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第五章 机械能及其守恒定律
第4讲　功能关系　能量守恒定律
[自主落实]
一、功能关系
1．几种常见的功能关系及其表达式
力做功 能的变化 定量关系
合力做的功 动能变化 W＝Ek2－Ek1＝ΔEk
重力做的功 重力势能
变化 (1)重力做正功，重力势能______(2)重力做负功，重力势能____
(3)WG＝－ΔEp＝_______________
减少
增加
Ep1－Ep2
力做功 能的变化 定量关系
弹簧弹力
做的功 弹性势能
变化 (1)弹力做正功，弹性势能______
(2)弹力做负功，弹性势能____
(3)W＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
只有重力、
弹力做功 机械能______ 机械能守恒，ΔE＝__
减少
增加
不变化
0
续表
力做功 能的变化 定量关系
除重力和弹力之外的其他力做的功 机械能____ (1)其他力做多少正功，物体的机械能就____多少
(2)其他力做多少负功，物体的机械能就____多少
(3)W其他＝ΔE
一对相互作用的滑动摩擦力做的总功 机械能______内能____ (1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系统内能______
(2)摩擦生热Q＝__________
变化
增加
减少
减少
增加
增加
Ff·x相对
续表
2．两个特殊的功能关系
(1)滑动摩擦力与两物体间相对位移的乘积等于产生的内能，即____________ ＝Q。
(2)感应电流克服安培力做的功等于产生的电能，即W克安＝E电。
二、能量守恒定律
1．内容：能量既不会凭空_____，也不会凭空消失，它只能从一种形式_____为其他形式，或者从一个物体_____到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量_________。
2．表达式：ΔE减＝_____。
Ff·x相对
产生
转化
转移
保持不变
ΔE增
[自我诊断]
一、判断题
(1)力对物体做了多少功，物体就具有多少能。( )
(2)能量在转移或转化过程中，其总量会不断减少。( )
(3)在物体的机械能减少的过程中，动能有可能是增大的。( )
(4)既然能量在转移或转化过程中是守恒的，故没有必要节约能源。( )
(5)节约可利用能源的目的是减少污染排放。( )
(6)滑动摩擦力做功时，一定会引起机械能的转化。( )
　　　　　　
×
×
√
×
×
√
二、选择题
1．如图所示，小明同学水平拉伸一个弹弓，放手后将弹珠射出，则橡皮筋的弹性势能(　　)
A．在释放过程中增加
B．在拉伸过程中减小
C．在释放过程中转化为弹珠的动能
D．在拉伸过程中由弹珠动能转化得到
解析：弹珠在释放过程中弹性势能转化为弹珠的动能，则弹性势能减小，选项A错误，C正确；在拉伸过程中，人克服弹力做功，则弹性势能增加，选项B、D错误。
　　　　　　
C
2．(2021·浙江卷)一辆汽车在水平高速公路上以80 km/h的速度匀速行驶，其1 s内能量分配情况如图所示，则汽车(　　)
　　　　　　
A．发动机的输出功率为70 kW
B．每1 s消耗的燃料最终转化成的内能是5.7×104 J
C．每1 s消耗的燃料最终转化成的内能是6.9×104 J
D．每1 s消耗的燃料最终转化成的内能是7.0×104 J
　　　　　　
答案：C
3．在一次自由式滑雪空中技巧比赛中某运动员沿“助滑区”保持同一姿态下滑了一段距离，重力对他做功1 900 J，他克服阻力做功达式 100 J。该运动员在此过程中(　　)
A．动能增加了1 900 J
B．动能增加了2 000 J
C．重力势能减小了1 900 J
D．重力势能减小了2 000 J
　　　　　　
C
解析：根据动能定理知合外力做的功等于物体动能的增加量，重力对他做功1 900 J，他克服阻力做功100 J，即阻力对他做功为－100 J，则外力对他所做的总功为1 900 J－100 J＝1 800 J，是正功，他的动能增加了1 800 J，A、B错误；重力做的功等于重力势能的减少量，重力对物体做功为1 900 J，是正功，则重力势能减小了1 900 J，C正确，D错误。
4．一木块静置于光滑水平面上，一颗子弹沿水平方向飞来射入木块中。当子弹进入木块的深度达到最大值2.0 cm时，木块沿水平面恰好移动距离1.0 cm。在上述过程中系统损失的机械能与子弹损失的动能之比为(　　)
A．1∶2　　　　　　　 B．1∶3
C．2∶3 D．3∶2
　　　　　　
C
对功能关系的理解和应用
1．对功能关系的理解
(1)做功的过程就是能量转化的过程。不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。
(2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。
2．功能关系的选用原则
(1)在应用功能关系解决具体问题的过程中，若只涉及动能的变化用动能定理分析。
(2)只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关系分析。
(3)只涉及机械能的变化用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析。
(4)只涉及电势能的变化用静电力做功与电势能变化的关系分析。
　　　　　　
【例1】　(2022·河北张家口高三模拟)如图所示，足够长的光滑斜面固定在水平面上，斜面底端有一固定挡板，轻质弹簧下端与挡板相连，上端与物体A相连。用不可伸长的轻质细线跨过斜面顶端的定滑轮把A与另一物体B连接起来，A与滑轮间的细线与斜面平行。初始时用手托住B，细线刚好伸直，此时物体A处于静止状态。若不计
滑轮质量与摩擦，弹簧始终在弹性限度内，现由静止
释放物体B，在B第一次向下运动的过程中(　　)
A．轻绳对物体B做的功等于物体B重力势能的变化量
B．物体B的重力做功等于物体B机械能的变化量
C．轻绳对物体A做的功等于物体A的动能与弹簧弹性势能的变化量之和
D．两物体与轻绳组成的系统机械能变化量的绝对值等于弹簧弹性势能变化量的绝对值
　　　　　　
[解析]　轻绳对物体B做的功等于物体B机械能的变化，故A错误；重力做功等于物体的重力势能的变化，故B错误；依题得，轻绳对物体A做的功等于物体A的机械能与弹簧的弹性势能的变化量之和，故C错误；两物体和弹簧系统机械能守恒，由机械能守恒定律可知，D正确。
[答案]　D
【例2】　质量为1 kg的物体被人用手由静止提高2 m，这时物体的速度是4 m/s。下列说法中正确的是(不计一切阻力，g取10 m/s2)(　　)
A．合外力对物体做功10 J
B．手对物体做功8 J
C．物体机械能增加了8 J
D．物体重力势能增加了20 J
　　　　　　
D
[解析]　由动能定理得，合外力对物体做的功W合＝mv2－0＝8 J，A错误；W合＝W人－mgh，所以W人＝W合＋mgh＝(8＋1×10×2)J＝28 J，B错误；物体机械能的增加量等于除重力之外的力做的功，所以物体机械能的增加量ΔE＝W人＝28 J，C错误；物体重力势能的增加量等于物体克服重力做的功，所以物体重力势能的增加量ΔEp＝mgh＝1×10×2 J＝20 J，D正确。
1．(由功能关系分析弹簧弹性势能变化)如图所示，质量为m的小滑块从O点以速度v0沿水平面向左运动，小滑块撞击弹簧后被弹簧弹回并最终静止于O点，则运动过程中弹簧获得的最大弹性势能是(　　)
　　　　　　
B
2．(由力做功分析势能、动能、机械能变化)(2022·山东烟台高三模拟)如图所示，质量为m的物体以某一速度冲上一个倾角为37°的斜面，其运动的加速度的大小为0.9g，这个物体沿斜面上升的最大高度为H，则在这一过程中(　　)
A．物体的重力势能增加了0.9mgH
B．物体的重力势能增加了mgH
C．物体的动能损失了0.5mgH
D．物体的机械能损失了0.3mgH
　　　　　　
B
　　　　　　
1．摩擦力做功的特点
(1)一对静摩擦力所做功的代数和总等于零。
(2)一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值，差值为机械能转化为内能的部分，也就是系统机械能的损失量。
(3)说明：两种摩擦力对物体都可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
　摩擦力做功与能量变化的关系　　
2．三步求解相对滑动物体的能量问题
(1)正确分析物体的运动过程，做好受力分析。
(2)利用运动学公式，结合牛顿第二定律分析物体的速度关系及位移关系，求出两个物体的相对位移。
(3)代入公式Q＝Ff·x相对计算，若物体在传送带上做往复运动，则为相对路程s相对。
　　　　　　
【例3】　如图所示，质量为M、长度为L的小车静止在光滑水平面上，质量为m的小物块(可视为质点)放在小车的最左端。现用一水平恒力F作用在小物块上，使小物块从静止开始做匀加速直线运动。小物块和小车之间的摩擦力为Ff，小物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为x。此过程中，以下结论错误的是(　　)
A．小物块到达小车最右端时具有的动能为(F－Ff)·(L＋x)
B．小物块到达小车最右端时，小车具有的动能为Ff x
C．小物块克服摩擦力所做的功为Ff(L＋x)
D．小物块和小车增加的机械能为Fx
D
[解析]　由动能定理可得，小物块到达小车最右端时的动能Ek物＝ W合＝(F－Ff)(L＋x)，A正确；小物块到达小车最右端时，小车的动能 Ek车＝Ff x，B正确；小物块克服摩擦力所做的功Wf＝Ff(L＋x)，C正确；小物块和小车增加的机械能为F(L＋x)－FfL，D错误。
　　　　　　
做的功为μmgR。下列说法正确的是(　　)
A．物块P在下滑过程中，运动到B处时速度最大
B．物块P从A滑到C的过程中克服摩擦力做的功等于2μmgR
C．拉力F做的功等于2mgR
D．拉力F做的功为mgR(1＋2μ)
　　　　　　
D
[解析]　当重力沿圆轨道切线方向的分力等于滑动摩擦力时速度最大，此位置在A、B之间，故A错误；将物块P缓慢地从B拉到A，克服摩擦力做的功为μmgR，而物块P从A滑到B的过程中，物块P做圆周运动，根据向心力知识可知物块P所受的支持力比缓慢运动时要大，则滑动摩擦力大，所以克服摩擦力做的功Wf大于μmgR，因此物块P从A滑到C的过程中克服摩擦力做的功大于2μmgR，故B错误；由动能定理得，从C到
A的过程中有WF－mgR－μmgR－μmgR＝0－0，则拉力F做的功为WF＝mgR(1＋2μ)，故D正确；从A到C的过程中，根据动能定理得mgR－Wf－μmgR＝0，因为Wf>μmgR，则mgR>μmgR＋μmgR，因此WF<2mgR，故C错误。
　　　　　　
3．(单过程中的摩擦力做功问题)如图所示，倾
角为37°的光滑斜面上粘贴有一厚度不计、宽度也
为d＝0.2 m的橡胶带，橡胶带的上表面与斜面位于
同一平面内，其上、下边缘与斜面的上、下边缘平
行，橡胶带的上边缘到斜面顶端的距离为L＝0.4 m。现使质量为m＝1 kg、宽度为d的薄矩形板上边缘与斜面顶端平齐且从斜面顶端由静止释放。已知矩形板与橡胶带之间的动摩擦因数为0.5，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，矩形板由斜面顶端静止释放到下滑到完全离开橡胶带的过程中(此过程矩形板始终在斜面上)，下列说法正确的是(　　)
　　　　　　
答案：D
4．(多过程问题中的摩擦力做功问题)如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，C是最低点，圆心角∠BOC＝37°，D与圆心O等高，圆弧轨道半径R＝1.0 m。现有一个质量为m＝0.2 kg可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，D、E距离h＝1.6 m，小物体与斜面AB之间的动摩擦因数μ＝0.5。sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2。
(1)求小物体第一次通过C点时对轨道的压力；
(2)要使小物体不从斜面顶端飞出，斜面至少要
多长？
　　　　　　
(3)若斜面已经满足(2)要求，请首先判断小物体是否可能停在斜面上，并求出小物体从E点开始下落后，整个过程中系统因摩擦所产生的热量Q。
　　　　　　
答案：(1)12.4 N，方向竖直向下　(2)2.4 m　(3)小物体不会停在斜面上　4.8 J
1．对能量守恒定律的两点理解
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
　　　　　　
　能量转化与守恒的应用　　
2．能量转化问题的解题思路
(1)当涉及摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能量的转化和守恒。
(2)解题时，首先确定初、末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE减与增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解。
　　　　　　
C
【例6】　毕节是国家“西电东送”的主要能源基地。如图所示，赫章的韭菜坪建有风力发电机，风力带动叶片转动，叶片再带动转子(磁极)转动，使定子(线圈，不计电阻)中产生电流，实现风能向电能的转化。若叶片长为l，设定的额定风速为v，空气的密度为ρ，额定风速下发电机的输出功率为P，则风能转化为电能的效率为(　　)
　　　　　　
A
5．(与弹力、摩擦力做功相关的能量守恒问题)如图所示，光滑水平面OB与足够长粗糙斜面BC交于B点。轻弹簧左端固定于竖直墙面，现用质量为m1的滑块压缩弹簧至D点，然后由静止释放，滑块脱离弹簧后经B点滑上斜面，上升到最大高度，并静止在斜面上。不计滑块在B点的机械能损失。换用材料相同、质量为m2的滑块(m2>m1)压缩弹簧至同一点D后，重复上述过程，下列说法正确的是(　　)
　　　　　　
A．两滑块到达B点时速度相同
B．两滑块沿斜面上升的最大高度相同
C．两滑块上升到最高点的过程中克服重力做的功不相同
D．两滑块上升到最高点的过程中机械能损失相同
解析：两滑块到达B点的动能相同，但速度不同，故A错误；两滑块在斜面上运动时加速度相同，由于初速度不同，故上升的最大高度不同，故B错误；两滑块上升到最高点的过程中克服重力做的功为mghm，
　　　　　　
答案：D
6．(与空气阻力做功相关的能量守恒问题)从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E总等于动能Ek与重力势能Ep之和。取地面为重力势能零点，该物体的E总和Ep随它离开地面的高度h的变化如图所示。重力加速度取10 m/s2。由图中数据可得(　　)
A．物体的质量为1 kg
B．h＝0时，物体的速率为20 m/s
C．h＝2 m时，物体的动能Ek＝40 J
D．从地面至h＝4 m，物体的动能减少100 J
D
　　　　　　
3．(2021·江苏卷)如图所示的离心装置中，光滑水平轻杆固定在竖直转轴的O点，小圆环A和轻质弹簧套在轻杆上，长为2L的细线和弹簧左端均固定于O点，右端均拴接小环A，质量为m的小球B固定在细线的中点，装置静止时，细线与竖直方向的夹角为37°，现将装置由静止缓慢加速转动，当细线与竖直方向的夹角增大到53°
时，A、B间细线的拉力恰好减小到零，弹簧弹
力与静止时大小相等、方向相反，重力加速度
为g，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)装置静止时，弹簧弹力的大小F；
(2)环A的质量M；
(3)上述过程中装置对A、B所做的总功W。
　　　　　　
　　　　　　
分层提升·培优素养
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