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第十章 磁 场
第2讲　磁场对电荷的作用
[自主落实]
一、洛伦兹力的大小和方向
1．定义：运动电荷在磁场中受到的力称为洛伦兹力。
2．大小
(1)v∥B时，F＝__。
(2)v⊥B时，F＝____。
(3)v与B的夹角为θ时，F＝qvB sin θ。
0
qvB
3．方向
(1)判定方法：左手定则
掌心——磁感线从掌心垂直进入。
四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的______。
拇指——指向________的方向。
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v。即F垂直于______决定的平面。(注意B和v可以有任意夹角)。
4．洛伦兹力的特点：洛伦兹力不改变带电粒子速度的_____，只改变带电粒子速度的_____，洛伦兹力对带电粒子_______。
反方向
洛伦兹力
B、v
大小
方向
不做功
　　　　　　
匀速直线
匀速圆周
　　　　　　
×
×
×
(4)由于安培力是洛伦兹力的宏观表现，所以洛伦兹力可能做功。
( )
(5)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关。( )
(6)荷兰物理学家洛伦兹提出磁场对运动电荷有作用力的观点。( )
(7)英国物理学家汤姆孙发现电子，并指出：阴极射线是高速运动的电子流。( )
　　　　　　
×
√
√
√
二、选择题
1．下列各图中，运动电荷的速度方向、磁感应强度方向和电荷的受力方向之间的关系正确的是(　　)
　　　　　　
B
解析：根据左手定则可知，选项A中F方向应为竖直向上，选项A错误；根据左手定则可知，选项B正确；选项C与选项D中电荷运动方向与磁感应强度方向平行，运动电荷不受洛伦兹力，选项C、D错误。
　　　　　　
2．在同一匀强磁场中，两带电量相等的粒子，仅受磁场力作用，做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　)
A．若速率相等，则半径必相等
B．若质量相等，则周期必相等
C．若动量大小相等，则周期必相等
D．若动能相等，则半径必相等
B
　　　　　　
洛伦兹力的理解与应用
1．洛伦兹力的特点
(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷。
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
(4)洛伦兹力一定不做功。
2．洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者性质相同，都是磁场力。
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。
3．洛伦兹力与电场力的比较
　　　　　　
【例1】　下列说法正确的是(　　)
A．运动电荷在磁感应强度不为零的地方，一定受到洛伦兹力的作用
B．运动电荷在某处不受洛伦兹力作用，则该处的磁感应强度一定为零
C．洛伦兹力既不能改变带电粒子的动能，也不能改变带电粒子的速度
D．洛伦兹力对带电粒子不做功
D
[解析]　运动电荷速度方向与磁场方向平行时，不受洛伦兹力；洛伦兹力只改变带电粒子的速度方向，不改变带电粒子的速度大小；洛伦兹力对带电粒子不做功，故D正确。
　　　　　　
【例2】　图中a、b、c、d为四根与纸面垂直的长直导线，其横截面位于正方形的四个顶点上，导线中通有大小相同的电流，方向如图所示。一带正电的粒子从正方形中心O点沿垂直于纸面的方向向外运动，它所受洛伦兹力的方向是(　　)
A．向上　　　　　　　 B．向下
C．向左 D．向右
B
[解析]　根据题意，由安培定则可知，b、d两通电直导线在O点产生的磁场相抵消，a、c两通电直导线在O点产生的磁场方向均向左，所以四条通电直导线在O点产生的合磁场方向向左。由左手定则可判断带电粒子所受洛伦兹力的方向向下，B正确。
　　　　　　
1．(洛伦兹力的特点)如图所示，ABC为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB为倾斜直轨道，BC为与AB相切的圆形轨道，并且圆形轨道处在匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。质量相同的甲、乙、丙三个小球中，甲球带正电、乙球带负电、丙球不带电。现将三个小球在轨道AB上分别从不同高度处由静止释放，都恰好通过圆形轨道的最高点，则(　　)
A．经过最高点时，三个小球的速度相等
B．经过最高点时，甲球的速度最小
C．乙球的释放位置比甲球的高
D．运动过程中三个小球的机械能均保持不变
D
　　　　　　
2．(洛伦兹力与电场力的比较)带电小球以一定的初速度v0竖直向上抛出，能够达到的最大高度为h1；若加上水平方向的匀强磁场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h2；若加上水平方向的匀强电场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h3；若加上竖直向上的匀强电场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h4，如图所示。不计空气阻力，则(　　)
　　　　　　
A．一定有h1＞h3 B．一定有h1C．h2与h4无法比较 D．h1与h2无法比较
答案：C
　　　　　　
　带电粒子在有界匀强磁场中的运动　　
基本思路 图例 说明
圆心的确定 ①与速度方向垂直的直线过圆心
②弦的垂直平分线过圆心
③轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心
P、M点速度垂线交点
P点速度垂线与弦的垂直平分线交点
某点的速度垂线与切点法线的交点
续表
【例3】　(2019·北京卷)如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一带电粒子垂直磁场边界从a点射入，从b点射出。下列说法正确的是(　　)
A．粒子带正电
B．粒子在b点速率大于在a点速率
C．若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点右侧射出
D．若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短
C
　　　　　　
C
　　　　　　
A
　　　　　　
4．(平行边界磁场)(2020·全国Ⅱ卷)CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，CT扫描机可用于对多种病情的探测。图(a)是某种CT机主要部分的剖面图，其中X射线产生部分的示意图如图(b)所示。图(b)中M、N之间有一电子束的加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场；经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到靶上，产生X射线(如图中带箭头的虚线所示)；将电子束打到靶上的点记为P点，则 (　　)
　　　　　　
A．M处的电势高于N处的电势
B．增大M、N之间的加速电压可使P点左移
C．偏转磁场的方向垂直于纸面向外
D．增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P点左移
　　　　　　
答案：D
带电粒子在平行边界磁场中运动时的半径R与平行边界距离d之间的关系如图所示。
　　　　　　
B
带电粒子在圆形有界磁场区域运动的几个特点
(1)若粒子沿着边界圆的某一半径方向进入磁场，则粒子离开磁场的速度的反向延长线一定过磁场区域的圆心(即沿着另一半径方向射出)，如图1所示。
(2)若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径夹角也为θ，如图2所示。
6．(三角形边界磁场)如图所示，三角形ABC内有垂直于三角形平面向外的匀强磁场，AB边长为L，∠A＝30°，∠B＝90°，D是AB边的中点。现在DB段上向磁场内射入速度大小相同、方向平行于BC的同种粒子(不考虑粒子间的相互作用和粒子重力)，若从D点射入的
粒子恰好能垂直于AC边射出磁场，则AC边上有粒子射出
的区域长度为(　　)
　　　　　　
C
　　　　　　
7．(2022·山东省实验中学模拟)如图所示，在一等
腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，
磁场的磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q
的带正电粒子(重力不计)以速度v从AC边的中点O垂直
AC边射入磁场区域。若三角形的两直角边长均为2L，
要使粒子从CD边射出，则v的取值范围为(　　)
C
　　　　　　
　　　　　　
答案：A
9．在边长为L的正方形abcd的部分区域内存在着方向垂直纸面的匀强磁场，a点处有离子源，可以向正方形abcd所在区域的任意方向发射速率均为v的相同的正离子，且所有离子均垂直bc边射出，下列说法正确的是(　　)
解析：由题可知，离子垂直bc边射出，沿ad方向射入的粒子的轨迹即为磁场区域面积最小时的边界，其半径与离子做圆周运动的半径相同，离子在磁场中做圆周运动的半径R＝L，磁场区域的最小面积
　　　　　　
　　　　　　
答案： C
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解。多解形成的原因一般包含四个方面：
带电粒子在匀强磁场中的多解问题
类型 分析 图例
带电粒子电性不确定 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。
如图，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a，若带负电，其轨迹为b
类型 分析 图例
磁场方向不确定 在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向时，必须要考虑由于磁感应强度方向的不确定而形成的多解。
如图，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b
续表
类型 分析 图例
粒子速度不确定 有些题目只告诉了带电粒子的电性，但未具体指出速度的大小或方向，此时必须要考虑由于速度的不确定而形成的多解
续表
类型 分析 图例
运动具有周期性 带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解
续表
【例5】　一质量为m、电荷量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是洛伦兹力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是(　　)
C
　　　　　　
　　　　　　
D
10．(带电粒子的电性不确定形成多解)如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界。现有质量为m，电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少。
　　　　　　
　　　　　　
11．(临界状态不唯一形成多解)如图所示，空间存在着两个方向均垂直纸面向外的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，磁感应强度大小分别为B1、B2，且B1＝B0、B2＝2B0，MN为两个磁场的边界。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)从边界上的A点以一定的初速度竖直向上射入匀强磁场区域Ⅰ中，边界MN上的C点与A点的距离为d。试求该粒子从A点射入磁场的速度v0为多大时，粒子恰能经过C点？
　　　　　　
12．(运动的周期性形成多解)(2022·山东威海模拟)如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，设垂直纸面向里的磁场方向为正方向。有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响。求：
　　　　　　
(1)磁感应强度B0的大小；
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。
　　　　　　
分层提升·培优素养
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