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第四章 曲线运动与万有引力定律
第3讲　圆周运动
[自主落实]
一、匀速圆周运动及其描述
1．匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长____，就是匀速圆周运动。
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向____，是变加速运动。
(3)条件：合外力大小____、方向始终与____方向垂直且指向圆心。
相等
圆心
不变
速度
转动快慢
　　　　　　
速度方向
ωr
二、匀速圆周运动的向心力
1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的____或某个力的____，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
2．向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定____的位置。
(2)分析物体的受力情况，所有的力沿半径方向指向圆心的____，就是向心力。
　　　　　　
合力
分力
圆心
合力
　　　　　　
mω2r
圆周运动
向心力
切线
3．受力特点
(1)当F＝_______时，物体做匀速圆周运动。
(2)当F＝0时，物体沿____方向飞出。
(3)当F＜________时，物体逐渐远离圆心。
F为实际提供的向心力，如图所示。
　　　　　　
mω2r
切线
mω2r
[自我诊断]
一、判断题
　(1)物体做匀速圆周运动时，其线速度是不变的。( )
(2)物体做匀速圆周运动时，其合外力是不变的。( )
(3)匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比。( )
(4)匀速圆周运动的向心力是产生向心加速度的原因。( )
(5)做匀速圆周运动的物体，当合外力突然减小时，物体将沿切线方向飞出。( )
(6)摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动，这是摩托车受沿转弯半径向外的离心力作用的缘故。( )
　　　　　　
×
×
×
√
×
×
二、选择题
1．市内公共汽车在到达路口转弯前，车内广播中就要播放录音：“乘客们请注意，前面车辆转弯，请拉好扶手”。从力的作用效果上来说“拉好扶手”是为了对乘客提供(　　)
A．弹力　　　　　　　　 B．摩擦力
C．向心力 D．回复力
解析：公共汽车在到达路口转弯时，乘客跟着公交车准备做圆周运动，需要通过车提供的力充当向心力，故“拉好扶手”是为了对乘客提供向心力，故选C。
C
2．A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们 (　　)
A．线速度大小之比为4∶3
B．角速度大小之比为3∶4
C．圆周运动的半径之比为2∶1
D．向心加速度大小之比为1∶2
　　　　　　
A
3．如图所示，一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是(　　)
　　　　　　
A．汽车转弯时所受的力有重力、支持力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×104 N
C．汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2
　　　　　　
答案：D
圆周运动的运动学问题
1．对公式v＝ωr的理解
当r一定时，v与ω成正比；
当ω一定时，v与r成正比；
当v一定时，ω与r成反比。
3．常见的三种传动方式
　　　　　　
　　　　　　
续表
【例1】　如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径之比为4∶1∶16，在用力蹬脚踏板前进的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．小齿轮和后轮的角速度大小之比为16∶1
B．大齿轮和小齿轮的角速度大小之比为1∶4
C．大齿轮边缘和后轮边缘的线速度大小之比为1∶4
D．大齿轮和小齿轮轮缘的向心加速度大小之比为4∶1
　　　　　　
[答案]　B
【例2】　(2021·广东卷)由于高度限制，车库出入口采用如图所示的曲杆道闸。道闸由转动杆OP与横杆PQ链接而成，P、Q为横杆的两个端点。在道闸抬起过程中，杆PQ始终保持水平。杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.P点的线速度大小不变
B.P点的加速度方向不变
C.Q点在竖直方向做匀速运动
D.Q点在水平方向做匀速运动
　　　　　　
A
[解析]　由题意知，P以O点为圆心、OP为半径做匀速圆周运动，Q点也做匀速圆周运动，设其圆心为A，AQ为半径，如图所示。由v＝ωr、a＝ω2r知，P、Q的线速度和向心加速度大小不变，方向时刻变化，故选项A正确，B错误。Q点在竖直面内做匀速圆周运动，其水平、竖直方向上的分速度大小一直在变化，故选项C、D错误。
1．(同轴转动)(2022·山东泰安联考)如图所示为学员驾驶汽车在水平面上绕O点做匀速圆周运动的俯视图。已知质量为60 kg的学员在A点位置，质量为70 kg的教练员在B点位置，A点的转弯半径为5.0 m，B点的转弯半径为4.0 m，则学员和教练员(均可视为质点)(　　)
A.线速度大小之比为4∶5
B.周期之比为5∶4
C.向心加速度大小之比为4∶5
D.受到的合力大小之比为15∶14
　　　　　　
D
2．(摩擦传动)如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来。a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在转动过程中的(　　)
A．线速度大小之比为3∶2∶2
B．角速度大小之比为3∶3∶2
C．转速之比为2∶3∶2
D．向心加速度大小之比为9∶6∶4
　　　　　　
D
3．(皮带传动)如图甲所示是中学物理实验室常用的感应起电机，它是由两个大小相等、直径约为30 cm的感应玻璃盘起电的，其中一个玻璃盘通过从动轮与手摇主动轮连接，如图乙所示。现玻璃盘以100 r/min的转速旋转，已知主动轮的半径约为8 cm，从动轮的半径约为2 cm，P和Q是玻璃盘边缘上的两点，若转动时皮带不打滑，下列说法正确的是 (　　)
　　　　　　
A．P、Q的线速度相同
B．玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相同
C．P点的线速度大小约为1.6 m/s
D．摇把的转速约为400 r/min
解析：由于线速度的方向沿曲线的切线方向，由题图可知，P、Q两点的线速度方向一定不同，故A错误；若主动轮做顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，所以从动轮逆时针转动，即玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反，故B错误；玻璃盘的直径是30 cm，
　　　　　　
答案：C
1．向心力的来源
向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
　水平面内圆周运动的动力学分析　　
2．运动模型
运动模型 向心力的来
源示意图 运动模型 向心力的来
源示意图
飞机水平
转弯 飞车走壁
运动模型 向心力的来
源示意图 运动模型 向心力的来
源示意图
圆锥摆 火车转弯
汽车在水平路面转弯 水平转台
(光滑)
续表
【例3】　(2022·江苏常熟模拟)如图所示，一轻绳穿过水平桌面上的小圆孔，上端拴物体M，下端拴物体N。若物体M在桌面上做半径为r的匀速圆周运动时，角速度为ω，线速度大小为v，物体N处于静止状态(不计摩擦)，则(　　)
A．M所需向心力大小大于N所受重力的大小
B．M所需向心力与N所受的重力是一对平衡力
C．v2与r成正比
D．ω2与r成正比
　　　　　　
C
【例4】　如图所示，两个圆锥内壁光滑，竖直放置在同一水平面上，圆锥母线与竖直方向夹角分别为30°和60°，有A、B两个质量相同的小球在两圆锥内壁等高处做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　)
　　　　　　
　　　　　　
[答案]　C
水平面内圆周运动临界问题的分析方法
　　　　　　
4．(火车转弯问题)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨
所在面的倾角为θ，则(　　)
A
　　　　　　
5．(圆锥摆模型)(2022·山东济南历城二中高三检测)空中飞椅是游乐场里深受少年儿童们喜爱的娱乐项目，其模型如图所示，顶端转盘上用等长钢丝绳吊着多个座椅，甲、乙两个儿童分别坐在A、B两个吊椅中，当转盘以一定的角速度匀速转动时，连接A、B座椅的钢丝绳与竖直方向的夹角分别为α、θ。已知A、B座椅绕轴的旋转半
径分别为r1、r2，甲、乙两儿童的质量分别为m1、
m2，两座椅的质量相等，若m1>m2，则 (　　)
A ． α<θ
B．r1>r2
C．甲的向心加速度小于乙的向心加速度
D．甲、乙的线速度大小相等
　　　　　　
答案：D
6．(水平转台模型)如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴OO′转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度(绳子恰好伸直但无弹力)，物块A到OO′轴的距离为物块B到OO′轴距离的两倍。现让该装置从静止开始
转动，使转速逐渐增大，从绳子处于自然长度到两物
块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．B受到的静摩擦力一直增大
B．B受到的静摩擦力先增大后减小再增大
C．A受到的静摩擦力先增大后减小
D．A受到的合力先减小后增大
解析：开始角速度较小时，两物体均靠静摩擦力提供向心力，角速度增大，静摩擦力增大，根据Ff＝mrω2知，随着角速度的增大，A先达到最大静摩擦力，A先使绳子产生拉力，所以当绳子刚好产生拉力时，B受静摩擦力作用且未到最大静摩擦力，随着角速度的增大，对B ，拉力
　　　　　　
和静摩擦力的合力提供向心力，角速度增大，则B的静摩擦力会减小，然后反向增大，对A，拉力和最大静摩擦共同提供向心力，角速度增大，静摩擦力不变，可知A的静摩擦力先增大，达到最大静摩擦力后不变，B的静摩擦力先增大后减小再增大，故A、C错误，B正确；根据向心力公式F＝mω2r知，在发生相对滑动前物体的半径是不变的，质量也不变，随着角速度的增大，向心力增大，而向心力就是物体受到的合力，故D错误。
答案：B
1．运动特点
(1)竖直面内的圆周运动一般是变速圆周运动。
(2)只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒。
(3)竖直面内的圆周运动问题，涉及知识面比较广，既有临界问题，又有能量守恒的问题，要注意物体运动到圆周的最高点的速度。
(4)一般情况下，竖直面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低点的两种情形。
　　　　　　
　竖直面内的圆周运动的动力学分析　　
2．常见模型
轻绳模型 轻杆模型
情景图示
轻绳模型 轻杆模型
弹力特征 弹力可能向下，也可能等于零 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意图
续表
轻绳模型 轻杆模型
力学方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m
临界特征 FT＝0，即mg＝m ，得v＝ v＝0，即F向＝0，此时FN＝mg
模型关键 (1)“绳”只能对小球施加向下的力(2)小球通过最高点的速度至少为 (1)“杆”对小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力
(2)小球通过最高点的速度最小可以为0
续表
【例5】　 (2020·全国Ⅰ卷)
如图所示，一同学表演荡秋千，已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为(　　)
A．200 N　　　　　 B．400 N
C．600 N D．800 N
　　　　　　
B
　　　　　　
【例6】　一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示。已知重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
　　　　　　
A
竖直平面内圆周运动的解题技巧
(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程。
(2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系。
(3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求支持力，再根据牛顿第三定律求出压力。
　　　　　　
7．(轻绳模型)(2022·江苏宿迁模拟)如图甲，滚筒洗衣机脱水时，衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动。如图乙，一件小衣物(可理想化为质点)质量为m，滚筒半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，a、b分别为小衣物经过的最高位置和最低位置。下列说法正确的是(　　)
A．衣物在a位置对滚筒壁的压力比在b位置的大
B．衣物转到b位置时的脱水效果最好
C．衣物所受滚筒的作用力大小始终为mg
D．衣物所受合力的大小可能大于mω2R
解析：在a位置时mg＋FNa＝mω2R，FNa＝mω2R－mg，在b位置时FNb－mg＝mω2R，FNb＝mω2R＋mg，则FNb>FNa，即衣物转到b位置时的脱水效果最好，选项A错误，B正确；由以上分析可知，衣物所受滚筒的作用力大小不是始终为mg，选项C错误；衣服随滚筒做匀速圆周运动，则衣物所受合力的大小始终等于mω2R，选项D错误。
　　　　　　
答案：B
8．(轻杆模型)如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力，则球B在最高点时(　　)
C
　　　　　　
9．如图甲所示，小球用不可伸长的轻绳连接，绕定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点的速度大小为v，此时绳子拉力大小为F，拉力F与速度的平方v2的关系图像如图乙所示，图像中的数据a和b以及重力加速度g都为已知量。以下说法正确的是(　　)
　　　　　　
答案：D
10．(2022·广东汕头模拟)如图甲所示，固定在竖直面内的光滑圆形管道内有一小球在做圆周运动，小球直径略小于管道内径，管道最低处N装有连着数字计时器的光电门，可测小球经过N点时的速率vN，最高处M装有力的传感器，可测出小球经过M点时对管道作用力F(竖直向上为正)，用同一小球以不同的初速度重复试验，得到F与vN2的关系图像如图乙所示，c为图像与横轴的交点坐标，b为图像延长线与纵轴的交点坐标，重力加速度为g，则下列说法中正确的是(　　)
　　　　　　
　　　　　　
答案：A
分层提升·培优素养
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