资源简介

1.1.1 空间向量及其线性运算
一、新知自学
1.空间向量的概念
（1）空间向量及其表示：空间中具有 的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或 .空间向量用字母a，b，c，…表示，或用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为 或.
（2）零向量：规定 的向量叫零向量，记为0.
（3）单位向量：模为 的向量叫单位向量.
（4）相反向量：与向量a长度相等而 的向量，称为a的相反向量，记为 .
（5）共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 ，那么这些向量叫做 或平行向量.规定零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有 .
（6）相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量， 的有向线段表示同一向量或相等向量.
2.空间向量的加法、减法及数乘运算：
（1）；
（2）；
（3）当时，；当时，；当时， .
3.空间向量线性运算的运算律：
（1）交换律： ；
（2）结合律： ， ；
（3）分配律： ， .（其中，）
4.共线向量：对任意两个空间向量a，b（），的充要条件是存在实数，使 .
5.直线的方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得.把与向量a平行的 称为直线l的方向向量.
6.共面向量：如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l. 如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量a平行于平面.平行于 的向量，叫做共面向量.
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的 ，使.
二、问题思考
1.向量与有向线段有什么区别与联系？
2.平面向量与空间向量有什么区别与联系？
3.用已知向量表示其他向量的一般步骤有哪些？
三、练习检测
1.在空间四边形ABCD中，下列表达式的结果与相等的是( )
A. B. C. D.
2.下列命题正确的是( )
A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B.向量a，b，c共面就是它们所在的直线共面
C.零向量没有确定的方向
D.若，则存在唯一的实数，使得
3.如图，在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，若，则___________.
4.在空间四边形ABCD中，连接AC，BD，E，F分别是边AC，BD的中点.设，，则___________.(用a，b，c表示)
【答案及解析】
一、新知自学
1.大小和方向 模 长度为0 1 方向相反 -a 平行或重合 共线向量 同向且等长
2.
3.
4.
5.非零向量
6.同一个平面 有序实数对
二、问题思考
1.向量是既有大小又有方向的量，有向线段是规定了方向的线段，也是既有大小又有方向，用有向线段的长度（大小）表示向量的大小，用有向线段的方向来表示向量的方向.
2.（1）区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量.
（2）联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量、相等向量和共线（平行）向量的概念都与平面向量相同.
3.（1）先观察各个向量在图形中的位置；
（2）寻找相应的平行四边形或三角形；
（3）运用法则找关系；
（4）化简结果.
三、练习检测
1.答案：B
解析：对于A，，故A不符合题意；
对于B，，故B符合题意；
对于C，，故C不符合题意；
对于D，，故D不符合题意.选B.
2.答案：C
解析：若a与b共线，b与c共线，且，则a与c不一定共线，故A错误；向量a，b，c共面就是它们所在的直线共面是不正确的，三个向量所在的直线可以互为异面直线，故B错误；C显然正确；当时，若，则不存在实数，使得，故D错误.选C.
3.答案：1
解析：，
所以，，从而.
4.答案：
解析：.

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