资源简介

湖北省部分名校2023-2024学年高三上学期新起点8月联考
数学试题
（测试时间：120分钟 卷面总分：150分）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 将条形码粘贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案. 答案不能答在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答无效.
4. 考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向最，向量满足，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 下列函数中，函数值域与函数的值域完全相同的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 等差数列中，是数列的前项和，是自然对数的底数，若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，已知圆柱底面半径为2，高为3，是轴截面，分别是母线上的动点（含端点），过与轴截面垂直的平面与圆柱侧面的交线是圆或椭圆，当此交线是椭圆时，其离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，第3台加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（ ）
A. 该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0. 06
B. 该零件是次品的概率为0. 036
C. 如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0. 98
D. 如果该零件是次品，那么它不是第1台车床加工出来的概率为
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 若函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则可以为
D. 函数为偶函数
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知命题，则
B. “函数是偶函数”的必要条件是“函数满足”
C. 已知随机变量服从正态分布，若，则
D. 若，则三次函数有且仅有一个零点
12. 端午节是中华民族的传统节日之一，而粽子是端午节不可缺少的传统美食. 粽子是中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，其主要材料是糯米、馅料，一般用箬叶包裹而成，形状多样，主要有角粽、塔粽、长粽、三角粽、四角粽、枕头粽等，其中塔粽的形状可以近似看成一个四棱锥. 现有一个塔粽，下列说法错误的是（ ）
A. 在塔粽中，若，且，分别为的中点，则
B. 若塔粽是所有棱长均为的正棱锥，现需要在这个塔粽内部放入一个牛肉丸子（牛肉丸子的形状近似地看成球），则这个牛肉丸子的最大体积为
C. 若塔粽是底面边长为3的菱形，且为的中点，，若锐二面角的大小为，则直线与平面所成角的大小为
D. 若塔粽的底面是平行四边形，点是侧棱上异于端点的一动点，则在侧棱上存在点，使平面
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若的二项展开式的各项的系数和为64，则其展开式的常数项为__________.
14. 陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，也称陀罗，图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中是圆锥的顶点，分别是圆柱的上、下底面圆的圆心，且，底面圆的半径为1，则该陀螺的表面积是__________.
图1 图2
15. 已知圆，直线，当圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为__________.
16. 以下数表构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”.
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后行仅有一个数，则这个数为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分10分）
在锐角中，角所对的边分别为，且满足.
（1）求角；
（2）若，求周长的取值范围.
18. （本小题满分12分）
推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节. 为了解某居民小区对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名小区居民参与问卷测试，并将问卷测试的得分绘制成下面的频率分布表：
得分
男性人数 6 10 19 6 5 6 3
女性人数 2 5 8 13 11 4 2
（1）将小区居民对垃圾分类的了解程度分为“不太了解（得分低于60分）”和“比较了解（得分不低于60分）”两类，请先完成列联表，然后依据小概率值的独立性检验，分析小区居民对垃圾分类的了解是否与性别有关；
（2）从参与问卷测试且得分不低于80分的小区居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取5人，现从这5人中随机抽取3人作为环保宣传队长，设3人中男性队长的人数为，求的分布列和期望.
不太了解 比较了解 合计
男性
女性
合计
附：.
0. 10 0. 05 0. 01 0. 005 0. 001
2. 706 3. 841 6. 635 7. 879 10. 828
19. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，四边形为菱形，平面，且，点是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）在线段上（不含端点）是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由.
20. （本小题满分12分）
已知正项数列满足；且对任意的正整数都有成立，其中是数列的前项和，为常数.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，证明：数列的前项和.
21. （本小题满分12分）
已知函数.
（1）设函数，且对成立，求的最小值；
（2）若函数的图象上存在一点与函数的图象上一点关于轴对称，求的长.
22. （本小题满分12分）
直角坐标系中，已知动点到定点的距离比动点到定直线的距离小1，记动点的轨迹为.
（1）求轨迹的方程；
（2）点是曲线上位于直线的上方的点，过点作曲线的切线交于点，若，证明：为定值.
湖北省部分名校2023-2024学年高三上学期新起点8月联考
数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B C D B A B
题号 7 8 9 10 11 12
答案 A D BC AC ACD ABD
1. 【答案】B
【解析】依题意，.
2. 【答案】C
【解析】依题意，.
3. 【答案】D
【解析】设，依题意可得
解得.
4. 【答案】B
【解析】函数的值域与函数的值域完全相同.
5. 【答案】A
【解析】
6. 【答案】B
【解析】，
，
，
.
7. 【答案】A
【解析】分析可知，与行时，交线接近是一个圆，离心率接近0；
时，交线是一个长轴最大的椭圆，此时长轴，离心率，
故离心率的取值范围是.
8. 【答案】D
【解析】为偶函数，
在上单调递增，，易知，
对于与，同时取对数可得与，
构造函数，则，
令可得，令可得，
故在上单调递增，在上单调递减，即，
化简得，
又在上单调递增，故，即得，
，即.
9. 【答案】BC
【解析】记事件：零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，
则，
，
，
对于，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，故A错误；
对于，任取一个零件是次品的概率为
，故B正确；
对于，如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为，故C正确；
对于，如果该零件是次品，那么它不是第1台车床加工出来的概率为，故D错误.
10. 【答案】AC
【很析】
，
的最小正周期为，故A正确；
当时，不是的一条对称轴，故B错误；
函数的图象向右平移个单位后得到
，由题意，函数的图象关于轴对称，
，即，
当时，，即函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，
则可以为，故C正确；
易知函数的定义域为，又
，
∴ 函数不是偶函数，故D错误.
11. 【答案】ACD
【解析】由命题的否定定义可知A正确；
由可得，即可得是偶函数，
又由是偶函数，可得，当时，无法推出，
故“函数是偶函数”的充分条件是“函数满足”，故B错误；
由正态分布的性质可知，对称轴为，由可得，故C正确；，
或恒成立，即在上单调，
故三次函数有且仅有一个零点，故D正确.
12. 【答案】ABD
【解析】对于选项A，只有当点同时是线段和线段的中点时，才有平面，也才有，而题设条件并没有说点同时是线段和线段的中点，∴不能得到，故A选项错误；
对于选项B，由题意知，只有当牛肉丸子内切于塔粽时，牛肉丸子的体积才最大，设塔粽的体积为、表面积为、地面积为、高为h，牛肉丸子的半径为，则，
又∵，∴，
，
又
∴牛肉丸子的最大体积为，故B选项错误；
对于选项C，过点在平面内作于点，连接（如图），
由题意易知平面，故
∴易得平面，为在平面内的射影，
是直线与平面所成角的平面角，
又，
是锐二面角的平面角，
故，又，
在等边中，，
在中，，
在中，，
直线与平面所成的角的大小为. 故C选项正确；
对于选项D，设侧棱的中点为，
（1）当点在线段上移动时（点异于线段的端点），则在侧棱上存在点，使平面，此时为的中点，即. 理由如下：
设，连接，易知为的中点，
当时，，平面，平面，
∴平面，故在侧棱上存在点，使平面.
（2）当点在线段上移动时（点与点不重合），要在上找一点使平面，
则点在线段的延长线上，且点为线段的中点，不符合题目的要求，
故在侧棱上不存在点，使平面.
综上所述，若塔粽的底面是平行四边形，点是侧棱上异于端点的一动点，则在侧棱上不一定存在点，使平面. 故D选项错误.
13. 【答案】20
【解析】依题意，，解得，
故展开式的通项公式为，
令，解得，故展开式的常数项为.
14. 【答案】
【解析】已知底面圆的半径，由，则，
故该陀螺的表面积.
15. 【答案】
【解析】由题意，直线的方程化为，
由得
∴直线过定点，
要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心的连线垂直于直线，
，解得，
代入到直线的方程并化简得.
16. 【答案】
【解析】由题意得：数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行的公差为4，…，第行的公差为，
即第2023行公差为，
故第一行的第一个数为：，
第二行的第一个数为：，
第三行的第一个数为：，
第四行的第一个数为：，
…
第行的第一个数为：，
由题意得数表中共有2023行，∴第2023行只有一个数，且这个数为：.
17. 解：（1）由题意得，
即，得，
. …………………5分
（2）在中，，
，
，
的周长
…………………8分
为锐角三角形，
，
，周长的取值范围为. …………………10分
用图像法、余弦定理均值不等式的参考给分.
18. 解：（1）根据频率分布表得到列联表：
不太了解 比较了解 合计
男性 35 20 55
女性 15 30 45
合计 50 50 100
…………………1分
零假设为：小区居民对垃圾分类的了解程度与性别无关， …………………2分
根据列联表中的数据，经计算得到
， …………………4分
依据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立，
因此可以认为成立，即小区居民对垃圾分类的了解与性别无关. …………………6分
（2）不低于80分的居民的样本中，男性有9人，女性有6人，
故抽取男性人，抽取女性人， …………………7分
的可能取值为，则
，，
分布列为：
1 2 3
…………………10分
的数学期望为：. …………………12分
19. 解：（1）平面，则， …………………1分
连接，则， …………………2分
则平面， …………………3分
又平面，则平面平面. …………………4分
（2）取的中点，连接，则，依题意易知三条线两两互相垂直，以为原点建立空间坐标系如图.
则 …………………5分
设点，则，其中，
∵点在线段上，
（其中），
，
…………………6分
设为平面的法向量，
则即
令，则 …………………8分
设为平面的法向量，
则即
令，则 …………………9分
，
即，
即，即或（舍）， …………………11分
故存在点使得二面角的余弦值为. …………………12分
20. 解：（1）当时，， …………………1分
，
，
，
3分
，即，
. …………………6分
（2）， …………………7分
，
， …………………9分
，
， …………………11分
，. …………………12分
21. 解：（1），
则， …………………1分
由得函数在上单调递增，同理得函数在上单调递减，
， …………………4分
由题意，则，
则的最小值为. …………………5分
（2）由题意的图象与函数的图象有交点， …………………6分
化为有解， …………………7分
设，则；
则由得，
由得，
消去，得， …………………9分
显然；
当时，方程无解；
当时，方程无解；
故此方程的解为，即 …………………11分
，则. …………………12分
22. 解：（1）由题意，动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，满足抛物线定义，
则，得，
则的方程为； …………………4分
（2）设，
则，
，
则.
即， …………………6分
过点的切线的斜率为，
则切线的方程为，
同理切线的方程为，
联立方程组解得，
再由题意知，
则，， …………………8分
则
…………………10分
代入，得
（定值）. …………………12分

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