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自由落体与竖直上抛运动
[人教版必修第一册]
1.第二章第4节P48页，自由落体与匀变速直线运动的关系是什么？
提示：自由落体是初速度为0、加速度为g的匀变速直线运动。
2.第二章第4节P51页【练习与评价T5】由频闪照片可得连续相等时间内下落的高度之比为？
提示：高度之比为0.8：2.4：3.9：5.4：7.1，在误差允许的范围接近1∶3∶5∶7 : 9。
3.第二章第4节P47页【做一做】若将手机竖直上抛，则屏幕上看到的加速度图像大致是什么样的？
提示：
4.第二章第4节P45页，伽利略是怎样推翻亚里士多德的“重的物体下落快”？使用什么方法？
提示：大、小石头捆绑在一起后，得到两个相互矛盾的结论：①小石头下落慢，故捆绑后大石头速度会被小石头拖着变慢；②捆绑后整体质量变大，故捆绑后整体速度变快。使用逻辑推理的方法。
5.第二章第4节P48页，伽利略的斜面实验中是如何测量时间？如何由斜面上的运动规律推出自由落体的运动规律？使用什么方法？
提示：当时只能靠滴水计时，让铜球沿阻力很小的斜面滚下，“冲淡”了重力，使加速度变小，时间变长，更容易测量，再合理外推将斜面的倾角增大到90°。
研究方法是逻辑推理―→猜想与假设―→实验验证―→合理外推，核心是把实验和逻辑推理结合起来。
6.P45页，【练习与评价T6】制作一把“人的反应时间测量尺”？
提示：读出同学捏住直尺的刻度,再由自由落体运动公式算出直尺下落的时间,即为人的反应时间。
考点一　自由落体运动
1.自由落体运动的定义：物体只在 重力作用 下从 静止 开始下落的运动。
2.自由落体运动的基本规律:
运动特点:初速度为0,加速度为g的匀加速直线运动。
匀变速直线运动 自由落体运动
3.推论：
（1）比例关系式
1T末、2T末、3T末……nT末瞬时速度的比 1∶2∶3∶…∶n
1T内、2T内、3T内……nT内位移的比 12∶22∶32∶…∶n2
第一个T内、第二个T内、第三个T内……第n个T内位移的比 1∶3∶5∶…∶(2n－1)
位移x、2x、3x……nx所用时间的比 1∶∶∶…∶
连续相等的位移所用时间的比 1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)
（2）自由落体运动在相等时间内，速度变化量相同。由加速度的定义式可得，而自由落体的加速度为g，故，即相等时间内，速度变化量相同。
（3）连续相等时间T内下落的高度之差。
题型一 基本公式应用
如图所示，木杆长5 m，上端固定在某一点，由静止放开后让它自由落下(不计空气阻力)，木杆通过悬点正下方20 m处的圆筒AB，圆筒AB长为5 m，取g＝10 m/s2，求：
(1)木杆通过圆筒的上端A所用的时间t1；
(2)木杆通过圆筒AB所用的时间t2.
(1)(2－) s　(2)(－) s
(1)木杆由静止开始做自由落体运动，设木杆的下端到达圆筒上端A所用的时间为t下A，
由于h下A＝20 m－5 m＝15 m，则h下A＝gt下A2 ①
设木杆的上端到达圆筒上端A所用的时间为t上A，
由于h上A＝20m，则h上A＝gt上A2 ②
由①②可得木杆通过圆筒上端A所用的时间t1＝t上A－t下A＝(2－) s
(2)设木杆的上端到达圆筒下端B所用的时间为t上B，
由于h上B＝20 m＋5 m＝25 m，则h上B＝gt上B2 ③
由①③可得木杆通过圆筒所用的时间t2＝t上B－t下A＝(－) s
题型二 自由落体运动中的“比例关系”问题
如图所示是用闪光周期为Δt的相机拍摄的一张真空中羽毛与苹果从A点开始自由下落的频闪照片，下列说法中正确的是（　　）
A．位移一定满足x1∶x2∶x3=1∶2∶3
B．速度一定满足 vB∶vC∶vD =1∶3∶5
C．苹果下落的加速度大小为
D．羽毛下落到C点的速度大小为
CD
A．位移满足关系x1∶x2∶x3=1∶3∶5，故A错误；
B．速度满足关系vB∶vC∶vD =1∶2∶3，故B错误；
C．根据，可得苹果下落的加速度大小为，故C正确；
D．羽毛下落到C点的速度大小为，故D正确。
故选CD。
题型三 自由落体运动中的“两物体先后下落”问题
从高度为125 m的塔顶先后自由释放a、b两球，自由释放这两个球的时间差为1 s，g取10 m/s2，不计空气阻力，以下判断正确的是（　　）
A.b球下落高度为20 m时，a球的速度大小为20 m/s　
B.a球接触地面瞬间，b球离地高度为45 m
C.在a球接触地面之前，两球保持相对静止
D.在a球接触地面之前，两球离地的高度差恒定
B
A.b球下落高度为20 m时所用时间t1＝＝ s＝2 s，则a球下降了3 s，a球的速度为v＝g（t1＋1 s）＝30 m/s，故A错误；
B.a球下降的总时间为t2＝ s＝5 s，此时b球下降 4 s，b球的下降高度为h'＝×10×42 m＝80 m，故b球离地面的高度为hB＝（125－80）m＝45 m，故B正确；
CD.由自由落体运动的规律可得，在a球接触地面之前，两物体加速度相同，故先下落的a球相对后下落的b球做匀速直线运动，两者的距离随时间均匀增大,故C错误。
因此两球离地的高度差变大，故D错误。
自由落体运动中的两个物体先后从同一高度下落，两物体加速度相同，故先下落物体相对后下落物体做匀速直线运动，两者的距离随时间均匀增大。
1.(2022·云南高考)2019年，我国运动员陈芋汐获得国际泳联世锦赛女子单人10米跳台冠军。某轮比赛中，陈芋汐在跳台上倒立静止，然后下落，前5 m完成技术动作，随后5 m完成姿态调整。假设整个下落过程近似为自由落体运动，重力加速度大小取10 m/s2，则她用于姿态调整的时间约为(　　)
A．0.2 s B．0.4 s C．1.0 s D．1.4 s
B　
陈芋汐下落的整个过程所用的时间为t＝＝ s≈1.4 s，下落前5 m的过程所用的时间为t1＝ ＝ s＝1 s，则陈芋汐用于姿态调整的时间约为t2＝t－t1＝0.4 s，故选B。
2.(2022·福建五校第二次联考)宇航员在某星球上做自由落体运动实验，让一个质量为2 kg的物体从足够高的高度自由下落，测得物体在第5 s内的位移是18 m，则(　　)
A．物体在2 s末的速度是20 m/s
B．物体在第5 s内的平均速度是3.6 m/s
C．物体自由下落的加速度是5 m/s2
D．物体在5 s内的位移是50 m
D
B.物体在第5 s内的位移为18 m，故物体在第5 s内的平均速度为18 m/s，B错误;
D．由连续相等时间内的位移比为1∶3∶5∶7∶9∶…,而第5 s内的位移是18 m，则第1s内、第2s内、第3s内、第4s内的位移分别为2m、6m、10m、14m、18m，故在5 s内的位移是(2+6+10+14+18)m=50m， D正确；
C．根据，可得，C错误；
A．物体在2 s末的速度为v2＝at=4×2 m/s＝8 m/s， A错误;
考点二　竖直上抛运动
1.运动特点：加速度为g，上升阶段做 匀减速直线 运动，下降阶段做 自由落体 运动。
2.基本规律：
速度与时间的关系式
位移与时间的关系式
速度与位移的关系式
上升的最大高度
上升到最高点所用时间
3.v-t图像
4.重要特性
(1)对称性
时间对称 物体上升到最高点所用时间与从最高点落回到原抛出点所用时间相等，即t上＝t下
物体在上升过程中经过某两点之间所用的时间与下降过程中经过该两点之间所用的时间相等
速度对称 物体上抛时的初速度与物体又落回原抛出点时的速度大小相等、方向相反
物体在上升阶段和下降阶段经过同一个位置时的速度大小相等、方向相反
能量对称 竖直上抛运动物体在上升和下降过程中经过同一位置时的动能、重力势能及机械能分别相等
(2)多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，由于位移方向的未知造成多解。
题型一 多解问题
(2021·保定联考)研究人员为检验某一产品的抗撞击能力，乘坐热气球并携带该产品竖直升空，当热气球以10 m/s的速度匀速上升到某一高度时，研究人员从热气球上将产品自由释放，测得经11 s产品撞击地面。不计产品所受的空气阻力，求产品的释放位置距地面的高度。(g取10 m/s2)
495 m
法一：分段法
根据题意画出运动草图如图所示
在A→B段，根据匀变速运动规律可知tAB＝＝1 s，hAB＝hBC＝gt＝5 m，
由题意可知tBD＝11 s－1 s＝10 s，
根据自由落体运动规律可得hBD＝gt＝500 m，
故释放点离地面的高度H＝hBD－hAB＝495 m。
法二：全程法
将产品的运动视为匀变速直线运动，规定向上为正方向，
则v0＝10 m/s，a＝－g＝－10 m/s2，
根据H＝v0t＋at2，解得H＝－495 m，
即产品刚释放时离地面的高度为495 m。
H＝v0t＋at2，解得H＝－495 m，
即产品刚释放时离地面的高度为495 m。
题型二 竖直上抛与自由落体的综合
（多选）在物体自高为的塔顶自由落下的同时，物体自塔底以初速度竖直上抛，且、两
物体在同一直线上运动。重力加速度为，下面说法正确的是 ( )
A. 若，则两物体在B上升过程中相遇
B. 若，则两物体在地面相遇
C. 若，则两物体相遇时B正在下落
D. 若，则两物体恰好在落地瞬间相遇
AC
若物体正好运动到最高点时两者相遇，则有速度减为零所用的时间为，
A物体的位移为，B物体的位移为，,解得；
当A、B恰好在落地时相遇，则有，此时A的位移，解得；
若，则两物体在B上升过程中相遇，故A正确；
若，则两物体在B正好运动到最高点时相遇，故B错误；
若，则两物体相遇时B正在下落，故C正确；
若则两物体恰好在落地瞬间相遇，故D错误。
故选AC。
分段法 上升阶段：a＝g的匀减速直线运动 下降阶段：自由落体运动
全程法 初速度v0向上，加速度为－g的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(以竖直向上为正方向); 若v＞0，物体上升；若v＜0，物体下落 若h＞0，物体在抛出点上方；若h＜0，物体在抛出点下方
1.在塔顶边缘将一物体竖直向上抛出，抛出点为A，物体上升的最大高度为20 m，不计空气阻力，g＝10 m/s2，设塔足够高，则物体位移大小为10 m时，物体运动的时间可能为(　　)
A．2s　　　　　　　 B．s
C．(2＋)s D. s
C　
物体位移大小为10 m的位置有两处，一处在A点之上，另一处在A点之下。在A点之上时有上升和下降两种过程，在A点之下时只有下降过程，如图所示
由H＝，得初速度v0＝20 m/s。
法一：分段法
在A点之上，且处于上升过程10 m时：设上升过程10m时的速度为v1，
由v－v＝－2gh，得v1＝10 m/s，则t1＝＝(2－)s，故A错误；
②在A点之上，且处于下降过程10 m时：t2＝t1＋＝(2＋)s，故B错误；
在A点之下，且处于下降过程10 m时：H＋h＝gt，则t3＝ s，
故物体从抛出到下落至A点下方10 m处所用时间t3′＝＋t3＝(2＋)s，故C正确，D错误。
法二：全程法
取竖直向上为正方向，物体的位移为x＝v0t－gt2，当物体位于A点上方10 m处时，x＝10 m，
解得t1＝(2－)s，t2＝(2＋)s，故选项A、B错误。
当物体位于A下方10 m处时，x＝－10 m，
解得t3＝(2＋)s，另一解为负值，舍去，故选项C正确，D错误。
故选C。
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