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第五章 机械能及其守恒定律
【素养解读·评价要求】
1．本章是高考常考内容，涉及的核心知识是做功和功率问题、动能定理的应用、功能关系、机械能守恒定律与动量知识以及曲线运动的综合等。素养方面，主要是利用能量的观点解决问题，强化科学思维方法，同时，关注与实际生活和生产密切联系的问题，学会把实际问题模型化。
　　　　　　
2．本章常用物理思想方法：物理模型法、图像法、分析推理法、数理结合法等。
3．高考对本章的命题，题型既有选择题，又有实验题，还可能是计算题。计算题常将功和能的知识和方法融入其他问题考查，情景设置为多过程，具有较强的综合性，难度中等偏上。
　　　　　　
　　　　　　
第1讲　功　功率
[自主落实]
一、功
1．定义：一个物体受到力的作用，如果在________上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功。
2．做功的两个要素
(1)作用在物体上的__。
(2)物体在力的方向上发生的____。
力的方向
力
位移
3．公式：W＝______________。
(1)α是力与____方向之间的夹角，l为物体对地的位移。
(2)该公式只适用于____做功。
4．功的正负
(1)当0°≤α＜90°时，W＞0，力对物体做____。
Fl cos α
位移
恒力
正功
(2)当90°＜α≤180°时，W＜0，力对物体做____，或者说物体____这个力做了功。
(3)当α＝90°时，W＝0，力对物体______。
二、功率
1．定义：功与完成这些功所用时间的____。
2．物理意义：描述力对物体__________。
　　　　　　
负功
克服
不做功
比值
做功的快慢
3．公式
(1)P＝，P为时间t内的________。
(2)P＝Fv cos α(α为F与v的夹角)。
①v为平均速度，则P为________。
②v为瞬时速度，则P为________。
4．发动机功率：机车发动机的功率P＝____，F为____力，并非机车所受的合力。
　　　　　　
平均功率
平均功率
瞬时功率
Fv
牵引
[自我诊断]
一、判断题
(1)只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功。 ( )
(2)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。 ( )
(3)作用力做正功时，反作用力一定做负功。( )
　　　　　　
×
√
×
(4)力对物体做功的正负是由力和位移间的夹角大小决定的。 ( )
(5)汽车上坡时换成低挡位，其目的是减小速度得到较大的牵引力。( )
(6)合力做的功等于各力做功的矢量和。( )
　　　　　　
√
√
×
二、选择题
1．用起重机将质量为m的物体匀速吊起一段距离，关于作用在物体上的各力做功情况，下列说法正确的是(　　)
A．重力做正功，拉力做负功，合力做功为零
B．重力做负功，拉力做正功，合力做正功
C．重力做负功，拉力做正功，合力做功为零
D．重力不做功，拉力做正功，合力做正功
　　　　　　
C
解析：物体匀速上升，重力方向与位移方向相反，重力做负功，拉力竖直向上，拉力方向与位移方向相同，拉力做正功，物体做匀速直线运动，处于平衡状态，所受合力为零，则合力做功为零，故A、B、D错误，C正确。
　　　　　　
D
3．如图所示，两个物体与水平地面间的动摩擦因数相等，它们的质量也相等。在甲图中用力F1拉物体，在乙图中用力F2推物体，夹角均为α，两个物体都做匀速直线运动，通过相同的位移。设F1和F2对物体所做的功分别为W1和W2，物体克服摩擦力做的功分别为W3和W4，下列判断正确的是(　　)
　　　　　　
A．F1＝F2　　　　　 B．W1＝W2
C．W3＝W4 D．W1－W3＝W2－W4
解析：因两物体均做匀速运动，故有F1cos α＝μ(mg－F1sin α)＝Ff1，F2cos α＝μ(mg＋F2sin α)＝Ff2，故有F1答案：D
4．(2020·江苏卷)质量为1.5×103 kg的汽车在水平路面上匀速行驶，速度为20 m/s，受到的阻力大小为1.8×103 N。此时，汽车发动机输出的实际功率是(　　)
A．90 W　　　　　　　 B．30 kW
C．36 kW D．300 kW
解析：汽车匀速行驶，牵引力F等于阻力F阻，实际功率P＝Fv＝F阻v＝1.8×103×20 W＝3.6×104 W＝36 kW，故C正确。
　　　　　　
C
恒力做功的分析与计算
1．功的正负的判断方法
(1)恒力做功正负的判断：依据力与位移的夹角来判断。
(2)曲线运动中做功正负的判断：依据F与v的方向的夹角来判断。0°≤α<90°，力对物体做正功；90°<α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功。
2．恒力做功的计算方法
3．合力做功的计算方法
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合l cos α求功。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。
　　　　　　
4．几种力做功的比较
(1)重力、弹簧弹力、静电力、分子力做功与始、末位置有关，与路径无关。
(2)滑动摩擦力、空气阻力、安培力做功与路径有关。
(3)摩擦力做功有以下特点：
①单个摩擦力(包括静摩擦力和滑动摩擦力)可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
②相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零；相互作用的一对滑动摩擦力做功的代数和不为零，且总为负值。
③相互作用的一对滑动摩擦力做功过程中，不仅会发生物体间机械能的转移，还有部分机械能转化为内能，内能Q＝Ffx相对。
　　　　　　
【例1】　图甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀速上楼(忽略扶梯对手的作用)的情景，图乙为一男士站在履带式自动扶梯上匀速上楼的情景，两人相对扶梯均静止。下列关于做功的判断中正确的是(　　)
A．图甲中支持力对人做正功
B．图甲中摩擦力对人做负功
C．图乙中支持力对人做正功
D．图乙中摩擦力对人做负功
A
[解析]　题图甲中，人匀速上楼，不受摩擦力，摩擦力不做功，支持力向上，与速度方向的夹角为锐角，则支持力做正功，故A正确，B错误；题图乙中，支持力与速度方向垂直，支持力不做功，摩擦力方向与速度方向相同，做正功，故C、D错误。
　　　　　　
【例2】　(2022·江苏高邮模拟)2021年6月28日聂海胜利用太空跑台——动感单车锻炼，如图所示。假设动感单车的阻力主要来源于距车轴30 cm的阻尼装置(可视为质点)，航天员每分钟蹬车90圈，则阻尼装置对车轮的阻力大小约为350 N，假设聂海胜锻炼15分钟克服动感单车阻力而消耗的能量约为(　　)
A．700 kJ B．800 kJ
C．900 kJ D．1 000 kJ
[解析]　根据功的概念可知E＝Wf＝2πrf·n＝2π×0.3×350×15× 90 J≈890 kJ，即接近900 kJ。
故选C。
[答案]　C
　　　　　　
1．(摩擦力做功的分析)如图所示，倾斜的传送带上有一工件始终与传送带保持相对静止，则(　　)
A．当传送带向上匀速运行时，工件克服重力和摩擦力做功
B．当传送带向下匀速运行时，只有重力对工件做功
C．当传送带向上匀加速运行时，摩擦力对工件做正功
D．不论传送带向什么方向运行，摩擦力都做负功
C
解析：当传送带向上匀速运行时，根据平衡条件知，摩擦力沿传送带向上，则摩擦力做正功，故不是克服摩擦力做功，A错误；当传送带向下匀速运行时，根据平衡条件知，摩擦力沿传送带向上，则摩擦力做负功，不是只有重力对工件做功，B错误；当传送带向上匀加速运行时，根据牛顿第二定律知合外力沿传送带向上，则摩擦力一定是沿传送带向上的，摩擦力做正功，C正确；由前面分析知摩擦力可以做正功，故D错误。
　　　　　　
2．(恒力做功的计算)(2022·福建永安一中高三检测)如图所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一个质量为m的人正用恒力F向前推车厢。在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．人对车的推力F做的功为FL
B．人对车做的功为maL
C．车对人的作用力大小为ma
D．车对人的摩擦力做的功为(F－ma)L
A
　　　　　　
3．(结合图像计算恒力做的功)质量为m＝2 kg的物体沿水平面向右做直线运动，t＝0时刻受到一个水平向左的恒力F，如图甲所示，取水平向右为正方向，此物体的v-t图像如图乙所示，g取10 m/s2，则(　　)
A．物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5
B．10 s内恒力F对物体做的功为102 J
C．10 s末物体在计时起点位置左侧2 m处
D．10 s内物体克服摩擦力做的功为18 J
解析：设物体向右做匀减速直线运动的加速度大小为a1，则由v-t图像得a1＝2 m/s2，方向与初速度方向相反，设物体向左做匀加速直线运动的加速度大小为a2，则由v-t图像得a2＝1 m/s2，方向与初速度方向相反，根据牛顿第二定律得，F＋μmg＝ma1，F－μmg＝ma2，解得 F =
　　　　　　
答案：C
　　　　　　
　变力做功的五种计算方法　　
　　　　　　
续表
续表
　　　　　　
C
【例4】　(2021·山东卷)如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连。木块以水平初速度v0出发，恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为(　　)
　　　　　　
B
　　　　　　
B
5．(转换法求变力做功)如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升。若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，图中AB＝BC，则(　　)
A．W1>W2
B．W1C．W1＝W2
D．无法确定W1和W2的大小关系
　　　　　　
A
解析：轻绳对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力做功转化为恒力做功。因轻绳对滑块做的功等于拉力F对轻绳做的功，而拉力F为恒力，W＝F·Δl，Δl为轻绳拉滑块过程中力F的作用点移动的位移，大小等于定滑轮左侧绳长的缩短量，由题图及几何知识可知，ΔlAB>ΔlBC，故W1>W2，A正确。
6．(图像法求变力做功)轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m＝0.5 kg的物块相连，如图甲所示，弹簧处于原长状态，物块静止，物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2。以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴，现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的情况如图乙所示，物块运动至x＝0.4 m处时速度为零，则此时弹簧的弹性势能为(g取10 m/s2)(　　)
　　　　　　
　
A．3.1 J B．3.5 J
C．1.8 J D．2.0 J
解析：物块与水平面间的摩擦力为Ff＝μmg＝1 N。现对物块施加水平向右的外力F，由F-x图像与坐标轴围成的面积表示F做的功可知，物块运动至x＝0.4 m 处时F做的功W＝3.5 J，而此过程物块克服摩擦力做功Wf＝Ffx＝0.4 J。由功能关系可知W－Wf＝Ep，则此时弹簧的弹性势能为Ep＝3.1 J，选项A正确。
答案：A
　　　　　　
　对功率的理解与计算　　
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fv cos α计算，其中v为t时刻的瞬时速度。
(2)利用公式P＝FvF计算，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
(3)利用公式P＝Fvv计算，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。
【例5】　(2022·江苏七市联考)引体向上是中学生体育测试的项目之一，引体向上运动的吉尼斯世界纪录是54次/分钟。若一个普通中学生在30秒内完成12次引体向上，该学生此过程中克服重力做功的平均功率最接近于(　　)
A．5 W　　　　　　　　 B．20 W
C．100 W D．400 W
　　　　　　
C
　　　　　　
【例6】　我国自主研制的绞吸挖泥船“天鲲号”达到世界先进水平。若某段工作时间内，“天鲲号”的泥泵输出功率恒为1×104 kW，排泥量为1.4 m3/s，排泥管的横截面积为0.7 m2，则泥泵对排泥管内泥浆的推力为(　　)
A．5×106 N B．2×107 N
C．2×109 N D．5×109 N
A
7．(功率的定性分析)如图所示，细线的一端固定于O点，另一端系一小球。在水平拉力作用下，小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点。在此过程中拉力的瞬时功率变化情况是(　　)
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大，后减小 D．先减小，后增大
　　　　　　
A
　　　　　　
B
1．机车启动的两种方式
　机车启动问题　　
(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。
【例7】　(2020·天津卷改编)复兴号动车在世界上首次实现速度 350 km/h自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列质量为m的动车，初速度为v0，以恒定功率P在平直轨道上运动，经时间t达到该功率下的最大速度vm，设动车行驶过程所受到的阻力F保持不变。动车在时间t内(　　)
　　　　　　
[答案]　C
【例8】　(2022·江苏如皋中学检测)一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持以额定功率运动，其v-t图像如图所示。已知汽车的质量为m＝1×103 kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，取g＝10 m/s2，则以下说法正确的是 (　　)
A．汽车在前5 s内的牵引力为5×103 N
B．汽车速度为25 m/s时的加速度为2 m/s2
C．汽车的额定功率为200 kW
D．汽车的最大速度为80 m/s
　　　　　　
A
　　　　　　
(1)在机车功率P＝Fv中，F是机车的牵引力而不是机车所受合力或阻力，所以P＝F阻vm只体现了一种数量关系，用于计算牵引力与阻力平衡时达到最大运行速度。
(2)恒定功率下的启动过程一定不是匀加速运动，匀变速直线运动的公式不再适用，启动过程发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算(因为F为变力)。
(3)以恒定加速度启动只能维持一段时间，之后又要经历非匀变速直线运动，所以匀变速直线运动的公式只适用于前一段时间，切不可生搬硬套。　
　　　　　　
9．(机车启动类图像的选取)(2022·江苏扬州高三调研)汽车在平直的公路上以速率v0匀速行驶，现汽车功率减为一半，所受阻力不变，则此后汽车运动的速度—时间图像正确的是(　　)
　　　　　　
[答案]　A
　　　　　　
A．在跑道上做加速度越来越大的加速直线运动
B．飞机的质量为400 kg
C．在跑道上所受阻力大小为2 000 N
D．速度大小为50 m/s时牵引力大小为3 000 N
　　　　　　
答案：C
11．(2021·湖南卷)“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶。该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比(F阻＝kv，k为常量)，动车组能达到的最大速度为vm。下列说法正确的是(　　)
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
答案：C
12．某质量为m＝1 500 kg的“双引擎”小汽车，行驶速度v≤54 km/h时靠电动机输出动力；行驶速度在54 km/h＜v≤90 km/h范围内时靠汽油机输出动力，同时内部电池充电；当行驶速度v＞90 km/h时汽油机和电动机同时工作，这种汽车更节能环保。该小汽车在一条平直的公路上由静止启动，汽车的牵引力F随运动时间t的变
化图线如图所示，汽车所受阻力恒为1 250 N。已知
汽车在t0时刻第一次切换动力引擎，以后保持恒定功
率行驶至第11 s末，则在前11 s内(　　)
　　　　　　
A．t0＝5 s
B．电动机输出的最大功率为60 kW
C．汽油机工作期间牵引力做的功为4.5×105 J
D．汽车的位移为160 m
　　　　　　
　　　　　　
答案：C
分层提升·培优素养
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