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专题09 功和功率
题型一 功的分析和计算 1
类型1 恒力做功问题 2
类型2 变力做功问题 3
题型二 功率的分析和计算 5
类型1 功率的分析和计算 5
类型2 功率和功综合问题的分析和计算 7
题型三 机车启动问题 9
类型1 恒定功率启动 10
类型2 恒定加速度启动 11
题型一 功的分析和计算
1．功的正负
(1)0≤α<90°，力对物体做正功．
(2)90°<α≤180°，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功．
(3)α＝90°，力对物体不做功．
2．功的计算：W＝Flcos_α
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为物体对地的位移．
(2)该公式只适用于恒力做功．
(3)功是标(填“标”或“矢”)量．
3．变力做功几种方法
类型1 恒力做功问题
（2023春 西宁期末）如图，一木块从固定的粗糙斜面顶端沿斜面匀速下滑，在下滑过程中，下列说法正确的有（　　）
A．支持力对木块做正功 B．重力对木块做负功
C．合力做功为零 D．摩擦力对木块做正功
（2023春 兰州期末）如图所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ。现使斜面水平向左匀速移动距离l。该过程中，斜面对物体做的功、各力对物体做的总功分别是（　　）
A．﹣mglsinθcosθ；0
B．0；0
C．0；mglsinθcosθ
D．﹣mglsinθcosθ；mglsinθcosθ
（2023春 临潼区期末）图为体育生在高考前进行体能训练的一种方式，若他们拖着旧轮胎从水平路面以恒定速率运动到斜坡上，则（　　）
A．轮胎在斜坡上受到的支持力对轮胎做正功
B．轮胎受到的拉力对轮胎始终做正功
C．轮胎受到的重力对轮胎始终没有做功
D．轮胎受到的摩擦力对轮胎先做负功后做正功
（2023 青秀区校级三模）如图所示，在光滑水平面上质量为M的小车正以速度v0向右运动，现有一质量为m的木块也以速度v0从右端冲上车面，由于摩擦小车速度将发生变化，为使小车继续保持v0匀速运动，须及时给小车施一水平力，当M和m的速度相等时将力去掉。设M和m间的动摩擦因数处处相同，车足够长，则此过程中水平力对小车做的功（　　）
A．0.5 B． C．1.5 D．2
类型2 变力做功问题
（2023 重庆模拟）如图所示，半径为R的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内。某时刻，质量为1kg、直径略小于细圆管内径的小球A（可视为质点）从细管最高点静止释放，当小球A和细圆管轨道圆心连线与竖直方向夹角为37°时，小球对轨道的压力大小为（　　）（g＝10m/s2）
A．38N B．40N C．42N D．44N
（2023春 辽宁期末）如图甲所示，某物体在光滑水平面上受外力作用从坐标原点O由静止开始沿x轴正方向运动，其加速度a随位移x变化的规律如图乙所示，图中加速度的最大值为amax，x1和x2已知，则物体（　　）
A．在0～x1内做匀加速直线运动
B．在x1处速度最大
C．在物体由x＝0运动到x＝x1的过程中合外力对物体所做的功为W1＝mamaxx1
D．在物体由x＝0运动到x＝x2的过程中合外力对物体所做的功为W2mamaxx2
（2023春 浦东新区校级期中）如图1所示，物体A在水平拉力F作用下沿水平面做直线运动，拉力F随位移s的变化情况如图2所示。则关于拉力F的做功情况，下列说法中正确的是（　　）
A．拉力在0～5m内对物体做了8J的功
B．拉力在3m～5m内对物体做了2J的功
C．拉力在0～4m比0～5m内对物体做的功要少
D．拉力在0～3m与0～5m内对物体做的功相同
（2023 南通二模）如图所示，小球穿过粗糙的竖直杆，轻质弹性绳的左端与小球相连，右端固定在墙上N点，弹性绳跨过M处的光滑小滑轮，O为竖直杆上的一点，O、M、N在同一水平线上，弹性绳的自然长度和MN间距离相同。小球从O点静止释放，到达最低点P后又继续向上运动，Q为OP中点。绳中弹力始终遵从胡克定律，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则小球（　　）
A．从O运动至P的过程中，受到摩擦力变大
B．第一次运动至Q点时，速度最大
C．从P点返回的过程中，速度最大的位置在Q点上方
D．最终可以停在Q点上方的某一位置
题型二 功率的分析和计算
1．公式P＝和P＝Fv的区别
P＝是功率的定义式，P＝Fv是功率的计算式．
2．平均功率的计算方法
(1)利用＝.
(2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度．
3．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度．
(2)P＝F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度．
(3)P＝Fv·v，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力．
类型1 功率的分析和计算
（2023春 抚顺期末）某质点的质量m＝1kg，在Oxy平面上运动。t＝0时，质点位于y轴上。它在x轴方向上运动的速度与时间的关系图像如图甲所示，它在y轴方向上运动的位移与时间的关系图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　）
A．质点做匀变速直线运动
B．质点受到的合力的大小4N
C．第2s末，质点合力做功的功率20W
D．当t＝2s时，质点的速度大小为10m/s
（2023 湖北）两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v1和v2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为（　　）
A．
B．
C．
D．
（2023春 崂山区校级期末）自动扶梯的应用相当广泛，给生产、生活带来极大的方便．某斜坡式扶梯的长度13m，对应的高度是5m，木箱与扶梯表面的摩擦因数为0.5，扶梯可以恒定的速率1m/s向上或向下运动．高一2班的小张同学将质量为10kg的木箱轻放在扶梯上．重力加速度g取10m/s2，以下分析正确的是（　　）
A．若放在电梯上端向下运送，木箱在沿斜坡向下运动了0.65m时速率达到1m/s
B．若放在电梯下端向上运送，木箱在沿斜坡向上运动了0.65m时速率达到1m/s
C．木箱与扶梯共速后，摩擦力对木箱的功率绝对值是W
D．向上运送全过程，因木箱而使电机输出的能量额外增加了1205J
（2023春 包头期末）如图所示，质量相等的小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。两小球可视为质点，忽略空气阻力，则（　　）
A．整个运动过程中A、B的位移相等
B．A、B平抛的初速度之比为1：2
C．A、B落地时重力的瞬时功率之比为
D．A、B从抛出到落地的过程中重力的平均功率之比为2：1
类型2 功率和功综合问题的分析和计算
（2023春 房山区期末）如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方有一钉子C，把悬线另一端的小球A拉到跟悬点在同一水平面处无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线与钉子C相碰，开始绕钉子运动。不计空气阻力和细绳与钉子相碰时的能量损失，以下说法正确的是（　　）
A．碰到钉子的瞬间，悬线拉力的功率最大
B．钉子C越靠近O点悬线越容易断
C．碰钉子的瞬间悬线拉力做正功，所以小球的速度迅速增大
D．从开始释放到悬线碰钉子之前，小球重力的功率先增大后减小
（2023春 香坊区校级期末）如图所示，甲、乙两个完全相同的小球，从高度不同、底面长度相同的光滑斜面顶端由静止释放，已知斜面倾角θ1＞θ2，两小球均可视为质点，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两球滑到斜面底端时速度相同
B．甲、乙两球滑到斜面底端时动能相同
C．甲、乙两球下滑过程中，乙球重力做的功较多
D．甲、乙两球滑到斜面底端时，甲球重力的瞬时功率较大
（2023春 浦东新区校级期末）一列质量为m的磁悬浮列车，以恒定功率P在平直轨道上由静止开始运动，经时间t达到该功率下的最大速度vm，设磁悬浮列车行驶过程所受到的阻力保持不变，在时间t过程中，下列说法正确的是（　　）
A．磁悬浮列车的加速度不断增大
B．磁悬浮列车的阻力大小为
C．磁悬浮列车克服阻力做的功为
D．磁悬浮列车克服阻力做的功为
（2023春 广州期末）复兴号动车在世界上首次实现速度350km/h自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果.一列质量为m的动车，初速度为0，以恒定功率P在平直轨道上运动，经时间t0达到该功率下的最大速度vm，设动车行驶过程所受到的阻力f保持不变，其加速过程的速度随时间变化关系如图所示．则动车在时间t0内（　　）
A．做匀加速直线运动 B．平均速度
C．最大速度 D．牵引力做功
（2023春 大兴区期末）某地有一风力发电机，它的叶片转动时可形成半径为R的圆面。某段时间内该区域的风速大小为v，风恰好与叶片转动的圆面垂直，已知空气的密度为ρ，风力发电机的发电效率为η，下列说法错误的是（　　）
A．单位时间内通过叶片转动圆面的空气质量为ρπvR2
B．此风力发电机发电的功率为
C．若仅风速减小为原来的，发电的功率将减小为原来的
D．若仅叶片半径增大为原来的2倍，发电的功率将增大为原来的4倍
题型三 机车启动问题
1．机车以恒定功率启动的运动过程分析
所以机车达到最大速度时a＝0，F＝f，P＝Fvm＝fvm，这一启动过程的v－t图像如图1所示，其中vm＝.
2．机车以恒定加速度启动的运动过程分析
所以机车在匀加速运动中达到最大速度v0时，F＝f＋ma，P＝Fv0，v0＝<＝vm，v0继续增大到vm，加速度逐渐减小到零，最后仍有vm＝，做匀速运动．这一运动过程的v－t图像如图2所示．
说明　(1)以恒定加速度启动时，匀加速结束时速度并未达到最大速度vm.
(2)两种启动方式最终最大速度的计算均为vm＝.
类型1 恒定功率启动
（2023春 唐山期末）一辆汽车以恒定功率分别在甲、乙两平直路面上启动后，其v﹣t图像如图所示。设两次汽车行驶时所受阻力恒定，则在甲、乙两路面上汽车所受阻力大小之比为（　　）
A．3：2 B．2：3 C．1：2 D．2：1
（2023春 佛山期末）某国产新能源汽车发布的最新高端越野车百公里加速时间仅需3s多，该车以最大功率从静止启动沿直线行驶，其受到的阻力大小视为不变，根据表格中的数据，下列说法正确的是（　　）
车总质量 3.2t
牵引力最大功率 800kW
最大速度 180km/h
A．启动后，越野车做匀加速运动
B．加速过程中，牵引力做的功等于越野车动能的增加量
C．越野车加速过程中所受到的阻力大小为1.6×104N
D．当越野车速度为90km/h时，其加速度大小为10m/s2
（2023春 乌鲁木齐期末）发动机额定功率为80kW的汽车，质量为2×103kg，在水平路面上行驶时汽车所受摩擦阻力恒为4×103N，若汽车在平直公路上以额定功率启动，则下列说法中正确的是（　　）
A．汽车的加速度和速度都逐渐增加
B．汽车匀速行驶时，所受的牵引力为零
C．汽车的最大速度为20m/s
D．当汽车速度为5m/s时，其加速度为8m/s2
类型2 恒定加速度启动
（2023春 北碚区校级期末）细细想来，小明觉得自己应该去办公室给老班道个歉。因为未来不管做什么，都离不开数学和物理的基础，例如正在兴起的新能源汽车：某汽车在水平路面上以恒定加速度a启动，v﹣t图像如图所示，已知汽车的质量为m，发动机的额定功率为P0，受到的阻力大小恒为f，则（　　）
A．t1﹣t2时间内，汽车牵引力的冲量大小为I2＝m（vm v1） f（t2 t1）
B．t1﹣t2 时间内，汽车发生的位移大小为
C．0﹣t2时间内，汽车牵引力的冲量大小为I＝mvm﹣ft2
D．0﹣t2时间内，汽车克服阻力做的功为Wf
（2023春 沙坪坝区校级期末）有一辆汽车在水平路面上由静止启动，其发动机的牵引力随时间的变化曲线如图所示。汽车从t1时刻开始以额定功率行驶，t2时刻之后牵引力恒定。若汽车行驶时所受的阻力恒定，则（　　）
A．0～t0时间内汽车加速度一直增大
B．t0～t1时间内汽车做匀速直线运动
C．t0～t1时间内汽车的牵引力的功率在增大
D．t1～t2时间内汽车的合外力的功率保持不变
（2023春 香坊区校级期末）一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5s内做匀加速直线运动，5s末达到额定功率，之后保持以额定功率（P额）运动。其v﹣t图像如图所示。汽车的质量为m＝2×103kg，汽车受到地面的阻力为车重力的0.1倍，取重力加速度g＝10m/s2，则以下说法正确的是（　　）
A．汽车在前5s内的牵引力为6×103N
B．汽车的额定功率为40kW
C．汽车的最大速度为20m/s
D．0～t0时间内汽车牵引力做的功为P额t0
（2023春 陈仓区期末）质量m＝200kg的小型电动汽车在平直的公路上由静止启动，图象甲表示汽车运动的速度与时间的关系，图象乙表示汽车牵引力的功率与时间的关系。设汽车在运动过程中阻力不变，在18s末汽车的速度恰好达到最大。则下列说法正确的是（　　）
A．汽车受到的阻力200N
B．汽车的最大牵引力为800N
C．8s～18s过程中汽车牵引力做的功为8×104J
D．汽车在做变加速运动过程中的位移大小为90m
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专题09 功和功率
题型一 功的分析和计算 1
类型1 恒力做功问题 2
类型2 变力做功问题 4
题型二 功率的分析和计算 8
类型1 功率的分析和计算 8
类型2 功率和功综合问题的分析和计算 12
题型三 机车启动问题 16
类型1 恒定功率启动 17
类型2 恒定加速度启动 19
题型一 功的分析和计算
1．功的正负
(1)0≤α<90°，力对物体做正功．
(2)90°<α≤180°，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功．
(3)α＝90°，力对物体不做功．
2．功的计算：W＝Flcos_α
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为物体对地的位移．
(2)该公式只适用于恒力做功．
(3)功是标(填“标”或“矢”)量．
3．变力做功几种方法
类型1 恒力做功问题
（2023春 西宁期末）如图，一木块从固定的粗糙斜面顶端沿斜面匀速下滑，在下滑过程中，下列说法正确的有（　　）
A．支持力对木块做正功 B．重力对木块做负功
C．合力做功为零 D．摩擦力对木块做正功
【解答】解：ABD、木块在下滑过程中受重力，支持力，滑动摩擦力，其中重力方向与位移方向的夹角小于90°，重力做正功；支持力方向与位移方向垂直，支持力不做功；滑动摩擦力方向与位移方向相反，摩擦力对木块做负功，故ABD错误；
C、木块匀速下滑，则受力平衡，根据动能定理可知，合外力做功为零，故C正确；
故选：C。
（2023春 兰州期末）如图所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ。现使斜面水平向左匀速移动距离l。该过程中，斜面对物体做的功、各力对物体做的总功分别是（　　）
A．﹣mglsinθcosθ；0
B．0；0
C．0；mglsinθcosθ
D．﹣mglsinθcosθ；mglsinθcosθ
【解答】解：斜面水平向左匀速移动距离l过程中，物体受重力、支持力、摩擦力受力平衡，合力为零，各力对物体做的总功即合力做功，故各力对物体做的总功为零；物体受重力、支持力、摩擦力受力平衡，合力为零，斜面体对物体作用力为支持力、摩擦力，这二力的合力竖直向上，与速度方向垂直，斜面对物体做的功，即为这二力的合力做的功，故为零。故ACD错误，B正确。
故选：B。
（2023春 临潼区期末）图为体育生在高考前进行体能训练的一种方式，若他们拖着旧轮胎从水平路面以恒定速率运动到斜坡上，则（　　）
A．轮胎在斜坡上受到的支持力对轮胎做正功
B．轮胎受到的拉力对轮胎始终做正功
C．轮胎受到的重力对轮胎始终没有做功
D．轮胎受到的摩擦力对轮胎先做负功后做正功
【解答】解：A、轮胎在水平面上受到的支持力竖直向上，与运动方向垂直，对轮胎不做功，轮胎在斜坡上受到的支持力垂直斜坡斜向上，与运动方向垂直，对轮胎不做功，故A错误；
B、轮胎受到的拉力沿绳方向，与轮胎运动方向夹角始终为锐角，对轮胎做正功，故B正确；
C、轮胎所受的重力竖直向下，轮胎在水平面上运动时，重力方向与运动方向垂直，对轮胎不做功，在斜坡上运动时，重力方向与运动方向夹角为钝角，对轮胎做负功，故C错误；
D、轮胎受到的摩擦力始终与轮胎运动方向相反，对轮胎做负功，故D错误。
故选：B。
（2023 青秀区校级三模）如图所示，在光滑水平面上质量为M的小车正以速度v0向右运动，现有一质量为m的木块也以速度v0从右端冲上车面，由于摩擦小车速度将发生变化，为使小车继续保持v0匀速运动，须及时给小车施一水平力，当M和m的速度相等时将力去掉。设M和m间的动摩擦因数处处相同，车足够长，则此过程中水平力对小车做的功（　　）
A．0.5 B． C．1.5 D．2
【解答】解：选取向右为正方向，对木块，由动量定理得：
μmgt＝mv0﹣（﹣mv0）＝2mv0…①
小车做匀速直线运动，由平衡条件得：F＝μmg…②
小车在t时间内的位移：x＝v0t…③
水平力对小车做功：W＝Fx…④
解得：W＝2，故ABC错误，D正确。
故选：D。
类型2 变力做功问题
（2023 重庆模拟）如图所示，半径为R的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内。某时刻，质量为1kg、直径略小于细圆管内径的小球A（可视为质点）从细管最高点静止释放，当小球A和细圆管轨道圆心连线与竖直方向夹角为37°时，小球对轨道的压力大小为（　　）（g＝10m/s2）
A．38N B．40N C．42N D．44N
【解答】解：以小球为研究对像，设图示位置轨道对小球的支持力为FN，小球从最高点到图示位置，根据动能定理可得
在图示位置，对小球，根据牛顿第二定律可得：FN﹣mgcos37°
联立方程，代入数据解得：FN＝44N
根据牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力大小为44N。
故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2023春 辽宁期末）如图甲所示，某物体在光滑水平面上受外力作用从坐标原点O由静止开始沿x轴正方向运动，其加速度a随位移x变化的规律如图乙所示，图中加速度的最大值为amax，x1和x2已知，则物体（　　）
A．在0～x1内做匀加速直线运动
B．在x1处速度最大
C．在物体由x＝0运动到x＝x1的过程中合外力对物体所做的功为W1＝mamaxx1
D．在物体由x＝0运动到x＝x2的过程中合外力对物体所做的功为W2mamaxx2
【解答】解：A、在0～x1内，物体的加速度逐渐增大，做加速度逐渐增大的变加速直线运动，故A错误；
B、物体的加速度一直沿正方向，则加速度方向一直与速度方向相同，所以物体一直做加速直线运动，在x2处速度最大，故B错误；
C、根据牛顿第二定律得F合＝ma，根据F合﹣x图象与x轴所围的面积表示合外力做功，则在物体由x＝0运动到x＝x1的过程中合外力对物体所做的功为W1mamaxx1，故C错误；
D、根据F合﹣x图象与x轴所围的面积表示合外力做功，则在物体由x＝0运动到x＝x2的过程中合外力对物体所做的功为W2mamaxx2，故D正确。
故选：D。
（2023春 浦东新区校级期中）如图1所示，物体A在水平拉力F作用下沿水平面做直线运动，拉力F随位移s的变化情况如图2所示。则关于拉力F的做功情况，下列说法中正确的是（　　）
A．拉力在0～5m内对物体做了8J的功
B．拉力在3m～5m内对物体做了2J的功
C．拉力在0～4m比0～5m内对物体做的功要少
D．拉力在0～3m与0～5m内对物体做的功相同
【解答】解：ABD．F﹣s图象中图线与横轴围成的面积表示力F所做的功，由图可知，根据对称性可知在3m～5m内图线与横轴围成的面积上下刚好抵消，即该段时间内拉力对物体做功为零；所以拉力在0～3m与0～5m内对物体做的功相同；拉力在0～5m内对物体做功等于前3s所做的功，大小W＝Fs＝2×3J＝6J，故AB错误，D正确；
C．拉力在0～4m时对物体一直做正功，在4m～5m内对物体做负功，故拉力在0～4m比0～5m内对物体做的功要多，故C错误。
故选：D。
（2023 南通二模）如图所示，小球穿过粗糙的竖直杆，轻质弹性绳的左端与小球相连，右端固定在墙上N点，弹性绳跨过M处的光滑小滑轮，O为竖直杆上的一点，O、M、N在同一水平线上，弹性绳的自然长度和MN间距离相同。小球从O点静止释放，到达最低点P后又继续向上运动，Q为OP中点。绳中弹力始终遵从胡克定律，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则小球（　　）
A．从O运动至P的过程中，受到摩擦力变大
B．第一次运动至Q点时，速度最大
C．从P点返回的过程中，速度最大的位置在Q点上方
D．最终可以停在Q点上方的某一位置
【解答】解：A、设弹性绳与竖直方向的夹角为θ，由胡克定律得，弹性绳的弹力为kl（l为弹性绳与滑轮所在M点及杆上O点构成的直角三角形的斜边长），当小球从O点沿着杆下降的过程中，对小球做受力分析可得受力分析如下图所示，
对P受力分析，水平方向由平衡条件得：Fx＝klsinθ。由几何关系可知lsinθ始终等于dOM的长度，因此可知弹性绳的弹力在水平方向的分力大小始终不变，小球在竖直杆上滑动的过程中所受摩擦力为滑动摩擦力，大小为f＝μN＝μFx＝μklsinθ＝μkdOM，则摩擦力大小始终不变，故A错误；
B、对小球在O点向P点运动的过程中，竖直方向上小球所受合力为：F合＝mg﹣f﹣klcosθ＝mg﹣μkdOM﹣klcosθ，其中lcosθ等于小球从O点下落的距离，设x＝lcosθ，则有：F合＝mg﹣μkdOM﹣kx，小球下滑过程中，重力和摩擦力为恒力，以上等式关系可类比弹簧振子在最大位移处竖直向下做简谐振动时合力的变化，而Q为OP的中点，则可知小球第一次运动至Q点时速度最大，故B正确；
C、从P点返回的过程中，摩擦力向下，竖直方向有F合2＝mg+f﹣kx，类比小球第一次下降的过程，若合力不变，则小球仍然在上升至Q点时速度达到最大，但实际上在小球第一次从最低点P上升的过程中，竖直向下的力增大了，则小球需要克服阻碍其运动的力而做的功增加了，因此从能量的角度考虑，小球从P点返回的过程中，速度最大的位置一定在Q点的下方，故C错误；
D、由以上分析可知，小球每次下降后再上升的过程中其平衡位置都在下降，由此可知，当小球最终停止时一定停在Q点下方的某一位置处，故D错误。
故选：B。
题型二 功率的分析和计算
1．公式P＝和P＝Fv的区别
P＝是功率的定义式，P＝Fv是功率的计算式．
2．平均功率的计算方法
(1)利用＝.
(2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度．
3．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度．
(2)P＝F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度．
(3)P＝Fv·v，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力．
类型1 功率的分析和计算
（2023春 抚顺期末）某质点的质量m＝1kg，在Oxy平面上运动。t＝0时，质点位于y轴上。它在x轴方向上运动的速度与时间的关系图像如图甲所示，它在y轴方向上运动的位移与时间的关系图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　）
A．质点做匀变速直线运动
B．质点受到的合力的大小4N
C．第2s末，质点合力做功的功率20W
D．当t＝2s时，质点的速度大小为10m/s
【解答】解：A、质点在x轴上做初速度为4m/s的匀速直线运动，在y轴上做匀速直线运动，合外力方向与合速度方向不共线，质点做匀变速曲线运动，故A错误；
B、v﹣t图像的斜率表示加速度，则有：am/s2＝2m/s2，质点受到的合力的大小为：F＝ma＝1×2N＝2N，故B错误；
C、t＝2s时，质点沿x轴方向运动的速度大小vx＝8m/s，第2s末，合力做功的功率P＝Fvx＝2×8W＝16W，故C错误；
D、t＝2s时，y轴方向的速度大小：vym/s＝6m/s
则合速度大小：vm/s＝10m/s，故D正确。
故选：D。
（2023 湖北）两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v1和v2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意可知两节动车功率分别为
P1＝f1v1
P2＝f2v2
当把它们编组后
P1+P2＝（f1+f2）v
联立解得
v
故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2023春 崂山区校级期末）自动扶梯的应用相当广泛，给生产、生活带来极大的方便．某斜坡式扶梯的长度13m，对应的高度是5m，木箱与扶梯表面的摩擦因数为0.5，扶梯可以恒定的速率1m/s向上或向下运动．高一2班的小张同学将质量为10kg的木箱轻放在扶梯上．重力加速度g取10m/s2，以下分析正确的是（　　）
A．若放在电梯上端向下运送，木箱在沿斜坡向下运动了0.65m时速率达到1m/s
B．若放在电梯下端向上运送，木箱在沿斜坡向上运动了0.65m时速率达到1m/s
C．木箱与扶梯共速后，摩擦力对木箱的功率绝对值是W
D．向上运送全过程，因木箱而使电机输出的能量额外增加了1205J
【解答】解：设电梯与水平面的夹角为θ，则
A、若放在电梯上端向下运送，设加速度大小为a1，根据牛顿第二定律有mgsinθ+μmgcosθ＝ma1，代入数据解得.木箱速率达到1m/s时所经过的距离为，故A错误；
B、若放在电梯下端向上运送，设加速度大小为a2，根据牛顿第二定律有μmgcosθ﹣mgsinθ＝ma2，解得。木箱速率达到1m/s时所经过的距离为，故B正确；
C、木箱与扶梯共速后，木箱受静摩擦力作用，大小f＝mgsinθ，则摩擦力对木箱的功率绝对值是P＝fv，代入数据解得，故C错误；
D、向上运送全过程，由能量守恒定律可知，因木箱而使电机输出的能量额外增加的为摩擦产生的热和木箱的机械能之和，由运动学公式v＝v0+at可得，共速需要的时间为。所以木箱与传送带之间的相对位移为。则摩擦产生的热量为Q＝μmgcosθ Δx。代入数据解得Q＝30J。木箱的动能为，木箱的重力势能为Ep＝mgh＝10×10×5J＝500L.则因木箱而使电机输出的能量额外增加了ΔE＝Q+Ep+Ek＝30J+5J+500J＝535J，故D错误。
故选：B。
（2023春 包头期末）如图所示，质量相等的小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。两小球可视为质点，忽略空气阻力，则（　　）
A．整个运动过程中A、B的位移相等
B．A、B平抛的初速度之比为1：2
C．A、B落地时重力的瞬时功率之比为
D．A、B从抛出到落地的过程中重力的平均功率之比为2：1
【解答】解：A、位移是矢量，由图可知，A、B两球的位移方向不同，故A、B两球的位移不同，故A错误；
B、根据平抛运动的研究方法，对A球有
l＝vAtA
对B球有
2l＝vBtB
解得
故B错误；
C、根据以上分析，可得A、B两球落地时竖直方向的瞬时速度分别为
vAy＝gtA
vBy＝gtB
而
则可得A、B落地时重力的瞬时功率之比为
故C正确；
D、A、B从抛出到落地的过程中重力的平均功率之比为
故D错误。
故选：C。
类型2 功率和功综合问题的分析和计算
（2023春 房山区期末）如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方有一钉子C，把悬线另一端的小球A拉到跟悬点在同一水平面处无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线与钉子C相碰，开始绕钉子运动。不计空气阻力和细绳与钉子相碰时的能量损失，以下说法正确的是（　　）
A．碰到钉子的瞬间，悬线拉力的功率最大
B．钉子C越靠近O点悬线越容易断
C．碰钉子的瞬间悬线拉力做正功，所以小球的速度迅速增大
D．从开始释放到悬线碰钉子之前，小球重力的功率先增大后减小
【解答】解：A、碰到钉子的瞬间，悬线拉力的方向与速度方向垂直，拉力的功率为零，故A错误；
B、碰到钉子时，对小球受力分析，由牛顿第二定律得：T﹣mg＝m
解得：T＝mg+m
钉子C越靠近O点，r越大，绳子拉力越大，悬线越不容易断，故B错误；
C、碰钉子的瞬间悬线拉力与速度方向垂直，拉力不做功，小球的速度不变，故C错误；
D、开始释放时，小球的速度为零，则重力的功率为零，悬线碰钉子之前，小球速度方向与重力方向垂直，重力的功率为零，则从开始释放到悬线碰钉子之前，小球重力的功率先增大后减小，故D正确。
故选：D。
（2023春 香坊区校级期末）如图所示，甲、乙两个完全相同的小球，从高度不同、底面长度相同的光滑斜面顶端由静止释放，已知斜面倾角θ1＞θ2，两小球均可视为质点，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两球滑到斜面底端时速度相同
B．甲、乙两球滑到斜面底端时动能相同
C．甲、乙两球下滑过程中，乙球重力做的功较多
D．甲、乙两球滑到斜面底端时，甲球重力的瞬时功率较大
【解答】解：AB、设小球下滑高度为h，甲乙两球下滑过程由动能定理得，小球滑到底端的动能为：Ekmv2＝mgh
解得：v
甲小球下滑高度h更大，则甲小球滑到底端时速度更大，动能更大，故AB错误；
C、小球重力做功WG＝mgh
甲小球下滑高度h更大，则甲球重力做的功较多，故C错误；
D、设小球滑到底端的水平位移为x，小球滑到底端时，重力的瞬时功率为P＝mgvsinθ＝mgsinθmgsinθ
甲、乙两球滑到斜面底端时，斜面倾角θ1＞θ2，则sinθ1＞sinθ2，tanθ1＞tanθ2，则甲球重力的瞬时功率较大，故D正确。
故选：D。
（2023春 浦东新区校级期末）一列质量为m的磁悬浮列车，以恒定功率P在平直轨道上由静止开始运动，经时间t达到该功率下的最大速度vm，设磁悬浮列车行驶过程所受到的阻力保持不变，在时间t过程中，下列说法正确的是（　　）
A．磁悬浮列车的加速度不断增大
B．磁悬浮列车的阻力大小为
C．磁悬浮列车克服阻力做的功为
D．磁悬浮列车克服阻力做的功为
【解答】解：A、根据P＝fv可知，列车的速度v逐渐增大，则牵引力F逐渐减小，由牛顿第二定律可知，列车的加速度逐渐变小，故A错误；
B、当列车的牵引力F＝f时，即列车的加速度减小为零时，列车的速度达到最大，所以列车所受阻力大小为，故B错误；
CD、设列车克服阻力做功为Wf，根据动能定理有，解得，故C错误，D正确。
故选：D。
（2023春 广州期末）复兴号动车在世界上首次实现速度350km/h自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果.一列质量为m的动车，初速度为0，以恒定功率P在平直轨道上运动，经时间t0达到该功率下的最大速度vm，设动车行驶过程所受到的阻力f保持不变，其加速过程的速度随时间变化关系如图所示．则动车在时间t0内（　　）
A．做匀加速直线运动 B．平均速度
C．最大速度 D．牵引力做功
【解答】解：A．复兴号以恒定功率运动，根据功率公式，牵引力
根据牛顿第二定律F﹣f＝ma
联立得
由此可知随着速度的增加，牵引力逐渐减小，加速度减小，因此复兴号动车做加速度逐渐减小的变加速直线运动，故A错误；
B．0～t0这段时间内，若动车做匀加速直线运动，则平均速度
根据“面积法”，0～t0这段时间内的位移
根据平均速度的定义，故B错误；
C．根据牛顿第二定律F﹣f＝ma可知，当加速度为零，速度达到最大
此时有F＝f
即
最大速度，故C正确；
D．根据动能定理
牵引力做功，故D错误。
故选：C。
（2023春 大兴区期末）某地有一风力发电机，它的叶片转动时可形成半径为R的圆面。某段时间内该区域的风速大小为v，风恰好与叶片转动的圆面垂直，已知空气的密度为ρ，风力发电机的发电效率为η，下列说法错误的是（　　）
A．单位时间内通过叶片转动圆面的空气质量为ρπvR2
B．此风力发电机发电的功率为
C．若仅风速减小为原来的，发电的功率将减小为原来的
D．若仅叶片半径增大为原来的2倍，发电的功率将增大为原来的4倍
【解答】解：A、设发电机的叶片半径为R，吹到叶片的风速为v，空气的密度为ρ，建立如图所示的圆柱模型：
风与叶片发生相互作用的时间t内，圆柱体积表示为V＝πR2vt，则单位时间内通过叶片的转动圆面的空气质量m＝ρπvR2，故A正确；
B、设单位时间内通过叶片的转动圆面的空气的动能为：EkρπvR2v2
动能转化为电能的效率为η，由功率公式，可得此风力发电机发电的功率为：Pρπv3R2η，故B正确；
C、若仅风速减小为原来的，由发电的功率Pρπv3R2η，可以得出减小为原来的，故C错误；
D、若仅叶片半径增大为原来的2倍，由发电的功率Pρπv3R2η，可以得出增大为原来的4倍，故D正确。
本题选择错误的，故选：C。
题型三 机车启动问题
1．机车以恒定功率启动的运动过程分析
所以机车达到最大速度时a＝0，F＝f，P＝Fvm＝fvm，这一启动过程的v－t图像如图1所示，其中vm＝.
2．机车以恒定加速度启动的运动过程分析
所以机车在匀加速运动中达到最大速度v0时，F＝f＋ma，P＝Fv0，v0＝<＝vm，v0继续增大到vm，加速度逐渐减小到零，最后仍有vm＝，做匀速运动．这一运动过程的v－t图像如图2所示．
说明　(1)以恒定加速度启动时，匀加速结束时速度并未达到最大速度vm.
(2)两种启动方式最终最大速度的计算均为vm＝.
类型1 恒定功率启动
（2023春 唐山期末）一辆汽车以恒定功率分别在甲、乙两平直路面上启动后，其v﹣t图像如图所示。设两次汽车行驶时所受阻力恒定，则在甲、乙两路面上汽车所受阻力大小之比为（　　）
A．3：2 B．2：3 C．1：2 D．2：1
【解答】解：汽车的功率恒定为P，速度最大时F＝f，根据P＝Fv可知阻力之比等于最大速度的反比，即甲、乙两路面上汽车所受阻力大小之比为，故ACD错误，B正确。
故选：B。
（2023春 佛山期末）某国产新能源汽车发布的最新高端越野车百公里加速时间仅需3s多，该车以最大功率从静止启动沿直线行驶，其受到的阻力大小视为不变，根据表格中的数据，下列说法正确的是（　　）
车总质量 3.2t
牵引力最大功率 800kW
最大速度 180km/h
A．启动后，越野车做匀加速运动
B．加速过程中，牵引力做的功等于越野车动能的增加量
C．越野车加速过程中所受到的阻力大小为1.6×104N
D．当越野车速度为90km/h时，其加速度大小为10m/s2
【解答】解：A、车以最大功率从静止启动，根据
P＝Fv
可知牵引力随速度的增大先要减少，动车先做加速度减小的加速运动，故A错误；
B、加速过程中，根据动能定理有
WF﹣Wf＝ΔEk
可知牵引力做的功大于越野车动能的增加量，故B错误；
C、动车行驶的最大速度时，有
故C正确；
D、当越野车速度为 90km/h＝25m/s 时，有
根据牛顿第二定律有
F′﹣f＝ma，则am/s2＝5m/s2
故D错误。
故选：C。
（2023春 乌鲁木齐期末）发动机额定功率为80kW的汽车，质量为2×103kg，在水平路面上行驶时汽车所受摩擦阻力恒为4×103N，若汽车在平直公路上以额定功率启动，则下列说法中正确的是（　　）
A．汽车的加速度和速度都逐渐增加
B．汽车匀速行驶时，所受的牵引力为零
C．汽车的最大速度为20m/s
D．当汽车速度为5m/s时，其加速度为8m/s2
【解答】解：A、汽车在平直公路上以额定功率启动，根据P＝Fv可知，随速度的增大，汽车的牵引力减小，则加速度：a，可知汽车的加速度随速度的增大而减小。故A错误。
B、当牵引力等于阻力时，速度达到最大，所以汽车匀速行驶时，所受的牵引力等于阻力，故B错误。
C、当牵引力等于阻力时，速度最大，则最大速度为：．故C正确。
D、当汽车速度为5m/s时，牵引力为：F，根据牛顿第二定律得，加速度为：a，故D错误。
故选：C。
类型2 恒定加速度启动
（2023春 北碚区校级期末）细细想来，小明觉得自己应该去办公室给老班道个歉。因为未来不管做什么，都离不开数学和物理的基础，例如正在兴起的新能源汽车：某汽车在水平路面上以恒定加速度a启动，v﹣t图像如图所示，已知汽车的质量为m，发动机的额定功率为P0，受到的阻力大小恒为f，则（　　）
A．t1﹣t2时间内，汽车牵引力的冲量大小为I2＝m（vm v1） f（t2 t1）
B．t1﹣t2 时间内，汽车发生的位移大小为
C．0﹣t2时间内，汽车牵引力的冲量大小为I＝mvm﹣ft2
D．0﹣t2时间内，汽车克服阻力做的功为Wf
【解答】解：A、t1﹣t2 时间内，根据动量定理有
I2﹣f（t2﹣t1）＝m（vm﹣v1）
解得汽车牵引力的冲量大小为
I2＝m（vm﹣v1）+f（t2﹣t1）
故A错误；
B、t1﹣t2 时间内，由动能定理有
解得 t1﹣t2时间内，汽车发生的位移大小为
故B错误；
C、0﹣t2 时间内，由动量定理有
I﹣ft2＝mvm
解得0﹣t2 时间内，汽车牵引力的冲量大小为
I＝mvm+ft2
故C错误；
D、0﹣t2 时间内，设汽车克服阻力做的功为Wf，由动能定理有
解得
故D正确。
故选：D。
（2023春 沙坪坝区校级期末）有一辆汽车在水平路面上由静止启动，其发动机的牵引力随时间的变化曲线如图所示。汽车从t1时刻开始以额定功率行驶，t2时刻之后牵引力恒定。若汽车行驶时所受的阻力恒定，则（　　）
A．0～t0时间内汽车加速度一直增大
B．t0～t1时间内汽车做匀速直线运动
C．t0～t1时间内汽车的牵引力的功率在增大
D．t1～t2时间内汽车的合外力的功率保持不变
【解答】解：A．汽车在t2时刻之后牵引力恒定，此时牵引力大小与阻力大小相等，汽车速度达到最大值，设此时牵引力为F1，则
f＝F1
因此当F＞F1时，汽车才开始运动，而不是计时开始就运动，故A错误；
BC．t0～t1时间内牵引力F大小不变，根据牛顿第二定律可得
加速度大小不变，汽车做匀加速直线运动，速度增大，而由P＝Fv可知汽车的牵引力的功率在增大，故B错误，C正确；
D．t1～t2时间内汽车以额定功率行驶，即
P额＝Fv
t1～t2时间内牵引力在减小，但是，牵引力仍大于阻力，故汽车速度在增加，合外力的功率为
P合＝P额﹣fv
由于汽车速度增加，因此阻力功率增大，故合外力功率减小，故D错误。
故选：C。
（2023春 香坊区校级期末）一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5s内做匀加速直线运动，5s末达到额定功率，之后保持以额定功率（P额）运动。其v﹣t图像如图所示。汽车的质量为m＝2×103kg，汽车受到地面的阻力为车重力的0.1倍，取重力加速度g＝10m/s2，则以下说法正确的是（　　）
A．汽车在前5s内的牵引力为6×103N
B．汽车的额定功率为40kW
C．汽车的最大速度为20m/s
D．0～t0时间内汽车牵引力做的功为P额t0
【解答】解：A、由图像得，前5s内，汽车的加速度为am/s2＝2m/s2
由牛顿第二定律得：F﹣F阻＝ma
由题意得：F阻＝0.1mg＝0.1×2×103×10N＝2×103N
代入数据联立解得：F＝6×103N
故A正确；
B、5s时，汽车的功率达到额定功率，额定功率P额＝Fv＝6×103×10W＝6×104W＝60kW
故B错误；
C、t0时刻汽车的速度达到最大值，此时牵引力等于阻力，有vmm/s＝30m/s
故C错误；
D、0～5s时间内，汽车的功率小于额定功率，5s～t0时间内，汽车的功率等于额定功率，则0～t0时间内汽车牵引力做的功小于P额t0，故D错误。
故选：A。
（2023春 陈仓区期末）质量m＝200kg的小型电动汽车在平直的公路上由静止启动，图象甲表示汽车运动的速度与时间的关系，图象乙表示汽车牵引力的功率与时间的关系。设汽车在运动过程中阻力不变，在18s末汽车的速度恰好达到最大。则下列说法正确的是（　　）
A．汽车受到的阻力200N
B．汽车的最大牵引力为800N
C．8s～18s过程中汽车牵引力做的功为8×104J
D．汽车在做变加速运动过程中的位移大小为90m
【解答】解：A、当牵引力等于阻力时，速度达到最大值，根据功率公式，可得汽车受到的阻力为：fN＝800N，故A错误；
B、汽车做匀加速运动的牵引力最大，根据功率公式，可得汽车的最大牵引力为：FmN＝1000N，故B错误；
C、8s﹣18s过程中汽车牵引力已达到最大功率，所以牵引力做的功为：W＝Pt＝8×103×（18﹣8）J＝8×104J，故C正确；
D、8s～18s过程中，根据动能定理得：Pt﹣fx，代入数据解得汽车在做变加速运动过程中的位移大小为：x＝95.5m，故D错误。
故选：C。
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