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第一章 空间向量与立体几何
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
学案
学习目标
1.掌握空间向量坐标运算公式，并能解决相应问题.
2.掌握平行向量、垂直向量的坐标表示，并能解决相关的向量的平行、向量的垂直问题.
3.能熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式.
知识汇总
1.空间向量运算的坐标表示：设，，则
；；
，；.
2.空间向量的坐标表示：
平行：当时，，，；
垂直：；
模：；
夹角余弦：.
3.空间两点间的距离公式：设，是空间中任意两点，则，所以.这就是空间两点间的距离公式.
习题检测
1.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
2.若向量，，且a与b的夹角的余弦值为，则实数等于( ).
A.0 B. C.0或 D.0或
3.如图，在长方体中，，，，分别是上底面、侧面的中心，则，两点间的距离为( )
A.1 B. C. D.
4.已知向量，，，则下列结论正确的是( )
A.， B.， C.， D.，
5.直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱为3，M，N分别为，BC的中点，则( )
A.2 B.-2 C. D.
6.已知，，点在直线上，且，设.若，则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，在直三棱柱中，，，Q为的中点，E为AQ的中点，F为的中点，则异面直线BE与AF所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.（多选）已知向量，，，则下列等式中正确的是( ).
A. B.
C. D.
9.已知，，，的夹角为，则________.
10.已知，，三点共线，则___________.
11.如图，在直棱柱中，，，，M是的中点，点N在上.
（1）求证：；
（2）求与所成角的余弦值；
（3）若，求点M，N之间的距离.
答案以及解析
1.答案：A
解析：，故选A.
2.答案：C
解析：由题意得，解得或.故选C.
3.答案：C
解析：以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，故选C.
4.答案：C
解析：因为，所以.
因为，所以，故选C.
5.答案：B
解析：如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，
，故选B.
6.答案：B
解析：设，则，，，，，，即，，，，.故选B.
7.答案：B
解析：由题可知，在直三棱柱中，AB，AC，两两垂直.以A为坐标原点，AB，AC，所在直线分别为x轴y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
可得，，，，，
，所以，，，故选B.
8.答案：BCD
解析：对于A，易得，，，故A不正确；
对于B，左边，右边，故B正确；
对于C，，左边，右边，故C正确；
对于D，由C可得左边，又，所以右边，故D正确.故选BCD.
9.答案：
解析：由题意，知，，.
因为，的夹角为，所以，
得.
10.答案：0
解析：与共线，得，，于是.
11.解析：（1）如图，以C为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
依题意可得，，，，，，
所以，，
所以，从而.
（2）因为，，
所以，，，
所以.
因此与所成角的余弦值为.
（3）设，则，，
由，得，
所以当时，点N的坐标为，
又，所以.
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