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第4章：几何图形初步（简答题）-2023-2024学年初中数学单元培优提升题型练习（人教版）
一、解答题
1．如图，点是线段的中点，是上一点，．

(1)若，求的长；
(2)若为的中点，求的长．
【答案】(1)20
(2)6
【分析】（1）设，则，根据线段中点的定义得到，求得，得到，于是得到结论；
（2）根据线段中点的定义得到，设，求得，得到，于是得到结论．
【详解】（1）解：∵，
∴设，则，
∵点E是线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵点E是线段的中点，
∴，
设，
∴，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了两点间的距离及线段的中点，解题的关键是结合图形，利用线段的和与差即可解答．
2．以直线上一点O为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：）

(1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则______°；
(2)如图2，将直角三角板绕点O逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请说明所在射线是∠的平分线；
(3)如图3，将三角板绕点O逆时针转动到某个位置时，若恰好，求的度数？
【答案】(1)
(2)见解析
(3)的度数为或．
【分析】（1）根据，，即可得；
（2）根据平分得，根据得，，则，即可得；
（3）设，则，有两种情况：①OD在∠AOC内部时，根据，，得，进行计算得，即，即可得；②在的内部时，根据，，，，得，进行计算得，即，根据得，综上，即可得．
【详解】（1）解：∵，
又∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴所在射线是的平分线；
（3）解：设，则，
有两种情况：
①如图1，在∠AOC内部时，

∵，，，
∴，
解得，
即，
∴；
②如图2，在的内部时，

∵，，，，，
∴，
解得：，
即，
∵，
∴，
∴的度数为或．
【点睛】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，解题的关键是分类讨论，列出一元一次方程．
3．（1）如图1，点C在线段上，，，点，分别是线段，的中点．求线段的长；

（2）点C在线段上，，点，分别是线段，的中点．你能得出的长度吗？并说明理由．
（3）类似的，如图2，是直角，射线在外部，且是锐角，是的平分线，是的平分线．当的大小发生改变时，的大小也会发生改变吗？为什么？
【答案】（1）7；（2），理由见解析；（3）不会发生变化，理由见解析
【分析】（1）根据“点、分别是、的中点”，先求出、的长度，再利用即可求出的长度即可，
（2）当为线段上一点，且，分别是，的中点，可表示线段、的长度，再利用，则存在；
（3）根据角平分线的定义求出、，然后根据代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：（1）∵点，分别是线段，的中点，
∴，，
∴；
（2）的长度是，理由如下：
由（1）知，，，
∴；
（3）不会发生变化，理由如下：
∵是的平分线，是的平分线，
∴，，
∴，
∴当的大小发生改变时，的大小不发生改变．
【点睛】本题考查了线段中点的定义，角平分线的定义，线段和角的计算．能够利用中点性质转化线段之间的倍分关系，熟练掌握角平分线的定义，准确识图根据表示出是解题的关键．
4．如图，直线与相交于点，．

(1)如图，若平分，求的度数；
(2)如图，若，且平分，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据角平分线的定义，得到，再利用平角进行求解，即可求出的度数；
（2）根据平角和角平分线的定义，求得，再根据，求得，，进而得到，即可求出的度数．
【详解】（1）解：，平分，
，
；
（2）解：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平角的性质，理解题意，找准角度之间的数量关系是解题关键．
5．如图所示，平分，平分，，，求的度数．

【答案】
【分析】先根据角平分线的定义，得到，，再根据已知角的度数求得的度数，即可求出的度数．
【详解】解：平分，平分，
，，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，角度的和与差，找准角度之间的数量关系是解题关键
6．如图，，两点把线段分成三部分，且，是的中点，，求的长．

【答案】36
【分析】根据题意可得，，设，则，，根据是的中点，得出，即可得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
设，则，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，解题的关键是根据比例用x表示出各条线段求解更简便．
7．如图是某几何体的三视图．

(1)说出这个几何体的名称；
(2)画出它的立体图形和表面展开图；
(3)根据有关数据计算几何体的表面积和体积．
【答案】(1)这个几何体为三棱柱．
(2)见详解．
(3)它的表面积为：，它的体积为：．
【分析】（1）从三视图的主视图看这是一个矩形，而左视图是一个扁平的矩形，俯视图为一个三角形，故可知道这是一个三棱柱；
（2）易得为一个长方形加两个三角形；
（3）根据直三棱柱的表面积以及体积公式计算即可．
【详解】（1）解：这个几何体为三棱柱．
（2）解：它的立体图形和表面展开图如图所示；

（3）解：它的表面积为：；
它的体积为：．
所以，它的表面积为：，它的体积为：．
【点睛】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的面积，体积等相关知识，考查学生的空间想象能力．
8．已知线段为常数，点为直线上一点不与、重合，点、分别在线段、上，且满足，．

(1)如图当点恰好为线段中点时，__________用含的代数式表示．
(2)若点为直线上任一点，则长度是不是常数，若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由．
(3)若点在点左侧，同时点在线段上不与端点重合，请判断与的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)是常数，
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据线段间的数量关系可得，结合线段中点的定义解答即可；
（2）分三种情况：点C在线段上，点C在线段左侧，点C在线段右侧，分别画出图形，根据线段间的数量关系可得，再结合线段的和差解答；
（3）根据题意画出图形，根据线段间的数量关系和线段的和差得出，进而可得结果．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，为线段中点，
∴，
∴，
∴；
（2）当点C在线段上时，如图，

∵，，
∴，
∵，
∴；
当点C在线段左侧时，如图，

∵，，
∴，
∵
∴；
当点C在线段右侧时，如图，

∵，，
∴，
∵
∴；
综上，线段长度是常数，且；
（3）如图，∵
∴
，
∴．

【点睛】本题考查了线段的数量关系和线段中点的有关计算，熟练掌握线段间的数量关系、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
9．我们所学的立体图形大致可分为柱、锥、球体，它们是否都可以展成平面图形？若不能，说明为什么；若能，说明展开图有何区别和联系．
【答案】见解析
【分析】根据柱体、锥体、球体的表面展开图解答即可．
【详解】解：柱体：圆柱展开图是两个圆和长方形，
棱柱的展开图是长方形；
锥体：圆锥的展开图一个圆加扇形，
棱锥的展开图是底面的多边形和侧面的等腰三角形；
球体不能展开，没有展开图．
【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握常见立体图形的展开图是解题的关键．
10．如图，已知一个正方体的六个面上分别写着六个连续的正整数，且每个相对面上的两个数的和都相等，图中所能看到的数是20，23和24，求这六个正整数的和．
【答案】135
【分析】根据六个面上的数是连续整数可得另外三个面上的数有两个是21，22，再根据已知数有23，24可知另一个数不可能是19，只能是25，然后求解即可．
【详解】解：六个面上分别写着六个连续的整数，
看不见的三个面上的数必定有21，22，
若另一个面上数是19，则23与20是相对面，
所以，另一面上的数是25，
此时20与25相对，
21与24相对，
22与23相对，
所以，这六个正整数的和为．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题，难点在于确定出看不见的三个面中有一个是25．
11．已知线段，(，为常数，且)，线段在直线上运动(点B，M在点A的右侧，点N在点M的右侧)．P是线段的中点，Q是线段的中点．
(1)如图①，当点N与点B重合时，求线段的长度(用含a，b的代数式表示)；
(2)如图②，当线段运动到点B，M重合时，求线段，之间的数量关系；
(3)当线段运动至点Q在点B的右侧时，请你画图探究线段，，三者之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意表示出和的长度，然后即可求出；
（2）根据题意表示出和的长度，再表示出和的长度，即可发现和之间的数量关系；
（3）分两种情况讨论：①点M在点B的左侧，②点M在点B的右侧．表示出和，即可发现，，三者之间的数量关系．
【详解】（1）因为P是线段的中点，Q是线段的中点，所以，，
∴．
（2）因为P是线段的中点，Q是线段的中点，所以，，
因为，所以，
因为，所以．
（3）如图①，
当点M在点B的左侧时，，
所以；
如图②，当点M在点B的右侧时，，
所以．
综上所述，或．
【点睛】本题考查了线段的和差问题，动点问题，画好线段图，分类讨论是解题的关键．
12．如图已知线段、，
(1)线段在线段上（点C、A在点B的左侧，点D在点C的右侧）
①若线段，，M、N分别为、的中点，求的长．
②M、N分别为、的中点，求证：
(2)线段在线段的延长线上，M、N分别为、的中点，②中的结论是否成立？请画出图形，直接写出结论
【答案】(1)①10，②见解析
(2)不成立，见解析
【分析】（1）①利用求出的值，利用中点平分线段，得到，再利用，即可得解；②利用中点平分线段，得到，进而得到，再利用，即可得证；
（2）分点在点的左侧，点在点的右侧，点在点的左侧，点在点的左侧，以及点在点的左侧，三种情况分类讨论，求解即可．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∵M、N分别为、的中点，
∴，
∴；
②∵M、N分别为、的中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）不成立；
∵M、N分别为、的中点，
∴，
①当点在点的左侧，点在点的右侧时，如图：
或
；
②当点在点的左侧，点在点的左侧时，如图：
或
；
③当点在点的左侧时，如图：
或
；
综上：或；故结论不成立．
【点睛】本题考查线段之间的和与差．正确的识图，理清线段之间的和，差，倍数关系，是解题的关键．注意分类讨论．
13．已知线段，点是射线上的一个动点，点是线段的中点，点是线段的中点．
(1)当时，求的长；
(2)当时，求的长．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）分根据线段中点的定义求出的长，进而求出的长，再根据相等中点的定义求出的长即可；
（2）分点P在线段上、点P在线段外，两种情况根据线段中点的定义讨论求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，∵，点是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∵点是线段的中点，
∴；
（2）解：当点在线段上时，如图①所示，
∵点是线段的中点，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当点在线段之外，如图②所示，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查线段的计算，解题的关键是分类讨论点P的位置，根据线段之间的等量关系，进行计算．
14．如图，是的平分线，是内的一条射线，若比大，则的度数是 ．
【答案】
【分析】先利用角平分线的定义得到，再根据可得，则，然后求解即可．
【详解】解：∵是的平分线，
∴，
∵比大，
∴，即，
∴，
∴，即．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了角的和差运算、角平分线的关系等知识点，明确各角之间的关系是解答本题的关键．
15．如图，为直线上一点，为射线，，分别为，的平分线．

(1)判断的大小，说明理由；
(2)若，求证：为的平分线；
(3)若，求的度数．
【答案】(1)；理由见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）依据，分别为，的平分线，即可得出；
（2）依据，即可得出，，进而得到，可得为的平分线；
（3）根据，即可得到，再根据，即可得出．
【详解】（1）解：；理由如下：
∵，分别为，的平分线，
∴，，
∴；
（2）证明：∵，为的平分线，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴为的平分线；
（3）解：∵，
∴，
∵
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角的计算．解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义．
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第4章：几何图形初步（简答题）-2023-2024学年初中数学单元培优提升题型练习（人教版）
一、解答题
1．如图，点是线段的中点，是上一点，．

(1)若，求的长；
(2)若为的中点，求的长．
2．以直线上一点O为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：）

(1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则______°；
(2)如图2，将直角三角板绕点O逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请说明所在射线是∠的平分线；
(3)如图3，将三角板绕点O逆时针转动到某个位置时，若恰好，求的度数？
3．（1）如图1，点C在线段上，，，点，分别是线段，的中点．求线段的长；

（2）点C在线段上，，点，分别是线段，的中点．你能得出的长度吗？并说明理由．
（3）类似的，如图2，是直角，射线在外部，且是锐角，是的平分线，是的平分线．当的大小发生改变时，的大小也会发生改变吗？为什么？
4．如图，直线与相交于点，．

(1)如图，若平分，求的度数；
(2)如图，若，且平分，求的度数．
5．如图所示，平分，平分，，，求的度数．

6．如图，，两点把线段分成三部分，且，是的中点，，求的长．

7．如图是某几何体的三视图．

(1)说出这个几何体的名称；
(2)画出它的立体图形和表面展开图；
(3)根据有关数据计算几何体的表面积和体积．
8．已知线段为常数，点为直线上一点不与、重合，点、分别在线段、上，且满足，．

(1)如图当点恰好为线段中点时，__________用含的代数式表示．
(2)若点为直线上任一点，则长度是不是常数，若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由．
(3)若点在点左侧，同时点在线段上不与端点重合，请判断与的大小关系，并说明理由．
9．我们所学的立体图形大致可分为柱、锥、球体，它们是否都可以展成平面图形？若不能，说明为什么；若能，说明展开图有何区别和联系．
10．如图，已知一个正方体的六个面上分别写着六个连续的正整数，且每个相对面上的两个数的和都相等，图中所能看到的数是20，23和24，求这六个正整数的和．
11．已知线段，(，为常数，且)，线段在直线上运动(点B，M在点A的右侧，点N在点M的右侧)．P是线段的中点，Q是线段的中点．
(1)如图①，当点N与点B重合时，求线段的长度(用含a，b的代数式表示)；
(2)如图②，当线段运动到点B，M重合时，求线段，之间的数量关系；
(3)当线段运动至点Q在点B的右侧时，请你画图探究线段，，三者之间的数量关系．
12．如图已知线段、，
(1)线段在线段上（点C、A在点B的左侧，点D在点C的右侧）
①若线段，，M、N分别为、的中点，求的长．
②M、N分别为、的中点，求证：
(2)线段在线段的延长线上，M、N分别为、的中点，②中的结论是否成立？请画出图形，直接写出结论
13．已知线段，点是射线上的一个动点，点是线段的中点，点是线段的中点．
(1)当时，求的长；
(2)当时，求的长．
14．如图，是的平分线，是内的一条射线，若比大，则的度数是 ．
15．如图，为直线上一点，为射线，，分别为，的平分线．

(1)判断的大小，说明理由；
(2)若，求证：为的平分线；
(3)若，求的度数．
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