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第四章 曲线运动与万有引力定律
专题突破5　天体运动的三类热点问题
1．近地卫星、同步卫星及赤道上物体的比较
如图所示，a为近地卫星，半径为r1；b为地球同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，半径为r3。
近地卫星、同步卫星和赤道上物体的区别
　　　　　　
续表
2.重要条件
(1)地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球半径约为6.4×103 km，地球表面重力加速度g约为9.8 m/s2。
(2)人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×103 km，运行周期最小为T＝84.8 min，运行速度最大为v＝7.9 km/s。
　　　　　　
【例1】　(2022·广东东莞高三模拟)人造地球卫星的轨道可近似为圆轨道。下列说法正确的是(　　)
A．周期是24 h的卫星都是地球同步卫星
B．地球同步卫星的角速度大小比地球自转的角速度小
C．近地卫星的向心加速度大小比地球两极处的重力加速度大
D．近地卫星运行的速率比地球表面赤道上的物体随地球自转的速率大
D
　　　　　　
【例2】　我国北斗卫星导航系统(BDS)已经开始提供全球服务，具有定位、导航、授时、5G传输等功能。A、B为“北斗”系统中的两颗工作卫星，其中A是高轨道的地球静止同步轨道卫星，B是中轨道卫星，已知地球表面的重力加速度为g，地球的自转周期为T0。下列判断正确的是(　　)
A．卫星A可能经过江苏上空
B．卫星B不可能经过江苏上空
C．周期大小TA＝T0＜TB
D．向心加速度大小aA＜aB＜g
D
　　　　　　
1．(卫星与赤道上物体的加速度的比较)国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星“东方红一号”，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km；1984年4月8日成功发射的“东方红二号”卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上。设“东方红一号”在远地点的加速度为a1，“东方红二号”的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为(　　)
A．a2＞a1＞a3　　　　 B．a3＞a2＞a1
C．a3＞a1＞a2 D．a1＞a2＞a3
　　　　　　
答案：D
2．(卫星与赤道上物体各运行参量的比较)有a、b、c、d四颗地球卫星：a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动；b在地球的近地圆轨道上正常运行；c是地球同步卫星；d是高空探测卫星。各卫星排列位置如图所示，则下列说法正确的是(　　)
　　　　　　
A．a的向心加速度大于b的向心加速度
B．四颗卫星的速度大小关系是va＞vb＞vc＞vd
C．在相同时间内d转过的弧长最长
D．d的运动周期可能是30 h
　　　　　　
答案：D
1．变轨原理及过程
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。
　　　　　　
　卫星变轨与追及问题
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
2．常见变轨过程“四分析”
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。
　　　　　　
【例3】　2020年11月24日，长征五号遥五运载火箭托举嫦娥五号向着月球飞驰而去。12月17日，在闯过月面着陆、自动采样、月面起飞、月轨交会对接、再入返回等多个难关后，历经重重考验的嫦娥五号返回器携带月球样品，成功返回地面。如图所示为嫦娥五号发射到达环月轨道的行程示意图。下列说法正确的是(　　)
A．在地月转移轨道上无动力奔月时，动能不断减小
B．接近环月轨道时，需要加速才能进入环月轨道
C．嫦娥五号在地月转移轨道上运动的最大速度小于11.2 km/s
D．嫦娥五号在地球表面加速升空过程中地球引力越来越小，处于失重状态
　　　　　　
[解析]　在地月转移轨道上无动力奔月时，靠近月球时，受月球的引力作用较大，则动能不断增大，选项A错误；接近环月轨道时，需要减速制动，才能被月球俘获，进入环月轨道，选项B错误；嫦娥五号在地月转移轨道上没有脱离地球的引力，则运动的最大速度小于11.2 km/s，选项C正确；嫦娥五号在地球表面加速升空过程中，加速度向上，则处于超重状态，选项D错误。
[答案]　C
　　　　　　
C
　　　　　　
3．(卫星变轨时各运动参量的关系分析)(2022·江苏连云港模拟)2021年5月15日，“天问一号”着陆器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，我国首次火星探测任务取得圆满成功。如图为
“天问一号”的地火转移轨道，将火星与地球绕太阳的
运动简化为在同一平面、沿同一方向的匀速圆周运动。
下列说法正确的是(　　)
　　　　　　
A．火星绕太阳的线速度大于地球绕太阳的线速度
B．“天问一号”的发射速度必须大于第三宇宙速度
C．“天问一号”在转移轨道上运动的周期大于地球的公转周期
D．“天问一号”从A点运动到C点的过程中动能越来越大
　　　　　　
答案：C
4．(卫星的“追及”问题)宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动。若飞船想与前方的空间站对接，飞船为了追上空间站，可采取的方法是达式 (　　)
A．飞船加速直到追上空间站，完成对接
B．飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接
C．飞船加速至一个较高轨道，再减速追上空间站，完成对接
D．无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接
B
　　　　　　
5．当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，2021年8月20日出现了一次“木星冲日”。已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍，则下列说法正确的是(　　)
A．下一次的“木星冲日”发生在2023年
B．下一次的“木星冲日”发生在2022年
C．木星运行的加速度比地球的大
D．木星运行的周期比地球的小
B
　　　　　　
6．如图所示，行星a、b的质量分别为m1、m2，中心天体c的质量为M(M远大于m1及m2)，在万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动。已知行星a、b运动的轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的是(　　)
A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝4∶1
B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
　　　　　　
D
7． 如图所示为我国发射北斗卫星的示意图，先将卫星发射到半径为r1＝r的圆轨道上做匀速圆周运动，到A点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为r2＝2r的圆轨道做匀速圆周运动。已知卫星在椭圆轨道时距地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上A点时的速
度为v，卫星的质量为m，地球质量为M，引力常量为
G，则发动机在A点对卫星做的功与在B点对卫星做的功
之差为(不计卫星的质量变化)(　　)
　　　　　　
答案：D
1．双星模型
(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。
　　　　　　
双星或多星模型
(2)特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
②两颗星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2。
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。
2．多星模型
(1)模型构建：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。
(2)三星模型：
①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在
同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)。
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。
　　　　　　
(3)四星模型：
①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)。
②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)。
【例5】　(2022·江苏南通模拟)如图所示，两恒星A、B构成双星体，在万有引力的作用下绕连线上的O点做匀速圆周运动，在观测站上观察该双星体的运动，测得该双星的运动周期为T，已知两颗恒星A、B间距为d，万有引力常量为G，则可推算出双星的总
质量为(　　)
　　　　　　
B
【例6】　宇宙空间有一种由三颗星体组成的三星体系，它们分别位于等边三角形ABC的三个顶点上，绕一个固定且共同的圆心O做匀速圆周运动，轨道如图中实线所示，其轨道半径rAA．线速度大小关系是vA>vB>vC
B．加速度大小关系是aA>aB>aC
C．质量大小关系是mA>mB>mC
D．所受万有引力合力的大小关系是FA＝FB＝FC
　　　　　　
C
8．(双星模型)宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统。设某双星系统A、B绕其连线上的某固定点O点做匀速圆周运动，如图所示。若A、B两星球到O点的距离之比为3∶1，则(　　)
A．星球A与星球B所受引力大小之比为1∶3
B．星球A与星球B的线速度大小之比为1∶3
C．星球A与星球B的质量之比为3∶1
D．星球A与星球B的动能之比为3∶1
　　　　　　
D
9．(三星模型)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则(　　)
　　　　　　
　　　　　　
答案：B
10．如图所示为一种四颗星体组成的稳定星系，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点上，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G。下列说法中正确的是(　　)
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
答案：B
分层提升·培优素养
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