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1.2 空间向量基本定理
一、新知自学
1.空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c ，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组 ，使得.
2.基底和基向量：如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，把 叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做 ，空间任意三个 的向量都可以构成空间的一个基底.
3.空间向量的正交分解：特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都为1，那么这个基底叫做 ，常用表示，由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使 .像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行 .
二、问题思考
1.如何判断由三个向量组成的向量组能否作为基底？
2.用基底表示向量的步骤是什么？
三、练习检测
1.在长方体中，可以作为空间向量一个基底的是( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
2.如图，在平行六面体中，与的交点为M.设，，，则下列向量中与相等的是( ).
A. B.
C. D.
3.已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数x的值为___________.
4.如图，已知正四面体OABC的棱长都等于1，M，N，P分别是OA，BC，OC的中点，且，，.
(1)用a，b，c表示，；
(2)求.
【答案及解析】
一、新知自学
1.不共面
2. 基向量 不共面
3.两两垂直 单位正交基底 正交分解
二、问题思考
1.判断由三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是判断这三个向量是否共面，首先考虑三个向量是不是零向量，其次判断三个非零向量是否共面.如果从正面入手难以判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面.
2.（1）定基底：根据已知条件确定三个不共面的向量，这三个向量的集合构成空间向量的一组基底.
（2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.
（3）下结论：利用空间向量的一组基底表示出空间中的向量，但要注意表示要彻底，即表示的结果中只能含有基向量，不能含有其他的向量
三、练习检测
1.答案：C
解析：如图.因为，所以，，共面，故A不符合题意；因为，所以，，共面，故B不符合题意；因为，，不共面，故C符合题意；因为，，共面，故D不符合题意.选C.
2.答案：A
解析：.
3.答案：
解析：由题意可得，.又因为P是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，所以，解得.
4.解析：(1)
，
.
(2)易知，，
所以.

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