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1.1.2 空间向量的数量积运算
一、新知自学
1.空间向量的夹角:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,令,,则叫做向量a,b的夹角,记作 .
若,则向量a,b ,记作.
2.空间向量的数量积:已知两个非零向量a,b,则 叫做a,b的数量积,记作 ,即. 特别地,零向量与任意向量的数量积为 .
由向量的数量积定义得到: ; .
3.向量的投影:向量a向向量b投影,得到与向量b 的向量c, ,则向量c称为向量a在向量b上的投影向量.
4.空间向量数量积的运算律:
(1) ,;
(2)(交换律);
(3) (分配律).
二、问题思考
1.求两个向量的数量积时,有哪些方法?
2.解决与夹角有关的问题时需要注意什么?
三、练习检测
1.设a,b为空间中的任意两个非零向量,则下列各式正确的有( )
A. B.
C. D.
2.在正三棱柱中,,则异面直线与所成角的余弦值为___________.
3.若非零向量a,b,c满足,且,,,则__________.
4.如图,在长方体中,,,E,F分别为,的中点.计算:
(1);
(2);
(3).
【答案及解析】
一、新知自学
1. 互相垂直
2. 0
3.共线
4.
二、问题思考
1.(1)当已知向量的模和夹角时,可利用求解;
(2)利用向量数量积的几何意义求解,解决与几何图形中向量的数量积有关的运算问题时,可利用向量的加减运算或数量积的运算律进行化简,但一定要注意向量的夹角与已知角的关系是相等还是互补.
2.(1)可利用求两个向量的夹角;
(2)若不共线的两个向量的数量积大于0,则它们之间的夹角为锐角;若两个非零向量的数量积等于0,则它们之间的夹角为直角;若两个向量的数量积小于0,则它们之间的夹角为钝角.
三、练习检测
1.答案:AD
解析:对于A,,故A正确;对于B,因为向量不能做除法,即无意义,故B错误;对于C,,故C错误;对于D,,故D正确.选AD.
2.答案:
解析:如图,设,则.由正三棱柱可得且.又,,所以,.
3.答案:-7
解析:.
4.解析:如图,设,,,
则,,,.
(1)
(2)
.
(3)
.
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