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2022-2023学年贵州省遵义市八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2. 下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是( )
A. ，， B. C. ，， D. ，，
3. 一组数据：，，，，的众数，中位数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4. 下列各式计算正确的是( )
A. B. C. D.
5. 如图，在平行四边形中，平分交边于点，已知，，则的长度是( )
A. B. C. D.
6. 已知为第二象限内的点，则一次函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
7. 某公司招聘员工，对应聘者的学历、工作经验、工作态度、表达能力四方面进行考核其中一位应聘者的这四项得分依次为分、分、分、分每项满分分将四项得分按照如图所示的比例确定面试总成绩，则这位应聘者最后的总成绩为( )
A. 分
B. 分
C. 分
D. 分
8. 如图，根据作图的痕迹可知，点表示的实数为( )
A. B. C. D.
9. 一次函数与在同一平面直角坐标系内的图象如图所示，则不等式组的解集为( )
A.
B.
C.
D. 以上答案都不对
10. 如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为的顶点都在小正方形的格点上，则点到的距离为( )
A.
B.
C.
D.
11. 如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接若，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
12. 如图，在矩形中，点是的中点，连接，将沿着翻折得到，交于点，延长交的延长线于点若，，则( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13. 函数中自变量的取值范围是______．
14. 如果直线经过点和点，则 ______ 填“”“”或“”．
15. 如图，在中，，分别以的三边向外作三个等边三角形，，，其面积分别为，，若，则 ______ ．
16. 如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，点，分别是，的中点，则线段的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共98.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
；
先化简，再求值：，其中．
18. 本小题分
已知，的三边长分别为，，，且满足：：：：．
试判断的形状，并说明理由；
若，求的面积．
19. 本小题分
遵义市某中学开展以“共建书香校园，同享读书之乐”为主题的书香校园活动为有效了解学生课外阅读情况，“善学”兴趣小组随机调查了部分学生每周课外阅读的时间设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为小时，将它们分为五个等级：，，，，，并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．
本次共调查了______ 名学生：被调查学生每周课外阅读总时间的中位数在______ 等级；请补全条形统计图；
若该校共有名学生，请估算每周课外阅读的总时间不低于小时等级的学生约为多少名？
20. 本小题分
菱形是一个比较有美感的图形，小明学习了菱形后非常喜欢菱形的美，想在如图的中画出一个菱形已知是的角平分线，他认真思考后在中按以下步骤作图：
分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点；
作直线分别交，于点，；
连接，．
根据小明的作图步骤，请用直尺和圆规，按以上步骤完成作图；保留作图痕迹
小明作出的四边形是菱形吗？如果是，请证明：如果不是，请说明理由．
21. 本小题分
周末，小王和小李相约徒步从地沿着一条笔直的山路到地游玩由于小王临时有事需处理，小李只能先行出发，小王随后骑自行车追赶小李小王和小李离地的距离与时间之间的函数关系如图所示．
小李先出发______ ；，两地相距______ ；
为避免再次被打乱行程，出发时他们携带了两台对讲机，在两人相距不超过时可以通过对讲机相互通话，两人都在行进的过程中可以通过对讲机通话的时间有多长？
22. 本小题分
阅读下列材料，解决问题：
由此可知，部分含有双重二次根式的式子可以运用以上方法进行化简．
化简：；
现有长度分别为，，的三条线段，以这三条线段的长为边能否构成三角形？请说明理由．
23. 本小题分
某校为更好地落实“双减”政策，丰富学生课余活动，成立了足球兴趣班，学校计划为该兴趣班购买，两种品牌的足球个，经市场调查发现：购买个品牌足球比个品牌足球少元：购买个品牌足球和个品牌足球共需元．
求，两种品牌足球的单价；
设学校购买品牌足球个，购买两种品牌足球所需费用为元，求与之间的函数关系式；
若学校购买品牌足球数量不超过品牌足球数量的，请你给学校设计出费用最少的购买方案，并求出最少费用．
24. 本小题分
已知，四边形是正方形，点不与点重合是对角线上一个动点．
【问题解决】
如图，连接，求证：≌；
【问题延伸】
如图，连接，过点作交线段于点，连接求的度数；
【拓展应用】
如图，连接，过点作交线段于点，在点的运动过程中，请直接写出线段，，的数量关系．
25. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交轴，轴于点，，并与直线：交于点．
求直线的解析式及点的坐标；
若点不与点，重合是线段上一个动点，设点的横坐标为，的面积为求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
在第问的条件下，当时，在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意，
B.，不是最简二次根式，故本选项不符合题意，
C.是最简二次根式，故本选项符合题意，
D.，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，注意：满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
2.【答案】
【解析】解：、，，，不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故B符合题意；
C、，，，不能构成直角三角形，故C不符合题意；
D、，，，不能构成直角三角形，故D不符合题意．
故选：．
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形，由此即可判断．
本题考查勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理．
3.【答案】
【解析】解：把数据由小到大排列为：，，，，
所以这组数据的众数为，中位数为．
故选：．
先把数据由小到大排列，然后根据众数和中位数的定义求解．
本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数的定义．
4.【答案】
【解析】解：．和不能合并，故本选项不符合题意，
B.，故本选项不符合题意，
C.，故本选项符合题意，
D.，故本选项不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加法法则，二次根式的减法法则，二次根式的除法法则和二次根式的性质进行计算，再根据求出的结果找出选项即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：平行四边形，
，，，
，
平分交边于点，
，
，
，
，
．
故选：．
根据平行四边形的性质得到，根据角平分线的定义得到，进而得到，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性定义，掌握平行四边形的性质，角平分线的定义是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：点为第二象限内的点，
，，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，观察选项，选项符合题意．
故选：．
根据已知条件“点为第二象限内的点”推知、的符号，由它们的符号可以得到一次函数的图象所经过的象限．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．直线所在的位置与、的符号有直接的关系：时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．
7.【答案】
【解析】解：由图知，表达能力对应的百分比为，
所以这位应聘者最后的总成绩为分，
故选：．
先根据百分比之和为求出表达能力对应的百分比，再依据加权平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查加权平均数和扇形统计图，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
8.【答案】
【解析】解：作图的痕迹得，，
，
，
点表示的数为．
故选：．
利用基本作图得到，，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后利用数轴表示数的方法得到点表示的实数．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了实数与数轴．
9.【答案】
【解析】解：观察函数图象得到：
不等式的解集为，
不等式的解集为；
所以不等式组的解集为．
故选：．
根据两个一次函数的图象可得不等式的解集，进一步可得不等式组的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：设点到边的距离等于，
的面积，
，
的面积，
．
故选：．
先用割补法求出三角形的面积、边的长，再利用三角形面积公式列方程求解．
本题以网格背景考查勾股定理、三角形面积计算公式，网格中图形面积的计算．熟练利用面积法是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：连接，如图所示：
四边形是菱形，
，
，分别为，的中点，
是的中位线，
，
当时，最小，得到最小值，
则，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即的最小值为，
故选：．
连接，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可解决问题．
本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
12.【答案】
【解析】解：连接，
四边形是矩形，，，
，，，
，，
点是的中点，
，
由折叠得，，，
，，
，
，
，，
，
，
，且，
，
解得，
故选：．
连接，由矩形的性质得，，，则，，由点是的中点，得，由折叠得，，，则，，所以，可推导出，则，由勾股定理得，求得，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此外，还可以考虑连接，根据全等三角形的判定与性质求的长．
13.【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14.【答案】
【解析】解：，
随的增大而减小，
又线经过点和点，且，
．
故答案为：．
由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，再结合，即可得出．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：过点作于点，如图，

为等边三角形，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
同理：，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
．
故答案为：．
过点作于点，根据等边三角形的性质得，利用勾股定理可求得，进而得，同理得，据此得，然后在中由勾股定理得，据此即可得出答案．
此题主要考查了等边三角形的性质，三角形的面积，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解答此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：作，连接并延长交于，连接，
，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
故答案为：．
作，连接，延长交于，连接，首先证明，，解直角三角形求出，利用三角形中位线定理即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确添加辅助线、掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
17.【答案】解：
；
，
当时，原式．
【解析】先化简，然后计算加减法即可；
先算括号内的式子，再算括号外的除法，最后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查二次根式的混合运算、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】解：是直角三角形．理由如下：
：：：：，
设，，，
，，
，
是直角三角形；
：：：：，，
，
由知是直角三角形，且斜边为，
，
即的面积为．
【解析】根据勾股定理的逆定理即可得到为直角三角形；
先求出、的值，再根据三角形的面积公式列式计算即可．
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了二次根式的应用以及三角形的面积．
19.【答案】
【解析】解：本次共调查的学生人数有：名，
等级的人数有：名，
中位数是第，数的平均数，故落在等级，
补全条形统计图如下：
故答案为：，；
根据题意得：名，
答：估算每周课外阅读的总时间不低于小时等级的学生约为名．
由等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数；用总人数减去其他等级的人数，求出等级的人数，从而判断中位数所在的组和补全条形统计图；
用总人数乘以每周课外阅读的总时间不低于小时的学生所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及中位数和用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20.【答案】解：如图：菱形即为所求；
小明作出的四边形是菱形，
理由：由作图得：垂直平分，
，
，
平分，
，
，
，
同理：，
四边形是平行四边形，
，
为菱形．

【解析】根据题中步骤作图；
根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行证明．
本题考查了复杂作图，掌握菱形的判定定理是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：由图象可知，小李先出发；，两地相距．
故答案为：；；
小李的速度为：，
故小李所在的直线的表达式：；
设小王所在的直线的表达式：，则：
，
解得，
小王所在的直线的表达式为，
根据题意得：，
解得或，
小时，
即两人都在行进的过程中可以通过对讲机通话的时间有小时．
根据函数图象中的数据，可以解答本题；
分别求出两人离地的距离与时间之间的函数关系式，可以得到相应的方程，解方程可得答案．
此题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】解：，
；
以长度分别为，，的三条线段的长为边能构成三角形．理由如下：
由样例可知，，由可知，．
，
，
，
，
，
，
以长度分别为，，的三条线段的长为边能构成三角形．
【解析】模仿样例进行解答即可；
先化简，，，再根据三角形三边关系定理，只需将两小边的和与最长边进行比较即可．
本题考查了二次根式的应用，三角形三边关系定理，掌握二次根式的运算法则、完全平方公式以及三角形三边关系定理是解题的关键．
23.【答案】解：设种品牌的足球单价为元，种品牌的足球单价为元，
由题意可得：，
解得，
答：种品牌的足球单价为元，种品牌的足球单价为元；
由题意可得，
，
即与之间的函数关系式是；
学校购买品牌足球数量不超过品牌足球数量的，
，
解得，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，此时，，
答：费用最少的购买方案是购买种品牌的足球个，购买种品牌的足球个，最少费用为元．
【解析】根据购买个品牌足球比个品牌足球少元：购买个品牌足球和个品牌足球共需元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
根据中的结果和题意，可以写出与的函数关系式；
根据学校购买品牌足球数量不超过品牌足球数量的，可以列出相应的不等式，求出的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得的最小值．
本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
24.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
又，
≌；
解：如图，过点作于，于，
，
四边形是矩形，
平分，于，于，
，
矩形是正方形，
，
，
，
，
又，
≌，
，
又，
是等腰直角三角形，
；
解：如图，过点作于，的延长线交于，于，
由可知四边形是正方形，
，
，
四边形是矩形，
，
又，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
．
【解析】根据正方形的性质得到，，再加上公共边即可用判定≌；
过点作于，于，易证四边形是正方形，得到，再用判定≌，得到，推出是等腰直角三角形即可解决问题；
过点作于，的延长线交于，于，根据中的结论，由等腰直角推出与的关系，判定四边形是矩形，得到与、、的关系，即可推出线段，，的数量关系．
本题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
25.【答案】解：由题意得：
，解得：，
故直线的解析式为：，
联立两条直线的表达式得：，
解得：，则点；
设点，
则；
存在，理由：
当时，点，
设点，
由点、、的坐标得，，
同理可得，，；
当时，则，
解得：不合题意的值已舍去，
即点的转变为：；
当时，则，
解得：，
即点的坐标为：；
综上，点的坐标为：或．
【解析】由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
由，即可求解；
当时，则，即可求解；当时，同理可解．
本题是一次函数综合应用，考查了待定系数法、三角形面积，解题的关键是掌握一次函数图象上点坐标特征及分类讨论思想．
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