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第一章 空间向量与立体几何
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
学案
学习目标
1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的直线与平面、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序.
2.体会向量方法在研究几何问题中的作用.
知识汇总
1.点到直线的距离：向量在直线l上的投影向量为，则是直角三角形.设，则向量在直线l上的投影向量.在中，由勾股定理得.
2.点到平面的距离：如图，已知平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面外一点. 过点P作平面的垂线l，交平面于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度. 因此.
3.异面直线所成的角：一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说，若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是u，v，则.
4.直线与平面所成的角：直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角. 如图，直线AB与平面相交于点B，设直线AB与平面所成的角为，直线AB的方向向量为u，平面的法向量为n，则.
5.二面角：如下图，平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角.若平面，的法向量分别是和，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为，则.
习题检测
1.若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与所成角的余弦值等于( )
A. B. C. D.
2.已知棱长为1的正方体，若点P在正方体内部且满足，则点P到AB的距离为( )
A. B. C. D.
3.在正三棱柱中，已知，D在棱上，且，则AD与平面所成的角的正弦值为( )
A. B. C. D.
4.已知菱形ABCD中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面DAC，则二面角的余弦值为( )
A.2 B. C. D.
5.（多选）已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是( )
A.点A到直线BE的距离是
B.点O到平面的距离为
C.平面与平面间的距离为
D.点P到直线AB的距离为
6.如图，在三棱锥中，，且，M，N分别是AC，SB的中点，则异面直线SM与CN所成角的余弦值为__________，直线SM与平面SAB所成角的大小为___________.
7.如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，， ，，平面ABCD， ，.
（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；
（2）求点D到平面PBC的距离.
8.已知四棱柱的底面为菱形，，，，平面，.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：设异面直线与所成的角为，，，，.故选B.
2.答案：A
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则.又，在上的投影为，点P到AB的距离为.故选A.
3.答案：A
解析：取AC的中点E，连接BE，则，如图，建立空间直角坐标系Bxyz，则，，则，平面平面， ，平面， 为平面的一个法向量.设AD与平面所成的角为，则，故选A.
4.答案：D
解析：设菱形ABCD的边长为1，取AC的中点O，连接BO、DO，因为，所以，又平面平面DAC，平面平面，所以平面ACD，如图建系，则，，，，
所以，，.
设平面BCD的法向量为，则，即，
令，得，，则，易知平面CDA的一个法向量为，所以，故选D.
5.答案：BC
解析：如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，.
设，则，，故A到直线BE的距离，故A错误；
易知，平面的一个法向量，则点O到平面的距离，故B正确；
，，，设平面的法向量为，
则，所以，令，得，，所以，所以点到平面的距离，因为易证得平面平面，所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，所以平面与平面间的距离为，故C正确；
因为，所以，又，则，所以点P到AB的距离，故D错.故选BC.
6.答案：；
解析：因为，所以以S为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.设，则，，，，，，所以，，所以，所以异面直线SM与CN所成角的余弦值为；易得平面SAB的一个法向量为，则，所以，所以直线SM与平面SAB所成角的大小为.
7.解析：（1）易得AB，AD，AP两两互相垂直，故以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，.
设异面直线PB与CD所成角的大小为，
则，
设异面直线PB与CD所成角的大小为.
（2）设平面PBC的一个法向量为，由（1）可得，
则，即，取，得，
所以点D到平面PBC的距离.
8.解析：（1）连接交于点，连接，
易知为的中点，为的中点，
在中，，
平面，平面，
平面.
(2)连接，平面，，
且为的中点，，
，平面且，
平面.
如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系.
易得，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，，令，得，.
同理可得平面的一个法向量为，
，
结合图形知，二面角为钝二面角，
二面角的余弦值为.
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