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不等式与不等式组
一、知识精讲
（一）不等式的性质
1、对称性，也叫互逆性：若＞，则＜；
2、传递性：若＞，＞，则＞；
3、可加性：若＞，则±＞±；
4、可乘性：若＞，＞0，则＞； 若＞，＜0，则＜
5、 若＞0，则、同号，反之，若、同号，则＞0；
若＜0，则、异号，反之，若、异号，则＜0；
6、比较两实数大小
（1）作差法：若－＞0，则＞，反之，若＞，则－＞0；
若－＝0，则＝，反之，若＝，则－＝0；
若－＜0，则＜，反之，若＜，则－＜0；
（2）作商法：＞0，＞0（、均为正数）
若＞1，则＞，反之，若＞，则＞1
若＝1，则＝，反之，若＝，则＝1
若＜1，则＜，反之，若＜，则＜1
7、同向不等式相加：
8、同正不等式相乘：
9、乘方： 10、开方：
11、取倒数：若＞＞0，则0＜＜
（二）、含参数的一元一次不等式（组）
任何一个含有字母系数的一元一次不等式都可以化为＞的一般形式，在这个形式中：
1、若＞0，那么＞的解为＞；
2、若＜0，那么＞的解为＜；
3、若＝0，则当≥0时，＞无解； 当＜0时，＞的解为任何实数
（三）含绝对值的不等式
1、若｜｜＞，则＜0； 2、若｜｜＞｜｜，则＞
3、若｜｜＜（＞0），则－＜＜
4、若｜｜＞（＞0），则＞或＜－
二、易错点：
1、注意参数取值范围导致的变号问题；
2、分清参数和未知数，不要混淆；
3、解连续不等式时要注意拆分为不等式组；
典例精析
例1：若＜，则下列不等式变形正确的是（ ）
A：＜ B：＞1 C：－＜－ D：4－＜4－
例2：已知＜，下列式子不成立的是（ ）
A：＜＋10 B：＋2023＜＋2023 C： ＜ D：＜
例3：已知、为有理数，下列结论： ①若＞，则＜；②若＋＝0，则＝－1；③若＋＝0，则＋＝0；④若＞0，则｜＋｜＝｜｜＋｜｜；⑤＞。以上结论其中正确的为__________。（填序号）
【变式练习1】：如果＜＜0，那么下列各式中正确的是（ ）
A：＜ B：｜｜＜｜｜ C：(7－)(7－)＞0 D：－＜0
【变式练习2】：给出下列命题：①若＞，则＞；②若＞，则＞；③若－3＞2，则＜0；④若＜，则－＜－。其中正确的是（ ）
A：③④ B：①③ C：①② D：②④
【变式练习3】：若整数满足5＋＜＜＋2，则的值是（ ）
A：8 B：9 C：10 D：11
【变式练习4】：下列结论：①＞0，则－2＜0；②若≠0，则计算＋＋＋的结果共有3种情况；③若｜｜＞｜｜，则(＋)(－)是负数；④是单项式．其中正确的结论是________。（只需要在横线上填上序号）
例4：若＋＝3，≥0，≥0，设＝2＋3，则的最小值为（ ）
A：0 B： 3 C：6 D：9
例5：已知实数、满足2－3＝4，且≥－1，≤2，则－的最大值为（ ）
A：1 B： C： D：3
【变式练习1】：已知＝＋（≠0）。当＝1时，＝3；当＝－2时，＝9；（1）求出，的值；
（2）当－3≤≤3时，求代数式－的取值范围。
【变式练习2】：如图1，已知直线EF ∥GH，且EF和GH之间的距离为1，小李同学制作了一个直角三角形硬纸板ACB，其中∠ACB＝90°，∠BAC＝60°， AC＝1。小李利用这块三角板进行了如下的操作探究：
（1）如图1，若点C在直线EF上，且∠ACE＝15°，求∠l的度数；
（2）若点A在直线EF上，点C在EF和GH之间(不含EF、GH上) ，边BC、AB与直线GH分别交于点D和点K 。
①如图2， KO平分∠BKD， DO平分∠BDK， KO与DO交于点O，在△ABC绕着点A旋转的过程中，∠KOD的度数是否会发生变化？如果不发生变化，请求出∠KOD的度数；如果发生变化，请说明理由；
②如图3，在△ABC绕着点A旋转的过程中，设∠EAK＝°，∠CDK＝( 3－2＋15)o，求的取值范围。
【变式练习3】：非负数，满足＝，记＝3＋4，的最大值为，最小值，则＝（ ）
A：6 B：7 C：14 D：21
例6：根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
（1）①如果－＜0，那么______；
②如果－＝0，那么______；
③如果－＜0，那么______。
（2）题（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题：
①比较4＋3－2＋与3－2＋1的大小；
②若2＋2－1＞3＋，比较，的大小。
【变式练习2】：甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元以后，超出部分按原价的八折优惠；
在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价的九折优惠设顾客预计累计购物
元（＞300）。
（1）请用含的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；
（2）请比较顾客到哪家超市购物更优惠 说明你的理由。
【变式练习3】：（1）已知＝5﹣4(﹣)，＝7(﹣)＋3，请你运用前面介绍的方法比较代数式与的大小；
（2）比较3＋2与2＋3的大小。
例7：若实数是不等式2﹣1＞5的解，但实数不是不等式2﹣1＞5的解，则下列选项中，正确的是（　　）
A：＜ B：＞ C：≤ D：≥
例8：若关于的不等式组有解，则的取值范围是（ ）
A：＞－1 B：≥－1 C：≤－1 D：＜－1
例9：已知关于的不等式组的解集为－1＜＜1，则(＋1)(－1)值为（ ）
A：6 B：－6 C：3 D：－3
例10：如果关于x的不等式(＋1)＞＋1的解集为＜1，那么的取值范围是（　　）
A：＜﹣1 B：＜0 C：＞﹣1 D：＞0
【变式练习1】：关于的不等式组的解集为＞3，那么的取值范围为（ ）
A：＞3 B：＜3 C：≥3 D：≤3
【变式练习2】：若关于的不等式组有解，则的取值范围是（ ）
A：≤3 B：＜3 C：＜2 D：≤2
【变式练习3】：若关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A：≤2 B：＜2 C：≥2 D：＞2
例11：已知关于的不等式3－＋1＞0的最小整数解为2，则实数的取值范围是（）
A：4≤＜7 B：4＜＜7 C：4≤≤7 D：4＜≤7
例12：若关于的不等式的整数解共有4个，则的取值范围是（ ）
A：6＜m＜7 B：6≤＜7 C：6≤≤7 D：6＜≤7
【变式练习1】：已知关于不等式2﹣≤0的正整数解恰好是1，2，3，4，5。那么的取值范围是（　　）
A：＞10 B：10≤≤12 C：10＜≤12 D：10≤＜12
【变式练习2】：已知关于的不等式组的整数解共有5个，则的取值范围是（ ）
A：－4＜＜－3 B：－4≤＜－3 C：＜－3 D：－4＜＜
*【变式练习3】：已知关于的方程＝＋1的解是非负数，且关于的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的所有整数的和为___________。
*【变式练习4】：已知关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程5＋＝2－7的解是负整数，则符合条件的所有整数的和是__________。
课堂练习
1、如果关于的不等式(＋1)＞2＋2的解集是＜2，则的取值范围是（ ）
A：＜0 B：＜－1 C：＞1 D： ＞－1
2、若关于的不等式组的解集为﹣2＜＜4，则＝_____，＝_______。
3、若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围为（ ）
A：＞－ B：≤ C：＞－ D：≤－
*4、当1≤≤4时，﹣4＜0，则的取值范围是（　　）
A： ＞1 B：＜1 C：＞4 D：＜4
【答案】 B 1≤≤4 ，故＜1
*5、关于的一元一次不等式组最多有2个整数解，且关于的一元一次方程3(－1)－2(－)＝7的解为非正数，则符合条件的所有整数的和为______。
*6、某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数、、，用{，，}表示这三个数的平均数，用{，，}表示这三个数中的最小的数。例如{1，2，9}＝＝4，{1，2，－3}＝－3，{3，1，1}＝1，请结合上述材料，解决下列问题：
（1）{，22，}＝___________；{，22，}＝__________；
（2）若{3－2，1＋3，－5}＝{5，3，7＋}，求的值。
课后综合练习
1、下列说法错误的是（ ）
A：若＞，则＞ B：若＞，则＞
C：若＋3＞＋3，则＞ D：若＞，则＋3＞＋3
2、已知0＜＜1，则，，（ ）
A：＞＞ B：＞＞ C：＞＞ D： ＞＞
3、不等式4－3≥2－6的非负数整数解有（ ）个
A：4 B：3 C：2 D：1
4、点A(，2－2)在第二象限，则的取值范围是（ ）
A：＜0 B：＜1 C：0＜＜1 D：＞1
5、已知关于、的方程组的解满足不等式2－＞1，则实数的取值范围____________。
6、若关于的不等式组无解，则实数的取值范围____________。
7、关于的一元一次不等式组有且只有2个奇数解，则所有满足条件的偶数的和是（ ）
A：7 B：10 C：12 D：20
8、对一个实数按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数”到“结果是否大于88？”为一次操作。如果操作进行了两次就停止，则的取值范围是_______。
9、若关于的一元一次不等式组的解集为≥，且关于的一元一次方程6－2＝2－(6－2)的解为非负整数，则符合条件的所有整数的积为_____。
10、若实数使关于的方程＝－－1有非负数解，且关于的不等式组有三个偶数解，则符合条件的所有整数的和为__________。
11、已知、、满足3＋2－4＝6，2＋－3＝1，且、、都为正数。设＝3＋－2，则的取值范围为（ ）
A：3＜＜24 B：0＜＜3 C：0＜＜24 D：＜24
*12、已知非负数、、满足＝＝，设 ＝3－2＋，则 的最大值与最小值的和为（ ）
A：－2 B：－3 C：－4 D：－6
*13、【发现问题】已知，求4＋5的值。
方法一：先解方程组，得出，的值，再代入，求出4＋5的值；
方法二：将①×2－②，求出4＋5的值。
【提出问题】怎样才能得到方法二呢？
【分析问题】
为了得到方法二，可以将①×＋②×，可得(3＋2)＋(2－)＝4＋6。
令等式左边(3＋2)＋(2－)＝4＋5，比较系数可得，求得
【解决问题】
（1）请你选择一种方法，求4＋5的值；
（2）对于方程组利用方法二的思路，求7－7的值；
【迁移应用】
（3）已知，求－3的范围。
*14、对于不等式＞（＞0且≠1）。
（1）当＞1时，＞；（2）当0＜＜1时，＜。
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）解关于的不等式： ＞
（2）解关于的不等式＜，其解集中无正整数解，求的取值范围

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