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第一章 空间向量与立体几何
1.1.2 空间向量的数量积运算
学案
学习目标
1.了解空间向量的夹角、模的概念及其表示.
2.掌握空间向量的数量积及其运算律.
3.能运用向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、距离或长度等问题.
知识汇总
1.空间向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作，，则叫做向量a，b的夹角，记作.如果，那么向量a，b互相垂直，记作.
2.空间向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则叫做a，b的数量积，记作.即. 零向量与任意向量的数量积为0.
由向量的数量积定义，可得；.
3.空间向量数量积的运算律：:，；（交换律）；（分配律）.
习题检测
1.如图，空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点分别是的中点，则( )
A. B. C. D.
2.如图，正方体中，异面直线AC和所成角的大小为( )
A. B. C. D.或
3.如图所示，在三棱锥中，平面BCD，，且，，点E为CD的中点，则AE的长为( )
A. B. C.2 D.
4.如图，正方体的棱长为a，体对角线与相交于点O，则有( )
A. B.
C. D.
5.已知，，，，，，则__________.
6.在棱长为2的正四面体中，E是BC的中点，则_________.
7.已知在平行六面体中，，，，，则_____________.
8.如图所示，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，求.
9.如图所示，在三棱锥中，DA，DB，DC两两垂直，且，E为BC的中点.
（1）证明：；
（2）求直线AE与DC所成角的余弦值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意得，所以.故选B.
2.答案：A
解析：设正方体的棱长为1，，
，
，
异面直线AC和所成角的大小为.
3.答案：B
解析：
，所以，故选B.
4.答案：C
解析：；
；
；
.故选C.
5.答案：
解析：，，即
，解得.
6.答案：1
解析：
.
7.答案：
解析：六面体是平行六面体，且，
.
又，，，，，
.
8.解析：由题意知，.
因为平面ABCD，
所以，，，
所以.
又，，所以，，
所以，
所以.
9.解析：（1）证明：，，
所以
，
所以.
（2）
，
，
所以，
即直线AE与DC所成角的余弦值为.
2

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