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第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 集合间的基本关系
学案
1.理解集合之间的包含与相等的关系.
2.能利用Venn图来帮助理解集合的包含关系.
3.理解空集与子集、真子集之间的关系.
1.子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.
记作：或.
读作：“A包含于B”（或“B包含A”）.
2.Venn图：用平面上封闭曲线的内部来代表集合的图称为Venn图（韦恩图）.
3.定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A = B.
也就是说，若，且，则A = B.
4.定义：如果集合，但存在元素，且，就称集合A是集合B的真子集.
记作：（或）.
Venn图表示：
5.定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集.
6.由集合之间的基本关系，可以得到下列结论：
（1）任何一个集合是它本身的子集，即.
（2）对于集合A，B，C，如果，且，那么.
1.已知集合,下列可以作为集合A的子集的是( )
A. B. C. D.
2.下列表述正确的是( )
A. B. C. D.
3.已知集合，则下列选项中说法不正确的是( )
A. B. C. D.
4.在下列选项中,能正确表示集合和关系的是( )
A. B. C. D.
5.已知集合，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
6.下列四个集合中，是空集的是( )
A. B.
C. D.
7.给出下列四个命题：
①；
②空集没有子集；
③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；
④空集是任何一个集合的子集.
其中正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
8.满足条件的集合M的个数是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
9.（多选）已知集合,则的值可能为( )
A.0 B. C.1 D.2
10.已知集合,若,则________,A的子集有________个.
11.已知集合，，且，则实数a的取值范围是__________.
12.已知集合，集合.
（1）若，求实数a的取值范围.
（2）是否存在实数a，使得 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
答案以及解析
1.答案：B
解析：根据集合的子集的定义,得集合的子集为,对应选项可知,可以作为集合A的子集的是.
2.答案：B
解析：不含有任何元素，中含有一个元素.
空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集，所以答案是B.
3.答案：B
解析：由题意得，集合.由于空集是任何集合的子集，所以A中说法正确；因为，所以C，D中说法正确，B中说法不正确.故选B.
4.答案：C
解析：解方程，得或，所以.
又，所以.故选C.
5.答案：A
解析：集合，且集合A中至少含有一个偶数，满足条件的集合A可以为：，，，，，共6个，故选A.
6.答案：D
解析：选项A，；
选项B；
选项C，；
选项D，方程中，，该方程无实数解，.故选D.
7.答案：B
解析：空集是任何集合的子集，故④正确，②错误③不正确，如只有一个子集，即它本身；结合空集的定义可知①不正确.故只有1个命题正确.
8.答案：C
解析：满足条件的集合M至少含有3个元素1，2，3，且是集合的真子集，所以集合或或或或或或，共7个.故选C.
9.答案：AB
解析：当时,,解得,故;当时,由题意可知,方程只有一个根,即,解得,此时方程的根为1,故.故选AB.
10.答案：0或-1；8
解析：∵集合或解得或.当或时，集合,故A的子集有个.
11.答案：
解析：由，讨论集合A如下：
当时，由，可得；
当时，由，可得，
此时符合题意；
当时，由，可得，
此时不合题意；
显然不成立.
综上，.
12.（1）答案：或
解析：因为，所以分或两种情况讨论.
当时，，解得.
当时，，解得.
综上，实数的取值范围为或.
（2）答案：不存在.理由见解析
解析：不存在.
若存在实数，使，则必有，解得，该方程组无解.故不存在实数，使得.

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