来越大，故电场中c、b间的电势差Ucb小于b、a间的电势差Uba，故D正确。
　　　　　　
答案：D
A．b、g两点间的电势差为零
B．匀强电场的方向从d指向c
C．a、b两点间的电势差Uab＝3 V
D．匀强电场的电场强度E＝300 V/m
A
　　　　　　
7．(2021·湖南卷改编)如图，圆心为O的圆处于匀强电场中，电场方向与圆平面平行，ab和cd为该圆直径。将电荷量为q(q>0)的粒子从a点移动到b点，电场力做功为2W(W>0)；若将该粒子从c点移动
到d点，电场力做功为W。下列说法正确的是(　　)
A．该匀强电场的场强方向与cd平行
B．将该粒子从d点移动到b点，电场力做功为0.5W
C．a点电势低于c点电势
D．若只受电场力，从d点射入圆形电场区域的所有带电粒子都做曲线运动
B
解析：如图所示，分别过c点和d点作ab的垂线，
由几何关系可知，圆心O、垂足e和f将ab四等分，又
因为粒子从a点移动到b点做的功为从c点移动到d点
做功的两倍，所以粒子从a点到b点沿电场方向移动
的距离为从c点到d点沿电场方向移动距离的两倍，则
匀强电场的场强方向与ab平行，A错误；根据匀强电场的特点可知，将粒子从d点移动到b点电场力做的功是将该粒子从a点移动到b点电场力做的功的，即将粒子从d点移动到b点电场力做的功为0.5W，B正确；根据
　　　　　　
正粒子在电场中移动过程做功的情况可知，电势φa＞φc＞φd＞φb，C错误；若粒子只受电场力，当粒子从d点射入圆形电场区域的速度方向与ab平行时，带电粒子做匀变速直线运动，D错误。
　　　　　　
电场线、等势面及运动轨迹问题
1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。
2．判断静电力(或电场强度)的方向：仅受静电力作用时，带电粒子所受静电力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断电场强度的方向。
3．判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加。
【例4】　静电场中，一带电粒子仅在电场力的作用下自M点由静止开始运动，N为粒子运动轨迹上的另外一点，则(　　)
A．运动过程中，粒子的速度大小可能先增大后减小
B．在M、N两点间，粒子的轨迹一定与某条电场线重合
C．粒子在M点的电势能低于其在N点的电势能
D．粒子在N点所受电场力的方向一定与粒子轨迹在该点的切线平行
　　　　　　
A
[解析]　如图所示，在两正电荷形成的电场中，一带正电的粒子在两电荷的连线上运动时，粒子有可能经过先加速再减速的过程，A正确。粒子运动轨迹与电场线重合需具备初速度为零、电场线为直线、只受电场力三个条件，B错误。带电粒子仅受电场力在电场中运动时，其动能与电势能的总量不变，EkM＝0，而EkN≥0，故EpM≥EpN，C错误。粒子运动轨迹的切线方向为速度方向，由于粒子运动轨迹不一定是直线，故粒子在N点所受的电场力方向与粒子轨迹切线方向不一定平行，D错误。
【例5】　(2022·山东济南质量评估)真空中某静电场电场线的分布如图所示，图中P、Q两点关于点电荷q1水平对称。P、Q两点电场强度的大小分别为EP、EQ，电势分别为φP、φQ。一个带电粒子沿虚线轨迹从M移动至N。以下选项正确的是(　　)
　　　　　　
A．φP＜φQ
B．EQ＞EP
C．此带电粒子带负电，它的电势能先变大后变小
D．此带电粒子带正电，它的电势能先变大后变小
C
[解析]　根据电场线的分布情况，可知φP＞φQ，A错误；根据电场线的疏密比较电场强度的大小，可知P点电场线密，电场强度大，EP＞EQ，B错误；根据电场线的特点，可知此电场是由不等量的异种电荷产生的，其中q1带负电，q2带正电，带电粒子从M点运动到N点，轨迹向左弯曲，受到了库仑斥力，所以此带电粒子带负电，电势先降低后升高，所以带电粒子的电势能先变大后变小，C正确，D错误。
　　　　　　
8．(电场线、等势面与运动轨迹)如图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线1、2、3分别为三条等势线，三条等势线与其中一条电场线的交点依次为M、N、Q点，已知MN＝NQ，电荷量相等的a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出，仅在静电力作用下，两粒子的运动轨迹如图中虚线a′、b′所示，则(　　)
A．a粒子一定带正电，b粒子一定带负电
B．M、N两点电势差|UMN|等于N、Q两点电势差|UNQ|
C．a粒子的加速度逐渐增大，b粒子的加速度逐渐减小
D．a粒子从出发到等势线3过程的动能变化量比b粒子从出发到等势线1过程的动能变化量小
解析：由题图可知，a粒子的轨迹方向向右弯曲，a粒子所受静电力方向向右，b粒子的轨迹向左弯曲，b粒子所受静电力方向向左，由于电场线方向未知，无法判断粒子的电性，故A错误；由题可知，a粒子所受静电力逐渐减小，加速度减小，b粒子所受静电力增大，加速度增大，故C错误；已知MN＝NQ，由于MN段电场强度大于NQ段电场强度，所以M、N两点电势差|UMN|大于N、Q两点电势差|UNQ|，故B错误；根据静电力做功公式W＝Uq，|UMN|＞|UNQ|，a粒子从等势线2到3静电力做功小于b粒子从等势线2到1静电力做功，所以a粒子到达等势线3的动能变化量比b粒子到达等势线1的动能变化量小，故D正确。
　　　　　　
答案：D
分层提升·培优素养
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