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第四章 曲线运动与万有引力定律
第4讲　万有引力定律及其应用
[自主落实]
一、开普勒三定律
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是____，太阳处在____的一个焦点上
椭圆
椭圆
定律 内容 图示或公式
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的____相等
开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的______跟它的公转周期的______的比值都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量
面积
三次方
二次方
二、万有引力定律
1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成____、与它们之间距离r的二次方成____。
正比
反比
3．适用条件
(1)公式适用于____间的相互作用。当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是______间的距离。
4．天体运动问题分析
(1)将天体或卫星的运动看成________运动，其所需向心力由________提供。
　　　　　　
质点
两球心
匀速圆周
万有引力
(2)基本关系式
　　　　　　
三、宇宙速度
1．第一宇宙速度
(1)第一宇宙速度是物体在____附近绕地球做匀速圆周运动时的速度，其数值为______ km/s。
(2)第一宇宙速度是人造卫星的最小____速度，也是人造卫星的最大____速度。
(3)第一宇宙速度的计算方法
　　　　　　
地球
7.9
发射
环绕
　　　　　　
地球
11.2
太阳
16.7
　　　　　　
[自我诊断]
×
×
×
×
×
√
二、选择题
1．关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是(　　)
A．开普勒在牛顿运动定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
解析：开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，并没有找出其中的原因，而牛顿发现了万有引力定律。
B
2．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是(　　)
　　　　　　
　　　　　　
答案：D
3．(2021·广东卷)2021年4月，我国自主研发的空间站天和核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是(　　)
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
D
　　　　　　
对开普勒定律的理解及应用
　　　　　　
【例1】　如图所示，一颗卫星绕地球沿椭圆轨道运动，运动周期为T，图中虚线为卫星的运行轨道，A、B、C、D是轨道上的四个位置，其中A距离地球最近，C距离地球最远，B和D点是弧线ABC和ADC的中点。下列说法正确的是(　　)
　　　　　　
[答案]　C
【例2】　由于潮汐力的作用，地球的自转将逐渐变慢。设想未来某个时候地球上的一昼夜为27 h，则那个时候地球上空的同步卫星的轨道半径与现在同步卫星的轨道半径之比为(　　)
　　　　　　
C
1．(开普勒第二定律的应用)如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中(　　)
　　　　　　
D
　　　　　　
解析：“帕克”太阳探测器等同于行星，与地球一样，它的中心天体也是太阳，所以符合开普勒第三定律，故A、B都对；“帕克”太阳探测器距离太阳比地球近，根据开普勒第三定律可知C错；在近日飞行中，“帕克”距离太阳越近，速度越大，故D对。
　　　　　　
答案：C
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
　对万有引力定律的理解及应用　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
B
【例4】　航天员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处，若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计，则(　　)
A．g′∶g＝5∶1 B．g′∶g＝5∶2
C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80
　　　　　　
D
　　　　　　
D
　　　　　　
C
　　　　　　
　天体质量(密度)的估算　　
　　　　　　
　　　　　　
B
【例6】　嫦娥五号探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是(　　)
　　　　　　
B
　　　　　　
5．(重力加速度法计算天体的质量)2021年5月15日7时18分，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，我国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功。若该巡视器在地球表面的重力为G1，在火星表面的重力为G2，已知地球半径为R1，火星半径为R2，则 (　　)
　　　　　　
答案：D
6．(天体环绕法计算天体的质量)如图所示是美国的卡西尼号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行进入绕土星飞行轨道的情景。若卡西尼号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕一周飞行时间为T，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度的表达式正确的是(　　)
　　　　　　
　　　　　　
答案：C
1．宇宙速度与运动轨迹的关系
　卫星运行参量的分析　　
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s(3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
　　　　　　
2．物理量随轨道半径变化的规律
【例7】　(2022·山东临沂高三检测)美国宇航局宣布，他们发现了太阳系外第一颗类似地球的、可适合居住的行星——“开普勒22b”，其直径约为地球的2.4倍，至今其确切质量和表面成分仍不清楚。假设该行星的密度和地球相当，根据以上信息，估算该行星的第一宇宙速度等于 (　　)
A．3.3×103 m/s　　　　 B．7.9×103 m/s
C．1.2×104 m/s D．1.9×104 m/s
　　　　　　
D
　　　　　　
B
　　　　　　
答案：A
8．(卫星运行参数的分析)如图所示，卫星a、b、c沿圆形轨道绕地球运行。a是极地轨道卫星，在地球两极上空约1 000 km处运行，b是低轨道卫星，距地球表面高度与a相等，c是地球同步卫星，则(　　)
A．a、b的周期比c大
B．a、b的向心力一定相等
C．a、b的速度大小相等
D．a、b的向心加速度比c小
　　　　　　
C
9．如图所示，A、B两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动，若ω表示卫星角速度大小，S表示卫星与地心的连线在单位时间内扫过的面积，a表示卫星加速度大小，r表示轨道半径，T表示周期，则下列关系正确的是(　　)
　　　　　　
B
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
答案：C
分层提升·培优素养
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