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1.1.2 空间向量的数量积运算
一、新知自学
1.空间向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，令，，则叫做向量a，b的夹角，记作 .
若，则向量a，b ，记作.
2.空间向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则 叫做a，b的数量积，记作 ，即. 特别地，零向量与任意向量的数量积为 .
由向量的数量积定义得到： ； .
3.向量的投影：向量a向向量b投影，得到与向量b 的向量c， ，则向量c称为向量a在向量b上的投影向量.
4.空间向量数量积的运算律：
（1） ，；
（2）（交换律）；
（3） （分配律）.
二、问题思考
1.求两个向量的数量积时，有哪些方法？
2.解决与夹角有关的问题时需要注意什么？
三、练习检测
1.设a，b为空间中的任意两个非零向量，则下列各式正确的有( )
A. B.
C. D.
2.在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为___________.
3.若非零向量a，b，c满足，且，，，则__________.
4.如图，在长方体中，，，E，F分别为，的中点.计算：
(1)；
(2)；
(3).
【答案及解析】
一、新知自学
1. 互相垂直
2. 0
3.共线
4.
二、问题思考
1.（1）当已知向量的模和夹角时，可利用求解；
（2）利用向量数量积的几何意义求解，解决与几何图形中向量的数量积有关的运算问题时，可利用向量的加减运算或数量积的运算律进行化简，但一定要注意向量的夹角与已知角的关系是相等还是互补.
2.（1）可利用求两个向量的夹角；
（2）若不共线的两个向量的数量积大于0，则它们之间的夹角为锐角；若两个非零向量的数量积等于0，则它们之间的夹角为直角；若两个向量的数量积小于0，则它们之间的夹角为钝角.
三、练习检测
1.答案：AD
解析：对于A，，故A正确；对于B，因为向量不能做除法，即无意义，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.选AD.
2.答案：
解析：如图，设，则.由正三棱柱可得且.又，，所以，.
3.答案：-7
解析：.
4.解析：如图，设，，，
则，，，.
(1)
(2)
.
(3)
.

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