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第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
学案
学习目标
1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的关系.
2.能选择文字语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.
3.能用列举法和描述法表示对应的集合，并能做到表述方法的转换.
知识汇总
知识点1 集合与元素的含义
1.元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写字母a，b，c表示.
2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），常用大写字母A，B，C，表示.
3.集合中元素的三个特征：
（1）确定性：对于给定的集合，元素必须是确定的.
（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，相同的对象归入同一个集合时，只能算作集合的一个元素.
（3）无序性：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的.
4.元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作.
5.常用数集的记法：
N：非负整数集（或自然数集）；
或：正整数集；
Z：整数集；
Q：有理数集；
R：实数集.
知识点2 集合的表示方法
1.列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.
2.描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法.
习题检测
1.以下元素的全体不能够构成集合的是( )
A.中国古代四大发明 B.地球上的小河流
C.方程的实数解 D.周长为的三角形
2.已知集合，若，则实数a的值为( )
A.-2 B. C.2或4 D.或4
3.下列集合中表示同一集合的是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
4.下列命题中正确的是( )
①0与表示同一个集合
②由1，2，3组成的集合可表示为或
③方程的所有解的集合可表示为
④集合可以用列举法表示
A.只有①和④ B.只有②和③ C.只有② D.以上都对
5.给出下列关系：①；②；②；④；⑤.
其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.已知集合，集合且，则( )
A. B. C. D.
7.集合，用列举法可以表示为( )
A. B.
C. D.
8.设集合，若，则( )
A.-3或-1或2 B.-3或-1
C.-3或2 D.-1或2
9.（多选）下面说法错误的有( )
A.10以内的质数组成的集合是
B.由1，2，3组成的集合可表示为或
C.方程的解集是
D.0与表示同一个集合
10.已知集合，则集合A用列举法表示为
__________________.
11.下列六种表示方法：
①；②；③；④；⑤；⑥或.
其中能表示一次函数与的图象的交点组成的集合的是_________.(填序号)
12.已知集合.
（1）若A中只有一个元素，求a的值，并求集合A；
（2）若A中至少有一个元素，求a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意可知：
对A：中国古代四大发明，满足构成集合的元素的特征；
对C：方程的实数解，即-1、1满足结合元素的特征；
对D：周长为的三角形所对应的元素，满足几何元素的特性.
而对B：地球上的小河流，则不具备确定性的特点，因为小到什么时候才算小是不确定的.故选B.
2.答案：A
解析：由得或或，解得或4，又由集合中元素的互异性检验得.故选A.
3.答案：B
解析：根据同一集合的概念可知，两个集合中的元素应一样：
A、和是不同元素，故A错误；
B、根据集合元素具有无序性，则，故B正确；
C、因为M中的元素是有序实数对，而N中的元素是实数，故C错误；
D、因M中有两个元素即：1，2；而N有一个元素是，故D错误.
故选：B.
4.答案：C
解析：对于①，由于“0”是元素，而“”表示集合，所以①不正确；
对于②，根据集合中元素的无序性可知②正确；
对于③，根据集合元素的互异性可知③错误；
对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确.
综上可得只有②正确.故选C.
5.答案：D
解析：根据元素与集合的关系：
①，正确；②，正确；③，正确；④，正确；⑤，错误.故正确的个数为4.
6.答案：C
解析：，且，.故选：C.
7.答案：C
解析：因为，所以.
因为，所以是6的约数，
所以或或或
由，得；由，得；
由，得；由，得；
由，得，与已知矛盾，故；
由，得；
由，得，与已知矛盾，故；
由，得.故的值只能是，1，，2，，，对应的值依次为，6，，3，，，即.
8.答案：C
解析：当时，解得，则，符合题意.当时，解得或.当时，，不满足元素的互异性，不符合题意；当时，，符合题意.所以或.故选C.
9.答案：CD
解析：10以内的质数组成的集合是，故A正确；由集合中元素的无序性知和相等，且都可以表示由1，2，3组成的集合，故B正确；方程的解集应为，故C错误；由集合的表示方法知“0”不是集合，故D错误.故选CD.
10.答案：
解析：由,，则是12不小于 3 的因数，则可为3,4,6,12，即x为0,1,3,9， 则集合A用列举法表示为
11.答案：②⑤
解析：①中含有两个元素，且都是式子，而图象的交点坐标是有序数对；②代表元素是点的形式，且坐标与所给两函数图象交点坐标相同；③中含有两个元素，是数集；④没有用“{}”括起来，不表示集合；⑤中只含有一个元素，且为有序数对，与所给两函数图象交点坐标对应；⑥代表元素与点的坐标的一般形式不符，需加小括号，条件中“或”也要改为“且”.
12.解析：（1）①当时，集合，
②当时，，
，解得，此时集合，
综上所求，当时集合，当时集合；
（2）A中至少有一个元素，
则当A中只有一个元素时，或；
当A中有2个元素时，则且，
即，解得且；
综上可得时A中至少有一个元素，即.

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