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编号：009 课题:§1 直线与方程章节复习
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解并掌握直线的倾斜角和斜率的求法．
2、会求直线的方程．
3、理解并掌握两条直线的位置关系．
4、理解并掌握距离公式的综合运用．
学科素养目标
本章内容的呈现，除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外，同时又考虑到学生的认知规律，通过设计相关的问题情景，降低学习的难度，使学生形成对知识的认识．如在直线斜率的呈现过程中，从学生最熟悉的例子——坡度入手，通过类比，使学生认识到斜率刻画直线倾斜程度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系．数形结合是本章重要的数学思想．这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性、“数”的严谨性．
本节重点难点
重点：两条直线的位置关系．
难点：距离公式的综合运用．
教学过程赏析
思维结构简图
基础知识积累
1. 直线的斜率
对于直线l上的任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2),如果x1≠x2,则直线l的斜率为:k= ____　.
如果x1=x2,那么直线l的斜率不存在.
2.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
当直线与x轴不垂直时,k=___________.
3. 直线的点斜式方程和斜截式方程
点斜式 斜截式
已知 条件 点P(x0,y0)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程 形式 y-y0=_________ y=________
适用 条件 斜率 ________
4.直线在y轴上的截距
定义:直线l与y轴交点(0,b)的_________.
符号:可正,可负,也可为零.
5. 直线的两点式、截距式方程
名称 两点式 截距式
条件 两点 P1(x1,y1), P2(x2,y2) (x1≠x2,y1≠y2) 两点A(a,0), B(0,b),ab≠0
方程 = +=
6. 直线的一般式方程
(1)方程:关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其中A,B不同时为 ___ )叫作 ______ ,简称一般式.
(2)本质:直线的一般式方程是直线的定量刻画,直线是二元一次方程的几何意义.
(3)应用:直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化为一般式,用一般式表示直线方程.
7. 两条直线的平行
(1)当直线l1,l2的斜率均存在时,若直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则:l1与l2平行 k1=k2且_________;
当直线l1,l2的斜率都不存在时,那么它们都与x轴垂直,所以l1∥l2.
(2)直线Ax+By+C1=0与直线Ax+By+C2=0平行的充要条件是 ___ ,重合的充要条件是__ .
8.两条直线的垂直
(1)若已知平面直角坐标系中的直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1⊥l2 __________.
(2)设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.则l1⊥l2 ______________.
9. 两条直线的交点
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1,l2的公共点 ______个 无数个 _____个
直线l1,l2的位置关系 相交 _______ 平行
10.两点间的距离公式
(1)公式:两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式P1P2= _______________ ,特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离OP= __________ .
(2)本质:用代数方法求平面内两点之间的距离.
11.中点坐标公式
对于平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点M(x0,y0),则 ______________.
12. 点到直线的距离
(1)公式:点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d= ___________ .
(2)本质:用代数方法求平面内点到直线的距离.
13.两条平行直线间的距离
(1)定义:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的 __________ 的长.
(2)公式:直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0间的距离d= ___________________ .
(3)本质:用代数方法求平面内两条平行直线间的距离.
【当堂巩固训练】
题1．直线l经过原点O和点A,则直线l的倾斜角是 ( )
A.45° B.135°
C.45°或135° D.-45°
题2.已知直线x+y+1=0与直线2x-my+3=0垂直,则m= ( )
A.2 B. C.-2 D.-
题3. “m=1”是“直线l1:(m-4)x+my+1=0与直线l2:mx+(m+2)y-2=0互相垂直”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
题4.直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点,则直线l的方程为 ( )
A.2x+y=0 B.2x-y=0
C.x+2y=0 D.x-2y=0
题5.已知点A(2k,-1),B(k,1),且|AB|=,则实数k等于 ( )
A.±3 B.3 C.-3 D.0
题6.已知平面上三点坐标为A(2,-1),B(0,2),C(1,0),则直线AC上距离点B最近的点的坐标为 ( )
A.(-,) B.(-,)
C.(-,) D.(-,)
题7.已知直线l过定点P,且与以A(-2,-3),B为端点的线段有交点,则直线l的斜率k的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.∪
题8.光线由点P(2,3)射到直线x+y=-1上,反射后过点Q(1,1),则反射光线所在的直线方程为 ( )
A.4x-5y+1=0 B.-x+y=0
C.3x-4y+1=0 D.5x-4y-1=0
题9（多选题）．若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程可以为(　　)
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
题10（多选题）．下列说法不正确的是(　　)
A．若直线的倾斜角为α，则斜率k＝tan α
B．在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为＋＝1
C．直线y＝kx＋b与y轴的交点到原点的距离为b
D．斜截式方程不能表示平面内的所有直线
题11（多选题）.已知直线l1:x-y-1=0,动直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R),则下列结论正确的是 ( )
A.不存在k,使得l2的倾斜角为90°
B.对任意的k,直线l2恒过定点
C.对任意的k,l1与l2都不重合
D.对任意的k,l1与l2都有公共点
题12（多选题）.若经过A(1-a,1+a)和B(3,a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的值不可能
为 ( )
A.-3 B.-2 C.1 D.2
题13（多选题）.已知直线l1:x+ay+2=0,l2:ax+y-1=0,则 ( )
A.l1恒过点
B.若l1∥l2,则a2=
C.若l1⊥l2,则a2=1
D.当0≤a≤1时,l2不经过第三象限
题14（多选题）.下列说法中,正确的是 ( )
A.直线x-y-4=0与两坐标轴围成的三角形的面积是8
B.过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线方程为=
C.过点(1,1)且与直线2x+y+1=0相互平行的直线方程是y=-2x+3
D.经过点(1,2)且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y-3=0
题15.已知直线x-2y+m=0(m>0)与直线x+ny-3=0互相平行,且它们之间的距离是,则m+n= .
题16.两直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A,B,则|AB|的值为 .
题17.若直线l的方程为:x+y-3=0,则其倾斜角为 ,直线l在y轴上的截距为 .
题18.函数y=+的值域为 .
题19.已知△ABC的顶点坐标为A(-1,5),B(-2,-1),C(4,3).
(1)求AB所在直线的方程;
(2)求与直线AC平行且与直线AC距离为的直线方程.
题20.已知直线l1:3x+y+2=0;l2:mx+2y+n=0.
(1)若l1⊥l2,求m的值;
(2)若l1∥l2,且直线l1与直线l2之间的距离为,求m,n的值.
题21．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，试求：
(1)边AC所在直线的方程；
(2)BC边上的中线AD所在直线的方程；
题22．若直线l的方程为(2m2－m－1)x＋(m2－m)y＋4m－1＝0.
(1)求参数m的取值集合；
(2)若直线l的斜率不存在，试确定直线l在x轴上的截距；
(3)若直线l在y轴上的截距等于直线4x－y－2＝0的斜率，求直线l的方程．
题23.已知平面内两点M,N.
(1)求MN的垂直平分线方程;
(2)直线l经过点A,且点M和点N到直线l的距离相等,求直线l的方程.
题24.已知直线l经过直线l1:3x+2y-5=0,l2:2x+3y-5=0的交点M.
(1)若l⊥l1,求直线l的方程;
(2)求点到直线l的距离的最大值.
题25.如图是某景区的瀑布群,已知tan∠MON=-,点Q到直线OM,ON的距离均为2,现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸交道路ON于点B.
(1)求;
(2)当+取得最小值时,求tan∠BAO.
题26.已知直线l:kx-y+2k+1=0(k∈R).
(1)若直线l不过第三象限,求k的取值范围;
(2)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.
编号：009 课题:§1 直线与方程章节复习
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解并掌握直线的倾斜角和斜率的求法．
2、会求直线的方程．
3、理解并掌握两条直线的位置关系．
4、理解并掌握距离公式的综合运用．
学科素养目标
本章内容的呈现，除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外，同时又考虑到学生的认知规律，通过设计相关的问题情景，降低学习的难度，使学生形成对知识的认识．如在直线斜率的呈现过程中，从学生最熟悉的例子——坡度入手，通过类比，使学生认识到斜率刻画直线倾斜程度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系．数形结合是本章重要的数学思想．这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性、“数”的严谨性．
本节重点难点
重点：两条直线的位置关系．
难点：距离公式的综合运用．
教学过程赏析
思维结构简图
基础知识积累
1. 直线的斜率
对于直线l上的任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2),如果x1≠x2,则直线l的斜率为:k= 　.
如果x1=x2,那么直线l的斜率不存在.
2.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
当直线与x轴不垂直时,k=tan α.
3. 直线的点斜式方程和斜截式方程
点斜式 斜截式
已知 条件 点P(x0,y0)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程 形式 y-y0=k(x-x0) y=kx+b
适用 条件 斜率 存在
4.直线在y轴上的截距
定义:直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b.
符号:可正,可负,也可为零.
5. 直线的两点式、截距式方程
名称 两点式 截距式
条件 两点 P1(x1,y1), P2(x2,y2) (x1≠x2,y1≠y2) 两点A(a,0), B(0,b),ab≠0
方程 = +=1
6. 直线的一般式方程
(1)方程:关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其中A,B不同时为 0 )叫作直线的 一般式方程 ,简称一般式.
(2)本质:直线的一般式方程是直线的定量刻画,直线是二元一次方程的几何意义.
(3)应用:直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化为一般式,用一般式表示直线方程.
7. 两条直线的平行
(1)当直线l1,l2的斜率均存在时,若直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则:l1与l2平行 k1=k2且b1≠b2;
当直线l1,l2的斜率都不存在时,那么它们都与x轴垂直,所以l1∥l2.
(2)直线Ax+By+C1=0与直线Ax+By+C2=0平行的充要条件是 C1≠C2 ,重合的充要条件是C1=C2 .
8.两条直线的垂直
(1)若已知平面直角坐标系中的直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1⊥l2 k1k2=-1.
(2)设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.则l1⊥l2 A1A2+B1B2=0 .
9.两条直线的交点
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1,l2的公共点 __一个_ 无数个 __零__个
直线l1,l2的位置关系 相交 __重合___ 平行
10.两点间的距离公式
(1)公式:两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式P1P2= ,特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离OP= .
(2)本质:用代数方法求平面内两点之间的距离.
11.中点坐标公式
对于平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点M(x0,y0),则
12.点到直线的距离
(1)公式:点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d= .
(2)本质:用代数方法求平面内点到直线的距离.
13.两条平行直线间的距离
(1)定义:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的 公垂线段 的长.
(2)公式:直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0间的距离d= .
(3)本质:用代数方法求平面内两条平行直线间的距离.
【当堂巩固训练】
题1．直线l经过原点O和点A,则直线l的倾斜角是 ( )
A.45° B.135°
C.45°或135° D.-45°
【解析】选B.因为直线l经过原点O和点A(1,-1),所以直线l的斜率为k=-1,
设直线l的倾斜角为α,α∈,
则tan α=-1,所以α=135°,即直线l的倾斜角是135°.
题2.已知直线x+y+1=0与直线2x-my+3=0垂直,则m= ( )
A.2 B. C.-2 D.-
【解析】选A.因为直线x+y+1=0与直线2x-my+3=0垂直,所以1×2+1·(-m)=0,则m=2.
题3. “m=1”是“直线l1:(m-4)x+my+1=0与直线l2:mx+(m+2)y-2=0互相垂直”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.依题意,l1⊥l2 m(m-4)+m(m+2)=0,解得m=0或m=1,所以“m=1”是“直线l1:(m-4)x+my+1=0与直线l2:mx+(m+2)y-2=0互相垂直”的充分不必要条件.
题4.直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点,则直线l的方程为 ( )
A.2x+y=0 B.2x-y=0
C.x+2y=0 D.x-2y=0
【解析】选B.解法1:由
解得,所以kl=2.所以l的方程为y+2=2(x+1),即2x-y=0.
解法2:设l:2x+3y+8+λ(x-y-1)=0.
因为l过原点,所以8-λ=0,所以λ=8,
所以l的方程为2x-y=0.
题5.已知点A(2k,-1),B(k,1),且|AB|=,则实数k等于 ( )
A.±3 B.3 C.-3 D.0
【解析】选A.由题意得=,解得k=±3.
题6.已知平面上三点坐标为A(2,-1),B(0,2),C(1,0),则直线AC上距离点B最近的点的坐标为 ( )
A.(-,) B.(-,)
C.(-,) D.(-,)
【解析】选C.因为kAC==-1,所以,直线AC的方程为y=-(x-1),即y=-x+1,设所求点为P,则BP⊥AC,直线BP的方程为y=x+2,联立,
解得,
因此,所求点的坐标为(-,).
题7.已知直线l过定点P,且与以A(-2,-3),B为端点的线段有交点,则直线l的斜率k的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.∪
【解析】选A.直线PA的斜率为k1==5,直线PB的斜率为k2==-1,结合图象得k的取值范围是k2≤k≤k1,
即k的取值范围是[-1,5].
题8.光线由点P(2,3)射到直线x+y=-1上,反射后过点Q(1,1),则反射光线所在的直线方程为 ( )
A.4x-5y+1=0 B.-x+y=0
C.3x-4y+1=0 D.5x-4y-1=0
【解析】选A.设点P关于直线x+y=-1的对称点为(a,b),则,解得a=-4,b=-3,即对称点为(-4,-3),则反射光线所在直线方程为=,即4x-5y+1=0.
题9（多选题）．若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程可以为(　　)
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
【解析】选ABC.当直线经过原点时，斜率为k0＝＝2，所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A(1，2)代入可得1－2＝k，或1＋2＝k，求得k＝－1，或k＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0，或x＋y－3＝0.综上可知，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.
题10（多选题）．下列说法不正确的是(　　)
A．若直线的倾斜角为α，则斜率k＝tan α
B．在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为＋＝1
C．直线y＝kx＋b与y轴的交点到原点的距离为b
D．斜截式方程不能表示平面内的所有直线
【解析】选ABC.A选项，当倾斜角为90°时，它的斜率不存在，故本选项说法不正确；B选项当a＝0或b＝0时，显然该结论错误，故本选项说法不正确；C选项截距b可为负值，并不是距离，故本选项说法不正确；D选项直线的斜率不存在时，直线没有斜截式，故本选项说法正确．
题11（多选题）.已知直线l1:x-y-1=0,动直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R),则下列结论正确的是 ( )
A.不存在k,使得l2的倾斜角为90°
B.对任意的k,直线l2恒过定点
C.对任意的k,l1与l2都不重合
D.对任意的k,l1与l2都有公共点
【解析】选BD.对A,当k=0时,l2:x=0,符合倾斜角为90°,故A错误;
对B,l2:(k+1)x+ky+k=k(x+y+1)+x=0,解可得,故l2过定点(0,-1),故B正确;
对C,当k=-时,l2:x-y-=(x-y-1)=0,显然与l1:x-y-1=0重合,故C错误;
对D,l2过定点(0,-1),而(0,-1)也在l1:x-y-1=0上,故对任意的k,l1与l2都有公共点,故D正确.
题12（多选题）.若经过A(1-a,1+a)和B(3,a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的值不可能
为 ( )
A.-3 B.-2 C.1 D.2
【解析】选AB.kAB==<0,即2+a>0,所以a>-2,A,B项不在取值范围内.
题13（多选题）.已知直线l1:x+ay+2=0,l2:ax+y-1=0,则 ( )
A.l1恒过点
B.若l1∥l2,则a2=
C.若l1⊥l2,则a2=1
D.当0≤a≤1时,l2不经过第三象限
【解析】选BD.l1:x+ay+2=0 a+x+2=0,
当,即x=-2,y=2,即直线恒过点,故A不正确;若l1∥l2,则有=a2,解得:a2=,故B正确;若l1⊥l2,则有a+a=0,得a=0,故C不正确;若直线l2不经过第三象限,则当1-a≠0时,≥0,-≤0,解得0≤a<1,当1-a=0时直线l2:x=1,也不过第三象限,综上,0≤a≤1时l2不经过第三象限,故D正确.
题14（多选题）.下列说法中,正确的是 ( )
A.直线x-y-4=0与两坐标轴围成的三角形的面积是8
B.过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线方程为=
C.过点(1,1)且与直线2x+y+1=0相互平行的直线方程是y=-2x+3
D.经过点(1,2)且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y-3=0
【解析】选AC.对A,直线x-y-4=0与两坐标轴围成的三角形的面积是×4×4=8,故A正确;
对B,当x2=x1或y2=y1时,式子=无意义,故B不正确;
对C,与直线2x+y+1=0平行,所求直线设为2x+y+C=0,将点(1,1)代入得C=-3,所以所求直线为2x+y-3=0,即y=-2x+3,故C正确;
对D,经过点(1,2)且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y-3=0或y=2x,故D错误.
题15.已知直线x-2y+m=0(m>0)与直线x+ny-3=0互相平行,且它们之间的距离是,则m+n= .
【解析】因为直线x-2y+m=0(m>0)与直线x+ny-3=0互相平行,所以n=-2且m≠-3.又两直线间的距离是,所以d==,因为m>0,解得m=2.
所以m+n=0.
答案:0
题16.两直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A,B,则|AB|的值为 .
【解析】直线3ax-y-2=0过定点A(0,-2),直线(2a-1)x+5ay-1=0过定点
B(-1,),由两点间的距离公式,得|AB|=.
答案:
题17.若直线l的方程为:x+y-3=0,则其倾斜角为 ,直线l在y轴上的截距为 .
【解析】直线l的方程为:x+y-3=0,设其倾斜角为θ,θ∈[0,π).则tan θ=-,解得θ=.
令x=0,解得y=.所以直线l在y轴上的截距为.
答案:
题18.函数y=+的值域为 .
【解析】将原函数解析式配方整理得
y=+,
=表示点P(x,0)到点A(1,)的距离,
=表示点P(x,0)到点B(-2,-2)的距离.故y表示x轴上的点P(x,0)到两定点A(1,),B(-2,-2)的距离之和.由平面几何知识可知,当点P为直线AB与x轴的交点时,ymin=d(A,B)==.而当点P沿x轴的正方向或负方向离直线AB与x轴的交点越来越远时,y越来越大,且趋于无穷大.所以函数的值域为[,+∞).
答案:[,+∞)
题19.已知△ABC的顶点坐标为A(-1,5),B(-2,-1),C(4,3).
(1)求AB所在直线的方程;
(2)求与直线AC平行且与直线AC距离为的直线方程.
【解析】(1)由两点式得=得AB所在直线的方程为6x-y+11=0(用其他方法也可以做);
(2)AC:=得AC直线方程为2x+5y-23=0,
设与AC平行的直线方程为2x+5y+c=0,
所以d==,得c=-52或6,
所求直线方程为2x+5y-52=0或2x+5y+6=0.
题20.已知直线l1:3x+y+2=0;l2:mx+2y+n=0.
(1)若l1⊥l2,求m的值;
(2)若l1∥l2,且直线l1与直线l2之间的距离为,求m,n的值.
【解析】(1)设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,则k1=-3,k2=-,若l1⊥l2,
则k1·k2==-1,所以m=-;
(2)若l1∥l2,则-3=- m=6,
所以l2可以化简为3x+y+=0,
又直线l1与直线l2的距离d==,所以n=24或n=-16,
综上m=6,n=-16或n=24.
题21．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，试求：
(1)边AC所在直线的方程；
(2)BC边上的中线AD所在直线的方程；
【解析】(1)kAC＝＝3，故AC所在的直线方程为y＝3＝3x＋9即3x－y＋9＝0.
(2)BC中点的坐标为D，即D，故kAD＝＝，
故AD所在直线的方程为y＝x＋2即2x－3y＋6＝0.
题22．若直线l的方程为(2m2－m－1)x＋(m2－m)y＋4m－1＝0.
(1)求参数m的取值集合；
(2)若直线l的斜率不存在，试确定直线l在x轴上的截距；
(3)若直线l在y轴上的截距等于直线4x－y－2＝0的斜率，求直线l的方程．
【解析】(1)由解得m＝1，故参数m的取值集合为{m|m≠1}．
(2)由解得m＝0，故直线方程为－x－1＝0即x＝－1故直线l在x轴上的截距为－1.
(3)直线l在y轴上的截距存在时，截距为，因为直线4x－y－2＝0的斜率为4，所以＝4，解得m＝±，所以直线l的方程为4x＋y－4＝0或y＝4.
题23.已知平面内两点M,N.
(1)求MN的垂直平分线方程;
(2)直线l经过点A,且点M和点N到直线l的距离相等,求直线l的方程.
【解析】(1)易求得MN中点坐标为.又kMN==3,所以MN的垂直平分线的斜率为-,MN的垂直平分线的方程为y-1=-,即x+3y-6=0.
(2)当直线l与直线MN平行时,由(1)知kMN=3,所以直线l的方程为3x-y-9=0,当直线l经过点,时得x=3,综上,l为x=3或3x-y-9=0.
题24.已知直线l经过直线l1:3x+2y-5=0,l2:2x+3y-5=0的交点M.
(1)若l⊥l1,求直线l的方程;
(2)求点到直线l的距离的最大值.
【解析】(1)由得
所以两条直线的交点M的坐标为,
设与l1:3x+2y-5=0垂直的直线方程为2x-3y+b=0,又过点,代入得b=1,所以直线l的方程为2x-3y+1=0.
(2)因为直线l过定点,当直线斜率不存在时,点到l:x=1的距离为d=1;
当直线斜率存在时,设其方程为:
y-1=k即kx-y+1-k=0,点到直线l的距离d===<1,所以当l为x=1时点到直线l的距离取到最大值1.
题25.如图是某景区的瀑布群,已知tan∠MON=-,点Q到直线OM,ON的距离均为2,现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸交道路ON于点B.
(1)求;
(2)当+取得最小值时,求tan∠BAO.
【解析】(1)以点O为坐标原点,直线OM为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示.
由已知,直线ON的方程为y=-x,
Q到直线OM的距离为2,设Q.
由=2,
解得x0=1或x0=-4(舍去),
所以Q,==.
(2)设A,B,
所以=,则5b+a=2ab,
即+=2.
又+=a+5b=
=≥=10,
当且仅当=,即a=5,b=1时,等号成立,此时tan∠BAM==-,
则tan∠BAO=.
题26.已知直线l:kx-y+2k+1=0(k∈R).
(1)若直线l不过第三象限,求k的取值范围;
(2)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.
【解析】(1)由l:kx-y+2k+1=k(x+2)-y+1=0,
当k=0时,直线l的方程为y=1,此时直线l不过第三象限,合乎题意;
当k≠0时,在直线l的方程中,令x=0,可得y=2k+1,
令y=0,可得x=-,
若直线l不过第三象限,则,解得-≤k<0.
综上所述,-≤k≤0.
(2)由(1)可知A(-2-,0),B(0,2k+1),又A在x轴负半轴,B在y轴正半轴,
所以,,可得k>0.
所以S=·(2+)(2k+1)=·（4k++4）≥+2=4,
当且仅当k=时等号成立,所以,S的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.
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